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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Division von Null mit Null



Infinity
13.08.2010, 14:39
Dass man eine Gleichung wie 1/0 nicht bestimmen kann, ist wohl glaube ich allen bewusst. Das lässt sich durch eine Veranschaulichung mit einer Funktion erkennen.

So, wie die Multiplikation einzelne Additionsvorgänge zusammenfasst, also ein Faktor die Häufigkeit der Addition eines anderen Faktors wiedergibt (4*5 ⇔ 5+5+5+5 oder 5*4 ⇔ 4+4+4+4+4), gibt der Quotient die Häufigkeit der Subtraktion eines Dividenden mit einem anderen Dividenden, die nötig ist, um null zu erhalten, wieder (20/5=4 ⇔ 20-5-5-5-5=0 oder 20/4=5 ⇔ 20-4-4-4-4-4=0).

Man kann also sagen, dass bei der Multiplikation von 0 aus gestartet wird und jene einzelne Additionsvorgänge angefügt werden - und bei der Division auf 0 gezielt wird.

Die Gültigkeit einer Gleichung der Form a/b=y lässt sich mit der Funktionsgleichung y=a-bx darstellen. Zum Beispiel ist bei 20/5=4 die Funktionsgleichung y=20-5x. Da das Ergebnis bei der kettenförmigen (wie oben dargestellten) Subtraktion gleich null ist, muss y mit eben jener Null gleichgesetzt werden. Nach x aufgelöst erhält man das Ergebnis von 20/5: 0=20-5x ⇒ x=4.

Die Aufgabe beziehungsweise die dafür entsprechende Funktion ist natürlich grafisch anzusehen. (Guckst Du) (http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER4c6533bb005321.12725110)


Wie sieht es denn mit 20/0 aus? Nun wird die 20 mit 0 dividiert. Beziehen wir die vorangegangene Vorgehensweise auf diese Rechnung, hieße die hierfür entsprechende Funktionsgleichung: y=20-0x.
Das Problem wird deutlich: x fällt auf die Nase. Der Graph ist also eine Gerade parallel zur x-Achse, die durch den Funktionswert 20 läuft. Er hat aber keine Nullstelle, die nötig ist, um ein Ergebnis für 20/0 zu bestimmen. Das Ergebnis ist demzufolge undefiniert. (Guckst Du weita) (http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER4c65368cb48391.98346753)


Mit 0/0 sieht es doch schon anders aus. Die Funktionsgleichung lautet: y=0-0x. y ist aber 0, erfüllt also die notwendige Bedingung, dass das Ergebnis bei der Kettensubtraktion gefälligst eine Null zu sein hat! Der Graph ist eine Gerade auf der x-Achse. (...) (http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=FSER4c6538362ceb83.64836345)


Der Unterschied zwischen 20/5 und 0/0 ist nun, dass erstere Rechnung ein eindeutiges Ergebnis annimmt, zweitere aber unendlich viele.


Meine Fragen an euch, liebe Community, sind jetzt:


Ist es so nicht möglich, eine Rechnung wie 20/5 so darzustellen: 20/5=x, x∈4; und eine wie 0/0 wie folgt: 0/0=x, x∈{}; im Sinne einer leeren Menge, die unendlich viele Werte enthält? Das Ergebnis von 0/0 ist also nicht unbedingt undefiniert, sondern hat ein Ergebnis, nämlich unendlich viele. Eine Formulierung wie "Das Ergebnis von x mit 0 dividiert ist undefiniert" wäre nicht ganz korrekt.
Habe ich irgendetwas übersehen oder missverstanden? Ich hoffe doch.;)

Em Ef Ge
Infinity

frosch411
13.08.2010, 16:12
Ich würde sagen, es ist ein wenig kurz gedacht, nur mit ganzen Zahlen zu rechnen. Multipliziert oder dividiert man mit rationalen oder reelen Zahlen, dann lässt sich die Multiplikation nicht mehr so einfach durch mehrfaches Addieren darstellen.

Das Problem mit der Division durch Null ist aber folgendes. Um zu ermitteln, was denn bei 20/0 herauskommt, können wir uns der Null annähern:

20/5 = 4
20/2 = 10
20/1 = 20
20/0,5 = 40
20/0,01 = 2000

nähert man sich immer weiter der Null an, strebt das Ergebnis gegen Unendlich. Also könnte man annehmen, 20/0 = Unendlich.

Aber wie sieht es von der anderen Seite aus:

20/-5 = -4
20/2 = -10
20/1 = -20
20/0,5 = -40
20/0,01 = -2000

nähert man sich also von der anderen Seite, so landet man bei minus unendlich. Es gibt also für 20/0 zwei Ergebnisse, unendlich und minus unendlich, die beides keine definierten Zahlen sind.

Infinity
13.08.2010, 16:39
Danke für Deinen Beitrag!


nähert man sich also von der anderen Seite, so landet man bei minus unendlich. Es gibt also für 20/0 zwei Ergebnisse, unendlich und minus unendlich, die beides keine definierten Zahlen sind.
Unendlich große Zahlen oder Werte sind aber rechentechnisch bestimmbare Werte, auch, wenn sie an übersichtliche Eindeutigkeit verlieren. Da unterscheide ich zwischen Null und einer unendlich kleinen Zahl, wie ±0,000...1. Tabellarisch ergäbe sich im positiven Bereich:

20/5=4
20/1=20
20/0,0001=200000
20/0,000...1=200000...

Je mehr Nullen man zwischen einer Null und der Eins im Nachkommastellenbereich des Nenners in der vierten Zeile einfügt, umso mehr Nullen sind am Ergebnis anzuhängen. Für den negativen Bereich ergäbe sich entsprechend, wie Du andeutetest, eine Vorzeichenveränderung der Ergebnisse.

Das Ergebnis strebt gegen Unendlich, wenn der Nenner gegen Null strebt. Null ist hier ein Wert, der nie erreicht werden, sondern man sich nur beliebig nähern kann.

Und weil plus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner plus unendlich klein ist und minus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner minus unendlich klein ist, ist die Eindeutigkeit beibehalten - eine Rechnung führt zu einem (uneindeutigen, da unendlichen) Ergebnis.



Der Nenner gibt also schlicht die Steigung der Geraden wieder. Sind beide Dividenden positiv oder negativ, ist es eine fallende. Ist nur ein Dividend positiv und einer negativ, ist es eine steigende. Wenn nun der Nenner unendlich klein ist (also gegen Null strebt), ist die Steigung unendlich klein. Die Gerade würde die x-Achse also erst bei einem unendlich hohen x-Wert schneiden, unabhängig davon, wo sie die y-Achse schneidet.

Ernsthaft aber frage ich mich jetzt zusätzlich, ob man eine Gerade mit unendlich geringer Steigung (egal, ob positiv oder negativ), als steigende Gerade bezeichnen kann. Etwas zu viel für meinen Kopf.:)

ralfkannenberg
13.08.2010, 17:05
Hallo infinity,

wie Du sehr richtig schreibst ist die Division durch 0 nicht definiert. Das hat übrigens zunächst einmal nichts mit "unendlich" zu tun - in einem endlichen Körper (z.B. Restklasse modulo n) gibt es kein "unendlich" und dennoch gibt es kein Ergebnis.

