Rätsel: wie hoch spritzt es?

jonas

Registriertes Mitglied
Rätsel zum Wochenende:

Auf einer Mathe-Seite habe ich ein wirklich herrlich verzwicktes Rätsel gefunden. Es wurde Schülern der 11. Klasse gestellt, sollte also mit Schulwissen lösbar sein (im Prinzip :D)

1. Ein Radfahrer fährt mit 20 km/h auf einer nassen Straße. Sein Hinterrad schleudert hinter ihm Wassertropfen in die Luft. Welche Höhe können die Tropfen maximal erreichen?

2. Welchen Winkel mit der Horizontalen schliesst die Verbindungslinie Tropfen-Radnabe im Moment der Ablösung ein, wenn dieser Tropfen die Maximalhöhe erreichen soll?

Das Rad hat einen Durchmesser von 65 cm. Luftwiderstand oder Fahrtwind sollen keine Rolle spielen.
 

Hirschi

Registriertes Mitglied
Zu 2.
Müsste ohne mathematische Berechnung 270° (also 90° nach hinten) sein, da dadurch alle Energie in die Aufwärtsbewegung fließt und keine in eine laterale. Die Eigengeschwindigkeit des Fahrrades dürfte keine Rolle spielen, da diese Zusatzenergie in jedem Winkel gleich ist. Was natürlich sein könnte, dass der Winkel leicht > 270° ist, da die Relativgeschwindigkeit des Hinterrades zwischen 180° und 270° geringer ist als die des gesamten Fahrrades (Rad läuft ja quasi gegen Fahrtrichtung) und dann zwischen 270° und 360° wieder größer. Dann gäbe es einen Punkt zwischen 270° und 360° an dem die Umlaufgeschw. + Fahrradgeschw. höher als der Verlust durch die Ballistik bei > 270° wäre.
Wird die Oberflächenspannung des Wassers sowie die Adhäsion zwischen Reifen und Wasser auch vernachlässigt? :D

Gruß
Hirschi
 

jonas

Registriertes Mitglied
Wird die Oberflächenspannung des Wassers sowie die Adhäsion zwischen Reifen und Wasser auch vernachlässigt?
Jepp :D
Was natürlich sein könnte, dass der Winkel leicht > 270° ist,
Gut geraten aber falsch begründet.

Kommt schon, Leute, da hat sich ein 17-jähriger durchgequält und es gepackt. Also, wie hoch fliegt der Rotz? Und wie schräg? :D
 
Zuletzt bearbeitet:

jonas

Registriertes Mitglied
Edit: Naja, eine gewisse Rolle spielen Adhäsion und Oberflächenspannung schon, denn irgendwie müssen sich die Wassertropfen ja am Reifen festhalten, bevor sie mit Juhu in die Luft springen :D
 

Hirschi

Registriertes Mitglied
Edit: Naja, eine gewisse Rolle spielen Adhäsion und Oberflächenspannung schon, denn irgendwie müssen sich die Wassertropfen ja am Reifen festhalten, bevor sie mit Juhu in die Luft springen :D
Wieviel Energie verbraucht das "Juhu" und wird durch das aus der Oberflächenspannung resultierende Pulsieren der Wasser"kugel" das "Juhu" Doppler-verschoben?
Nee, bin grad am Rechnen und Zusammenstellen :)
 

Hirschi

Registriertes Mitglied
zu 1.
v(umlauf) = 20km/h : 3,6 = 5,56 m/s (Umlaufgeschwindigkeit = Fahrradgeschwindinkigkeit)
g = 9,81 m/s² (hier Umkehr: bei welcher "Fallhöhe" erreicht ein Körper 5,56m/s)
h = 1/2 x v² /g
h = .5 x 30,91 (m/s)² / 9,81 m/s²
h = 1,58m
zu 2.
reine Überlegung abweichend zu meinem 1. Post:
270°
Es ist unerheblich mit welcher Eigengeschwindigkeit das Rad fährt, da diese Energie den Wassertropfen lediglich lateral bewegt.

Edit: Ich bin mir zu 50% sicher, mit 2. falsch zu liegen da es sonst wohl zu einfach wäre. Dann (wenn V(eigen Fahrrad) doch wichtig) würde allerdings auch 1 nicht stimmen.
 
Zuletzt bearbeitet:

jonas

Registriertes Mitglied
Zur Höhe möchte ich noch nichts sagen. Andere sollen sich auch noch den Kopf zerbrechen dürfen.

Zu Deiner Lösung von 2.): Bei 270 Grad bekommt der Tropfen die größte vertikale Geschwindigkeit, ja. Aber führt das auch zum höchsten Juhu? :D
 

Aragorn

Registriertes Mitglied
Die Geschw. die ein Punkt auf dem drehenden Reifen hat, ergibt sich aus der vektoriellen Addition der Umdrehungsgeschw. des Rades und der Geschw. des Fahrrades relativ zur Fahrbahn.

Da wo der Reifen die Fahrbahn berührt ist diese Gesamtgeschw. bsw. 0. Oben, ihn der Nähe der Fahrradbremsschuhe ist diese 2*v.

