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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Berechnung der Geschwindigkeit



Jax
07.11.2010, 16:19
Hallo Leute,

ich habe mir ein Computerprogramm geschrieben, dass mir die Geschwindigkeit von Materie berechnen soll, die von einem Schwarzen Loch angezogen wird.
Da die Geschwindigkeiten deutlich über 0.1c liegen, rechne ich natürlich relativistisch. Zunächst rechne ich die totale Energie aus, die die Materie bekommt.
M = Masse des SL (im Test 10*Ms)
m= Masse der Materie (im Test Ms/500)
E = G * (M * m)/ 2*r
anschliessend setze ich es in die umgeformte Gleichung der relativistischen Geschwindigkeit ein:
v= Wurzel(Wurzel((m0*c^2)/E)*c^2 * c^2)

Leider rechnet der Computer bei der totalen Energie immer etwas minimal kleines aus, dabei habe ich mit dem Taschenrechner sehr große Werte berechnet. Ich habe auch die Werte richtig umgerechnet und die Gravitationskonstante in der richtigen Form genommen.

Hat jemand eine Idee oder habe ich sogar die Gleichungen total falsch aufgestellt?

Viele Grüße

Jax

Aragorn
07.11.2010, 16:57
Was ist mit der "Gleichung der relativistischen Geschw." gemeint? Ist diese aus der relativistischen kinetischen Energie abgeleitet?
Auf jedenfall stimmen bei v = wurzel( ... die Einheiten schonmal nicht. Das ist wenn v^2.

Gruß Helmut

Jax
07.11.2010, 17:02
ja damit ist die ableitung gemeint.

Nein, denn durch umformung komme ich ja auch v = Wurzel(...)
Sonst wäre es v^2 = (...)

Grüße

Jax

Aragorn
07.11.2010, 17:32
innerere Wurzelterm: m0*c^2/E ist Einheitenlos.

äußerer Wurzelterm ergibt c^2 (Wurzel aus c^4)

-> Einheiten passen nicht :confused:

Was hast du abgeleitet?
Schreibe doch bitte mal genauer hin, wie du auf das v = Wurzel(... kommst.

Ansonsten kann man meines Wissens, laut Sexl - Weisse Zwerge Schwarze Löcher, bei radialem Einfall und in Eigenzeit mit den Newton-Gleichungen rechnen. Müßte imho ergo in deinem Beispiel möglich sein, wenn nicht nach Koordinatengeschw. (äußere Beobachter) gefragt wird, und der einfallende Körper keinen Drehimpuls besitzt.

Gruß Helmut

Aragorn
07.11.2010, 17:55
Imho lautet der korrekte Rechenweg von E_kin zu v so:

E_kin=(Gamma-1)*m0*c^2
mit Gamma = 1/wurzel(1-v^2/c^2)

E_kin/(m0*c^2)+1 = 1/wurzel(1-v^2/c^2)
Wurzel(1-v^2/c^2) = 1/(E_kin/(m0*c^2)+1)

v=c*wurzel(1-1/(E_kin/(m0*c^2 )+1)^2)

Gruß Helmut

Jax
07.11.2010, 17:58
Hallo. Ich habe folgendermaßen abgeleitet:
http://yfrog.com/c8ableitungj

Ist da ein fehler drin?

Aragorn
07.11.2010, 18:10
Du hast abgeleitet von der Ruheenergie E=Gamma*m0*c^2. Du musst von der kinetischen Energie E_kin=(Gamma-1)*m0*c^2 ausgehen.
Das Ergebnis steht oben.

Du siehst an deinem Ergebnis das dort etwas nicht stimmen kann, wenn du einsetzt:

E=0 -> v=unendlich
E=unendlich -> v=c

Die passt eher für Tachyonen.

Gruß Helmut

Nathan5111
07.11.2010, 18:16
Links quadrieren, rechts Wurzel ziehen?? :eek:

Jax
07.11.2010, 18:20
Hmm

jetzt wird die Energie immer kleiner je näher die Materie dem Schwarzen Loch kommt. Und die Geschwindigkeit wird auch immer kleiner. Müssten die beiden nicht eigentlich größer werden?

