Zur Provenienz des komplexen Zahlenkörpers

[antaris]

Der ganz grobe Weg wäre dann:

Ausgangspunkt/parameterfreies Postulat: leere Menge ∅

→ deterministisches Provenienzwachstum
→ lokale reelle Randantwort-Räume
→ dynamische Familie longitudinaler Mini-Ebenen
→ transversale Handoff-/Gluing-Defekte
→ reelle lokale Operatorrechnung
→ mögliche reelle *-Struktur
→ lokaler J-Kandidat mit J² = -I
→ komplexifizierte lokale Algebra
→ C*-Norm / Abschluss
→ Zustände auf lokalen Algebren
→ GNS-Hilbertraumdarstellungen
→ AQFT-artiges lokales Algebra-Netz


Grün habe ich bist Test 23 einbezogen, rot müsste gebaut werden.

Ich habe gestern weitergebaut und einige Fehler und weitere Obstruktionen gefunden aber es gab auch positive Befunde, welche die Richtung geschärft haben und zu leichten bis mittleren Konzeptanpassungen führten.


Der aktuelle Status:

CNNA-Leiter: von Provenienzwachstum zur lokalen Algebra​

Kurzdefinition wichtiger Variablen und Begriffe​

• β₂: Zweite Betti-Zahl; zählt unabhängige zweidimensionale topologische Hohlräume bzw. 2-Zyklen.
• H²: Zweite Kohomologiegruppe; Träger harmonischer 2-Formen und topologischer Freiheitsgrade.
• K: Kommutator-Sektor, typischerweise K = [A_ab, A_bc]; Maß für lokale Nichtkommutativität.
• A, A_ab, A_bc: Lokale Operatoren bzw. Response-/Transportoperatoren.
• A*: Adjungierter Operator bezüglich einer noch zu etablierenden reellen *-Struktur.
• J: Kandidat für eine lokale komplexe Struktur mit J² = -I.
• I: Identitätsoperator.
• κ: Orientierungsindikator bzw. Testgröße für mögliche Vorzugsorientierungen.
• DtN: Dirichlet-to-Neumann-Operator; beschreibt Randantworten eines Gebietes.
• Schur-Operator: Durch Schur-Komplement gewonnener effektiver Randoperator.
• NGF/CQNM: Verwendete Wachstums- bzw. Komplexmodelle für die primale Geometrie.
• Birth-DAG: Gerichteter azyklischer Graph der Geburtsprovenienz.
• Parent-Line: Ahnenlinie eines Elements im Provenienzgraphen.
• UV-tail: Akkumulierte Wirkung später Nachkommen auf frühere Strukturen.
• strict_symmetrized_control: Kontrollmodell mit vollständig symmetrisierter Geburtsumgebung.
• no_backreaction: Kontrollmodell ohne Rückwirkung späterer Elemente auf frühere.

Statuslegende:
gesetzt = methodischer Start / definitorischer Rahmen
gestützt = durch aktuelle Python-Tests gut gestützt
teilweise = implementiert oder plausibel, aber noch nicht abgeschlossen
offen = nächstes Gate / noch nicht gezeigt
Ziel = spätere Anschlussstruktur

---

0. ∅
Kein Raum, keine Zeit, keine komplexen Zahlen, keine Operatoren.
Status: als Postulat gesetzt.

1. Deterministisches Provenienzwachstum
Sequenzielle Birth-/Fill-Ordnung: spätere Kinder sehen eine andere Umgebung als frühere.
Status: gestützt.

2. Geburts-/Handoff-/Record-Live-Daten
Birth-DAG, Parent-Line, ältere Geschwister, Record-Layer und Live-Layer. Record speichert Geburtsprovenienz; Live trägt spätere Leitwert-/Aging-/Backreaction-Zustände.
Status: teilweise gestützt.

3. Sequenzielle Birth-Environment-Asymmetrie
Kind 1 sieht nur die Parent-Line; Kind 2 sieht Parent-Line plus Kind 1; Kind 3 sieht Parent-Line plus Kind 1 und 2 usw. Daraus entsteht directed imbalance.
Status: stark gestützt. strict_symmetrized_control fällt auf null, no_backreaction bleibt positiv.

