Berechnung der Geschwindigkeit

Jax

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Hallo Leute,

ich habe mir ein Computerprogramm geschrieben, dass mir die Geschwindigkeit von Materie berechnen soll, die von einem Schwarzen Loch angezogen wird.
Da die Geschwindigkeiten deutlich über 0.1c liegen, rechne ich natürlich relativistisch. Zunächst rechne ich die totale Energie aus, die die Materie bekommt.
M = Masse des SL (im Test 10*Ms)
m= Masse der Materie (im Test Ms/500)
E = G * (M * m)/ 2*r
anschliessend setze ich es in die umgeformte Gleichung der relativistischen Geschwindigkeit ein:
v= Wurzel(Wurzel((m0*c^2)/E)*c^2 * c^2)

Leider rechnet der Computer bei der totalen Energie immer etwas minimal kleines aus, dabei habe ich mit dem Taschenrechner sehr große Werte berechnet. Ich habe auch die Werte richtig umgerechnet und die Gravitationskonstante in der richtigen Form genommen.

Hat jemand eine Idee oder habe ich sogar die Gleichungen total falsch aufgestellt?

Viele Grüße

Jax
 

Aragorn

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Was ist mit der "Gleichung der relativistischen Geschw." gemeint? Ist diese aus der relativistischen kinetischen Energie abgeleitet?
Auf jedenfall stimmen bei v = wurzel( ... die Einheiten schonmal nicht. Das ist wenn v^2.

Gruß Helmut
 

Jax

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ja damit ist die ableitung gemeint.

Nein, denn durch umformung komme ich ja auch v = Wurzel(...)
Sonst wäre es v^2 = (...)

Grüße

Jax
 

Aragorn

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innerere Wurzelterm: m0*c^2/E ist Einheitenlos.

äußerer Wurzelterm ergibt c^2 (Wurzel aus c^4)

-> Einheiten passen nicht :confused:

Was hast du abgeleitet?
Schreibe doch bitte mal genauer hin, wie du auf das v = Wurzel(... kommst.

Ansonsten kann man meines Wissens, laut Sexl - Weisse Zwerge Schwarze Löcher, bei radialem Einfall und in Eigenzeit mit den Newton-Gleichungen rechnen. Müßte imho ergo in deinem Beispiel möglich sein, wenn nicht nach Koordinatengeschw. (äußere Beobachter) gefragt wird, und der einfallende Körper keinen Drehimpuls besitzt.

Gruß Helmut
 
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Aragorn

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Imho lautet der korrekte Rechenweg von E_kin zu v so:

E_kin=(Gamma-1)*m0*c^2
mit Gamma = 1/wurzel(1-v^2/c^2)

E_kin/(m0*c^2)+1 = 1/wurzel(1-v^2/c^2)
Wurzel(1-v^2/c^2) = 1/(E_kin/(m0*c^2)+1)

v=c*wurzel(1-1/(E_kin/(m0*c^2 )+1)^2)

Gruß Helmut
 

Aragorn

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Du hast abgeleitet von der Ruheenergie E=Gamma*m0*c^2. Du musst von der kinetischen Energie E_kin=(Gamma-1)*m0*c^2 ausgehen.
Das Ergebnis steht oben.

Du siehst an deinem Ergebnis das dort etwas nicht stimmen kann, wenn du einsetzt:

E=0 -> v=unendlich
E=unendlich -> v=c

Die passt eher für Tachyonen.

Gruß Helmut
 
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Jax

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Hmm

jetzt wird die Energie immer kleiner je näher die Materie dem Schwarzen Loch kommt. Und die Geschwindigkeit wird auch immer kleiner. Müssten die beiden nicht eigentlich größer werden?
 

Aragorn

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Ist bei mir nicht so (M=10*M_Sonne, r_S = Schwarzschildradius)

r = 1000*r_S -> v = 0,0316c
r = 10*r_S -> v = 0,305c
r = r_S -> v = 0,745c
r = 0 -> v = c

Stimmt aber doch nicht wirklich mit der Rechnung nach ART überein. Denn die ergibt bei r=r_S meines Wissens eine lokale Geschw von v=c.

Gruß Helmut
 

Bernhard

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Hat jemand eine Idee oder habe ich sogar die Gleichungen total falsch aufgestellt?
Hallo Jax,

wenn Du die Aufgabe wirklich korrekt (also gemäß ART) lösen willst, musst Du die Geodätengleichung für die Schwarzschildmetrik lösen. Wenn Dir das jetzt nix sagt, leih Dir den T. Fließbach, "Allgemeine Relativitätstheorie" aus. Dort findest Du sämtliche Christoffelsymbole der Schwarzschildmetrik und etliche Rechnungen zu den Geodäten. Der freie Fall einer Testmasse auf ein Schwarzes Loch ist damit relativ "leicht" zu rechnen. Zu Fuß (also ohne den Fließbach) musst Du sehr viel Vorarbeit leisten.
Gruß
 

Jax

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Vielleicht ist es Falsch, dass ich zur berechnung der gesamten Energie E = g*(M*m/2*r) genommen habe?
 

Jax

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Welche denn?

Edit: einen hab ich schon, war ja ein dicker. und der zweite? Meinst du dass ich statt Gamma, Gamma - 1 nehmen muss?
 
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Aragorn

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Wenn man statt der relativistischen kinetischen Energie, die klassische verwendet und mit der klassischen potentiellen gleichsetzt, ergibt das v=c bei r=r_S.
Alles klassisch gerechnet ergibt dann für den radialen Einfall doch ein korrektes Ergebnis?
 

Bernhard

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Welche denn?

Edit: einen hab ich schon, war ja ein dicker. und der zweite? Meinst du dass ich statt Gamma, Gamma - 1 nehmen muss?
Hallo Jax,

die Formel E = \gamma m_0 * c^2 stimmt schon, ist aber für deine Zwecke mit Vorsicht zu genießen. Die Masse m in der ursprünglichen Aufgabenstellung ist mit Ms/500 auch so hoch, dass man schon ein Zweikörperproblem hat und das ist in der Relativitätstheorie bereits recht kompliziert zu rechnen. Deswegen gebe ich dir einfach mal den folgenden Tipp: Rechne das Ganze erst mal nach Newton mit einer sehr kleinen Testmasse m:
E_pot = -GM*m/r
E_kin = 0.5 m * v^2
Die Testmasse mit m << M (heißt wesentlich kleiner als M) startet bei r_0 mit einer Geschwindigkeit v_0 in Richtung der großen Masse M im freien Fall. Die dabei freiwerdende potentielle Energie wird zu kinetischer Energie. Probier mal den Rest selber auszurechnen. Bei Problemen damit, frag einfach nach.
Gruß
 

Jax

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Ich dachte, ab 0.1c MUSS man relativistisch rechnen, sonst stimmt das Ergebnis nicht?
 

Bernhard

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Auf Einen hatte ich schon hingewiesen, der Andere liegt in der Verwaltung der Minus-Zeichen.
Hallo Nathan und Aragorn,

Jax hat bereits in der ersten Umformung einen ziemlich dicken "Hund" drin. Korrekt müsste es heißen: E*sqrt(1-(v/c)^2) = m_0 * c^2. Bei so grundlegenden Fehlern (Sorry Jax) empfehle ich für den Anfang deswegen ganz stark die Rechnung nach Newton. Wenn dort alles klar ist, kann man eventuell noch ein wenig die relativistische Energie-Impuls-Beziehung diskutieren.
Gruß
 
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