Aragorn
07.11.2010, 19:09
Ist bei mir nicht so (M=10*M_Sonne, r_S = Schwarzschildradius)

r = 1000*r_S -> v = 0,0316c
r = 10*r_S -> v = 0,305c
r = r_S -> v = 0,745c
r = 0 -> v = c

Stimmt aber doch nicht wirklich mit der Rechnung nach ART überein. Denn die ergibt bei r=r_S meines Wissens eine lokale Geschw von v=c.

Gruß Helmut

Bernhard
07.11.2010, 19:59
Hat jemand eine Idee oder habe ich sogar die Gleichungen total falsch aufgestellt?
Hallo Jax,

wenn Du die Aufgabe wirklich korrekt (also gemäß ART) lösen willst, musst Du die Geodätengleichung für die Schwarzschildmetrik lösen. Wenn Dir das jetzt nix sagt, leih Dir den T. Fließbach, "Allgemeine Relativitätstheorie" aus. Dort findest Du sämtliche Christoffelsymbole der Schwarzschildmetrik und etliche Rechnungen zu den Geodäten. Der freie Fall einer Testmasse auf ein Schwarzes Loch ist damit relativ "leicht" zu rechnen. Zu Fuß (also ohne den Fließbach) musst Du sehr viel Vorarbeit leisten.
Gruß

Jax
07.11.2010, 20:21
Vielleicht ist es Falsch, dass ich zur berechnung der gesamten Energie E = g*(M*m/2*r) genommen habe?

Nathan5111
07.11.2010, 21:25
Hallo. Ich habe folgendermaßen abgeleitet:
http://yfrog.com/c8ableitungj

Ist da ein fehler drin?

Nein, es sind, rein handwerklich, ZWEI!

Jax
07.11.2010, 21:43
Welche denn?

Edit: einen hab ich schon, war ja ein dicker. und der zweite? Meinst du dass ich statt Gamma, Gamma - 1 nehmen muss?

Nathan5111
07.11.2010, 22:31
Auf Einen hatte ich schon hingewiesen, der Andere liegt in der Verwaltung der Minus-Zeichen.

Aragorn
07.11.2010, 22:33
Wenn man statt der relativistischen kinetischen Energie, die klassische verwendet und mit der klassischen potentiellen gleichsetzt, ergibt das v=c bei r=r_S.
Alles klassisch gerechnet ergibt dann für den radialen Einfall doch ein korrektes Ergebnis?

Bernhard
07.11.2010, 22:36
Welche denn?

Edit: einen hab ich schon, war ja ein dicker. und der zweite? Meinst du dass ich statt Gamma, Gamma - 1 nehmen muss?
Hallo Jax,

die Formel E = \gamma m_0 * c^2 stimmt schon, ist aber für deine Zwecke mit Vorsicht zu genießen. Die Masse m in der ursprünglichen Aufgabenstellung ist mit Ms/500 auch so hoch, dass man schon ein Zweikörperproblem hat und das ist in der Relativitätstheorie bereits recht kompliziert zu rechnen. Deswegen gebe ich dir einfach mal den folgenden Tipp: Rechne das Ganze erst mal nach Newton mit einer sehr kleinen Testmasse m:
E_pot = -GM*m/r
E_kin = 0.5 m * v^2
Die Testmasse mit m << M (heißt wesentlich kleiner als M) startet bei r_0 mit einer Geschwindigkeit v_0 in Richtung der großen Masse M im freien Fall. Die dabei freiwerdende potentielle Energie wird zu kinetischer Energie. Probier mal den Rest selber auszurechnen. Bei Problemen damit, frag einfach nach.
Gruß

Jax
07.11.2010, 22:41
Ich dachte, ab 0.1c MUSS man relativistisch rechnen, sonst stimmt das Ergebnis nicht?

Bernhard
07.11.2010, 22:43
Auf Einen hatte ich schon hingewiesen, der Andere liegt in der Verwaltung der Minus-Zeichen.
Hallo Nathan und Aragorn,

Jax hat bereits in der ersten Umformung einen ziemlich dicken "Hund" drin. Korrekt müsste es heißen: E*sqrt(1-(v/c)^2) = m_0 * c^2. Bei so grundlegenden Fehlern (Sorry Jax) empfehle ich für den Anfang deswegen ganz stark die Rechnung nach Newton. Wenn dort alles klar ist, kann man eventuell noch ein wenig die relativistische Energie-Impuls-Beziehung diskutieren.
Gruß

Bernhard
07.11.2010, 22:49
Ich dachte, ab 0.1c MUSS man relativistisch rechnen, sonst stimmt das Ergebnis nicht?
das MUSS man nur, wenn man ein Experte in Relativitätstheorie werden will ;) .

