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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Kepler I Gesetz



JakeD
10.12.2007, 21:08
Hallo,
ich suche eine Herleitung des 1. Kepler Gesetzes.
Kennt jemand eine Net-Adresse (URL), wo die Herleitung
dokumentiert ist?

Vielen Dank im voraus
JakeD

mac
10.12.2007, 21:27
Hallo JakeD


Hallo,
ich suche eine Herleitung des 1. Kepler Gesetzes.
Kennt jemand eine Net-Adresse (URL), wo die Herleitung
dokumentiert ist?hilft Dir http://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze und die darin enthaltenen Links?

Herzliche Grüße

MAC

JakeD
12.12.2007, 08:55
Hallo JakeD

hilft Dir http://de.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze und die darin enthaltenen Links?

Herzliche Grüße

MAC
Hallo MAC,
thx. für die Antwort. Ich hatte an der Stelle schon gesucht.
Leider ist in keinem Link die Herleitung zu finden. Es wird immer
gesagt, dass nach Kepler I die Bahnen der Planeten elliptisch
sind. Dann folgen Merkmale einer Ellipse. Aber warum die Bahnen
so sind, also die Herleitung kann ich nicht finden.

Gruss JakeD

mac
12.12.2007, 13:31
Hallo JakeD,

mit einer formal-mathematischen Herleitung, hätte ich unverhältnismäßig viel Arbeit. Aber ich kann versuchen es Dir plausibel zu machen und in einem nächsten Schritt auch berechenbar.

Keppler hat, soviel ich weiss, ‚nur’ eine mathematische Beschreibung für die Beobachtungsdaten gesucht. Ursprünglich war es ja eine Art Dogma, dass die Planetenbahnen kreisförmig oder, nachdem man das nicht mehr aufrecht erhalten konnte, wenigstens aus Kreisen zusammengesetzt sein müssen, weil eben nur der Kreis den Anspruch der göttlichen Vollkommenheit erfüllte. Der Grund, warum es zu einer solchen Bahn kommt, wurde erst durch Newton erklärbar.



Der Kreis ist sozusagen der Spezialfall einer Ellipse. Immer dann, wenn die beiden Radien einer Ellipse gleich lang sind, ist sie ein Kreis.
Du kannst nun einen Kreis durch zwei, um 90° versetzte Sinus-Funktionen beschreiben. Das ist nichts anderes, als die Bewegung eines Pendels zu beschreiben. Stell Dir dazu zunächst mal folgendes vor: Du hast zwei ‚Körper’ im Raum. Außer Raum und den beiden Körpern gibt es nichts. Der Körper S ist wesentlich schwerer als der Körper P. Wenn Du nun P in einigem Abstand zu S im Raum platzierst, so dass sich die beiden nicht zueinander bewegen, dann wird S durch seine Gravitation P zu sich hin ziehen. (Da S viel schwerer ist als P, können wir den umgekehrten Vorgang, P zieht S zu sich hin, der natürlich auch stattfindet, erst mal vernachlässigen)

P wird immer schneller auf S zu fallen, bis er mit S kollidiert. Stell Dir jetzt vor, P kann S ohne jeden Widerstand durchdringen, dann fällt er durch S hindurch und wird beim weiterfallen durch die Gravitation von S wieder abgebremst, bis zum kompletten Stillstand. Jetzt ist genau der Startzustand erreicht, nur mit P auf der anderen Seite von S. Das Spiel geht von vorne los und dauert, wenn keiner die beiden stört, ewig.

Was geschieht da eigentlich genau? Im Moment des Loslassens, nach dem Plazieren, hat P gegenüber S seine größte Entfernung, ist ohne kinetische Energie (weil er sich nicht bewegt) aber hat die höchste erreichbare potentielle Energie der Lage (gegenüber S) Lässt Du P los, dann wird er durch die Gravitation zu S hin beschleunigt, und wandelt dabei potentielle Energie der Lage in kinetische Energie um. Die Summe dieser beiden Energieanteile ist überall entlang seines Weges gleich, bleibt also konstant. Wenn er genau am selben Ort ist wie S, dann hat er keine Energie der Lage mehr gegenüber S, S zieht ihn dann auch nicht mehr an, aber er hat die höchste für ihn erreichbare Geschwindigkeit. Zwischen diesen beiden Zuständen pendelt er immer hin und her und so lange dabei keine Energie verloren geht, hört er auch nicht damit auf.