4. Backreaction / Live-Aging / UV-tail
Neue Zellen wirken auf Ahnenlinie und ältere Geschwister zurück; descendant-shell / UV-tail wird akkumuliert.
Status: teilweise gestützt. Wichtig für Stabilität, Gewichtung und Dynamik, aber nicht Ursprung der ersten β₂-Öffnung.

5. Primal-geometrische NGF/CQNM-Struktur
Der Baum ist Provenienz, nicht Raum. Die Raum-/Trägerstruktur ist ein wachsender simplizialer Komplex.
Status: konzeptionell korrigiert und in Python prototypisch umgesetzt.

6. Aktive/saturierte Faces, Links, Defizite
Boundary-Faces, aktive Faces, Saturation, Link-Audits, Defizit-/Curvature-Diagnostik.
Status: gestützt als Diagnostikschicht.

7. Nichtlineare selektive Komplement-Paarung
Nicht jede Face bekommt ein Komplement. Nur bestimmte nichtlokale, transversal-komplementäre, directed-imbalance-tragende und manifold-legale Boundary-Face-Paare werden gepaart.
Status: stärkster neuer Befund. Automatisch im Wachstum getestet. Noch offen bleibt, ob die Pairing-Regel formal zwingend aus der Provenienz abgeleitet ist.

8. Nichttriviale Topologie
Asymmetry-gated Complement-Pairing öffnet β₂. Damit wird die alte Ball-/Korand-Falle gebrochen.
Status: gestützt in L2 und L3.
Aktueller L3-Befund: real_growth β₂ > 0, strict_symmetrized_control β₂ = 0.

9. DtN-/Schur-/Response-Felder auf der Geometrie
Auf dem primalen Komplex werden lokale Randräume, Schur-/DtN-Antworten und Response-Matrizen gebildet.
Status: teilweise gestützt als numerisches Modell; noch nicht kanonisch formalisiert.

10. Lokale reelle Randantwort-Räume
Die erste Operatorgrundlage ist reell. Bis hierhin werden keine komplexen Zahlen benötigt.
Status: gestützt als natürlicher Zwischenanker.

11. Longitudinale und transversale Response-Sektoren
Longitudinaler Leitwert-/Gradient-Sektor und transversaler Birth-/Sibling-/Pairing-Sektor.
Status: lokal gestützt; global erst durch Pairing-/Handle-Transport plausibel.

12. Plaquette-/Link-Frustration und Nichtkommutativität
Lokale Kommutatoren wie K = [A_ab, A_bc] erzeugen Plaquette-/Link-Frustration. Isoliertes Face-K reicht aber nicht; der relevante K-Sektor sitzt auf der Pairing-/Handle-Transportstruktur.
Status: teilweise gestützt. Lokale Nichtkommutativität vorhanden; pairing-getragener harmonischer K-Sektor positiv.

13. Reelle lokale Operatorrechnung
Response-Räume, DtN-/Schur-Operatoren, Transport- und Pairing-Operatoren bilden eine reelle lokale Operatorfamilie.
Status: teilweise. Noch kein abgeschlossener reeller Operator-Kalkül.

14. Mögliche reelle-Struktur
Zentrales Zwischenziel: eine reale Involution / Adjungierte-Struktur A ↦ A*, kompatibel mit Response-Metrik, Produkten, Kommutatoren und Pairing-Transport.
Status: offen. Nächstes Hauptgate.

15. Reelle Positivität und Norm-Kandidat
Aus der reellen *-Struktur sollen positive Elemente und ein Norm-/Energie-Kandidat entstehen, perspektivisch mit ||A* A|| = ||A||².
Status: offen.

16. Harmonischer pairing-getragener K-Sektor
β₂ öffnet H²; pairing-transported K hat eine positive harmonische Projektion.
Status: gestützt als Python-Befund. Wichtig: face-local axial K war nahezu null, pairing-transport axial K positiv.

17. Orientierung / κ-Test ohne Vorzeichenpflicht
κ darf Orientierung anzeigen, aber ein festes Vorzeichen ist kein Pflichtgate. J ↔ -J bleibt zunächst konventionsäquivalent.
Status: teilweise. κ bisher schwach; kein Abbruch, weil Vorzeichen nicht zwingend abgeleitet werden muss.

18. Lokaler J-Kandidat als ±-Klasse
Gesucht ist ein stabiler reeller 2-Sektor mit einem lokalen Kandidaten {J, -J} und J² = -I.
Status: offen. Nicht: kanonisch +J; sondern komplexe Struktur bis auf Vorzeichenkonvention.