Nathan5111
07.11.2010, 22:50
Jax hat bereits in der ersten Umformung einen ziemlich dicken "Hund" drin. Korrekt müsste es heißen: E*sqrt(1-(v/c)^2) = m_0 * c^2.

Nö, die war rein handwerklich noch in Ordnung; er hat lediglich sofort durch "E" geteilt.

Bernhard
07.11.2010, 22:59
Nö, die war rein handwerklich noch in Ordnung; er hat lediglich sofort durch "E" geteilt.
hast Recht Nathan. Ist halt schon recht spät für heute. Vielleicht kann Jax ja mal den Fehler mit der Wurzel korrigieren? Das Vorzeichen schaffen wir dann auch noch :) .
Gruß

Aragorn
07.11.2010, 23:34
Ich dachte, ab 0.1c MUSS man relativistisch rechnen, sonst stimmt das Ergebnis nicht?
Man kann entweder alles relativistisch rechnen (wenn man es denn kann, denn ich kanns nicht), oder man beschränkt sich auf Fragen wie:

* Mit welcher Geschw. nähert sich der einfallende Beobachter (aus seiner Sicht) der Singularität?
* Wann trifft er auf die Singularität (nach seiner Uhr)?

-> Zusatzbedingung: radialer Einfall ohne Drehimpuls

Dann erhält man klassisch gerechnet (E_kin=0,5*m*v^2 und E_pot=-G*M*m/r) korrekte Ergebnisse.
Will man dagegen wissen was ein entfernter Beobachter wahrnimmt, oder die Zusatzbedingungen nicht erfüllt sind, dann muß man mit der ART rechnen.

Für den einfallenden Beobachter nähert sich die Singularität mit v=Wurzel(2*G*M/r). Zumindest wenn der Beobachter im Unendlichen mit der Anfangsbedingung v=0 startet.

Gruß Helmut

Bernhard
08.11.2010, 01:25
Hallo zusammen,

weil es jetzt doch etwas auf den Fingern brennt, hier das Ergebnis gemäß ART für einen Beobachter, der praktisch unendlich weit von M entfernt ist, und der die Zeit t mißt:

dr/dt = c * sqrt[ (r_S / r) * ( (r_0 - r) / (r_0 - r_S) ) ] * (1.0 - (r_S / r) )

mit
c: Lichtgeschwindigkeit
r_S: Schwarzschildradius = 2*G*M/c^2
r_0: Radius bei dem der freie Fall der Testmasse beginnt, also dr/dt (r=r_0) = 0

Die Formel gilt allerdings nur innerhalb des Gültigkeitsbereiches der Schwarzschildmetrik, also für m <<<M. Die Masse der Testmasse muss im Vergleich zu M also vernachlässigbar klein sein.

Die Formel für dr/dtau reiche ich (demnächst) bei Bedarf noch nach. Also den Verlauf der Geschwindigkeit, wie ihn ein Beobachter messen würde, der mit der Testmasse mitfällt.
Beste Grüße

Nathan5111
08.11.2010, 02:09
Ich befürchte jedoch, dass Jax es sooo genau gar nicht wissen wollte.

Bernhard
08.11.2010, 09:24
Ich befürchte jedoch, dass Jax es sooo genau gar nicht wissen wollte.
Jax hatte per PN danach gefragt! Außerdem wird das Thema hier direkt oder indirekt immer wieder thematisiert. Ab jetzt kann ja dann die Formel diskutiert werden....

Aragorn
08.11.2010, 10:11
dr/dt = c * sqrt[ (r_S / r) * ( (r_0 - r) / (r_0 - r_S) ) ] * (1.0 - (r_S / r) )

mit
c: Lichtgeschwindigkeit
r_S: Schwarzschildradius = 2*G*M/c^2
r_0: Radius bei dem der freie Fall der Testmasse beginnt, also dr/dt (r=r_0) = 0

Mit der Gleichung ergibt sich ein v=0 bei r=r_S. Das müßte dann die Gleichung für die Koordinatengeschw. sein? Also die Geschw. die ein entfernter Beobachter für das einfallende Objekt misst?

