Zweites Kepler Gesetz

[schufti]

"Ein Planet legt die gleiche Strecke in der gleichen Zeit zurück, unabhängig davon, wo er sich auf seiner Bahn befindet."
Stimmt das so? Meinem Verständnis nach ist es genau umgekehrt. Lieg ich da falsch, oder ist das nur unverständlich formuliert?
Die Aussage ist übrigens aus "Der Atlas des Universums" von Roger D. Launis, Seite 112.

 

[ralfkannenberg]

Hallo Schufti,

ich würde sagen weder - noch: es geht nicht um Strecken, sondern um Flächen unter dem sogenannten "Fahrstrahl." Dieser geht vom Brennpunkt, in welchem sich die Sonne befindet, aus.

In gleich grossen Zeitabständen werden also gleich grosse solcher Flächen überstrichen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[schufti]

Hallo und danke für die Antwort!
Das das Original von Keppler mit Winkel und Flächen arbeitet ist schon klar.
Ich meine die Version für Laien, das sich Planeten auf ihrer Bahn in Sonnennähe schneller und weiter weg von der Sonne eben langsamer bewegen.
Passt das mit "Ein Planet legt die gleiche Strecke in der gleichen Zeit zurück, unabhängig davon, wo er sich auf seiner Bahn befindet." zusammen?
Nach meinem Verständnis nicht....

 

[Chrischan]

Moin schufti,

wenn da steht "Ein Planet legt die gleiche Strecke in der gleichen Zeit zurück, unabhängig davon, wo er sich auf seiner Bahn befindet.", dann ist das falsch.

Eine "Strecke" ist ein Abstand mit einer messbaren Länge. Damit ist Strecke / Zeit gleich einer (skalaren) Geschwindigkeit. Nach der obigen Aussage wäre damit die Bahngeschwindigkeit konstant, was nur bei einer perfekten Kreisbahn passen würde.

Grüße
Christian

 

[ralfkannenberg]

Eine "Strecke" ist ein Abstand mit einer messbaren Länge. Damit ist Strecke / Zeit gleich einer (skalaren) Geschwindigkeit. Nach der obigen Aussage wäre damit die Bahngeschwindigkeit konstant, was nur bei einer perfekten Kreisbahn passen würde.

Hallo Chrischan,

mir fehlt leider die Zeit, aber ich bin noch nicht überzeugt, ob das wirklich nur für den Spezialfall einer konstanten Bahngeschwindigkeit gültig ist, da die Bahngescfhwindigkeit im Allgemeinen so variieren könnte, dass dennoch die gleiche Strecke in der gleichen Zeit zurückgelegt werden könnte.

In Kurz: ich weiss es (noch) nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Chrischan]

Moin Ralf,

das hängt doch nur an der Länge der Strecke oder der Länge des Zeitintervalls ab. Umspannt das Zeitintervall die gesamte Umlaufperiode, dann ist die Strecke ja immer ein kompletter Umlauf, also konstant.

Also die Erde legt in einem Jahr immer die gleiche Strecke zurück, wenn man mal Störungen, etc. vernachlässigt.

Da aber die obige Aussage die Länge des Zeitintervalls nicht enthält, sondern nur sagt "gleiche Strecke = gleiche Zeit" müsste dies auch ganz allgemein gelten. Bei der Erde beträgt die Perihelgeschwindigkeit ca. 30,3 km/s, d.h. je Sekunde werden 30,3 km an Strecke zurückgelegt und im Aphel, bei ca. 29,3 km/s, je Sekunde nur 29,3 km.

Die Aussage "Ein Planet legt die gleiche Strecke in der gleichen Zeit zurück, unabhängig davon, wo er sich auf seiner Bahn befindet." kann man also simpel für das Perihel und das Aphel mal betrachten:
Perihel: Strecke = 30,3km --> Zeit = 1 Sekunde
Aphel: Strecke = 29,3km --> Zeit = 1 Sekunde

Laut Aussage sollte doch in der gleichen Zeit (1 Sekunde) immer die gleiche Strecke zurückgelegt werden, egal ob im Aphel oder im Perihel...
Darum ist die Aussage, nach meiner Meinung, falsch.

Gruß Christian

 

[ralfkannenberg]

Laut Aussage sollte doch in der gleichen Zeit (1 Sekunde) immer die gleiche Strecke zurückgelegt werden, egal ob im Aphel oder im Perihel...
Darum ist die Aussage, nach meiner Meinung, falsch.