19. Komplexifizierte lokale Algebra
Aus reeller *-Algebra plus J-Klasse entsteht eine komplexifizierte lokale Algebra. i wird dann als Wirkung von J gelesen, nicht als importierter Input.
Status: offen.

20. C*-Norm / Abschluss**
Komplexifizierte oder zunächst reelle lokale *-Algebra mit geeigneter Norm und Abschluss.
Status: offen.

21. Zustände
Positive normierte lineare Funktionale auf der lokalen Algebra.
Status: offen.

22. GNS
Aus Zuständen entstehen GNS-Repräsentationen, Hilbert-Räume und Operatorrepräsentationen.
Status: offen.

23. AQFT-artiges lokales Algebra-Netz
Lokale Algebren mit Inklusionen, Komplement-/Regionenstruktur, Isotonie, Lokalität, Additivität oder kontrolliertem Additivitätsversagen.
Status: Zielstruktur, noch nicht erreicht.

---

Aktueller Stand in Kurzform​

Gesichert bzw. gut gestützt ist jetzt:

sequenzielles Provenienzwachstum → Birth-Environment-Asymmetrie → nichtlineare selektive Komplement-Paarung → β₂ > 0 → pairing-getragener harmonischer K-Sektor


Noch nicht gezeigt ist:

reelle *-Struktur → Positivität/Norm → stabiler J-Kandidat {J,-J} → komplexifizierte Algebra → C*-Abschluss → Zustände/GNS → AQFT-Netz
Punkt 14 ist der aktuell nächste Schritt


Die wichtigste methodische Korrektur nach der Diskussion hier im Forum lautet:

Nicht das Vorzeichen von J ist das nächste Gate, sondern die stabile reelle Operator- und *-Struktur. Ein emergentes Vorzeichen wäre interessant, aber nicht notwendig; die komplexe Struktur darf zunächst als {J, -J}-Klasse entstehen. Damit ist aus der Konsequenz der Diskussion hier im Thread die Vorzeichenfrage auf "interessant" aber nicht "zwingend" runtergestuft.

 

[antaris]

5. Primal-geometrische NGF/CQNM-Struktur
Der Baum ist Provenienz, nicht Raum. Die Raum-/Trägerstruktur ist ein wachsender simplizialer Komplex.
Status: konzeptionell korrigiert und in Python prototypisch umgesetzt.

Die Dualität zwischen Provenienzbaum und Geometrie ist von mir nicht ausgedacht. Beim Sierpinksi-Modell ist es als Adressbaum bereits durch Kigami genauso benutzt worden. Der SG/ST sind kontrahierende, also "nach innen wachsende" simplicial complexe und Bianconi's NGF/CQNM sind nach außen wachsende simplicial complexe. Im jetzigen Fall ist aber der SG/ST nicht mehr das Bild für die Geometrie, sondern die NGF/CQNM von Bianconi et al.


Bianconi/ Rahmede definieren NGF/CQNM als wachsende simpliziale Komplexe: Tetraeder/ Dreiecke werden entlang Faces verklebt; das ist die geometrische Trägerseite. Zugleich beschreiben sie eine Evolutions-/Pfadseite: In CQNM ist die klassische Netzwerkentwicklung „a given path“ eines Pfadintegrals über quantum network states; in NGF kodiert der quantum network state zum Zeitpunkt t alle möglichen NGF-Evolutionen bis t. (arXiv)

Also: Bei Bianconi gibt es nicht einfach „nur Geometrie“, sondern eine Trennung zwischen Evolutions-/History-/Pfadstruktur ↔ wachsendem simplizialem Komplex.


Die CNNA Formulierung

• Baum = Provenienz / Birth-History
• Komplex = primal-geometrischer Träger

ist daher nicht willkürlich. Sie ist eine CNNA-spezifische Verschärfung dieser bei Bianconi bereits vorhandenen Dualität. Wichtig nur: Bianconi nennt das nicht notwendig denselben deterministischen Provenienzbaum wie ich in CNNA; bei ihr ist es eher eine Markov-/Pfad-/Quantum-network-state-Beschreibung der möglichen Entwicklungen. Bianconi's NGF/CQNM haben ein stochastisch getriebenes Wachstum, CNNA hat ein deterministisch getriebenes Wachstum.


