Leonhard Euler (1707-1783)

hardy

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Hallo Freunde der Mathematik,

am 15. April 2007 jährt sich der Geburtstag des grossen schweizerischen Mathematikers Leonhard Euler zum 300sten Male. Da ich ein Mathe-Fan bin und ausserdem nicht weit von Eulers Geburtsort wohne, ergreife ich die Gelegenheit zu einer kleinen Würdigung.

Zwar wurde Euler in Riehen bei Basel geboren, jedoch verbrachte er den grössten Teil seines Lebens im Ausland. Schon mit 20 Jahren wurde Euler von Daniel Bernoulli (ebenfalls ein Schweizer Mathematiker) an die Akademie von St. Petersburg (Russland) berufen. Er übernahm die Professur des kurz zuvor verstorbenen Nikolaus Bernoulli. Danach kehrte Euler nie mehr nach Basel zurück! Abgesehen von den 25 Jahren seines Aufenthalts in Berlin an der dortigen Preussischen Akademie lebte Euler in St. Petersburg.

Faszinierend seine unglaubliche Schaffenskraft. Obwohl er bereits 1738 ein Augenlicht verlor und 1771 vollständig erblindete, verfasste er fast die Hälfte seiner 866 Publikationen während seiner Erblindung. Er starb 1783 im Alter von 76 Jahren, während er die Bahn des vor kurzem entdeckten Planeten Uranus berechnen wollte.

Über sein Familienleben ist nicht viel bekannt. Er hatte 13 Kinder, von denen 3 ihn überlebt haben.

Zeitgenossen Eulers berichten über ihn, dass er so mühelos rechnete, wie andere Menschen atmeten oder wie der Adler in den Lüften schwebt. Man nannte ihn sogar die "fleischgewordenen Analysis".

Als Mathematiker hat Euler viel dazu beigetragen, die mathematische Schreibweise zu vereinheitlichen. Viele seiner Bezeichnungen haben sich durchgesetzt, so z. B. die für die trigonometrischen Funktionen (sin x, cos x, tan x, cot x), die Logarithmenschreibweise, das Symbol "i" für die imaginäre Einheit usw. Er fand die Eulersche Relation, welche die Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen sin und cos verknüpfte und die im Spezialfall zur wohl schönsten Formel der Welt führte:

e^(i*pi) + 1 = 0

(e ist die Eulersche Zahl 2,71828...).

Euler war aber auch ein bedeutender Vertreter der mathematisch orientierten Naturwissenschaft. Er formulierte z. B. die Gleichungen für die Bewegung starrer Körper (Eulersche Kreiselgleichungen) und für die Bewegung idealer, reibungsfreier Flüssigkeiten. Das Prinzip der Schiffsschraube geht ebenfalls auf ihn zurück.

Für Interessenten:
Über die Veranstaltungen aus Anlass des 300. Geburtstages von Euler kann man sich unter

http://www.euler-2007.ch

informieren.

Vielleicht fällt dem einen oder anderen noch mehr zu Euler ein?

Gruss
hardy
 

Daniel99

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Hallo Hardy


Der große schweizer Mathematiker war auf mehren wissenschaftlichen Gebieten tätig.
Hier eine Auflistung der Thematische Verteilung von Eulers Arbeiten:

Algebra, Zahlentheorie, Analysis 40 %
Mechanik und übrige Physik 28 %
Geometrie, einschließlich Trigonometrie 18 %
Astronomie 11 %
Schiffsbau, Architektur, Artillerie 2 %
Philosophie, Musiktheorie, Theologie etc. 1 %

Der deutsche Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker Johann Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855)
sagte über Euler: "Das Studium der Werke Eulers bleibt die beste Schule in den verschiedenen Gebieten der Mathematik und kann durch nichts anderes ersetzt werden".


Alles Gute zum 300.Geburtstag von Leonhard Euler wünscht Daniel:)
 

ispom

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die im Spezialfall zur wohl schönsten Formel der Welt führte:

e^(i*pi) + 1 = 0

(e ist die Eulersche Zahl 2,71828...).