Nun ist dieses ‚Durchdringen’ im richtigen Leben natürlich Unfug. Wenn wir aber jetzt dafür sorgen, dass P auf seinem Weg zu S, nicht genau durch S hindurchfallen muß, sondern wir ihm quer zu seiner Fallrichtung auch einen Schubs geben, dann fällt er an S vorbei.

Zur besseren Orientierung beschreibe ich das mit Hilfe eines Zifferblattes einer Uhr. S ist in der Drehachse der Zeiger. P lassen wir auf 12 Uhr los und er fällt auf S zu. Kollision. Wenn wir jetzt aber P nicht einfach nur loslassen, sondern gleichzeitig noch einen Schubs verpassen, und zwar nach links, also parallel zur Linie 3 Uhr 9 Uhr, dann wird er, während er in Richtung S fällt nach links ausweichen und in dem Moment, wo er eigentlich mit S kollidiert wäre, auf 9 Uhr vorbei fallen (wenn wir ihm mit unserem Schubs genau die richtige Geschwindigkeit verpasst haben).

Bei einer Kreisbahn um S herum, folgt P also zwei, aufeinander senkrecht stehenden Pendelbewegungen. Immer wenn die Richtung 12 Uhr 6 Uhr zum Stillstand gekommen ist, also P die größt mögliche Entfernung zu S in dieser Richtung erreicht hat, bewegt er sich gerade in der anderen Richtung (3 Uhr 9 Uhr) mit höchster Geschwindigkeit, ist aber genau auf der Höhe von S. Um bei der Richtung zu bleiben, die wir schon hatten. Ist P auf 12 Uhr, dann bewegt er sich mit voller Geschwindigkeit nach links, parallel zur Linie 3 Uhr 9 Uhr. Ist er dann auf 9 Uhr angekommen, bewegt er sich auf seiner Pendelrichtung zwischen 12 Uhr und 6 Uhr gerade mit höchster Geschwindigkeit auf uns zu (wenn wir die Uhr vor uns auf dem Tisch liegen haben ;) ) usw.

Auf der Erde, mit einem Pendel ergibt das eine ellipse oder einen Kreis mit dem Mittelpunkt in der geometrischen Mitte dieser Figur, weil hier die Kraft mit der das Pendel zur Mitte gezogen wird, am stärksten ist, wenn es weit weg ist von der Mitte. Im Weltraum, mit Sonne und Planeten, ist die Anziehungskraft um so stärker, je näher sich die beiden Körper sind, deshalb ‚wandert’ hier die Ellipse aus der geometrischen Mitte aus, bis S in einem ihrer Brennpunkte liegt.

Herzliche Grüße

MAC

JakeD
13.12.2007, 07:09
Hallo MAC,
danke für Deinen interessanten Beitrag.
Soweit ist für mich alles nachvollziehbar.
Womöglich hat sich Kepler den Sachverhalt in ähnlichen Variationen
vorgestellt, obwohl er ja, soweit ich weiß, die Gesetze der Gravitation und den Energieerhaltungssatz nicht kannte. Auf jeden Fall muß er ein gutes Vorstellungsvermögen gehabt haben, um aus den Beobachtungsdaten auf
eine Gesetzmäßigkeit zu schließen. Sicher hat er diese vermutet, aber wie
er dann die Herleitung zu seinem ersten Gesetz gefunden hat und wie diese
Herleitung dann aussieht, interessiert mich brennend.
Ich werde meine Neugierde wohl nur zufriedenstellen können, wenn ich mir
entsprechende Literatur besorge. Zum Jahreswechsel habe ich Ruhe im Job und werde mir dann die Zeit nehmen, um die Geschichte zu studieren.
Für mich ist dies ein Hobby, dass mich jeden Tag neu begeistert und für das ich gerne viel Freizeit opfere.
Vll. kannst Du mir ja einen Tip geben, welche Sachbücher hier für den Amateur interessant sind.
Ich bin mir nicht sicher, ob das Thema in den Büchern von Andreas Guthman *Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenberechnung*, bzw. von
Manfred Schneider *Himmelsmechanik Band 1* ausreichend behandelt wird.
Möglicherweise kannst Du ja hierzu auch etwas sagen.