Nach der Gleichung hat der einfallende Körper, für den äußeren Beobachter, bei r=3*r_S die Maximalgeschw. (v_max=0,3849c) erreicht und wird dann, aufgrund der gravitativen Zeitdilation, wieder langsamer.

Gruß Helmut

Bernhard
08.11.2010, 10:56
Mit der Gleichung ergibt sich ein v=0 bei r=r_S. Das müßte dann die Gleichung für die Koordinatengeschw. sein? Also die Geschw. die ein entfernter Beobachter für das einfallende Objekt misst?

Nach der Gleichung hat der einfallende Körper, für den äußeren Beobachter, bei r=3*r_S die Maximalgeschw. (v_max=0,3849c) erreicht und wird dann, aufgrund der gravitativen Zeitdilation, wieder langsamer.
Perfekt! Genau so isses...

Jax
08.11.2010, 12:20
Hey, danke für die Umfangreiche Beschreibung Bernhard, ich werde es aus beiden Sichtweisen (Beobachter/Materie) Schreiben, allerdings zuerst auf die der Materie eingehen, da sich diese ja deutlich leichter berechnen lässt.
Gruß

Jax

Bernhard
08.11.2010, 12:35
Hey, danke für die Umfangreiche Beschreibung Bernhard, ich werde es aus beiden Sichtweisen (Beobachter/Materie) Schreiben, allerdings zuerst auf die der Materie eingehen, da sich diese ja deutlich leichter berechnen lässt.
Hallo Jax,

die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Eigenzeit des einfallenden Testkörpers kommt noch.

Wenn Du Formeln aus diesem Forum in externen Arbeiten verwendest, wäre es natürlich nett, wenn Du in Deiner Literatur-, bzw. Referenzliste einen entsprechenden Link auf den Beitrag oder zumindest das Forum von astronews.com angeben würdest.
Gruß

Ich
08.11.2010, 12:47
Weil's gerade so gut zum anderen Thread passt, will ich hier mal eine komplett relativistisch Rechnung zeigen. Die muss nicht so kompliziert sein, wie Bernhard befürchtet, man kann da einiges machen mit Energieerhaltung.

Erstmal defniere ich "Geschwindigkeit" als das, was ein ruhender Beobachter am Ort "r" misst, wenn das Objekt an ihm vorbeifällt.
Das Objekt ist natürlich beliebig leicht (seine Masse "m" << "M", Masse des SL), wir wollen ja kein Zweikörperproblem.
Und ich lasse es wiede aus dem Unendlichen einfallen, so dass es quasi beliebig weit draußen beliebig langsam wird. Das ist nicht notwendig, aber einfach. Man kann's leicht erweitern.
Ach ja, und c=1 bei mir.

Jetzt die Energieerhaltung.
Das Objekt hat ganz weit draußen nur seine Ruhemasse m, keine kE (kinetische Energie).
Weiter drinnen hat's Ruhemasse und kE.
Wir lassen es am Ort des Beobachters auf einen geeigneten Apparat aufprallen, die die Gesamtenergie des Objekts (E=m+kE) in ein schönes Strahlungspaket umwandelt, das er postwendend nach außen losschickt.
Der Witz ist nun: wenn das Strahlungspaket weit draußen ankommt, ist es
1) um einen bekannten Betrag sqrt(1-2M/r) rotverschoben (=geringere Energie)
2) hat dann aber die selbe Energie wie das Objet, als es anfing zu fallen - also m. Sonst könnte man durch so eine Vorrichtung ja Energie erzeugen oder vernichten.
Damit haben wir
E*(1-2M/r)=m bzw.
E=m/sqrt(1-2M/r)

Auf die Geschwindigkeit kommen wir über den Impuls p:
p² = E²-m² (http://de.wikipedia.org/wiki/Energie-Impuls-Beziehung),
also
p² = m²*(1/(1-2M/r)-1)
p² = m²*(2M/r)/(1-2M/r)

Gleichzeitig wissen wir p=m*gamma (http://de.wikipedia.org/wiki/Lorentzfaktor)*v, also
p² = m²*v²/(1-v²)

Durch Auflösen (oder intensives Anschauen) der Gleichungen erhält man das Ergebnis
v² = 2M/r,
v = sqrt(2M/r).

