Habe Deinen kürzlichen Post gelesen, in dem Du Deinen Horror gegenüber der Integralrechnung zum Ausdruck gebracht hattest.
Habe mal ein bisschen in Wiki gestöbert und festgestellt: Wiki ist nicht wirklich lehrbuchfähig. Wer dort in Mathe oder Informatik Erleuchtung sucht ist als Lichtsuchender verloren.
Mathematik ist eine logische Wissenschaft. Sie lebt von Regeln. Plus und Minus, geteilt durch und Mal ... die vier Grundrechenarten ... sie sind mit Zeichen verbunden und mit Regeln. Und so geht es in der Analysis weiter.
Den Schritt der Grenzwerte und Infinitesimalrechnung lasse ich jetzt mal weg, denn den hatte man irgendwann in der Schule. Jetzt mal nur die daraus entwickelten Rechenregeln. Wie es auch immer in der Mathematik läuft, ob es sich um Integrale, Matrizen oder Vektoren handelt: Es gibt eine Struktur und eine Rechenregel, um mit ihr umzugehen.
Die Ableitung einer Funktion der Form ax^2+bx+c ist: 2ax+b. Man nimmt den Exponenten der x-Variablen, und setzt ihn als Multiplikant voran. Also, aus ax^2 wird 2x. Wenn noch ein "a" ursprünglich davorstand, dann bleibt es natürlich erhalten. Also: 2ax^2 [strich] (->"Strich" heisst gleich "Ableitung") ist: Ich nehme dem Exponenten raus und setze ihn als Multiplikator. Den ursprünglichen Exponenten reduziere ich um Eins, also aus x^2 wird x^1.
So funktioniert die Kurvendiskussion. Die Ableitung wird als Steigung interpretiert. Ist sie negativ, so ist sie fallend, ist sie positiv, dann ist sie steigend.
Also: ax^2+bx+const. wird zu: ... x^2 wird umgewandelt zu x^(2-1), also x^1 oder x. bx wird umgewandelt zu b Mal x^(1-1), also b mal x hoch Null und damit x hoch Null gleich eins, und die Konstante c verschwindet, da in ihr kein x mehr vorkommt.
Die Regel bei der Ableitung ist recht eindeutig. Beim integrieren ist das nicht ganz so schön. Aber bei Zusammenhängen wie ax^2+bx+C ist es noch recht einfach.
Die Stammfunkrtion von ax+const, also ax^1+const*ax^0, ist relativ einfach zu bilden. Man kehrt die Rechenregel der Differenzierung einfach um: Der Exponent von x wird um Eins erhöht, und das Resultat des Exponenten wird als Kehrwert vorangestellt. Aus der Integration von s=a*t, integriert über t wird so: s= ... t (hoch eins plus eins=zwei) mal (1 durch zwei), also s=1/2 *at^2
Das war jetzt nur die Rechenregel. Bei der Berechnung von gesetzmässig veränderlichen Kräften hast Du es immer mit Integralen zu tun. Zum Beispiel bei Asteroideneinschlägen, denn dort ist nicht nur die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit, auch die Beschleunigung ist zunehmend, je nachdem wie nahe der Asteroid der Erde ist. Hier brauchst Du sowas wie Kettenregel (Details siehe: Wikipedia ;D)
Ich wollte Dir nur mal die Stammfunktion nahe bringen. Als Lösungsweg für krumme aber bestimmbare Basiswege. Wenn Du noch ein praktisches Beispiel für Anwendungen der Integralrechnung suchst, dann sei Dir Dieses gegeben: Optimale Losgrösse bzw. minimale Lagerkapazität.
Habe mal ein bisschen in Wiki gestöbert und festgestellt: Wiki ist nicht wirklich lehrbuchfähig. Wer dort in Mathe oder Informatik Erleuchtung sucht ist als Lichtsuchender verloren.
Mathematik ist eine logische Wissenschaft. Sie lebt von Regeln. Plus und Minus, geteilt durch und Mal ... die vier Grundrechenarten ... sie sind mit Zeichen verbunden und mit Regeln. Und so geht es in der Analysis weiter.
Den Schritt der Grenzwerte und Infinitesimalrechnung lasse ich jetzt mal weg, denn den hatte man irgendwann in der Schule. Jetzt mal nur die daraus entwickelten Rechenregeln. Wie es auch immer in der Mathematik läuft, ob es sich um Integrale, Matrizen oder Vektoren handelt: Es gibt eine Struktur und eine Rechenregel, um mit ihr umzugehen.
Die Ableitung einer Funktion der Form ax^2+bx+c ist: 2ax+b. Man nimmt den Exponenten der x-Variablen, und setzt ihn als Multiplikant voran. Also, aus ax^2 wird 2x. Wenn noch ein "a" ursprünglich davorstand, dann bleibt es natürlich erhalten. Also: 2ax^2 [strich] (->"Strich" heisst gleich "Ableitung") ist: Ich nehme dem Exponenten raus und setze ihn als Multiplikator. Den ursprünglichen Exponenten reduziere ich um Eins, also aus x^2 wird x^1.
So funktioniert die Kurvendiskussion. Die Ableitung wird als Steigung interpretiert. Ist sie negativ, so ist sie fallend, ist sie positiv, dann ist sie steigend.
Also: ax^2+bx+const. wird zu: ... x^2 wird umgewandelt zu x^(2-1), also x^1 oder x. bx wird umgewandelt zu b Mal x^(1-1), also b mal x hoch Null und damit x hoch Null gleich eins, und die Konstante c verschwindet, da in ihr kein x mehr vorkommt.
Die Regel bei der Ableitung ist recht eindeutig. Beim integrieren ist das nicht ganz so schön. Aber bei Zusammenhängen wie ax^2+bx+C ist es noch recht einfach.
Die Stammfunkrtion von ax+const, also ax^1+const*ax^0, ist relativ einfach zu bilden. Man kehrt die Rechenregel der Differenzierung einfach um: Der Exponent von x wird um Eins erhöht, und das Resultat des Exponenten wird als Kehrwert vorangestellt. Aus der Integration von s=a*t, integriert über t wird so: s= ... t (hoch eins plus eins=zwei) mal (1 durch zwei), also s=1/2 *at^2
Das war jetzt nur die Rechenregel. Bei der Berechnung von gesetzmässig veränderlichen Kräften hast Du es immer mit Integralen zu tun. Zum Beispiel bei Asteroideneinschlägen, denn dort ist nicht nur die Geschwindigkeit abhängig von der Zeit, auch die Beschleunigung ist zunehmend, je nachdem wie nahe der Asteroid der Erde ist. Hier brauchst Du sowas wie Kettenregel (Details siehe: Wikipedia ;D)
Ich wollte Dir nur mal die Stammfunktion nahe bringen. Als Lösungsweg für krumme aber bestimmbare Basiswege. Wenn Du noch ein praktisches Beispiel für Anwendungen der Integralrechnung suchst, dann sei Dir Dieses gegeben: Optimale Losgrösse bzw. minimale Lagerkapazität.
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