zwei Formeln

[Rainer]

Ich habe wieder einmal zwei Formeln gefunden, die das gleiche Ergebnis liefern. Damit berechne ich die Gravitation in einer homogenen Scheibe.
Einmal ein normales Integral (ohne die spezifischen Faktoren und R=1 direkt eingesetzt) und das andere Mal zwei Elliptische Integale.

 

[Bernhard]

Das sieht nach einer speziellen Eigenschaft der verwendeten elliptischen Integrale aus.

Was genau ist N(x), EllipticE(x), ElliptikK(x)?
Was genau macht NIntegrate ?

 

[Rainer]

Was genau ist N(x), EllipticE(x), ElliptikK(x)?
Was genau macht NIntegrate ?

Das Diagramm stammt nicht von mir, da mein Plotter da nicht mitmacht und ich kein Rechenprogramm habe.

EllipticE ist das Elliptische Integral E und EllipticK ist das Elliptische Integral K. N kenne ich nicht und es macht hier wohl nur die Rechengenauigkeit 32 Ziffern. Integrate is das normale Integral, hier von 0 bis 1.

Im oberen Integral EDIT: In der oberen Formel kann man den Nenner fast wegkürzen, aber die vollständige Form wird wohl benötigt, wenn man noch die Höhe z über der Äquatorebene berücksichtigen will oder einen Dichtegradienten.

E(ε²) = ∫√(1-ε²sin².ξ) d.ξ
K(ε²) = ∫1/√(1-ε²sin².ξ) d.ξ
jeweil von 0 < ε < π/2

 

[Bernhard]

EllipticE ist das Elliptische Integral E und EllipticK ist das Elliptische Integral K.

Habe ich nicht zur Hand. Gibt es dazu eine lesbare Formel oder einen Link?

 

[Rainer]

lesbare Formel

die habe ich ja oben schon angegeben.

K ist die 1.Art und E die 2.Art der vollständigen Integrale, dann schreibt man dies gar nicht erst an.
Hier findest Du alles

https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Integrale

Ist zusätzlich die obere Integralgrenze π/2, spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen.

 

[Bernhard]

K ist die 1.Art und E die 2.Art der vollständigen Integrale

ok. Dann ist das schon mal geklärt

 

[Rainer]

ahja, die Jacobi Form ist besser zum Vergleich als die übliche Legendre Form (mit Obergrenze π/2)

K(ε²) = ∫1/√((1-y²)(1-y²ε²)) dy
E(ε²) = ∫√(1-y²ε²)/√(1-y²) dy
mit Einheitsintegralen

 

[Bernhard]

Bei der oberen, ersten Formel wird über r integriert. Bei der zweiten, unteren Formel dagegen offenbar über B. Das macht die Sache ziemlich unübersichtlich.

 

[Rainer]

Bei der oberen, ersten Formel wird über r integriert.

Nein. Bei der oberen Formel wird gar nicht integriert, sondern nur die vollständigen Elliptischen Integrale.
(Das hatte ich zuerst als Integral bezeichnet ich habs oben korrigiert)
r (Position in der Scheibe, x-Koordinate) ist in beiden Fällen der freie Parameter, der erhalten bleibt.
R (Radius der Scheibe) ist ein anderer freier Parameter, der zur Demo auf 1 gesetzt wird, ebenso wie ρ und G.

B in der zweiten Formel ist die Elongation (y-Koordinate) Ich wollte dort vorerst kein x oder y in der Formel haben.

 

[Bernhard]

Nein. Bei der oberen Formel wird gar nicht integriert, sondern nur die vollständigen Elliptischen Integrale.

Ist schon klar. So war das gemeint. Der Intergrationsparameter der beiden elliptischen Integrale ist also wie erwartet r.

Aktuell habe ich zu der gestellten Aufgabe keine brauchbare Idee. Zumindest ist klar, was gemeint ist.

EDIT: Du kannst die Aufgabe ohne die ganzen physikalischen Parameter ja mal im Matheboard stellen.

 

[Rainer]

Der Intergrationsparameter der beiden elliptischen Integrale ist also wie erwartet r.

Nein, r fließt dort als Konstante ein. Der Ausdruck ε² = 4r·R/(R+r)² ist dabei ein fixer Parameter.
Der Integrationsparameter von E und K ist 0 < φ < π/2 bzw 0 < t < 1 bzw verwende ich y oder B.
Dieser Integrationsparameter ist aber gar nicht bekannt, er ist nicht als Parameter im Argument zugänglich, sondern wird nur intern verwendet.