Das kommt wie Du richtig bemerkt hast daher, dass eine Division durch 0 zu einer Lösung der Gleichung x*0=k führen müsste und x aus dieser Gleichung eben verschwindet.

In solchen Situationen kann man Grenzwertbetrachtungen durchführen und dann untersuchen, ob die Funktion geeignet fortsetzbar ist - beispielsweise stetig fortsetzbar.

Das klappt beispielsweise, wenn man die Funktion f(x) = 2x/x untersuchen möchte; diese ist für x=0 nicht definiert, dennoch könnte man naiv argumentieren, dass man ja einfach das x weggkürzen könne. Ganz so einfach geht das natürlich nicht, weil man nur x ungleich 0 wegkürzen darf, dennoch hat ein solcher naiver Ansatz natürlich seine Berechtigung.

Wenn man nun also f(x) = 2x/x an der Stelle x=0 zu 2 definiert und den von rechts kommenden Grenzwert und den von links kommenden Grenzwert untersucht und alle drei Grössen denselben Wert haben, dann kann man diese Funktion tatsächlich wie vorgeschlagen nach x=0 stetig fortsetzen. Man kann dieses Prozedere übrigens auf "bis zur n.-ten Ableitung stetig fortsetzbar" verallgemeinern.

Allgemeiner gilt:

Ersetze Deine beiden Nullen durch beliebige Folgen, also den Zähler durch lim {a->0} a und den Nenner durch lim {b->0} b.

Wenn für alle Möglichkeiten derselbe Grenzwert herauskommt, dann darfst kannst Du das so definieren (grundsätzlich auch, wenn es nur endlich viele Ausnahmewerte gibt; diese muss man dann halt konkret benennen).

Die Folge (lim {a->0}) a / (lim {b->} b) indes konvergiert für a=b gegen 1, für a=2b gegen 2 und allgemein für a=k*b mit einem beliebigen k gegen k.

Hier macht es also keinen Sinn, etwas in diese Gleichung zu definieren.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
13.08.2010, 17:10
Der Nenner gibt also schlicht die Steigung der Geraden wieder.
Hallo infinity,

Du meinst vermutlich das richtige, aber so ist die "Steigung" nicht definiert.

Eine Gerade kannst Du schreiben als f(x) = ax+b; dann ist a die Steigung. Diese fällt übrigens - das ist natürlich kein Zufall - gerade mit der ersten Ableitung zusammen.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
13.08.2010, 17:15
Und weil plus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner plus unendlich klein ist und minus unendlich groß nur dann herauskommt, wenn der Nenner minus unendlich klein ist, ist die Eindeutigkeit beibehalten - eine Rechnung führt zu einem (uneindeutigen, da unendlichen) Ergebnis.

Hallo infinity,

und noch ein dritter Beitrag als Wort fürs Wochenende:

Vermeide das Wort "unendlich" - es ist in der Mathematik nicht definiert. Wenn Du also irgendwie etwas "Unendliches" beschreiben möchtest, so wirst Du mit "epsilons>0" und mit dem logischen Operator "für alle gilt" argumentieren müssen.

Das ist zwar etwas umständlicher, dafür aber auch formal korrekt.


Freundliche Grüsse, Ralf

jonas
13.08.2010, 18:45
Eine schöne Anwendung der Division von Null geteilt durch Null ist der von mir heiß geliebte Beweis, daß 2=1 ist :D:

a²-a²=a²-a² Dies ist ein korrektes statement und mathematisch zulässig.

Nun wird auf der linken Seite a ausgeklammert und die rechte Seite nach den binomischen Regeln umgeformt:
a*(a-a)=(a+a)*(a-a)

Nun kann man beide Seiten durch (a-a) dividieren und erhält:
a=a+a Mit diesem Schritt hat man also 0 durch 0 dividiert

Im letzten Schritt werden beide Seiten nur noch durch a dividiert und erhält so:
1=1+1 oder 1=2

q.e.d. :D

Die Division von Null durch Null führt also zu recht lustigen Ergebnissen :)

Volki1729
13.08.2010, 20:09
Hallo Infinity,

Also wenn man eine Zahl a hat dann nennt man eine Zahl b die Inverse von a, wenn a*b=b*a=1 gilt. Z.B. haben alle rationalen Zahlen (das sind die Bruchzahlen) eine Inverse, außer der 0. Besitzt nun a eine solche Inverse schreibt man für diese 1/a.

Nun was ist 5/4? Na das ist genau 5*(1/4) also 5 mal die Inverse von 4.

Was ist dann 0/0? Das ist 0*(1/0) also 0 mal etwas, das nicht existiert! Also ist 0/0 einfach ein Blödsinn.

Was passiert, wenn man trotzdem versucht 0/0 einen Wert zu geben demonstriert jonas recht schön (Danke jonas! :)). Man sollte daher die Finger von einem solchen Versuch lassen.

Natürlich kann man in der Analysis Grenzwerte von der Form "0/0" betrachten, das hat aber wenig mit 0/0 zu tun (siehe auch Kommentar von ralf).

@Ralf


Vermeide das Wort "unendlich" - es ist in der Mathematik nicht definiert.

Also das stimmt nicht! In der Mathematik ist sehr wohl unendlich definiert, denke nur an die Riemannsche Zahlenkugel (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Zahlenkugel) oder Kardinalzahlen-Arithmetik (http://de.wikipedia.org/wiki/Kardinalzahl_%28Mathematik%29). Man sollte da auch nicht die Nichtstandardanalysis (http://de.wikipedia.org/wiki/Nichtstandardanalysis) vergessen, die auch tatsächlich Anwendungen hat.

Leider ist das Unendlich für Mathematiklaien eine ziemlich gefährliche Sache und man muss auch ziemlich aufpassen, dass man keine falschen Vorstellungen hat.

lg
Volker

Infinity
13.08.2010, 23:09
Die Folge (lim {a->0}) a / (lim {b->} b) indes konvergiert für a=b gegen 1, für a=2b gegen 2 und allgemein für a=k*b mit einem beliebigen k gegen k.
Gegen 1 oder gleich 1? Das wäre etwas, was mich jenseits dieses Themas greifend interessiert. Denn ich bezweifle, dass unendlich kleine Werte ε>0 (danke für den Hinweis mit Epsilon) mit ebenso unendlich kleinen Werten ε>0 dividiert gleich 1 ergeben muss, genauso aber auch, dass diese Rechenoperation ungleich 1 sein muss.

Ein freundliches Danke an alle für die Erklärung!

Volki1729
14.08.2010, 10:31
Gegen 1 oder gleich 1?