Die Vierergeschwindigkeit u (dt/dta, dr/dtau...) erhält man mit einer ähnlichen Abkürzung (\xi_a u^a=-1 mit Killingvektor xi_a =(1,0,0,0)). Das Ergebnis ist zufällig auch dr/dtau = sqrt(2M/r).

Aragorn
08.11.2010, 14:22
Nur so als kleine Anmerkung (ohne Anspruch auf Richtigkeit):
2M ist der Schwarzschildradius im natürlichen Maßsystem. Dazu wird G=c=1 gesetzt.

M = (G/c^2) * M_si

M_si = Masse im SI-System (kg)

v im SI-System ist dann:

v/c = sqrt(2*G*M_si/(c^2*r))

v = sqrt(2*G*M_si/r)

Und das liefert auch der Newton.

Gruß Helmut

Bernhard
08.11.2010, 14:27
Das Ergebnis ist zufällig auch dr/dtau = sqrt(2M/r).
Hallo Ich,

das ist eine originelle Herleitung, allerdings sehe ich noch eine Widerspruch zu meinem Ergebnis. Wenn Dein tau die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters bei r ist, so gilt (gemäß SSM) dtau = sqrt(1-(r_S/r)) * dt. Der Vergleich der zwei Formeln ergibt aber dagegen dtau = (1-(r_S/r)) * dt. Demnach ist Dein tau doch eine andere Zeit oder in einer der zwei Herleitungen befindet sich noch ein Fehler.
Gruß

Aragorn
08.11.2010, 14:35
Wenn Dein tau die Eigenzeit eines ruhenden Beobachters bei r ist, ...
Ich dachte tau ist die Eigenzeit des freifallenden Beobachters?

Bernhard
08.11.2010, 15:08
Ich dachte tau ist die Eigenzeit des freifallenden Beobachters?


Erstmal defniere ich "Geschwindigkeit" als das, was ein ruhender Beobachter am Ort "r" misst, wenn das Objekt an ihm vorbeifällt.
insofern bitte ich 'Ich' um Klärung...

Ich
08.11.2010, 17:02
Wie Aragorn sagt, der letzte Absatz handelt von der Vierergeschwindigkeit der einfallenden Masse, dtau ist also deren Eigenzeit.

Bernhard
08.11.2010, 18:15
Wie Aragorn sagt, der letzte Absatz handelt von der Vierergeschwindigkeit der einfallenden Masse, dtau ist also deren Eigenzeit.
dann passt es. Ich habe eben auch noch dr/dtau über die Geodätengleichungen ausgerechnet und bekomme damit in SI-Einheiten:

dr/dtau = c * sqrt[ ( r_S / r_0 ) * ( ( r_0 - r ) / r )]

Setzt man den Startpunkt r_0 = unendlich ergibt das:

dr/dtau = c * sqrt( r_S / r )

, also genau Ichs Ergebnis. Zusammen mit der oben in Fettdruck angegebenen Formel ergeben sich für r_0 = 3 * r_S auch die Formeln aus Aufgabe 25.3 aus T. Fließbach, "Allgemeine Relativitätstheorie". Dort wird noch das Integral über dr/dtau ausgerechnet. Damit kann man dann zeigen, dass ein hypothetischer Raumfahrer von einem endlichen r_0 aus in endlicher Eigenzeit die Singularität erreicht, usw. usf.
Gruß

Bernhard
08.11.2010, 19:00
Die Vierergeschwindigkeit u (dt/dta, dr/dtau...) erhält man mit einer ähnlichen Abkürzung (\xi_a u^a=-1 mit Killingvektor xi_a =(1,0,0,0)). Das Ergebnis ist zufällig auch dr/dtau = sqrt(2M/r).
Hallo Ich,

könntest Du das eventuell noch etwas genauer erklären ( :Lechz: )?


\xi_a u^a=-1 mit Killingvektor xi_a =(1,0,0,0)).
Warum und woher kommt das?