Grüße aus HH
JakeD

mac
13.12.2007, 09:04
Hallo JakeD,


danke für Deinen interessanten Beitrag.
Soweit ist für mich alles nachvollziehbar.:)



Vll. kannst Du mir ja einen Tip geben, welche Sachbücher hier für den Amateur interessant sind.
Ich bin mir nicht sicher, ob das Thema in den Büchern von Andreas Guthman *Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenberechnung*, bzw. von
Manfred Schneider *Himmelsmechanik Band 1* ausreichend behandelt wird.
Möglicherweise kannst Du ja hierzu auch etwas sagen.leider kann ich Dir dazu nichts kompetentes sagen. Ich bin selbst Laie und kenne diese Bücher nicht.

Aber vielleicht kennt eine/r der Anderen sich damit aus?

Herzliche Grüße

MAC

Ich
13.12.2007, 10:33
Sicher hat er diese vermutet, aber wie
er dann die Herleitung zu seinem ersten Gesetz gefunden hat und wie diese
Herleitung dann aussieht, interessiert mich brennend.
Ich glaube, Kepler hat eher vermutet, dass es dem lieben Gott gefällt, die Planeten auf solchen Bahnen herumzuschieben.
Die Herleitung aus Newtons Gesetzen findest du in der englischen Wikipedia oder hier. (http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/lectures/node42.html)

Orbit
13.12.2007, 10:41
Ich
'Vermutete' bezieht sich bei JakeD nicht, wie Du annimmst, auf die Gravitationsgesetze Newtons, sondern auf die 3 Kepler-Gesetze selbst.
Insofern ist Deine Antwort Nonsens.
Orbit

Ich
13.12.2007, 11:04
Stimmt. Aber nach der Herleitung war trotzdem gefragt. Nach welcher eigentlich?

mac
13.12.2007, 11:17
Hallo Ich,

Lt. deutscher Wiki, ging er schon davon aus, dass die Sonne der Verursacher ist http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler#Astronomia_Nova
Kepler hat sein erstes Gesetz 1609 veröffentlicht (in Astronomia nova). Rund 17 Jahre vor Newtons Geburt. Wenn ich JakeD richtig verstanden habe, geht es ihm darum, wie Kepler auf diese Idee überhaupt gekommen ist, also wie dieser unter Astronomiea nova beschriebene ‚Geistesblitz’ genau funktionierte.

Herzliche Grüße

MAC

JakeD
13.12.2007, 18:35
Hallo an Alle,
mir geht es in erster Linie darum, dass ich eine Herleitung für Kepler I suche.
Das Kepler bei seiner Suche nach Gesetzmäßigkeiten eher physikalische Gesetze vermutete als göttliche Gesetze erscheint für mich logisch. Das ein Mensch göttliche Gesetze mit dem Ziel studiert diese nachvollziehen zu können, wäre irgendwie nicht passend, wenn er an Gott glaubt. Schließlich würde er ja bei Erfolg, damit dokumentieren, dass er seinem Gott geistig ebenbürtig ist.
Ich glaube nicht, dass Kepler sich dies angemaßt hätte, wenn er ein gläubiger Mensch gewesen sein sollte.
Ich denke, Kepler hat da weniger an Gott gedacht, sondern vermutet, dass
irgendwelche physikalischen Beziehungen hinter den beobachteten Werten stecken. Ich glaube, dass er unheimlich ehrgeizig war und viele Gedankenwege ausprobiert hat um fündig zu werden. Ob er nun genial war, oder einen Geistesblitz auf Grund seiner intensiven Bemühungen hatte, sei einmal dahingestellt. Aber als er das Ziel erreicht hatte, mußten seine Beweise zutreffend und logisch nachvollziehbar sein, oder hättet Ihr ihm seine Behauptungen einfach geglaubt, wenn Ihr seine Zeitgenossen gewesen wäret?
Genau um die logische(mathematische) Nachvollziehbarkeit geht es mir.


