Rolf Köhne schrieb:
Nachhilfe in "Nichtberechenbarkeit" könnte ich trotzdem gebrauchen.
Nun, gut.
Eine wohldefinierte Klasse mathematischer Probleme die keine algorithmische Lösung haben, sind die sogenannten Parkettierungsprobleme. Sie lassen sich so formulieren: "Gegeben sei eine Klasse wohldefinierter Vielecke (die sich aus Quadraten zusammensetzen) und es ist zu entscheiden ob die Vielecke die Ebene parkettieren, ob es also möglich ist die gesammte (unendlich große) Euklidische Ebene ohne überlappungen und Lücken allein mit diesen Formen auszulegen. Der Mathematiker Robert Berger wies 1966 nach, dass es keinen Algorithmus gibt mit dem man das Problem allgemein lösen kann.
Dass ein solcher Algorithmus nicht existiert hängt von der Existenz bestimmter Mengen von Vielecken ab, die aperiodisch genannt werden. Diese Vielecke überdecken die Ebene nur nichtperiodisch. Das bedeutet, dass sich das vollständige Muster niemals wiederholt, ganz gleich, wie weit es fortgesetzt wird! Das kannst du dir so vorstellen: Wenn du das Muster auf zwei unendlich großen durchsichtigen Folien gedruckt hättest, dann könnten sich die Folien unendlich lange verschieben ohne dass die beiden Muster wieder deckungsgleich sind, es sei denn du bringst die Folien wieder in die ursprüngliche Position. Bei der Verschiedung können die Muster sich zwar beliebig weit einander annähern, aber sie werden niemals übereinstimmen. Auch nicht wenn du die Folien unendlich weit gegeneinander verschiebst.
Im Geist-Gehirn-Thread nannte ich eine nichtberechenbare Spielzeugwelt, bei der die Zeitliche Entwicklung in der Parkettierung einer Ebene besteht.
Damit diese Spielzeugwelt tatsächlich nichtberechenbar ist, muss die Klasse an Polyominos (=die Vielecke aus Quadraten) die zur Parkettierung verwendet werden, apperiodisch sein. Mathematiker haben viele Solche Mengen an Polyominos gefunden (Siehe dazu auch die Anmerkung ganz unten).
Ich will nun die Spielzeugwelt nochmals beschreiben, damit es klarer wird. Diese Welt soll aus einer Menge von Polyominos auf einer euklidischen Ebene bestehen. Die Zeit in diese Welt soll durch eine Natürliche Zahl t beschrieben werden können. Es muss zwei wohldefinierte Regeln dafür geben welcher zustand sich aus dem Zustand zur Zeit t entwickelt. Die erste Regel sollte dann zum Einsatz kommen wenn die Ebene parkettiert wird und die Zweite dann wenn die Ebene nicht parkettiert wird. Welche genaue Form diese Regel hat ist nicht so wichtig. Wir wollen uns aber mal eine solche Regel ausdenken.
Wir haben also zu jedem Zeitpunkt ein neues Parkettierungsproblem. Zu jedem Zeitpunkt haben wir eine neue Menge an Polyominos. Da diese Menge auch apperiodisch sein kann gibt es keine Möglichkeit herauszufinden ob die Polyominos die Ebene parkettieren. Wenn sie die Ebene parkettieren soll der Weltzustand zu einer anderen Menge an Polyominos springen, bei der die gesamtheit der Polyominos eine ungerade Zahl an Quadraten enthällt. Wenn die Ebene nicht parkettiert werden kann, dann springt der Weltzustand zu einer Menge an Polyominos deren Gesamtheit, eine gerade Zahl an Quadraten enthällt. Dabei nimmt die Zahl der Quadrate stets zu zu. Wenn die Menge also x Quadrate enthalten würde und x eine gerade Zahl wäre, dann würde der Weltzustand bei unmöglichkeit einer parkettierung in einen Zustand mit x+2 springen. Es würde also ein Parkettierungsproblem, also ein Weltzustand übersprungen werden. Man kann sagen, dass die Quadrate mit der Zeit zunehmen und dass es ein Naturgesetz gibt das Vorschreibt, wann ein Zeitpunkt übersprungen werden muss. Es existiert eine Klare Regel dafür wie sich das System entwickelt. Es gibt also einen Algorithmus. Dennoch kann nicht berechnet werden ob die Ebene parkettiert wird oder nicht. Wenn man es ausprobieren wollte würde das unendlich lange dauern, daher ist es unmöglich. Eine Welt die sich so entwickelt wäre eine Orakelmaschine.