Ok, ich glaube ich weiß wo dein Problem liegt! Die folgende Aussage zeigt, dass du den Grenzwertbegriff mehr oder weniger falsch verstehst:


Denn ich bezweifle, dass unendlich kleine Werte ε>0 (danke für den Hinweis mit Epsilon) mit ebenso unendlich kleinen Werten ε>0 dividiert gleich 1 ergeben muss,

Ok ich will dir erklären was lim f(x)=b für x->a bedeutet:

Also für jedes epsilon>0 gibt es ein delta und eine gelochte Umgebung Ug_delta(a) (U_delta(a) sind alle x die höchstens Abstand delta von a haben aber ungleich a sind) sodass für alle x aus U_delta(a) das f(x) in der (nicht gelochten) Umgebung U_epsilon(b) liegen (U_epsilon(b) sind alle x die höchstens Abstand epsilon von b haben - auch b ist dabei).

Die Definition in Wikipedia ist etwas allgemeiner gehalten und ist deswegen nicht ganz so klar. Man sollte sich aber zum bessern Verständnis das Bild (http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29) rechts neben der Definition (ziemlich weit oben) ansehen!

So ein "0/0" Beispiel: Was ist lim (x^2-1)/(x-1) für x->1? (für alle die das gleich sehen man könnte hier (x-1) kürzen, aber zum Verständnis 0/0 möchte ich doch den langen Weg gehen).

So ich nehme mir ein delta und betrachte wohin mich U_delta(1) bringt wenn ich meine Funktion anwende:

Dazu schreibe ich x=1+r und denke mir |r|<delta aber eben r != 0 ! und erhalte

(x^2-1)/(x-1)=(r^2+2r+1-1)/(r+1-1)=(r^2+2r)/r=(2+r).

(Für alle die sich wundern, ich wende hier sehr versteckt die Regel von L'Hospital an)

Also ich wähle jetzt zu meinem epsilon ein delta und zwar delta=epsilon. Mit dieser Wahl habe ich jetzt für jedes x aus Ug_delta(1) ein f(x) aus U_epsilon(2), das heißt der Grenzwert ist 2.

Wichtig an der Rechnung ist, ich rechne hier nie mit unendlich kleinen r, sondern nur mit sehr kleinen r und für die sehr kleinen r liegt das Ergebnis halt sehr nahe an 2. Also sagt die Definition vom Grenzwert, dass 2 der Grenzwert ist.

Ich hoffe, dass trotz der langen Erklärung die Vorstellung vom Rechnen mit unendlich kleinen Dingern beseitigt wurde. Ich betrachte ja nur, was passiert, wenn ich immer kleiner werde (aber nicht unendlich klein). Kann ich einen Zahl dadurch immer besser eingrenzen? Wenn ja, dann gibt es einen Grenzwert! Wenn nein, dann gibt es keinen Grenzwert!

lg
Volki

ralfkannenberg
14.08.2010, 12:55
in einem endlichen Körper (z.B. Restklasse modulo n) gibt es kein "unendlich"

Hallo zusammen,

was ich da geschrieben habe ist zwar richtig, könnte aber Anlass zu Missverständnissen geben: Selbstverständlich gibt es auch in nicht-endlichen Körpern kein Element "unendlich".


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
14.08.2010, 13:12
Also das stimmt nicht! In der Mathematik ist sehr wohl unendlich definiert, denke nur an die Riemannsche Zahlenkugel (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Zahlenkugel) oder Kardinalzahlen-Arithmetik (http://de.wikipedia.org/wiki/Kardinalzahl_%28Mathematik%29). Man sollte da auch nicht die Nichtstandardanalysis (http://de.wikipedia.org/wiki/Nichtstandardanalysis) vergessen, die auch tatsächlich Anwendungen hat.

Leider ist das Unendlich für Mathematiklaien eine ziemlich gefährliche Sache und man muss auch ziemlich aufpassen, dass man keine falschen Vorstellungen hat.

Hallo Volki,

hier muss ich jetzt widersprechen:

1.) Die Riemann'sche Zahlenkugel hat einen "Nordpol". Dieser ist dort zunächst einmal ein Punkt wie jeder andere auch.

Wenn man nun die Zahlenebene mitholfe einer geeigneten Funktion - der "stereographischen Projektion" - auf diese Kugel abbildet, so wird mit Ausnahme des Nordpols jeder Punkt eineindeutig zugeordnet, während es keinen Punkt gibt, der auf den Nordpol abgebildet wird.

Das ist übrigens auch nicht weiter überraschend, da die Zahlenebene und die Kugel ohne Nordpol beides "offene Mengen" sind, während die Kugel eine abgeschlossene Menge ist.
Wenn man also eine offene Menge auf eine abgeschlossene Menge so schön wie beispielsweise mit der stereographischen Abbildung abbilden möchte, so muss man noch irgendwoher einen "Randpunkt" der offenen Menge bekommen. Der einfachste Ansatz dazu ist eine "Einpunkt-Kompaktifizierung", d.h. man nimmt den sogenannten "unendlich fernen Punkt" hinzu und der landet dann tatsächlich per Grenzwertbetrachtung auf dem Nordpol. Man beachte aber, dass bei dieser Einpunkt-Kompaktifizierung beispielsweise "unendlich" und "minus unendlich" und "i-unendlich" und "(-i)-unendlich" alles dasselbe ist. Wenn man eine solche Einpunkt-Kompaktifizierung macht, sollte man sich also dafür hüten, auch noch eine Exponentialfunktion zu verwenden, denn e^(-oo) und e^(oo) liefert nicht dasselbe Ergebnis !

Man kann viele geometrische Phänomene elegant mit so einer Einpunkt-Kompaktifizierung beschreiben, man muss sich aber bewusst sein, dass die Zahlenebene und die Riemann'sche Zahlenkugel verschiedene Mengen sind und die durch eine Abbildung und durch eine Grenzwertbildung verbunden sind.


2. Kardinalzahlen: meines Wissens werden aber Mächtigkeiten von Mengen über Bijektionen und über den Begriff "für alle" gebildet und benötigen ebenfalls nicht die Terminologie "unendlich".


3. Nonstandard-Analysis: Lang ist es her, aber ich meine mich zu erinnern, dass wir da zwei Postulate hatten, in denen das Wort "unendlich" nicht vorkam. Die Idee war die, dass alle Zahlen, die nur "unendlich-klein" voneinander entfernt sind, in dieselbe Äquivalenzklasse fallen, die von einer klassischen Zahl beschrieben werden kann. Diese "unendlich-kleinen" Zahlen vereinfachen einfach wesentlich die epsilon-Schreibweise, aber Vorsicht: Diese Vereinfachung hat insofern einen "Preis", dass man sich bei der Anwendung rasch mal irrt, während jemand, der sich ein bisschen in der Epsilontik auskennt, in der Regel - vielleicht weniger elegant, aber dafür korrekt ans Ziel kommt.


Freundliche Grüsse, Ralf

Infinity
14.08.2010, 13:41
3. Nonstandard-Analysis: Lang ist es her, aber ich meine mich zu erinnern, dass wir da zwei Postulate hatten, in denen das Wort "unendlich" nicht vorkam. Die Idee war die, dass alle Zahlen, die nur "unendlich-klein" voneinander entfernt sind, in dieselbe Äquivalenzklasse fallen, die von einer klassischen Zahl beschrieben werden kann.
Etwa so: 0,999... = 1? Dezimalzahlen mit unbegrenzten Nachkommastellen haben ja desweiteren einen allgemein auffassenden Bruch:
0,333... wird als 1/3 und nicht als 333333.../1000000... formuliert.