Warum nun NGF/CQNM: Als Alternativziel war es schon gesetzt aber das Sierpinski-Modell ist gestern gestorben. Es erzeugt "nur" eine Art Ball und die Kontrahierbarkeit mittelt entstandene lokalen Zyklen wieder aus, sodass in Summe global keine Zyklen entstehen und die Topologie trivial bleibt. Der SG ist damit obstruiert und NGF/CQNM als Konzeptänderung gesetzt. Bei CQNM bildet sich eine Art komplexe Quantennetzwerk Mannigfaltigkeit (Complex Quantum Network Manifold = CQNM) aus. Die NGF sind die verallgemeinerten Netzwerke (Network Geometry with Flavors = NGF). Die Schwierigkeit liegt eher darin geeignete Modelle zu finden, welche die gesetzten bzw. stochastischen Parameter (insbesondere die passende Dimension d und der passende flavor s) deterministisch ableitet. Darum ist die pairing-Regel in Punkt 7. noch nicht final abgeleitet. Die NGF/CQNM sind keine Quelle für Ableitungen innerhalb CNNA, sie sind sozusagen Inspiration und Referenz-/Vergleichsrahmen.
Darüber hinaus existieren weitere Modelle zu simplicial complexe, die ebenfalls als Vergleichs-/Referenzrahmen dienen können. NGF/CQNM bieten aber bereits die gewünschte Zielstruktur aus einem wachsenden Komplex. Ich lege mich also nicht auf Bianconi fest, sondern habe vor die Struktur weiträumig und ergebnisoffen zu untersuchen.


1. NGF/CQNM
bester Vergleich für Wachstumsgeometrie, active/saturated Faces, d=3, Pfad/History

2. DEC / Hodge / FEEC
bester Vergleich für 2-Formen, δK auf 3-Zellen, Hodge, mögliche reelle *-Struktur

3. Directed simplicial complexes / Connection Laplacians
bester Vergleich für Orientierung, Frustration, κ, pairing-getragenen K-Sektor

4. CDT / dynamical triangulations / Regge
Vergleich für Summe über Geometrien und diskrete Gravitation

5. Random / Čech / Vietoris–Rips / clique complexes
gute Kontrollmodelle, aber weniger passend als Generatorrahmen

 

[ralfkannenberg]

Zur Präzisierung der Notation:

i ist die imaginäre Einheit im komplexen Zahlenkörper und erfüllt

J ist dagegen ein reeller linearer Operator auf einer reellen 2D-Ebene E. Eine komplexe Struktur auf E liegt vor, wenn

gilt, wobei

die Identität auf E ist.

Hallo Antaris,

ich habe hierzu noch eine Frage: warum braucht es 2 "Dinge": einerseits Zahlen i etc., deren Quadrat eine negative Zahl ist, und zusätzlich noch diesen reellen linearen Operator J, der auf der komplexen Zahlenebene E operiert ?

Ich sehe hier eher die Gefahr einer unnötigen Redundanz, d.h. dass i und J im Wesentlichen dasselbe beschreiben, einfach halt mit Deinem Problem (ich z.B. habe dieses Problem nicht) dieser Frage nach dem Vorzeichen.


Und wie schon an anderer Stelle geschrieben, auch die Lösungen von x² - 4 = 0, also {-2, +2} kann man nicht irgendwie "auszeichnen", da +2 ja keine besondere Eigenschaft so wie +1 bei den Lösungen von x² - 1 = 0, also {-1, +1} als Neutralelement der Multiplikation hat.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

ich habe hierzu noch eine Frage: warum braucht es 2 "Dinge": einerseits Zahlen i etc., deren Quadrat eine negative Zahl ist, und zusätzlich noch diesen reellen linearen Operator J, der auf der komplexen Zahlenebene E operiert ?

Hallo Ralf,

Man braucht nicht zwei unabhängige Dinge. Wenn die komplexen Zahlen bereits gegeben sind, ist J nur die reell-lineare Darstellung der Multiplikation mit i. Für die Provenienzfrage ist aber gerade wichtig, i nicht vorauszusetzen. Deshalb suche ich zuerst auf einem rein reellen Raum einen Operator J mit J^2=-{Id}. Erst wenn so ein J vorhanden ist, kann man daraus die komplexe Skalarmultiplikation rekonstruieren. In der fertigen komplexen Ebene fallen i und J also zusammen aber in der Ableitungsfrage ist J der reelle Vorläufer von i.