Sie kann nicht gebaut werden, weil sie Naturgesetze nutzen müsste die nicht existieren. Genauso wie man keinen Quantencomputer in einem klassischen Universum bauen könnte.
Zur Parkettierung von Penrose:
Auch Penrose hat eine Solche Klasse an Vielecken gefunden, die ein solches apperiodisches Muster bilden. Kurze Zeit Später fand man es in Quasikristallen wieder! Was das theoretische Problem mit sich bring wie diese Kristalle entstanden sind wenn sie nur Nichtlokal konstruiert werden können. Penrose vermutet hier dass die Kristalle in einer überlagerung von Zuständen existieren und dann durch OR in denjenigen Übergehen der die Wirkung minimiert. Interessanterweise ist das zugleich der Zustand in dem das Muster die verbotene 5fache Symmetrie aufweist! Mir ist gerade erst der Zusammenhang zur Nichtberechenbarkeit klar geworden. Vielleicht vermutet Penrose deshalb intuitiv dass hinter R etwas nichtberechenbares steckt. Andererseits räumt er selbst ein dass uns das bei der Frage des Bewusstseins nicht weiterbringt, wenn man die Folgerung aus Gödels Satz wirklich genaunimmt. Denn sie fordert nichtalgorithmisches und nicht blos nichtberechenbares Denken.
Rolf Köhne schrieb:
Ich sehe nur eine sehr geringfügige Differrenz zwischen nichtrechnerisch und nichtalgorithmisch. Diese geringfügige Differenz halte ich für eine Kategorisierung nicht ausreichend.
Der Unterschied könnte gravirender kaum sein! Ein "nur" nichtrechnerischer Apperat hätte überhaupt keinen Zugang zu mathematischer Wahrheit. Ein System das aber darüber hinaus nichtalgorithmisch ist, wie unser Bewusstsein, hätte sehr wohl einen solchen Zugang. In einem Universum das eine Orakelmaschine ist wäre es genauso einfach Orakelmaschine zu konstruieren die lauter falsche Aussagen liefert, wie eine Orakelmaschine die nur wahre Aussagen liefert. Die Menge aller unendlich vielen möglichen (nichtrechnerischen) Orakelmaschinen lässt sich sogar mit einer rechnerischen Turingmaschine auflisten. Der Schluss (J) aus Beitrag 36 (im Geist-Gehirn-Thred lautet, dass menschliches Denken nichtalgorithmisch ist.
Daraus folgt unmittelbar, dass menschliches Denken nichtorakelalgorithmisch ist, denn das sind auch nur algorithmen. Die Differenz zwischen nichtrechnerisch und nichtalgorithmisch ist also nicht geringfügig so gravierend dass sie über Bewusstheit und Nichtbewusstheit entscheidet!
Rolf Köhne schrieb:
Hinzu kommt, dass es m.E. deutliche Unterschiede zwischen Algorithmen, die Rechnungen beschreiben, und solchen, die Abläufe steuern, gibt.
Für einen Rechenapperat ist rechnen nur die manipulation von Nullen und Einsen. Ob dabei was mathematisch korrektes oder nur ein Kuchen rauskommt ist ihm egal. Das hängt davon ab in was der Binärcode übersetzt wird. Das weiss der Rechenapperat ja nicht und es spielt für seine Tätigkeit auch keine Rolle, was seine Nullen und Eisen bedeuten.
Selbst wenn der Rechenapperat tatsächlich mathematische Opperationen ausführen würde, könnte er nicht wissen ob es sich dabei um solche handelt. Er versteht ja nichts von Mathematik. Er hat kein Bewusstsein.
Eine Turingmaschine die nur falsche Aussagen liefert, wird trotzdem als Turingmaschine bezeichnet, auch wenn das was sie da macht nicht wirklich Mathematik ist. Sie ist trotzdem rechnerisch. Sie wird deshalb nicht gleich als eine nichtrechnerische Orakelmaschine bezeichnet. Das ist was ganz anderes!
Die Tätigkeit einer Orakelmaschine kann in unserer Welt nichteinmal Simuliert werden!
Schöne Grüße,
Sky.