Der Grenzwert der Funktion f für x gegen p ist gleich L dann und nur dann, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle x mit 0<|x-p| < δ auch |f(x)-L| < ε gilt.
Gibt es denn Funktionen außer f(x)=a(x^n)+b, a∈0 beziehungsweise a→∞, bei denen ein ε>0 und/oder ein δ>0 nicht gilt?

Zur Regel von L'Hospital (http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%27Hospital) und zum unbestimmten Ausdruck (http://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_%28Mathematik%29) habe ich noch nützliche Informationen gefunden. So einiges davon kenne ich noch garnicht, daher nehme ich mir das und den Beitrag von Volki1729 vor.

ralfkannenberg
14.08.2010, 15:25
Etwa so: 0,999... = 1? Dezimalzahlen mit unbegrenzten Nachkommastellen haben ja desweiteren einen allgemein auffassenden Bruch:
0,333... wird als 1/3 und nicht als 333333.../1000000... formuliert.
Hallo infinity,

das hat nichts mit Nonstandard-Analysis zu tun, das sind nur die beiden Repräsentationen eines Dezimalbruches. Das ist ein klassisches Resultat und sowas hat man beispielsweise auch im Binärsystem.



Gibt es denn Funktionen außer f(x)=a(x^n)+b, a∈0 beziehungsweise a→∞, bei denen ein ε>0 und/oder ein δ>0 nicht gilt?
Ich verstehe Deine Frage nicht. Ausserdem muss man mit Grenzwerten im Exponenten aufpassen, die kann man nicht einfach so wie bei den voer Grundrechenarten "hinaufziehen" ! Wähle also als Beispiele bitte zunächst solche, in denen nur die 4 Grundrechenarten vorkommen - daran kann man die Thematik auch erörtern und erspart sich eine Menge unnötigen Ärger.


Freundliche Grüsse, Ralf

Infinity
14.08.2010, 16:11
Ich verstehe Deine Frage nicht. Ausserdem muss man mit Grenzwerten im Exponenten aufpassen, die kann man nicht einfach so wie bei den voer Grundrechenarten "hinaufziehen" ! Wähle also als Beispiele bitte zunächst solche, in denen nur die 4 Grundrechenarten vorkommen - daran kann man die Thematik auch erörtern und erspart sich eine Menge unnötigen Ärger.

Okay. Ich beziehe mich auf das Bild im Link, den Volki1729 in seinem letzten Beitrag einfügte. Also, nehmen wir eine Gerade f(x)=ax+b. Wenn a den Wert 0 annimmt, verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das müsste in meinem Verständnis heißen, dass eine Stelle, für die δ>0 gilt, zwar noch wählbar ist, es aber keinen Wert ober- und unterhalb von ε mehr gibt, sondern nur ε=0.
Entsprechend andersherum wäre es, wenn a eine uneindeutlich hohe Steigung wiedergibt (a→∞). Der Graph verläuft parallel zur f(x)-Achse. In diesem Fall kann für δ nur ein Wert gewählt werden, nämlich 0. Und für ε können sich mehrere Resultate ergeben - entweder gleich 0, ober- oder unterhalb von ε.

Aber ich zweifle selber ein wenig an der Richtigkeit, allen voran an einer exakten Parallelität bei a→∞.

Volki1729
14.08.2010, 18:28
Das stimmt nicht ganz


Wenn man eine solche Einpunkt-Kompaktifizierung macht, sollte man sich also dafür hüten, auch noch eine Exponentialfunktion zu verwenden, denn e^(-oo) und e^(oo) liefert nicht dasselbe Ergebnis !


Naja e^x hat in oo eine wesentliche Singularität! Das selbe Problem bekommst du ja auch, wenn du die Funktion e^(-1/x^2) betrachtest die reell brav ist (unendlich oft differenzierbar) aber komplex ebenfalls eine wesentliche Singularität hat. Schau einmal was passiert, wenn man sich entlang der imaginären Achse nähert.

Das Problem das man mit e^x hat, ist das e^x keine meromorphe Funktion auf der Riemannschenzahlenkugel ist und man daher e^x nicht vernünftig fortsetzen kann im Punkt oo.

Übrigens die Riemannschezahlenkugel sollte man als den projektiven Abschluß vom affinen Raum A^1(C)=C sehen, sodass die Topologie von C die Topologie auf der Riemannschenzahlkugel induziert und topologisch abschließt. Dann hat man auch keine Probleme mit den Richtungen wie du das beschreibst. Sich die Riemannschezahlenkugel als Kugel vorzustellen ist eben wegen den möglichen verschiedenen Richtungen nicht gerade günstig. C ist halt doch 1-dimensional und nicht 2-dimensional, obwohl das oft so erscheint (Gaußsche-Ebene)!


2. Kardinalzahlen: meines Wissens werden aber Mächtigkeiten von Mengen über Bijektionen und über den Begriff "für alle" gebildet und benötigen ebenfalls nicht die Terminologie "unendlich".

5. Axiom von ZF: Es gibt unendliche Mengen. (in Wikipedia wird das zwar induktive Mengen genannt, aber z.B. im Standardwerk zur Mengenlehere - Set theory von Jech - wird das aber wirklich so definiert und induktive Mengen sind unendliche Mengen).

Ok: Nichtstandardanalysis war ein schlechtes Beispiel.

Du kannst das Konzept oo oft umschreiben (als der Punkt der C kompaktifiziert, oder induktive Mengen) aber zu behaupten, dass es das Konzept oo in der Mathematik nicht gibt, ist einfach falsch, man muß nur sehr vorsichtig damit umgehen.

lg
Volki

Volki1729
14.08.2010, 18:47
Also, nehmen wir eine Gerade f(x)=ax+b. Wenn a den Wert 0 annimmt, verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Das müsste in meinem Verständnis heißen, dass eine Stelle, für die δ>0 gilt, zwar noch wählbar ist, es aber keinen Wert ober- und unterhalb von ε mehr gibt, sondern nur ε=0.

Das verstehe ich nicht ganz. Egal wie du dein δ wählst wird für kleine ε (d.h. ε<b) jedes f(x) mit x aus deiner δ-Umgebung nicht in die ε-Umgebung fallen. Meinst du das so?



Entsprechend andersherum wäre es, wenn a eine uneindeutlich hohe Steigung wiedergibt (a→∞).


Dreh das Bild einfach um 90° und du bist wieder im Fall von oben.

Wenn du das nicht so machen willst, musst du hier sehr aufpassen die Grenzwerte in der richtigen Reihenfolge zu bilden, musst du auch im ersten Fall wenn a->0 geht aber da sind die Fehler die man machen kann offensichtlicher!