Hallo Hardy,
lange ist es her,
da habe ich auch diese Formel bestaunt,

und die beiden Herleitungen der Eulerzahl
einmal als Grenzwert einer Zahlenfolge (1+1/n)^n
andererseits als Summe der unendlichen Reihe 1+1/1!+1/2!+....
kamen mir so mystisch vor, daß ich vor dieser Zahl eine Riesenhochachtung hatte,
und natürlich vor ihrem Erfinder (oder Entdecker?)!

eulersche Grüße von Ispom
 

Orbb

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Bin in der Mathematik nicht so versiert, und kann daher nicht viel zu diesem Thread beitragen - wollte aber auch mal meine Ehrfurcht und mein Erstaunen über Eulers mathematische Leistungen bekunden (die, die mir bekannt ist), wie etwa die von dir, hardy, genannte Formel.

Die transzendenten Zahlen Pi und e erscheinen mir als Bestandteil des grundlegendsten Prinzips im Universum - egal an welchem Ort, wenn ich um einen Punkt eine Linie mit konstantem Abstand ziehe, und das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser bilde, erhalte ich diese Zahl - und doch kann man sich ihr nur annähern. Obwohl es unendlich viele sind, steht jede Stelle fest und ist an keinem Ort des Universums anders (andere Zahlensysteme mal ausser Acht ;) ). Und das ist schon ein starkes Stück :eek:
 

SirToby

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einfach und schön

Hallo,

eure Begeisterung für Mathematik empfinde ich als richtig wohltuend. Unter meinen Ingenieurskollegen ist diese Begeisterung leider sehr selten, wofür ich kein Verständnis habe.

Bei eurer Begeisterung für pi und e vergeßt auch nicht die imaginäre Einheit i. Gerade erst mit dieser Zahl eröffnet sich der Raum der komplexen Zahlen, wo buchstäblich alles möglich ist. Logarithmen aus negativen Zahlen, Arkussinuswerte von Zahlen, die größer als 1 sind. Nichts ist unmöglich!

Gerade die EULERSCHE Formel e^ix = cosx + i*sinx, die im übrigen auch eine Verbindung zwischen den trigonometrischen und den Hyperbelfunktionen schafft, ist einfach schön und genial zugleich. Eine Erkenntisleistung EULERS, die zeigt, dass so vieles in dieser Welt sowohl einfach als auch schön ist; aber doch einiger Anstrengung bedarf bis man solche Perlen findet.

Gruß SirToby
 

hardy

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Die transzendenten Zahlen Pi und e erscheinen mir als Bestandteil des grundlegendsten Prinzips im Universum - egal an welchem Ort, wenn ich um einen Punkt eine Linie mit konstantem Abstand ziehe, und das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser bilde, erhalte ich diese Zahl - und doch kann man sich ihr nur annähern.

Hallo Orbb,

dass das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser eines Kreises immer "pi" ergibt, ist allerdings an die ebene Euklidische Geometrie gebunden. In anderen Geometrien, z. B. der sphärischen Geometrie, gilt das nicht.

Stell dir vor, du stehst am Nordpol unserer Erde und ziehst einen Kreis um dich. Bei kleinen Durchmessern wirst du für das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser den Wert "pi" finden. Ziehst du den Kreis aber so gross, dass er dem Äquator entspricht, so erhältst du für das gewisse Verhätnis den Wert 2 (statt "pi").

Gruss
Hardy
 

Orbb

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Hallo Orbb,

dass das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser eines Kreises immer "pi" ergibt, ist allerdings an die ebene Euklidische Geometrie gebunden. In anderen Geometrien, z. B. der sphärischen Geometrie, gilt das nicht.

Stell dir vor, du stehst am Nordpol unserer Erde und ziehst einen Kreis um dich. Bei kleinen Durchmessern wirst du für das Verhältnis aus Umfang und Durchmesser den Wert "pi" finden. Ziehst du den Kreis aber so gross, dass er dem Äquator entspricht, so erhältst du für das gewisse Verhätnis den Wert 2 (statt "pi").