Und wie schon an anderer Stelle geschrieben, auch die Lösungen von x² - 4 = 0, also {-2, +2} kann man nicht irgendwie "auszeichnen", da +2 ja keine besondere Eigenschaft so wie +1 bei den Lösungen von x² - 1 = 0, also {-1, +1} als Neutralelement der Multiplikation hat.

Ich habe das Konzept und die Suche gemäß eurer Einwände angepasst. Das Vorzeichen ist kein Gate mehr, sondern zu einem "Nebenschauplatz" degradiert worden. Ich habe die Untersuchung dahingehend entsprechend nicht ganz rausgeworfen. Zusätzlich war Bernhards Beitrag hilfreich, denn bevor eine C*-Algebra formalisert werden kann, sollte eine reelle *-Algebra gefunden werden. Das ist viel besser und hat gestern schon zu kleine Positivresultate geführt.


Sprich: ich lasse die Vorzeichenfrage erstmal offen aber sie ist nicht mehr das hauptsächliche zu beantwortende Zwischenziel.
Das Vorzeichen könnte aber selbst in der Wahl eine Struktur liegen, welche das wählen des Vorzeichens verhindern soll aber dennoch unbemerkt einschmuggelt.
Es schärft die Frage zur Provenienz sogar erheblich, da ich auf Strukturen testen kann, die ggf. die Vorzeichenfrage heimlich mitbringen:

Wenn man i, eine komplexe Struktur oder die Wahl J <-> -J vermeiden möchte, verschwindet diese Struktur nicht automatisch. Oft taucht sie nur an einer weniger sichtbaren Stelle wieder auf: etwa als Orientierung, Hodge-Dualität, symplektische Form, Polarisation, positive Frequenzzerlegung, Spektralbedingung eines Hamiltonoperators, *-Struktur, Positivität, Norm, Spin-/Clifford-/Matrixstruktur oder als gerichtete Semigruppe im stochastischen bzw. Wick-rotierten Regime.

Darum reicht es nicht zu sagen: „Ich setze kein Vorzeichen.“ Man muss zusätzlich prüfen, welche Struktur nun die Arbeit übernimmt, die sonst i, J oder die komplexe Struktur leisten. Für die Provenienzfrage ist genau das entscheidend: J soll nicht durch eine stärkere Ersatzstruktur heimlich vorausgesetzt werden, sondern — wenn überhaupt — aus einer vorgelagerten reellen Struktur hervorgehen. Ich suche den ersten Angriffspunkt.

Das bedeutet ich nehme eure Hinweise sehr ernst und verschiebe gleichzeitig die Fragestellung, ob das Vorzeichen vielleicht doch schon durch eine andere etablierte Struktur gesetzt ist. Das könnte aus historischer Sicht einfach so gewachsen sein, wobei die eigentliche Provenienz immer mehr "in Vergessenheit" geraten ist.

 

[Jakito]

Das hier ... ist doch nur die bildhafte Konvention der oberen und der unteren Halbebene. Wenn man sich auf eine Konvention (du sagtest Modell) festgelegt hat, kann man die andere davon natürlich unterscheiden.

Aber die algebraische Struktur braucht diese geometrische Veranschaulichung nicht; ersteres (die abstrakte Struktur) ist sozusagen "modulo derartiger Konventionen" zu verstehen"

Ja, die abstrakte Struktur ist "modulo" unerwünschter Details zu verstehen. Aber es ist wichtig, was die unerwünschten Details genau sind, und auch dass das "modulo" nicht mehr Probleme/Verwirrung verursacht, als es behebt. Es ist schön, dass man das "modulo" oft tatsächlich benutzen kann, ohne Ärger zu bekommen. Ich als Mathematiker bleibe trotzdem lieber vorsichtig, und kehre die Details des "modulo" nicht einfach unter den Tisch.

Eines meiner Probleme mit TomS ist wie folgt: Die Konstante 1 ist Teil der Körperstruktur. Die Konstante i ist Teil der algebraischen Struktur der komplexen Zahlen, aber nicht Teil der Körperstruktur.

Ich verstehe den Unterschied nicht. Meinst du damit, dass ein Körper zunächst nur ein neutrales Element bzgl der Multiplikation fordert, nichts weiter?