Beispiel f(x)=ax+b: Berechne einmal lim_{a->oo} lim_{x->-b/a} f(x) und einmal lim_{x->-b/a} lim_{a->oo} f(x). Im ersten Fall sollte 0 herauskommen im zweiten Fall oo.



Aber ich zweifle selber ein wenig an der Richtigkeit, allen voran an einer exakten Parallelität bei a→∞.

Naja, für f_a(x)=ax+b ist die Grenzfunktion lim f_a(x) für a-> oo keine Funktion mehr! Wenn ich richtig liege mit dem, was du willst empfehle ich das Blatt um 90° zu drehen.

lg
Volki

PS: Nichtstandardanalysis ist etwas sehr unanschauliches und nicht ganz einfach. War auch ein schlechtes Beispiel von mir.

Infinity
14.08.2010, 20:46
Das verstehe ich nicht ganz. Egal wie du dein δ wählst wird für kleine ε (d.h. ε<b) jedes f(x) mit x aus deiner δ-Umgebung nicht in die ε-Umgebung fallen. Meinst du das so?
Bei einer Gerade f(x)=-x+6 (http://img717.imageshack.us/i/plot1r.png/) gibt es für jedes δ>0 ein ε>0. Ist bei einer Gerade der Form f(x)=ax+b die Steigung gleich 0, verläuft der Graph parallel zur x-Achse, wie es bei f(x)=6 (http://img12.imageshack.us/i/plot2.png/) der Fall ist, denn dort führt, wie am Bild dargestellt, nicht nur p, sondern auch δ>0 zu L und nicht etwa zu ε>0 oder ε<0. Verkehrtherum sieht es bei einer Gerade derselben Form, für die a→∞ gilt, wie zum Beispiel f(x)=a(x-6), lim a→∞ (f(x)=a(x-6)) (http://img834.imageshack.us/i/plot3.png/), aus. Hier nun kann p sowohl zu L als auch zu ε>0 und ε<0 führen.


Und, inspiriert von ralfkannenbergs Post...

Die Idee war die, dass alle Zahlen, die nur "unendlich-klein" voneinander entfernt sind, in dieselbe Äquivalenzklasse fallen, die von einer klassischen Zahl beschrieben werden kann.
...,aus der Unsicherheit heraus, ob, wenn der Vorschlag Gültigkeit hätte, ein Graph mit a→∞ exakt parallel zur f(x)-Achse verläuft, wie ich im dritten Beispiel - dritter Link - dargestellt habe, habe ich das Problem, dass nicht bestimmt werden kann, wo sich L, ε>0 und ε<0 auf der f(x)-Achse befinden. Nur zur Verdeutlichung, was ich mit dem ersten Absatz in diesem Beitrag meine, habe ich L, ε>0 und ε<0 an bestimmten Stellen der f(x)-Achse platziert. Würde die Idee keine Gültigkeit haben, müsste der Funktionsgraph minimal von ihrer senkrechten Stellung abweichen und das Blatt leider nicht um 90° drehbar sein.

ralfkannenberg
14.08.2010, 22:22
5. Axiom von ZF: Es gibt unendliche Mengen.
Hallo Volki,

das ist trivial, dass es solche Mengen gibt - allein aus den Peano-Axiomen ergibt sich eine solche (für die Mitleser: die Menge der natürlichen Zahlen).

Aber eine Zahl "unendlich" widerspruchsfrei zu definieren ist heikel und statt von unendlichen Mengen zu sprechen, wäre es "besser", von nicht-endlichen Mengen zu sprechen und zunächst einmal offen zu lassen, welche Kardinalität die haben. Statt dessen kann man ja deren "Grösse" über die Mächtigkeit betrachten, also statt konkret zu benennen, wie gross die sind, sich auf "gleichmächtig wie" zu beschränken.

Natürlich ist salopp "nicht-endlich" dasselbe wie "unendlich", aber wenn man sieht, was da alles für Irrtümer passieren können, würde ich hier exakter vorgehen und Anzahlen nur für endliche Mengen angeben und bei nicht-endlichen Mengen deren Kardinalität über Mächtigkeiten, also letztlich Bijektionen, regeln.

Mir ist durchaus bewusst, dass ich damit natürlich den Unendlichkeitsbegriff hinter den Peano-Axiomen für abzählbar-unendliche und hinter dem "für alle"-Begriff für überabzählbar-unendliche Mengen verstecke, aber ich denke, das macht es doch etwas transparenter.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
14.08.2010, 22:26
Übrigens die Riemannschezahlenkugel sollte man als den projektiven Abschluß vom affinen Raum A^1(C)=C sehen, sodass die Topologie von C die Topologie auf der Riemannschenzahlkugel induziert und topologisch abschließt. Dann hat man auch keine Probleme mit den Richtungen wie du das beschreibst. Sich die Riemannschezahlenkugel als Kugel vorzustellen ist eben wegen den möglichen verschiedenen Richtungen nicht gerade günstig. C ist halt doch 1-dimensional und nicht 2-dimensional, obwohl das oft so erscheint (Gaußsche-Ebene)!
Hallo Volki,

allein anhand dieser "Verrenkungen" sieht man doch sehr schön, dass man das formal weit besser fassen kann als einfach rasch mal eine Zahl "unendlich" zu definieren und auf den Nordpol der Riemannschen Zahlenkugel zu setzen.

Wenn man dann die Überlegungen wie Du Sie gemacht hast tätigst, dann kommt es ja auch richtig heraus und alles ist gut :)


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
14.08.2010, 22:28
Hallo infinity,

ich bin jetzt leider den Rest des Wochenendes offline, d.h. ich kann mir Deine Beiträge und Fragen erst am Montag anschauen.


Freundliche Grüsse, Ralf

Volki1729
15.08.2010, 11:10
Hallo Ralf,

Ich habe nie behauptet, dass man oo so einfach definieren kann, aber ich finde die RZK ist ein sehr schönes Beispiel wo oo sehr schön definiert wird, als was würdest du sonst den Nordpol bezeichnen?

Aber ich glaube unsere Auffassung, von dem was oo ist, sind verschieden. Macht auch nichts solange wir die mathematisch korrekten Definitionen von solchen "Grenzwertdingern" (nennen wir es halt mal so, ich nenne es oo ;)) verwenden. Ich hoffe du stimmst mir hier zu.

Übrigens das mit den Peano-Axiomen und dem oo stimmt so nicht ganz. Du kannst zum Beispiel in Wikipedia den folgenden Satz nachlesen - Artikel zu Zermelo-Mengenlehre (http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Mengenlehre):


Das Axiom des Unendlichen fordert eine induktive Menge (abgeschlossen bezüglich der Zählung a' = {a}). Im Anschluss daran gab Zermelo die erste präzise explizite Definition der natürlichen Zahlen als kleinste Menge Z, die das Axiom des Unendlichen erfüllt. Mit dieser Definition sind alle Peano-Axiome beweisbar und das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

lg
Volki

Volki1729
15.08.2010, 11:39
Hallo Infinity,

Vergiss einmal das ganze Gerede von Ralf und mir, ich glaube das hat dich nur verwirrt. Es war auch meine Schuld, dass das etwas ausuferte :mad:.