Gruss
Hardy

Ja, das ist mir klar - wie auch die Winkelsumme eines Dreiecks nicht in jeder Ebene 180° ergeben muss. Hab vor lauter Begeisterung nicht daran gedacht, einen entsprechenden Vermerk zu platzieren ;) Dennoch ist es ein erstaunlicher Zufall (oder eben kein Zufall), dass gerade in der flachen, und nicht in einer Ebene von beliebig anderer Krümmung die Kreiszahl einen irrationalen Wert hat. Das ist einfach eine grundlegende Eigenschaft dieser Welt.

Im Buch "Contact" von Carl Sagan wird in diesem Bezug übrigens eine schöne Idee zum "Gottesbeweis" eingebaut: Ab einer gewissen Stelle nach dem Dezimalsystem enthält Pi (fiktiv) eine Reihe von Ziffernfolgen, die eine Botschaft ergeben, und deren Entstehen sich nicht mit statistischem Zufall begründen lässt. Dann wäre diese Botschaft von einer unserem Universum übergeordneten Instanz eingewoben worden, denn in unserem Universum könnte niemand daran rütteln - eine faszinierende Idee!
 

hardy

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eure Begeisterung für Mathematik empfinde ich als richtig wohltuend.

Es freut mich, SirToby, dass du ebenfalls ein Mathe-Fan bist.

Bei eurer Begeisterung für pi und e vergeßt auch nicht die imaginäre Einheit i. Gerade erst mit dieser Zahl eröffnet sich der Raum der komplexen Zahlen, wo buchstäblich alles möglich ist.

Stimmt. Die Theorie der Funktionen komplexer Veränderlicher (Funktionentheorie) hat mich besonders fasziniert. So z. B. der Satz über die "analytische Landschaft" (Betragsquadratfläche der Funktion):

Eine analytische Landschaft besitzt keine Gipfel, sondern nur Mulden oder Sattelpunkte ...

Aber zurück zu L. Euler. Wodurch wurde er erstmals berühmt?

Er fand 1735 die Lösung des sog. "Basler Problems". Dieses Problem bestand darin, die Summe aller reziproken (ganzzahligen) Quadratzahlen zu berechnen:

1 + (1/4) + (1/9) + (1/16) + ... = ?

Diese Aufgabe wurde von Pietro Mengoli (1625-1686) im Jahre 1644 formuliert, und viele Mathematiker, darunter auch die berühmten Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli (1654-1705) und Eulers Lehrer Johann Bernoulli (1667-1748), versuchten sich an ihr ohne Erfolg. Die Aufgabe hatte damals in etwa den Stellenwert wie der Beweis des FERMATschen Satzes.

Die Schwierigkeit bei der Lösung der Aufgabe lag zunächst darin, dass die o. g. unendliche Reihe sehr langsam konvergiert. Um den Wert auf 6 Stellen genau zu erhalten (1.644924), müsste man ca. 30'000 Terme addieren! Euler gelang es 1731 zunächst, die unendliche Reihe in eine rascher konvergierende zu transformieren. Mit diesem Trick genügten bereits 15 Terme für die gewünschte Genauigkeit. Euler erkannte, dass der Wert 1.644924 sehr nahe an pi^2/6 liegt. Ausgehend davon versuchte er, dieses Ergebnis exakt herzuleiten. Er verwendete dabei Taylor-Reihenentwicklungen trigonometrischer Funktionen, insbesondere diejenige für sin(x)/x. 1735 gelang ihm der Beweis,

1 + (1/4) + (1/9) + (1/16) + ... = pi^2/6


und Euler wurde mit einem Schlag berühmt.

Gruss
Hardy
 

ispom

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Im Buch "Contact" von Carl Sagan wird in diesem Bezug übrigens eine schöne Idee zum "Gottesbeweis" eingebaut: Ab einer gewissen Stelle nach dem Dezimalsystem enthält Pi (fiktiv) eine Reihe von Ziffernfolgen, die eine Botschaft ergeben, und deren Entstehen sich nicht mit statistischem Zufall begründen lässt. Dann wäre diese Botschaft von einer unserem Universum übergeordneten Instanz eingewoben worden, denn in unserem Universum könnte niemand daran rütteln - eine faszinierende Idee!