Die höchste Höhe, können die Wassertropfen daher imho erreichen, wenn die vektorielle Addition der beiden Geschw. den Maximalwert senkrecht nach oben erreicht.

Das ist imho bei einem Winkel von 180° zur Fahrbahn der Fall, was aber (wegen der Eigenbewegung der Nabe für den auf der Fahrbahn stehenden Beobachter) um 90° nach hinten geneigt erscheint (180°+90°=270°)

Gruß Helmut
 

jonas

Registriertes Mitglied
Nach der Antwort von Aragorn sehe ich mich gezwungen die Aufgabe zu präzisieren: Der Radfahrer fährt in der Ebene, er fährt weder eine sekrechte Klippe hinauf, noch stürzt er von einer solchen hinunter ;)

Das ist imho bei einem Winkel von 180° zur Fahrbahn der Fall, was aber (wegen der Eigenbewegung der Nabe für den auf der Fahrbahn stehenden Beobachter) um 90° nach hinten geneigt erscheint (180°+90°=270°)
Aragorn, wirbelst Du gerade in Deinem Inertialsystem um die Nabe herum?

Ehrlich gesagt, ich habe kein Wort von dem verstanden, was Du zu sagen versucht hattest. :D
 

Hirschi

Registriertes Mitglied
Zur Höhe möchte ich noch nichts sagen. Andere sollen sich auch noch den Kopf zerbrechen dürfen.

Zu Deiner Lösung von 2.): Bei 270 Grad bekommt der Tropfen die größte vertikale Geschwindigkeit, ja. Aber führt das auch zum höchsten Juhu? :D

Ja, je länger ich überlege, desto einfacher erscheint meine Lösung mit den 270°.
Die 20 km/h des Rades tragen lediglich zur horizontalen Geschwindigkeit bzw zum "Versatz" des Tropfens bei.
Der Tropfen beschreibt aufgrund der Eigengeschwindigkeit des gesamten Fahrrads eine Parabel, deren lokales Maximum trotzdem bei 270° Abschuss liegt da dort die vertikale Beschleunigung maximal ist und die horizontale 0 + 20 km/h. Das 0 wird in keinem anderen Punkt der Kreisbahn erreicht.

MfG
Hörsch the Wörsch :D
 

jonas

Registriertes Mitglied
Die Antwort auf 2.) ist nicht ganz trivial. Bedenkt bitte alle, daß der Durchmesser des Rades 65 cm beträgt und das Rad nicht 32,5 cm tief durch den Schlamm pflügt, sondern auf einer schön geteerten Straße fährt.

Es mag ja sein, daß sich bei 270 Grad die höchste vertikale Geschwindigkeit ergibt. Darauf kam der 17-jährige Schüler auch recht schnell. Nur: Die Aufgabenstellung fragt nach einem Winkel gegenüber der waagrechten durch die Nabe. Es ist also entweder der Beweis zu führen, daß bei 270 Grad die höchsten Höhen zu erreichen sind, oder eine Berechnung des Winkels und Neuüberlegung zur größtmöglichen Höhe.

PS: selbst wenn es durch den Schlamm pflügen würde, wäre 270 Grad nicht ohne weiteres richtig. Seht das als Hinweis zu Eurer Erleuchtung oder weiteren Verwirrung :D
 
Zuletzt bearbeitet:

Hirschi

Registriertes Mitglied
ok, dann schwant mir Integrieren zweier Funktionen (ähnlich der "Man nehme x meter Zaun. Wieviel Fläche ist damit maximal einzäunbar" Aufgabe) und 1. Ableitung fürs Maximum. Das dauert länger bei mir :D
 

jonas

Registriertes Mitglied
ok, dann schwant mir Integrieren zweier Funktionen (ähnlich der "Man nehme x meter Zaun. Wieviel Fläche ist damit maximal einzäunbar" Aufgabe) und 1. Ableitung fürs Maximum.
JAU! Es ist eine Maximierungsaufgabe, aber eine, die sich gewaschen hat, weil sich alles dreht und bewegt ... aber ist alles davon relevant?

Bin mal bis morgen offline. Mal sehen, was am Sonntag so alles kommt. Und dann schwebt mir noch eine Verschärfung der Frage im Kopf herum ... mit Doppelintegral ... oder Ableitung ... oder Zeug und so :)
 

Hirschi

Registriertes Mitglied
JAU! Es ist eine Maximierungsaufgabe, aber eine, die sich gewaschen hat, weil sich alles dreht und bewegt ... aber ist alles davon relevant?

Bin mal bis morgen offline. Mal sehen, was am Sonntag so alles kommt. Und dann schwebt mir noch eine Verschärfung der Frage im Kopf herum ... mit Doppelintegral ... oder Ableitung ... oder Zeug und so :)

Hau rein und gute Nacht :D Bis morgen

Gruß
Hirschi
 

Aragorn

Registriertes Mitglied
Ich denke ich habe die Aufgabe noch nicht so recht verstanden.

Zunächst geht es mal darum wo der Tropen sich vom drehenden Reifen löst. Auf den Tropfen wirkt die Zentrifugalkraft, die Gravitationskraft und die Adhäsionskraft. Vom Reifen ablösen müßte der Tropfen sich dann, wenn die vektorielle Addition von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft die größte resultierende Kraft ergeben.