Ich meine damit, dass die Konstante i Teil der Signatur der algebraischen Struktur der komplexen Zahlen ist. Ebenfalls Teil dieser Signatur sind Addition, Negation, Multiplikation, und Konjugation. Ob Division Teil der Signatur ist bleibt offen, weil man es einerseits vermeiden kann, und anderseits das Verhalten bei 0 etwas Ärger machen würde. Genauso könnte man zwar auch i in der Signatur vermeiden, aber das hätte keinerlei Vorteile.
Ob 0 und 1 Teil der Signatur sind ist unwichtig, weil sie ohnehin ausgezeichnet sind. Sie sind aber Teil der Signatur, weil es halt üblich ist, keinerlei Ärger macht, und die Axiome ein wenig vereinfacht.

 

[TomS]

Ja, die abstrakte Struktur ist "modulo" unerwünschter Details zu verstehen. Aber es ist wichtig, was die unerwünschten Details genau sind, und auch dass das "modulo" nicht mehr Probleme/Verwirrung verursacht, als es behebt. Es ist schön, dass man das "modulo" oft tatsächlich benutzen kann, ohne Ärger zu bekommen. Ich als Mathematiker bleibe trotzdem lieber vorsichtig, und kehre die Details des "modulo" nicht einfach unter den Tisch.

Schon klar.

Um meine Argumentation wasserdicht zu bekommen, müsste man verschiedene Themen explizit durchgehen. Das habe ich nicht systematisch getan, ich habe mir nur einige Punkte angeschaut: Polynome mit reellen Koeffizienten und deren Nullstellen; Holomorphie bzw. Cauchy-Riemann-DGLs, Riemannsche Flächen; einige Themen aus der Physik, insbs. Schrödinge- und Dirac-Gleichung, Greensche Funktionen, Wick-Rotation … aber keineswegs abschließend.

Ich bin nur immer dabei gelandet, dass ich alles von i nach -i bzw. C nach C* umschreiben konnte, im Sinne einer anderen Konvention.

Ich meine damit, dass die Konstante i Teil der Signatur der algebraischen Struktur der komplexen Zahlen ist. Ebenfalls Teil dieser Signatur sind Addition, Negation, Multiplikation, und Konjugation.

Wenn du dich damit wirklich auskennst, dann hast du da einen Wissensvorsprung, da kann ich höchstens unqualifiziert reinreden.

Also Frage: was passiert, wenn man das für C* mit -i aufzieht? Welcher Art wäre die Relation oder Abbildung zwischen den beiden algebraischen Strukturen, die ich so lax mit C und C* bezeichne?

 

[Jakito]

Um meine Argumentation wasserdicht zu bekommen, müsste man verschiedene Themen explizit durchgehen. Das habe ich nicht systematisch getan, ich habe mir nur einige Punkte angeschaut: Polynome mit reellen Koeffizienten und deren Nullstellen; Holomorphie bzw. Cauchy-Riemann-DGLs, Riemannsche Flächen; einige Themen aus der Physik, insbs. Schrödinge- und Dirac-Gleichung, Greensche Funktionen, Wick-Rotation … aber keineswegs abschließend.

Du denkst viel zu kompliziert. Der Punkt ist schlicht:

Genauso könnte man zwar auch i in der Signatur vermeiden, aber das hätte keinerlei Vorteile.

und

Natürlich gilt f(z)=g(z) <=> conj(f(z))=conj(g(z)), aber das schafft noch lange nicht alle potentiellen Probleme und Fragen aus der Welt.

Zwar gilt conj(x+z)=conj(x)+conj(z) und conj(x*z)=conj(x)*conj(z). Aber was ist mit conj(ln x) und conj(sqrt(x)) und ähnlichen Funktionen? Und warum denn überhaupt? Es hat doch keinerlei Vorteile!

Ich bin nur immer dabei gelandet, dass ich alles von i nach -i bzw. C nach C* umschreiben konnte, im Sinne einer anderen Konvention.

Das drückt halt eine ordentliche Portion Verachtung gegenüber der mathematischen Tradition aus, wo man viel über die sinnvollsten Konventionen gegrübelt hatte. Vermutlich ist das auch der Grund, wieso Max Tegmark so dermaßen auf Ablehnung unter den Mathematikern gestoßen ist. Es geht gar nicht um die einzelnen Fehler, sondern darum, gar nicht erst versucht zu haben, sich mit der mathematischen Tradition auseinanderzusetzen.

