Hallo Ralf,
danke für die ehrliche Antwort.
Was meint denn die ChatGPT dazu ?
Wir haben die Fragestellung inzwischen tatsächlich ziemlich ausführlich am endlichen Modell getestet. Ich muss allerdings ehrlich sagen, dass die Antwort dadurch zunächst komplizierter geworden ist. Mir war anfangs nicht klar, dass ich mit „dem Limes“ mehrere mathematisch verschiedene Übergänge vermischt hatte.
Der Ausgangspunkt bleibt vollständig finit. Für jedes feste b und L gibt es nur endlich viele Knoten, endliche Matrizen und endliche Schur-/DtN-Reduktionen. Das Unendliche wird weiterhin nirgends als Ausgangsobjekt eingesetzt.
Die Record-Struktur ist dabei der einfache Teil: Frühere Geburts- und Provenienzdaten bleiben erhalten. Das Wachstum ist also tatsächlich inklusiv,
und ein induktiver Abschluss ist hier naheliegend.
Ich habe dazu auch den degenerierten Fall b=1 als externe Kontrolle untersucht. Der eigentliche finite Kern ist formal für b≥2 definiert, aber wenn man nur diese Schranke für den Kontrolltest aufhebt, erhält man eine lineare Provenienzkette: Jeder neue Knoten besitzt alle früheren Knoten als Vorfahren und in der Live-Struktur sogar direkte Rückkopplungen zu ihnen. Das erinnert strukturell tatsächlich an von Neumanns Konstruktion, bei der jede natürliche Zahl ihre Vorgänger enthält – ohne damit natürlich zu behaupten, dass die beiden Konstruktionen mengen-theoretisch identisch wären (strukturell ist es aber schon mehr als eine Analogie).
Bei b>1 verzweigt diese akkumulative Provenienz. Es wird aber weiterhin nichts „wegkontrahiert“. Das war für mich ein wichtiger Punkt: Der Schur-Pfeil läuft zwar zurück von einem größeren auf einen kleineren beobachteten Bereich, aber das ist nur eine effektive Beobachtungsoperation. Die ontische Wachstumsrichtung läuft weiterhin vorwärts.
Für die Live-Struktur reicht deshalb mein ursprünglicher Gedanke
allein offenbar nicht aus. Wir haben zwar auf festen Regionen tatsächlich Stabilisierungseffekte gefunden, beispielsweise bei der positiven symmetrischen Resistance-Struktur. Aber die gerichtete Live-Struktur verhält sich nicht einfach wie dieselbe Matrix mit einem gemeinsamen Skalierungsfaktor. Teilweise war gerade diese Forderung zu restriktiv.
Der für mich inzwischen interessantere Weg führt weiterhin über die AQFT. Dort muss man offenbar drei Ebenen auseinanderhalten.
Zuerst braucht man einen konsistent wachsenden Einteilchenraum. Aus der b-ären Provenienz ergibt sich dafür eine natürliche normerhaltende Einbettung: Ein grober Freiheitsgrad wird gleichmäßig auf seine b Kinder verteilt,
Diese Abbildungen sind in den Tests exakt isometrisch und komponieren über mehrere Wachstumsschritte. Sie lassen sich auch auf die symmetrischen Fock-Sektoren heben. Das wäre zunächst nur die Kinematik eines Fock-artigen wachsenden Hilbertraums.
Die tatsächliche Live-Entwicklung ist dagegen interessanterweise nicht als einfacher unitärer oder symplektischer Einschluss herausgekommen. Die endlichen Tests sprechen vielmehr für einen quasifreien vollständig positiven CCR-Kanal. Schematisch:
Der Rauschterm N wurde dabei nicht frei angepasst, sondern aus der Änderung der vom Modell erzeugten Kovarianzen bestimmt. Die entsprechende CP-Bedingung wurde für die getesteten Verzweigungen und Wachstumsmodi erfüllt, und diese Kanäle komponieren über mehrere Wachstumsschritte bis auf numerische Maschinengenauigkeit.
Das passt erstaunlich gut zur Record-/Live-Trennung: Die Provenienz liefert die wachsende Kinematik, während die Live-Schicht die effektive offene Entwicklung beschreibt.