Hallo Orb,
diesen fiktiven Gottesbeweis fand ich viel faszinierender als die eigentliche Story.
Beim ersten Lesen haben mich die philosophischen Passagen um Gott und die Zahl pi weniger interessiert, ich wollte ja wissen, wie es weiter geht...:)
aber dann habe ich das Buch noch zweimal gelesen, weil mich diese Idee so beeindruckt hat,
solch einen Gottesbeweis würde ich gelten lassen,
ich denke Hardy würde sich dem auch nicht verschließen :)

agnostische grüße von Ispom
 

hardy

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Alles Gute zum 300. Geburtstag von Leonhard Euler wünscht Daniel

Danke vielmals, Daniel. Mal sehen, welche Events ich in Basel besuchen werde.

Hier eine Auflistung der Thematische Verteilung von Eulers Arbeiten:
...
Astronomie 11 %
...

Im Jahre 1727, Euler war noch nicht 20 Jahre alt, war in Basel eine Physikprofessur neu zu besetzen. Euler bewarb sich um diese Stelle, wozu er eine Dissertation einreichen musste. Eine der Thesen seiner Dissertation befasste sich mit dem "Fall durch die Erde":

Euler denkt sich einen Schacht mitten durch die Erde hindurch. Ein Stein, vom Zentrum umgekehrt dem Quadrat der Entfernung angezogen, fällt mit steigender Geschwindigkeit herab. Was geschieht, wenn er im Mittelpunkt der Erde angelangt ist? Fährt der Stein durch die andere Seite des Schachtes wieder herauf, wie jedermann denken wird? Oder bleibt er in der Mitte liegen? Oder kehrt er gar plötzlich um und steigt im selben Schacht wieder zur Ausgangsstelle empor? Es ist die letzte, unerwartete Behauptung, die Euler vertritt.

War Eulers Vermutung richtig? Was meint ihr?

Jedenfalls erhielt Euler die Stelle in Basel nicht. Aber noch im selben Jahre reiste er nach St. Petersburg ...

Da fällt mir ein:
Feiert etwa St. Petersburg den Euler auch oder sogar noch enthusiastischer als die Schweizer? Und: Wie konnten die Schweizer ein solches Talent wie Euler verkennen?

Gruss
Hardy
 

mac

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Hallo Hardy,

im Mittelpunkt umkehren würde er nicht. Frei fallen würde er auch nicht (korriolis). Gar nicht fallen würde er, wenn sich die Erde in 1,25 h einmal um sich selbst drehen würde, allerdings gäbe es dann auch keine Erde.

Bei gleichbleibender Dichte haben Zentripetalkraft und Gravitationskraft immer das gleiche Verhältnis, solange man noch in der Erde ist.

Wenn alle Reibungskräfte wegfallen, dann würde der Stein ähnlich wie bei ener Umlaufbahn von einer Erdoberfläche zur anderen hin und her pendeln.

Herzliche Grüße

MAC

PS: hoffenlich hab' ich nicht irgendeine weitere Gemeinheit übersehen. Mit Euler kann ich's nämlich ganz bestimmt nicht aufnehmen. :eek:
 

ispom

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Euler denkt sich einen Schacht mitten durch die Erde hindurch. Ein Stein, vom Zentrum umgekehrt dem Quadrat der Entfernung angezogen, fällt mit steigender Geschwindigkeit herab. Was geschieht, wenn er im Mittelpunkt der Erde angelangt ist? Fährt der Stein durch die andere Seite des Schachtes wieder herauf, wie jedermann denken wird? Oder bleibt er in der Mitte liegen? Oder kehrt er gar plötzlich um und steigt im selben Schacht wieder zur Ausgangsstelle empor? Es ist die letzte, unerwartete Behauptung, die Euler vertritt.

War Eulers Vermutung richtig? Was meint ihr?


http://www.stern.de/wissenschaft/natur/531136.html?eid=501586
 

Daniel99

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Hallo Hardy

Du erwähntest einige Vorträge des schweizer Mathematikers zu besuchen.