Gruss JakeD

Orbit
13.12.2007, 20:13
JakeD
Inzwischen geht es mir offenbar ähnlich wie Ich:

Aber nach der Herleitung war trotzdem gefragt. Nach welcher eigentlich?
Ich verstehe eigentlich auch nicht, was Du denn nun wissen möchtest.
Im Link von mac zu Wiki steht nämlich alles, was es zum 1. Keplergesetz mathematisch zu sagen gibt.
Ist Deine Frage eher mathematisch-historischer Natur?

Mathematisch korrekt wurde die Ellipse erstmals vom holländischen Mathematiker Schooten zu Lebzeiten Keplers beschrieben. Ich geh davon aus, dass Kepler diese Beschreibung gekannt hat. Die 'Kepler'sche Fassregel' lässt mich aber vermuten, dass sich Kepler selbst auch mit diesem Problem befasst hat. Die Gärtner-Konstruktion mit den beiden Brennpunkten muss ihm mindestens bekannt gewesen sein, sonst hätte er sich die Sonne nicht in einem der beiden Brennpunkte vorstellen können. Schootens Beschreibung war aber, wenn ich das richtig verstanden habe, eine rein gometrische Beschreibung der Ellipse. Die dynamische Vorstellung, wie sie im 2. Kepler-Gesetz zum Ausdruck kommt, ist eine genuine Leistung von Kepler selbst, die, wie Du wohl richtig vermutest, seiner aussergewöhnlichen Vorstellungskraft entsprungen sein muss; denn die mathematische Formulierung gelang erst Newton sechs Jahrzehnte später, dessen dynamischer Ansatz für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung eben gerade in diesen elliptischen Bewegungen von Himmelskörpern lag, wogegen Leipnitz, seine gleichwertige Infinitesimalrechnung geometrisch herleitete, mit einem statischen Ansatz also.

Herzliche Grüsse
Orbit
P.S. ralfkannenberg: Du weisst über diese Epoche der Mathematik-Geschichte bestimmt besser Bescheid als ich.

hardy
13.12.2007, 20:42
Hallo an Alle,
mir geht es in erster Linie darum, dass ich eine Herleitung für Kepler I suche.


Hallo JakeD,

wenn du mit Differential- und Integralrechnung vertraut sein solltest, dann ist die Herleitung von Kepler I einfach.

Man geht von den Erhaltungssätzen für Energie E und Drehimpuls L aus. Wegen der Erhaltung (Konstanz) des Drehimpulses verläuft die Planetenbahn in einer Ebene (senkrecht zum Drehimpulsvektor). In dieser Ebene benutzt man zweckmässigerweise Polarkoordinaten (r, phi). Aus dem Energieerhaltungssatz erhält man die Radialgeschwindigkeit dr/dt, aus dem Drehimpulssatz die Winkelgeschwindigkeit dphi/dt, beide als Funktion von r. Durch Kombination beider Ausdrücke folgt dphi/dr als Funktion von r, woraus man durch Integration die Bahnkurve phi(r) bzw. r(phi) erhält:

r(phi) = p/[1+eps*cos(phi)]

Dies ist die Gleichung eines Kegelschnittes mit dem Brennpunkt im Koordinatenursprung (r=0). Darin sind eps und p die Exzentrizität bzw. der Parameter der Bahn. Wenn die Gesamtenergie E < 0 ist, dann ist eps < 1 und die Bahn eine Ellipse. Bei E > 0 ist eps > 1 und die Bahn eine Hyperbel. Im Falle E = 0 ist eps = 1 und der Körper bewegt sich auf einer Parabel.

Solltest du nicht mit Differential- und Integralrechnung vertraut sein, dann empfehle ich dir das Taschenbuch "Feynmans verschollene Vorlesung" (Serie Piper). Darin beweist R. Feynman Kepler I ohne höhere Mathematik nur mit den Mitteln der elementaren ebenen Geometrie. Feynman sagt aber:

"Elementar" bedeutet nicht "leicht verständlich". "Elementar" bedeutet, dass zum Verständnis sehr wenig Vorwissen nötig ist, aber unendlich viel Intelligenz".