Hallo Chrischan,

und diesem Argument stimme ich im vollen Umfang zu.


Danke schön und freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

auf einer nicht perfekten Kreisbahn, d.h. im Fall einer nicht kreisförmigen Ellipse, hat der Planet schnellere Abschnitte in der Nähe der Sonne - weil dort die Anziehung der Sonne stärker ist - und langsamere Abschnitte in grösserer Entfernung zur Sonnem weil dort die Anziehung eben schwächer ist.

Unterschiedliche Geschwindigkeiten heisst unterschiedlich lange Strecken pro Sekunde, und somit ist Chrischans Argument von #4 korrekt. Sein Beispiel in #6 vom Perihel und Aphel, also der beiden extremen Punkte der Umlaufbahn einer Ellipse, illustriert das sehr schön.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[TomS]

Die Aussage

"Ein Planet legt die gleiche Strecke in der gleichen Zeit zurück, unabhängig davon, wo er sich auf seiner Bahn befindet."

ist, wie du richtig sagst, für nicht-kreisförmige Orbits, d.h. Exzentrizität ungleich Null, natürlich falsch.

Den Zusammenhang

Dass das Original von Keppler mit Winkel und Flächen arbeitet ist schon klar.
Ich meine die Version für Laien, das sich Planeten auf ihrer Bahn in Sonnennähe schneller und weiter weg von der Sonne eben langsamer bewegen.

versteht unter der Voraussetzung von Ralf "in gleich großen Zeitabständen werden also gleich große Flächen überstrichen" wie folgt:

Für kurze Zeitabschnitte approximieren wir den Ellipsen- durch einen Kreisbogen mit konstantem Radius

Dessen Fläche ist

Die Winkelgeschwindigkeit sei für diesen kurzen Zeitraum in guter Näherung konstant

Der überstrichene Winkel ist gerade

D.h. wir haben

wobei Bahn- und Winkelgeschwindigkeit über

zusammenhängen.

Ralfs Voraussetzung bedeutet, dass die Ableitung der überstrichenen Fläche nach der Zeit konstant ist. Für kurze Zeiten, d.h. wieder für die Näherung konstanten Radius und Winkelgeschwindigkeit, erhält man

Diese Größe entspricht dem Drehimpuls, genauer

d.h. das Keplersche Gesetz entspricht der Drehimpulserhaltung, und es besagt auch, dass Himmelskörper unterschiedlicher Massen auf identischen Orbits umlaufen. Wenn sich also der Radius verringert, müssen Bahn- und Winkelgeschwindigkeit anwachsen (u.u.), damit die Konstanz gelten kann, d.h. das Keplersche Gesetz erfüllt ist; dies entspricht dem bekannten Pirouetteneffekt.

 

[ralfkannenberg]

ich würde sagen weder - noch

Hallo zusammen,

das ist noch zu korrigieren: das "weder - noch" ist falsch, es ist statt dessen genau so, wie Schufti beschrieben hat. Der Rest meines Beitrages indes sollte korrekt sein.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

versteht unter der Voraussetzung von Ralf "in gleich großen Zeitabständen werden also gleich große Flächen überstrichen"

Hallo Tom,

jetzt bin ich aber etwas verwirrt: ich dachte, der kursiv zitierte Teil sei nicht eine "Voraussetzung", sondern ein von Isaac Newton bewiesenes Resultat im Spezialfall des idealen Zweikörper-Problems.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[TomS]

… ich dachte, der kursiv zitierte Teil sei nicht eine "Voraussetzung", sondern ein von Isaac Newton bewiesenes Resultat im Spezialfall des idealen Zweikörper-Problems.

der kursiv zitierte Teil ist tatsächlich ein Resultat von Newton, hier jedoch Voraussetzung für meine Argumentation, bzgl. der

Version für Laien, dass sich Planeten auf ihrer Bahn in Sonnennähe schneller und weiter weg von der Sonne langsamer bewegen.

Man könnte dies auch anders herleiten. Da jedoch die Keplerschen Gesetze sowohl in der Astronomie als auch in der Physik oft herangezogen werden, dachte ich, dass es sinnvoll sei, diesen Zusammenhang zu erklären.