Hier hätte ich ein sehr interessanten Vortrag zu Eulers wirken in der Astronomie bzw. Himmelsmechanik.
Von Dr. Andreas Verdun, Astronomisches Institut der Universität Bern

Die Veranstaltung ist aber im 64 km entfernten Zürich.

Der Vortrag gibt einen Überblick über Eulers astronomische Arbeiten.
Dort werden einzelne Themen etwas vertiefter dargestellt, z.B.:

- seine Preisschriften zur Grossen Ungleichheit in den Bewegungen von Jupiter und
- Saturn,
- seine Arbeiten zur Störung der Erdbahnbewegung durch die Venus,
- seine Bestimmung der Entfernung der Erde von der Sonne aus den
- Venustransits von 1761 und 1769 sowie
- seine theoretische Entdeckung der Bewegung der Rotationsachse der Erde
- bezüglich des Erdkörpers.

Ziel des Vortrages besteht darin, die astronomischen Probleme des 18. Jahrhunderts aufzuzeigen, damit Eulers Beiträge zur Lösung dieser Probleme entsprechend gewürdigt werden können.

Es könnte Otschen interesno werden.

Solltest du im Oktober Zeit und Interesse haben, hier ist die Adresse.

05.10.2007
19:30 Uhr
Hörsaal 175
Universität Zürich
Rämistrasse 71
8006 Zürich


Mit freundlichen Grüssen Daniel
 

SirToby

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Das Wort zum Sonntag

Zitat von Orbb:
Im Buch "Contact" von Carl Sagan wird in diesem Bezug übrigens eine schöne Idee zum "Gottesbeweis" eingebaut: Ab einer gewissen Stelle nach dem Dezimalsystem enthält Pi (fiktiv) eine Reihe von Ziffernfolgen, die eine Botschaft ergeben, und deren Entstehen sich nicht mit statistischem Zufall begründen lässt. Dann wäre diese Botschaft von einer unserem Universum übergeordneten Instanz eingewoben worden, denn in unserem Universum könnte niemand daran rütteln - eine faszinierende Idee!

Zitat von ispom:
Beim ersten Lesen haben mich die philosophischen Passagen um Gott und die Zahl pi weniger interessiert, ich wollte ja wissen, wie es weiter geht...
aber dann habe ich das Buch noch zweimal gelesen, weil mich diese Idee so beeindruckt hat,
solch einen Gottesbeweis würde ich gelten lassen,

Hallo ispom,

muss nochmal auf einen vorangegangenen Dialog von Dir zurückkommen. Als frommer Mensch kann ich nicht anders.

Sagan stellt in "Contact" auch die Frage, warum Gott nicht einfach ein riesiges Kreuz in die Umlaufbahn stellt anstatt eines Mondes. Das wäre doch ein Gottesbeweis erster Klasse! Als jahrelanger Bibelleser meine ich aber die Handschrift Gottes zu kennen. Er will sich nicht in so plumper Weise den Menschen aufdrängen. Es gilt vielmehr das Bibelwort "Wer suchet, der findet!" In der Tat eröffnet sich die Art und Weise, wie Gott spricht, wirklich erst dem Menschen, der ernsthaft danach sucht. Die Antwort ist dann meistens überdeutlich.

Lieber ispom, was würdest du anders machen, wenn sich in einer bestimmten Sequenz der Zahl pi der asci-Code des Satzes "Ich bin der Herr dein Gott" finden würde. Würdest Du dann regelmässig Gottesdienste besuchen, würdest Du anfangen zu beten? Versuche es trotzdem mal. Du wirst aus dem Staunen nicht herauskommen, was das für Kräfte in Deinem Leben freisetzt. - Im übrigen ging es bei den Gottesbeweisen, die ich persönlich sowieso immer für fraglich halte, nie darum, ob wir etwas gelten lassen wollen. Das klingt zwar großzügig, ist aber etwas vermessen. Eigentlich müssten wir vorsichtig nachfragen, ob wir vor Gott noch etwas gelten.