Ausgeschrieben: -1 = \xi_0 * dt/dtau => dt/dtau = -1 ??
Gruß

Ich
08.11.2010, 22:14
\xi_a u^a=-1 mit Killingvektor xi_a =(1,0,0,0)).
Warum und woher kommt das?
Hier (http://www.math.ucsd.edu/~lindblad/237.Rel/l14.pdf)ist ein bisschen was dazu, gleich die erste Seite.
Ich hab übrigens einen Fehler gemacht, das sollte heißen xi^a=(1,0,0,0), nicht x_a.
Dementsprechend auch nicht

-1 = \xi_0 * dt/dtau,
sondern -1 = xi_a * u^a = g_{ab} xi^b*u^a.
Wie's ausgeschrieben heißt bin ich jetzt zu faul nachzurechnen. Zusammen mit u_a*u^a = -1 hast du auf jeden Fall ausreichend Gleichungen zum Lösen.

Ein Killing-Vektorfeld definiert Symmetrien der Koordinaten. Bei Schwarzschild ist z.B. der Vektor 1,0,0,0 ein Killingvektor, weil du ihn (oder ein beliebiges Vielfaches) an jedem Ort dazuzählen kannst, ohne etwas an der Physik zu ändern. Das wäre nur eine Verschiebung des Zeitnullpunkts.
Zu jeder solchen Symmetrie gibt es dann einen Erhaltungssatz. Im Falle von Zeittranslation ist das die Energie, die bei Bewegung entlang einer Geodäten erhalten bleibt. Aus dieser Erhaltung kriegst du ohne Integration direkt die Vierergeschwindigkeit an jedem Ort (bei radialer geodätischer Bewegung).
0,0,0,1 ist auch ein Killingvektor, zu dem gehört Drehimpulserhaltung.

Bernhard
08.11.2010, 23:40
sondern -1 = xi_a * u^a = g_{ab} xi^b*u^a.
Wie's ausgeschrieben heißt bin ich jetzt zu faul nachzurechnen. Zusammen mit u_a*u^a = -1 hast du auf jeden Fall ausreichend Gleichungen zum Lösen.
Vielen Dank Ich. So kann ich was damit anfangen.
MfG

Bernhard
09.11.2010, 08:59
sondern -1 = xi_a * u^a = g_{ab} xi^b*u^a.
Wie's ausgeschrieben heißt bin ich jetzt zu faul nachzurechnen. Zusammen mit u_a*u^a = -1 hast du auf jeden Fall ausreichend Gleichungen zum Lösen.
Hallo Ich,

diese zwei Gleichungen sind (glaube ich) identisch mit den Geodätengleichungen. Man braucht aber für den radialen Fall auch mehr, als nur den zeitartigen Killing-Vektor. Der liefert, eingesetzt in die von Dir angegebene Gleichung, nur die Gleichung für die 0-te Komponente der Geodätengleichungen.

Der zeitartige Killingvektor ist auch deswegen interessant, weil es den für zeitunabhängige Metriken eigentlich immer geben sollte(?)
MfG

Ich
09.11.2010, 11:12
Man braucht aber für den radialen Fall auch mehr, als nur den zeitartigen Killing-Vektor. Der liefert, eingesetzt in die von Dir angegebene Gleichung, nur die Gleichung für die 0-te Komponente der Geodätengleichungen.
Na, und damit ist u voll bestimmt, weil eben u_a*u^a=-1 und u_2,u_3=0.
u^0=1/(1-2M/r) aus xi mal u und
-(1-2M/r)*(u^0)^2+1/(1-2M/r)*(u^1)^2=-1 aus u*u=-1
->
u^1 = dr/dtau = sqrt(2M/r)

Der zeitartige Killingvektor ist auch deswegen interessant, weil es den für zeitunabhängige Metriken eigentlich immer geben sollte(?)
Ja, eine statische Metrik hat immer ein Killingfeld, das gleichzeitig einen "Raum" definiert - eine Oberfläche, auf der alle Vektoren senkrecht stehen.
Zeitartige Killingvektoren gibt es auch für stationäre Metriken, z.B. rotierende. Dann gibt's aber keien solche Oberfläche.
Auch wenn's keine zeitartigen gibt, dann hat man manchmal raumartige, z.B. in der Kosmologie (R-W-Metrik). Die stehen für Impulserhaltung. In der Kosmologie heißt das, dass a*p konstant ist.