So wenn du jetzt eine Funktion betrachtest f_a(x)=a(x-6) dann ist das eine schräge Linie mit der Steigung a und du kannst jedem Punkt x einen Wert y=f(X) in R zuordnen (R ist die Menge der reellen Zahlen). Was passiert aber wenn du jetzt a->oo gehen lässt? Nehmen wir z.B. den Punkt x0=2 dann bekommst du

lim a->oo (a (2-6))=lim a->oo (-4a)

aber der Grenzwert existiert nicht. Das selbe Ergebnis bekommst du für jede andere Zahl auch, außer bei der Wahl x0=6. Hier bekommst du

lim a->oo (a (6-6))=lim a->oo (0)=0.

Also ist f(x)=lim a->oo (a (x-6)) keine Funktion mehr auf ganz R da die Grenzwerte für a->oo nicht existieren (ausgenommen x=6). Daher ist deine Frage mathematisch einfach schlecht gestellt mit den epsilon's und delta's.

Wenn du jetzt aber deine Gerade L als die Menge aller Lösungen von y= lim a->oo (a (x-6)) siehst, erkennst du dass dies genau die Menge L={(6,y),y in R} und das ist nichts anderes als die gerade y=6. Und diese Linie ist genau parallel zur y-Achse.

lg
Volki

Infinity
15.08.2010, 12:56
Das heißt also, dass es für f(x)=ax+b mit lim a→∞ (f(x)=ax+b) kein Delta oder Epsilon gibt. Entsprechend aber auch nicht bei f(x)=b, wäre das praktisch ein gedrehtes Bild um 90°.



Wichtig an der Rechnung ist, ich rechne hier nie mit unendlich kleinen r, sondern nur mit sehr kleinen r und für die sehr kleinen r liegt das Ergebnis halt sehr nahe an 2. Also sagt die Definition vom Grenzwert, dass 2 der Grenzwert ist.
Hier verstehe ich noch nicht, warum es wichtig ist. Gibt es einen entscheidenden Unterschied?



Gibt es denn Funktionen außer f(x)=a(x^n)+b, a∈0 beziehungsweise a→∞, bei denen ein ε>0 und/oder ein δ>0 nicht gilt?
Ich denke, dass somit diese Frage geklärt ist.;)

Volki1729
15.08.2010, 13:12
Hier verstehe ich noch nicht, warum es wichtig ist. Gibt es einen entscheidenden Unterschied?


Du meinst warum r nicht unendlich klein sein sollte sondern nur sehr klein? Weil es in den reellen Zahlen einfach keine unendlich kleinen r gibt. Ich versuch das mal zu erklären.

Jedes r>0 und sei es noch so klein ist doch ein Stückchen von 0 entfernt, das heißt man kann r von 0 trennen - unterscheiden.

Nochmals anders erklärt, gib mir eine ganz kleine Zahl r>0, dann kann ich dir eine Zahl r' nennen die zwischen r und 0 liegt, egal wie klein du vorher r gewählt hast.

Wirklich wichtig: Bei Grenzwerten rechnet man nie mit unendlich kleinen Größen oder mit oo. Sondern eben nur mit sehr kleinen r>0 oder mit sehr großen R>0 (falls man lim x-> oo berechnen will)

lg
Volki

ralfkannenberg
16.08.2010, 09:28
Ich habe nie behauptet, dass man oo so einfach definieren kann
Hallo Volki,

dann habe ich Dich nur missverstanden. Dass man da "irgendetwas", was sauber definiert ist, machen kann, ist mir schon klar, aber man muss sich eben bewusst sein, was man da genau tut.


aber ich finde die RZK ist ein sehr schönes Beispiel wo oo sehr schön definiert wird
Ich auch, aber man muss sich eben doch bewusst sein, dass es sich zunächst um zwei ganz unterscheidliche Mengen handelt, die durch eine Abbildung miteinander verbunden sind.


als was würdest du sonst den Nordpol bezeichnen?
Lieber als "unendlich fernen Punkt" als als "unendlich", um die Unterschiedlichkeit der beiden Mengen anzudeuten. Dass Du hier über einen projektiven Abschluß eines affinen Raumes eine sehr schöne Interpretation geschaffen hast und überdies die komplexen Zahlen in die Eindimensionalität "gepresst" hast - was formal selbstverständlich korrekt ist, vom Laien aber eher übersehen wird, ändert aber letztlich nichts daran, dass es sich um eine Interpretation handelt, aber nach wie vor um zwei verschiedene Mengen. Dass diese Interpretation schön und elegant ist, stelle ich ja gar nicht in Abrede.


Aber ich glaube unsere Auffassung, von dem was oo ist, sind verschieden.
Nein, das glaube ich gar nicht; vermutlich habe ich nicht deutlich genug hervorgehoben, dass es nicht-endliche (also "unendliche") Mengen, wie beispielsweise IN oder IR oder IC gibt. Dennoch ist jedes Element dieser nicht-endlichen Mengen endlich. Ich denke, das ist der Punkt, der die Laien verwirrt: "Unendlich grosse Mengen ja, aber sie enthalten nur endlich grosse Zahlen." Da man mit dieser "Grösse" aber nicht rechnet, bevorzuge ich die Wortwahl, dass Mengen nicht notwendig endlich zu sein brauchen; wie gross diese "nicht-endlichen" Mengen dann konkret sind, lasse ich aber bewusst offen und sage nur "gleichmächtig zu IN" oder "gleichmächtig zum Kontinuum (z.B. [0,1] in IR)". Das genügt eigentlich für alle mathematischen Anwendungen und jemand, der tiefer in die Logik einsteigt, versteht sowas sowieso.


Natürlich könnte man formal beispielsweise zu IN auch noch ein Element "unendlich" hinzufügen, das würde ja an der Mächtigkeit nichts ändern; aber der Preis dafür ist eben der, dass sich die Dinge ganz wesentlich verkomplizieren und eben nicht, wie die Laien meinen, vereinfachen.

Beruflich hatte ich mal so ein "Problem", dass eine Gerade fast senkrecht anstieg und der Computer dann Probleme bekam. Alle Projektleiter waren schockiert und wussten nicht, wie man diesen schwierigen Fall handhaben sollte, bis ich bemerkte, dass dieser "schwierige Fall" in Wirklichkeit ein ganz einfacher Fall ist, wenn man das Koordinatensystem 90° dreht und die Formel im else-Statement war dann auch entsprechend sehr einfach.


Übrigens das mit den Peano-Axiomen und dem oo stimmt so nicht ganz.
Natürlich, hier bin ich einverstanden. Diese korrekten formalen Beschreibungen sind aber etwas für Logik-Spezialisten und nicht für Laien, die im Smalltalk die Mathematik zu vereinfachen versuchen, indem sie mit "unendlich" herumrechnen.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
16.08.2010, 09:33
Vergiss einmal das ganze Gerede von Ralf und mir, ich glaube das hat dich nur verwirrt. Es war auch meine Schuld, dass das etwas ausuferte :mad:.