Das ist an der Fahrbahnkontaktstelle der Fall, weil dort Zentrifugalkraft und Gravitationskraft in die gleiche Richtung zeigen. Und das ergibt einen Winkel von 270° oder 90° (je nachdem wieherum man dreht) zwischen der Verbindungslinie Nabe-Ablösepunkt mit der waagrechten. Man könnte auch gleich sagen, die Verbindungslinie ist immer parallel zur Gravitationskraft.

Sobald der Tropfen sich abgelöst hat, wirkt nur noch die Gravitationskraft auf ihn. Hmm, und wie geht es jetzt weiter? So gesehen dürfte die Tropfen ja nie nach oben fliegen. Damit habe ich nun "bewiesen" das Regenschutzbleche überflüssiger Schnick-Schnack sind. Und eine weltweite Verschwörung aufgedeckt :)

Gruß Helmut
 

Aragorn

Registriertes Mitglied
Hmm, um eine Bewegung nach oben hinzukriegen, sehe ich nur die Möglichkeit die Abplattung des Reifens, an der Kontaktstelle mit der Fahrbahn, mit in die Aufgabe einzubeziehen. Dann lösen sich die Tropfen nicht mehr parallel zur Fahrbahn.
Eine andere Möglichkeit wieso der Tropfen nach oben fliegen sollte, sehe ich nicht? :confused:

Das wäre dann eine Maximalwertaufgabe, weil zwei Effekte entgegenwirken:

a) bei langsamer Fahrt ist die Abplattung des Reifens am größten -> ergibt einen steileren Winkel, aber bei langsamer Tropfengeschw.
b) bei schneller Fahrt ist die Abplattung kleiner (flacherer Winkel), dafür aber die Tropfengeschw. größer
 
Zuletzt bearbeitet:

jonas

Registriertes Mitglied
Eine Abplattung anzunehmen führt nicht zur Lösung. Schau Dir mal die Gedankengänge von Hirschi an, er ist auf dem besten Weg.
 

Aragorn

Registriertes Mitglied
Eine Abplattung anzunehmen führt nicht zur Lösung. Schau Dir mal die Gedankengänge von Hirschi an, er ist auf dem besten Weg.
ok, dann schwant mir Integrieren zweier Funktionen (ähnlich der "Man nehme x meter Zaun. Wieviel Fläche ist damit maximal einzäunbar" Aufgabe) und 1. Ableitung fürs Maximum. Das dauert länger bei mir :D
:confused:

Hmm, mit W_kin = W_pot kommt man auf:

h = v^2/(2*g) + d/2 = 1,9 m

Das wäre bei v=20 km/h und d=65 cm die maximal mögliche Höhe. Das ist aber nur der Fall, wenn die Tropfen sich dort lösen, wo die Tangente am Reifen senkrecht steht. Und warum sollten sich die Tropfen genau dort lösen? Die tun das imho dort, wo die größte radiale Ablösekraft auftritt. Und diese tritt an der Kontaktstelle mit der Straße auf.

Eine Maximalwertaufgabe, kann man dann daraus noch machen, weil die Abwurfhöhe r=r+dr mit dr=r*sin(Phi) noch weiter zunimmt (bis der Tropfen die höchste Höhe r erreicht), während die vertikale Geschw. komponente vs=v*cos(Phi) aber gleichzeitig auf 0 abnimmt.

Dann wäre vielleicht noch mehr als h=1,9 m möglich. Müßte ich aber erst ausrechnen.

Dafür benötigt man dann aber ein Spezialfahrrad mit getakteter Adhäsionskraft.
 
Zuletzt bearbeitet:

Aragorn

Registriertes Mitglied
Hmm, beim getakteten Spezialfahrrad komme ich bei ca. 5,93° weiterer Drehung auf den Maximalwert von 1,915 m. Das macht ergo so gut wie nichts aus. Dann weiss ich auch nicht weiter, und überlasse anderen das Feld.

Für ein Standardfahrrad bleibe ich vorerst bei meiner Reifenabplattungslösungs.
 
Zuletzt bearbeitet:

jonas

Registriertes Mitglied
Hi Aragorn

Gratulation! Richtige Lösung unter Problematisierung irrelevanter Nebenbedingungen :D

Aus der täglichen Erfahrung weiß man doch, dass bei Nässe die Reifen das Wasser rundherum wegspritzen. Wo Du dich aufgehängt hast war eigentlich das Problem, an welcher Stelle sich ein Trofen am wahrscheinlichsten ablöst. Da die Zentripetalkraft, die den Wasserfilm am rotierenden Reifen festhält, also Adhäsion und Oberflächenspannung, ein kontinuierliches Spektrum hat, lösen sich an jeder Stelle Wassertropfen. An gewissen Stellen etwas mehr als woanders, aber darum ging es ja nicht.

Bin mal gespannt, ob noch jemand die Maximierungsaufgabe lösen kann und vielleicht auch sogar die Formel dafür hinschreibt.
 
Oben