Lass dir doch das Taschenbuch zu Weihnachten schenken und folge den Spuren des genialen R. Feynman!

Gruss
hardy

JakeD
15.12.2007, 14:05
Hallo,
OK, vll. habe ich nicht exakt genug beschrieben, worum es mir geht.
Wenn ich mir Wikipedia anschaue steht dort zu Kepler 1:
Die Umlaufbahn eines Trabanten ist eine Ellipse. Einer ihrer Brennpunkte liegt im Schwerezentrum des Systems.
und dann...
Dieses Gesetz ergibt sich aus Newtons Gravitationsgesetz....

Das hilft mir nicht weiter, weil Newton nach Kepler kam.
Wie ist also Kepler auf das Gesetz gekommen?

Ich werde mich über den Jahreswechsel mal mit diverser Literatur beschäftigen. Danke an Euch alle für die freundlichen Tips.

Gruss JakeD

hardy
15.12.2007, 16:32
Wie ist also Kepler auf das Gesetz gekommen?


Dass du dich für Wissenschaftsgeschichte interessierst, hättest du von Anfang an sagen sollen!

Kepler hat seine ersten beiden Gesetze durch eine sehr mühevolle Durchrechnung der Marsbeobachtungen Tycho Brahes aus dem Jahr 1609 gefunden.

Na denn, viel Spass beim Lesen der Originalarbeiten Keplers!

Gruss
hardy

jonas
15.12.2007, 18:09
Ein englisches PDF, das wohl auf Feynmans verschollene Vorlesung beruht, habe ich hier gefunden: http://geometryexpressions.com/journal/pdf/kep.pdf?PHPSESSID=83729513d3276f98434f1777c9bb63b0 .

Am besten liest man es sich durch und macht sich dabei ein script in deutsch.

Krokodildandy
28.06.2009, 20:55
Hallo MAC,
Sicher hat er diese vermutet, aber wie
er dann die Herleitung zu seinem ersten Gesetz gefunden hat und wie diese
Herleitung dann aussieht, interessiert mich brennend.
Grüße aus HH
JakeD

Hallo JakeD

Kepler hat besagte Herleitung nicht gefunden; auf die Elipsenform ist er rein intuitiv gekommen. Kaum bekannt ist auch, dass er das 2. Gesetz erst nach dem 3. erarbeitet hat.

LG, K

Frankie
04.07.2009, 01:12
@Kd: das steht aber im Widerspruch zu dem Wikipediaeintrag der sagt daß das 1. und 2. Gesetz relativ schnell entstanden, das 3. aber nach mühevoller Arbeit ca. 10 Jahre später...

Kepler formulierte die Geometrie und Kinematik der Planetenbahnen in drei Gesetzen, von denen er die beiden ersten relativ rasch fand (Astronomia Nova, „Neue Astronomie“, 1609). Die Suche nach dem dritten dauerte hingegen – einschließlich mehrerer Irrwege über Korbbögen – ein Jahrzehnt, er fand es Mitte 1618 (Harmonices Mundi, „Weltharmonik“, publiziert 1619).

M_Hammer_Kruse
17.08.2009, 15:46
Tycho starb schon 1601. Kepler verwendete seine Mars-Beobachtungs-Daten und veröffentlichte 1609 dann das, was wir heute als 1. Gesetz bezeichnen. Die Numerierung der Gesetze hat sich hier und da mal geändert, zeitweilig zählte man auch vier ("Kegelschnitte" und "Sonne im Brennpunkt" kann man als zwei Gesetze formulieren).

Das erste Gesetz fand er rein phänomenologisch. Sprich: Aus Tychos Daten ging schlicht hervor, daß Mars sich auf einer Ellipse bewegt. Warum und wieso? Kepler hatte, wie oben schon gesagt wurde, noch keine Vorstellung von Newtons Mechanik, insbesondere von einer Bewegung im Gravitationsfeld.

So dachte er noch rein aristotelsch, daß für die Aufrechterhaltung einer Bewegung eine Kraft erforderlich sei. Daher postulierte er einen virtuellen Besen, mit dem die Sonne die Planeten fortwährend um sich herum fegt.

Gruß, mike