Du musst Dir das nicht wie ein Integral, sondern wie eine Funktion vorstellen, ähnlich wie sin oder cos. Der Wert ε² ist das Argument, und wird nicht integriert, sondern als fixer Wert in das Integral eingesetzt.

E(4r·R/(R+r)²) = ∫√(1-y²(4r·R/(R+r)²))/√(1-y²) dy
K(4r·R/(R+r)²) = ∫1/√((1-y²)(1-y²(4r·R/(R+r)²))) dy

zB
EllipticE(.8) = 1.1784899243278384

 

[Rainer]

Die erste Formel kann man also umformulieren zu
(R/r+1)(-∫√(1-y²(4r·R/(R+r)²))/√(1-y²) dy + (1-2R/(R/r+1)²)∫1/√((1-y²)(1-y²(4r·R/(R+r)²))) dy =
∫ (1-2R/(R/r+1))/√((1-y²)(1-y²(4r·R/(R+r)²))) - √(1-y²(4r·R/(R+r)²))(R/r+1)/√(1-y²) dy

und die zweite Formel (mit R und y) zu
∫ 1/√((r+√(R²-y²))²+y²) - 1/√((r-√(R²-y²))²+y²) dy

Da beides gleich sein soll muss gelten
(1-2R/(R/r+1))/√((1-y²)(1-y²(4r·R/(R+r)²))) - √(1-y²(4r·R/(R+r)²))(R/r+1)/√(1-y²) = 1/√((r+√(R²-y²))²+y²) - 1/√((r-√(R²-y²))²+y²)

da ist ein Fehler drin....

 

[TomS]

Es wäre sinnvoll, die ursprüngliche Formel zu sehen.

Die Berechnung der Gravitation einer beliebigen Masseverteilung folgt in der Newtonschen Mechanik immer mittels Lösung der Poisson-Gleichung

Das für eine homogene, dünne Scheibe zu lösen ist eine beliebte Übungsaufgabe aus der Elektrostatik.

Am besten betrachtet man zwei Lösungsmethoden, zum einen die mittels elliptischer Integrale, zum anderen die mittens Multipolentwicklung in Legendre-Polynomen.

 

[Rainer]

Es wäre sinnvoll, die ursprüngliche Formel zu sehen.

was meinst Du denn damit?

Die erste Lösung ist der Gradient eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten.
Die zweite Lösung ist ein Doppelintegral in kartesischen Koordinaten, dessen inneres Integral aufgelöst werden konnte.

 

[TomS]

was meinst Du denn damit?

Ich meine das

Die Berechnung der Gravitation einer beliebigen Masseverteilung folgt in der Newtonschen Mechanik immer mittels Lösung der Poisson-Gleichung

Ist das die Aufgabenstellung?

 

[Rainer]

Da beides gleich sein soll muss gelten

das war der Fehler.

∫₀,₁¹(x) dx = ∫₀,₁¹(0,495/2.30258x) dx = 0,495
aber x ≠ (0,495/2.30258x)
∫₀¹x dx = ∫₀¹1,5x² dx = 0,5
x ≠ 1,5x²

 

[Rainer]

Ist das die Aufgabenstellung?

Das ergibt das Potential. Die Kunst ist dabei, die Formel ∫∫1/D dx dy (mit dz=0) so zu formulieren, dass das Integral (möglichst) gelöst werden kann.
Üblich rechnet man dies zwar in Polarkoordinaten Φ ~ -∫∫1/D dφ dx

Einfacher ist zur Überraschung der zweite Ansatz, g ~ ∫∫x/D³ dx dy unmittelbar auszurechnen, führt jedoch nicht zur analytischen Lösung mit den Elliptischen Integralen. Das wird dann wohl an den kartesischen Koordinaten liegen.

 

[TomS]

Das wird in kartesischen Koordinaten nicht einfacher. Ich kenne nur die o.g. Lösungen; elementar geht das nicht.

(In der xy-Ebene und auf der z-Achse ist es nach meiner Erinnerung elementar lösbar)

 

[Rainer]

nicht einfacher.

Die Formel hinzuschreiben schon. Und ich finde auch das Ergebnis einfacher, aber halt (vermutlich) nicht analytisch lösbar.

 

[TomS]

Die Formel hinzuschreiben schon. Und ich finde auch das Ergebnis einfacher, aber halt (vermutlich) nicht analytisch lösbar.

Doch, schon analytisch. Es ist halt keine elementare, sondern eine spezielle Funktion