Noch interessanter ist, dass der jeweils neu geborene orthogonale Einteilchensektor
in den bisherigen Tests ausreicht, um genau den zusätzlichen quasifreien Rauschanteil zu tragen. Über mehrere Wachstumsschritte akkumulieren diese neuen Umweltsektoren orthogonal. Die „Umwelt“ der offenen Beschreibung müsste dann zumindest in diesem finiten Vorlauf nicht von außen eingeführt werden, sondern bestünde aus den später hinzugekommenen Freiheitsgraden selbst.
Das ist aber noch nicht der AQFT-Abschluss.
Der nächste Übergang wäre erst der Aufbau eines konsistenten Netzes lokaler C*-Algebren. Danach benötigt man einen kompatiblen Grenzzustand ω. Erst über dessen GNS-Darstellung erhält man lokale von-Neumann-Algebren, also schematisch
Erst an dieser Stelle kann überhaupt sinnvoll gefragt werden, ob die lokalen Algebren vom Typ I, II oder III sind.
Das ist eine wesentliche Korrektur meines früheren Verständnisses: Jede einzelne endliche Matrixalgebra bleibt selbstverständlich Typ I. Typ III kann nicht durch „großes L“ innerhalb einer einzelnen endlichen Matrix plötzlich entstehen. Es wäre gegebenenfalls eine Eigenschaft des lokalen von-Neumann-Abschlusses nach einem echten unendlichen Algebra- und Zustandslimes. Genau die Trennung zwischen lokalem Algebra-Netz und Hilbertraumdarstellung liegt schon dem Haag-Kastler-Ansatz zugrunde; auch die klassische Theorie quasifreier CCR-Zustände und CP-Abbildungen behandelt diese Schritte getrennt.
Auch ein induktiver Limes endlichdimensionaler Algebren allein garantiert noch keinen Typ-III-Faktor. Welche von-Neumann-Algebra in der GNS-Darstellung entsteht, hängt wesentlich vom Zustand bzw. von der Darstellung ab; Powers' klassische Untersuchungen von Darstellungen uniform hyperfiniter Algebren sind dafür ein frühes Beispiel.
Deshalb würde ich meine ursprüngliche Frage heute etwas anders formulieren:
Der lokale Cauchy-Limes der endlichen Responseoperatoren bleibt wichtig, aber er ist wahrscheinlich nicht der gesamte Infinite-Completion-Schritt. Zusätzlich muss geklärt werden, ob die wachsenden Einteilchenräume und ihre quasifreien Kanäle einen konsistenten unendlichen CCR-/Fock-artigen Abschluss besitzen, ob daraus ein kompatibler Zustand entsteht und ob sich damit ein lokales Algebra-Netz konstruieren lässt. Erst anschließend käme der GNS- und von-Neumann-Abschluss und damit überhaupt die Typ-III-Frage.
Die Zetafunktion würde ich inzwischen wesentlich später einordnen.
Für jedes endliche L ist
natürlich eine ganz gewöhnliche endliche Summe. Aber daraus folgt noch keine konvergente Grenz-Zetafunktion. Bevor ich damit etwas Physikalisches verbinden würde, müsste vermutlich zuerst die Konvergenz des zugrunde liegenden Operators, der Dirichlet-/Resistance-Form oder wenigstens eine geeignete Resolventenkonvergenz geklärt sein. Erst danach kann man fragen, für welchen Bereich von s die Spektral-Zeta tatsächlich konvergiert und ob eine meromorphe Fortsetzung mathematisch sinnvoll ist.
Damit ist für mich auch der Unterschied zu
klarer geworden. Als gewöhnliche Reihe divergiert diese schlicht gegen unendlich. Der Wert −1/12 ist nicht ihr gewöhnlicher Summenwert, sondern entsteht durch analytische Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion an eine Stelle, an der ihre ursprüngliche Dirichletreihe nicht konvergiert. In meinem endlichen Modell gibt es zunächst überhaupt keinen Anlass, so etwas zu tun: Für jedes L werden nur endliche Summen berechnet.
Die eigentliche offene Frage ist für mich jetzt also weniger „Wie regularisiere ich das Unendliche?“, sondern vielmehr:
Und danach: Welcher Abschluss ist überhaupt der physikalisch relevante – Resistance-/Operatorlimes, CCR/Fock-Limes, lokaler C*-Netz-Limes oder schließlich der von-Neumann-Abschluss?