Hallo Volki,

ich denke, es ist schon wichtig, dass man auch dem Laien einmal aufzeigt, welche Probelme sich ergeben, wenn man allzu grosszügig mit Unendlichkeiten operiert. Wenn wir uns darüber aber vertieft unterhalten wollen, sollten wir dafür einen neuen Thread eröffnen. Aus meiner Sicht ist das aber nicht nötig und wie oben geschrieben denke ich, dass wir in den wesentlichen Punkten völlig übereinstimmen.


Freundliche Grüsse, Ralf

ralfkannenberg
16.08.2010, 12:04
(...)gibt es für jedes δ>0 ein ε>0 (...)
Hallo infinity,

hier steckt der "Fehler" in Deiner Argumentation: Es geht nicht darum, für jedes δ>0 ein ε>0 zu finden, sondern darum, für jedes ε>0 ein δ>0 zu finden.

Natürlich kann man die ganze "Epsilontik" auch als "Deltaik" aufziehen, dann ist halt alles umghekehrt, aber es ist so, dass das ε und das δ eine gewisse Rolle einnehmen und diese Rolle muss man korrekt zuweisen.

So ist bei diesen Konvergenzkriterien und daraus folgend auch Stetigkeitsbetrachtungen usw. die Rolle des ε diejenige, dass es für alle ε>0 zu gelten hat, während δ streng genommen eine Funktion von ε ist, also δ(ε)>0.

Kleiner Exkurs, das zu veranschaulichen (wird wohl eher verwirrend sein ...):
Die Konvergenz ist im "für alle" einerseits und im ">"-Zeichen andererseits versteckt: da es nämlich für alle zu gelten hat, muss es auch für alle sehr kleinen gelten ε (immer noch echt grösser 0), und diese sehr kleinen kann man bespielsweise durch Halbierung erzeugen und die Idee ist natürlich schon die, dass diese sehr kleinen gegen 0 gehen. Nun ist es aber im Allgemeinen so, dass dieser Grenzwert im endlichen noch verfehlt wird, d.h. erst im "Unendlichen" erreicht wird, und da wissen wir ja nicht so genau, was das ist. Man braucht es aber auch nicht zu wissen, es genügt völlig, wenn man es für alle endlichen weiss. Die frühen Folgenglieder sind dabei unerheblich, d.h. von Bedeutung sind nur die späten (also die mit einem hohen Index). Und zwar die besonders späten von ihnen, also di emit besonders hohem Index.

Man muss sich dann noch daran "gewöhnen", dass alle endlichen Folgenglieder "frühe" Folgenglieder sind und somit unerheblich, aber dank des Induktionsprinzipes wissen wir ja, dass es zu jedem beliebigen Index n noch einen Index n+1 gibt, d.h. es gibt noch spätere Folgenglieder. Diese sind natürlich auch unerheblich (ja ja, sogar alle die wir benennen können, sind unerheblich - eine Situation, an die man sich gewöhnen muss), aber diese Unerheblichkeit spielt keine Rolle, da wir dank des Induktionsprinzipes garantiert haben, dass es stets spätere Folgenglieder, also solche mit höherem Index, gibt.

Das ist dieselbe Situation wie die, wenn man versucht, die natürlichen Zahlen durch die ersten endlich vielen anzunähern. Da diese nur endlich viele sind, ist die Menge der grösseren nach wie vor unendlich gross ......


Diese Situation kann man eben mit diesen "für alle ε>0", zu denen es "mindestens ein δ(ε)>0" geben muss, formal korrekt beschreiben. Ich musste mir das übrigens im 1.Semester meines Studiums in den Übungen schmerzlich und hart erarbeiten - ich war mir diese Art Exaktheit vom Gymnasium her nicht gewohnt.

Genau das ist es übrigens, was Volki im letzten Absatz seines letzten Beitrages geschrieben hat.


Freundliche Grüsse, Ralf

Volki1729
16.08.2010, 18:47
Hallo Ralf,

Dann sind wir uns also in allen Punkten einig.

lg,
Volki

ralfkannenberg
17.08.2010, 11:23
Dann sind wir uns also in allen Punkten einig.
Hallo Volki,

wenn man mit Unendlichkeiten so umgeht, wie Du das tust, ja. Zumal Dein Kenntnisstand aktueller ist als meiner, der ich 1988 abgeschlossen habe und mich seitdem kaum mehr mit Mathematik beschäftigt habe, sieht man von einem Seminarvortrag 1995 über die Quadratur des Kreises, der mich damals meinen Jahresurlaub gekostet hat, ab.

Allerdings hat es mich 1998 dann doch verärgert, als mir mein Personalvermittler mitgeteilt hat, ich solle doch diese Seminarbescheinigung aus meinen Bewerbungsunterlagen entfernen. Das habe ich aber nicht getan.


Freundliche Grüsse, Ralf

Infinity
18.08.2010, 06:38
hier steckt der "Fehler" in Deiner Argumentation: Es geht nicht darum, für jedes δ>0 ein ε>0 zu finden, sondern darum, für jedes ε>0 ein δ>0 zu finden.
Ich muss beide Varianten wohl gleichgesetzt haben. Dein Exkurs hat mir - obgleich zunächst so manch mehreres verwirrte - sehr gut geholfen und nun verstehe ich den Inhalt unter dem Wikipedia-Artikel über den Grenzwert schon viel besser.
Danke euch beiden!

ralfkannenberg
18.08.2010, 10:01
über den Grenzwert schon viel besser.
Hallo infinity,

dann gebe ich Dir mal eine Aufgabe, die damals mein "Weltbild" (etwas übertrieben formuliert) verändert hat:

Bevor ich aber einen Beweis bzw. eine Beweisidee sehen möchte, möchte ich wissen, was Du gefühlsmässig meinst.

Man betrachte die formale Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Man sieht ja sofort, dass die "neuen" Summanden, also 1/n, für n in IN (man schreibt das auch n -> oo) gegen 0 konvergieren.


Was macht nun Deinem Gefühl nach diese Reihe ? Konvergiert sie oder wächst sie über alle Schranken ("geht sie gegen unendlich") ?


Freundliche Grüsse, Ralf

Laserdan
19.08.2010, 18:40
Ich bin kein Mathematiker, nur interessierter Laie (setze mich mit t'Hoofts Liste auseinander, um die Physik wirklich zu verstehen), aber ich würde das so sehen:

[Nicht weiterlesen falls Angst vor Spoilern]

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... kann man ja auch als 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n formulieren, was nach meinem Verständnis bedeutet dass die Zahl zunächst schnell wächst, dann aber immer langsamer und langsamer und langsamer - jedoch gegen Unendlich geht, weil es keine Obergrenze für n gibt (zumindest sehe ich keine definiert).

Wie man sowas beweist - keine Ahnung, aber ich sehe da ehrlich gesagt keinen Unterschied dazu, zu beweisen dass 1 + 1 + 1 + ... auch unendlich ist.