Gruß SirToby
 

jonas

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Also das mit pi ist schon eher mit Vorsicht zu geniessen. Sie ist eine unendliche Zahl, und wenn man lange genug sucht, findet man auch eine Sequenz, die Tolstois Krieg und Frieden als Ascii enthält. Das ist statistisch überhaupt nicht überraschend, im Gegenteil, es wäre überraschend, wenn es nicht so wäre.
 

SirToby

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Pi ist normal

Hallo jonas,

es stimmt, was Du schreibst. Und es ist auch Gegenstand aktueller Forschung zu beweisen, dass pi eine normale Zahl ist. "Normal" bedeutet, dass alle Ziffern gleich häufig vorkommen und keinerlei statistische Bindungen existieren. Für mich persönlich ist diese "Normalität" längst bewiesen, immerhin existieren Abermilliarden von errechneten Nachkommastellen, alle unauffällig. Tatsächlich muß(!) jede beliebige Textsequenz drinstecken. Nur der exakte mathematische Beweis steht noch aus. Wenn er aber erbracht ist, werden wir wieder ein gutes Stück mehr wissen über die geheimnisvolle Zahl pi. Gibt sogar schon eine Formel mit der man beliebige Nachkommastellen von pi errechnen kann, ohne alle vorangegangenen errechnen zu müssen; funktioniert im hexadezimalen System. Damit ist man diesem Beweis schon ein gutes Stück näher.

Ging mir in meinem "Wort zum Sonntag" auch mehr darum aufzuzeigen, dass wir zwar immer gerne Gottesbeweise haben wollen, diese aber in aller Regel nicht dazu führen, dass wir Vertrauensschritte in Richtung Gott unternehmen. Dadurch bleiben dann ungeahnte Chancen ungenutzt.

Gruß SirToby
 

ispom

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Hallo ispom,

muss nochmal auf einen vorangegangenen Dialog von Dir zurückkommen. Als frommer Mensch kann ich nicht anders.

Hallo Toby,
ich verstehe es, wenn Dich eine solche Frage umtreibt.
Diese Frage nach dem Kreuz als Satelliten der Erde ist gar nicht so abwegig
(allerdings erst nach Jesus Tod, vorher hätte man es als warnendes Symbol für die Herrschaft Roms über die Welt deuten können :) )

Aber es ist noch immer nicht zu spät:
wenn ich Gott wäre, würde ich sofort ein Kreuz in den Orbit setzen,
schon deshalb,
weil dann die Moslems in Anbetracht dieser Offenbarung sofort Ruhe geben würden und der Menschheit vermutlich katastrophale Ereignisse erspart bleiben.

Als jahrelanger Bibelleser meine ich aber die Handschrift Gottes zu kennen. Er will sich nicht in so plumper Weise den Menschen aufdrängen. Es gilt vielmehr das Bibelwort "Wer suchet, der findet!"

aufgrund meiner (leider nur flüchtigen) Bibelkenntnisse muß ich aber entgegenen:
Moses hat von Gott auf dem Berg Sinai die Handschrift der 10 Gebote entgegengenommen, deren erstes und wichtigstes den Menschen die Gottgläubigkeit auferlegt.

gottsuchende grüße von Ispom
 

ispom

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Also das mit pi ist schon eher mit Vorsicht zu geniessen. Sie ist eine unendliche Zahl, und wenn man lange genug sucht, findet man auch eine Sequenz, die Tolstois Krieg und Frieden als Ascii enthält. Das ist statistisch überhaupt nicht überraschend, im Gegenteil, es wäre überraschend, wenn es nicht so wäre.

Aber um diesen Ascii zu finden müßte vermutlich ein Superrechner so groß wie das Universum sein und 10^100 Jahre rechnen, und wenn er so von Ewigkeit zu Ewigkeit vor sich hin rechnen könnte würde vielleicht auch irgendwann der Bibeltext und die Suren des Koran herauskommen,
aber in 10^100 Jahren haben wir hier eine Leptonenwüste ohne jede Information :eek:
 
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