Erinnert mich auch ein wenig an das Hotel mit unendlicher Anzahl Räume, ich kann ja den ersten, zweiten etc. Gast immer eins weiter schieben, egal wie groß die Anzahl der Räume ist, da ja "unendlich"

[Spoiler Ende]

Wäre an dem Gedankengang etwas falsch oder verstehe ich etwas falsch?

PS: Vielen Dank für die tollen Beiträge immer, wo ich als stiller Mitleser immer versuche zu verstehen :)

Infinity
20.08.2010, 21:03
Hallo, ralfkannenberg,


Was macht nun Deinem Gefühl nach diese Reihe ? Konvergiert sie oder wächst sie über alle Schranken ("geht sie gegen unendlich") ?
in meiner Vorstellung geht sie gegen unendlich.

Liege ich richtig?
Danke für die Hilfe.

jonas
20.08.2010, 22:11
Ralf, jetzt rück schon raus worauf Du hinauswillst. Denn diese Folge, wie Du sie aufgeschrieben hast, geht wirklich gegen unendlich (Wiki hat geholfen :D). Allerdings nicht aus den Gründen von Laserdan und infinity.

Denn z.B. die sehr ähnliche Reihe: Summe von 1/2^n für n=0 bis unendlich, also 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ..., ist nicht unendlich, sondern hat den Grenzwert 2.

Oder: Summe von 1/n² für n=1 bis unendlich, also 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... = pi²/6

PS: Oder wolltest Du nur darauf hinaus, daß Grenzwerte eine tricky Angelegenheit sein können und daß allein die Kategorie Folgen und Reihen (http://de.wikipedia.org/wiki/Kategorie:Folgen_und_Reihen) in Wikipedia 106 unterschiedliche Artikel enthält?

Laserdan
20.08.2010, 22:56
Denn z.B. die sehr ähnliche Reihe: Summe von 1/2^n für n=0 bis unendlich, also 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 ..., ist nicht unendlich, sondern hat den Grenzwert 2.


Verständnisfrage...

Die von dir beschriebene Reihe, ich versuche es mir gerade vorzustellen, erinnert mich an das Problem der Hälfte, also wenn ich eine Straße überquere - und ich überquere die Hälfte, zunächst. Dann die Hälfte von der Hälfte, usw.

dann komme ich theoretisch niemals am anderen Ende an. Ist das hier das gleiche Prinzip, da der Divisor an sich ja "unendlich lange" kleiner werden kann und die Reihe dabei nur immer näher und näher und näher an 2 rückt, ohne sie je zu erreichen?

jonas
21.08.2010, 07:59
Hi Laserdan
Du hast es genau erfasst. Ist das selbe wie die Paradoxien von Zenon, z.B. Achilles und die Schildkröte (http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schildkr%C3%B6te).

Ob Reihen divergieren (über alle Schranken wachsen) oder konvergieren (einem Grenzwert zustreben) ist meist nicht unmittelbar logisch abzuleiten. Grenzwertbetrachtungen sind daher immer mit Vorsicht zu genießen, man sollte wissen, was man tut :)

Infinity
11.09.2010, 20:45
Solange beide x gleichzeitig gegen 0 konvergieren, wenn f(x)=x/x gilt, müsste der Funktionswert 1 lauten, da 0,1/0,1=0,01/0,01=0,001/0,001=0,0001/0,0001...

Auch in der Wikipedia ist bei Operationen wie 0/0 oder 0^0 von "Zweckmäßigkeit" und "Unzweckmäßigkeit" solcher Rechnungen die Rede. Kann mir jemand kurz erklären, wie diese Begriffe gemeint sind?

Infinity
16.12.2010, 14:46
Hallo, zusammen,

bezüglich der Regel von L'Hospital gibt es etwas, was ich nicht nachvollziehen kann.

Nach dem Erweiterten Mittelwertsatz wird eine Hilfsfunktion g(x) herangezogen. Ich verstehe hier aber weder den Sinn noch die Gleichung selbst und wie man darauf gekommen ist:
f'(x0) [g(b)-g(a)] = g'(x0) [f(b)-f(a)]

Bitte daher um Hilfe.



Zu 0/0
Wenn f(x)=x^2 und g(x)=x gelten und man den Limes für x→0 in den Quotienten ihrer Ableitung setzt, hieße es:
f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x) = 2x/1 = 0.

Anders aber bei f(x)=x und g(x)=0,5x. In dem Fall gälte ja:
f(x)/g(x) = f'(x)/g'(x) = 1/0,5 = 2.

Man könnte also sagen, dass abhängig von den Koeffizienten der beiden Funktionen die Rechnung 0/0 alle möglichen Ergebnisse gleichzeitig annehmen kann, oder? (So, wie ich es im ersten Beitrag (http://astronews.com/forum/showpost.php?p=69740&postcount=1) auf einer anderen Rechenweise beschrieben habe.)

jonas
16.12.2010, 19:22
Zu 0/0
Das ist ja gerade der Witz an l'Hopital, dass man einen nicht bestimmbaren Quotienten vor sich hat, der alle möglichen Werte annehmen könnte. Mit den l'Hopitalschen Regeln hat man die Chance einen bestimmbaren Grenzwert zu finden.

Infinity
30.12.2010, 00:57
Danke für Deine Hilfe, jonas.

Ich bin noch dabei, herauszufinden, wie man die Regel von L'Hospital herleitet. Diesbezüglich ist die Wikipedia leider nicht laiengerecht. Es gebe:


eine Funktion f(x);
eine Sekante s(x), die f(x) an den Punkten P1[a / f(a)] und P2[b / f(b)], also an den Stellen Intervallanfang a und Intervallende b schneidet;
eine Tangente t(x), die parallel zur Sekante verläuft und f(x) an der Stelle x0 berührt;
eine Hilfsfunktion h(x), die als h(x) = f(x) - s(x) definiert ist.

Da Steigung m = f '(x), gilt: f '(x) = [f(b) - f(a)] / (b - a).

Da s(x) an jeder beliebigen Stelle x dieselbe Steigung besitzt, gilt auch: f '(x) = [s(x) - f(a)] / (x - a).

Die Sekantenfunktion lautet also: s(x) = f(a) + {[f(b) - f(a)] / (b - a)} * (x - a)

Die Hilfsfunktion h(x) = f(x) - s(x) ist demnach: h(x) = f(x) - f(a) + {[f(b) - f(a)] / (b - a)} * (x - a).

Die erste Ableitung von h(x) ist: h '(x) = f '(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a).

Da sich f(x) und s(x) an den Stellen a und b schneiden, gilt: h(a) = h(b).

Da h(a) = h(b), muss die Steigung der Sekante durch die Punkte P1[a / h(a)] und P2[b / h(b)] gleich 0 sein.

Da nun die Tangente parallel zur Sekante liegen soll, gilt: h(x0) = 0, so also: 0 = f(x0) - [f(b) - f(a)] / (b - a).



Weiter komme ich aber nicht mehr. Ich verstehe nicht, wie man jetzt noch auf f '(x0) * [h(b) - h(a)] = h '(x0) * [f(b) - f(a)] kommen soll.