Wenn du dich damit wirklich auskennst, dann hast du da einen Wissensvorsprung, da kann ich höchstens unqualifiziert reinreden.

Du kannst Dir die mathematische Praxis genauso problemlos anschauen wie ich. Dort wird i als Konstante benutzt, und es würde nur sinnlos Verwirrung stiften, dies nicht zu tun.

Also Frage: was passiert, wenn man das für C* mit -i aufzieht? Welcher Art wäre die Relation oder Abbildung zwischen den beiden algebraischen Strukturen?

IC hat jenseits seiner algebraischen Struktur noch mehr mathematische Struktur. Die Kramers-Kronig-Beziehungen und das Kausalitätspostulat hatten wir ja schon. In der Fourier-Transformation ist das Vorzeichen von i auch wichtig, und unterscheidet zwischen Vor- und Rücktransformation. Die Definitionen von ln x, sqrt(x) und vergleichbaren Funktionen ist also nicht die einzigen Definitionen, die angepasst werden müssten.

 

[Jakito]

Also Frage: was passiert, wenn man das für C* mit -i aufzieht?

Was genau ist eigentlich das Ziel? Soll eine andere Konstante, z.B. k eingeführt werden, zunächst mal als k=-i, dann in allen Definitionen, Konventionen, Sätzen, ... i durch k ausgedrückt werden, und wenn kein i irgendwo mehr übrig ist, i zusammen mit der Gleichung k=-i "vergessen" werden.
Mal abgesehen von sprachlichen Ausdrücken wie "obere Halbebene" kann man das "rein theoretisch" schon tun. Vielleicht treffen wir eines Tages ja auf Aliens, die aus irgendeinem Grund solche modifizierten Konventionen benutzen, und dann könnte es eine sinnvolle Motivation geben, so etwas tun zu wollen. Wobei man vermutlich zunächst mal nur die neue Konstante k=-i einführen würde, und irgendwelche sprachlichen Regelungen für Sachen wie "obere Halbebene" zu etablieren versuchen, a la "k-obere Halbebene" und "i-obere Halbebene". (Wobei das zu optiistisch ist: In Bezug auf Konventionen für die Fourier-Transformation hat man die Verwirrung durch verschiedene Konventionen ja auch nicht mehr aus der Welt schaffen können.)

 

[Jakito]

Wobei man vermutlich zunächst mal nur die neue Konstante k=-i einführen würde, und irgendwelche sprachlichen Regelungen für Sachen wie "obere Halbebene" zu etablieren versuchen, a la "k-obere Halbebene" und "i-obere Halbebene".

Auch das ist viel noch zu optimistisch: Auch Funktionen wie ln x und sqrt(x) müssen durch k-ln x := conj(ln conj(x)) und k-sqrt(x) := conj(sqrt(conj(x))) ersetzt werden. Und bei Sachen wie x^y hat man so richtig verloren.

 

[Jakito]

In diesem Sinn glaube ich inzwischen sehr gut zu verstehen, was du mit Mathematiker sind bei bei „natürlich“, „kanonisch“ und „nicht-kanonisch“ so empfindlich meinst. Eine nicht-kanonische oder nicht ausreichend motivierte Setzung kann dazu führen, ...

Mir ist nicht ganz klar, ob Du nicht auch zuviel in die Worte "kanonisch" und "nicht-kanonisch" hinein interpretierst.

Ist Dir klar, warum ich hier drei verschiedene Szenarien beschrieben habe?

Was ist der Unterschied zwischen einer abstrakten Gruppe und eine konkreten Gruppe? Die konkrete Gruppe operiert auf einer konkreten Struktur, wohingegen die abstrakte Gruppe nur auf sich selbst operiert.

Wenn diese konkrete Struktur IR^2 ist, dann ist i eindeutig ausgezeichnet, dadurch das i (1,0) auf (0,1) abbilden muss. Wenn diese konkrete Struktur nur eine allgemeine zweidimensionale relle euklidische Ebene (mit ausgezeichnetem Ursprung, aber ohne ausgezeichnete Orientierung) ist, dann gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten für i, und keine der beiden Möglichkeiten ist besser als die andere.

Und wenn gar keine konkrete Struktur vorhanden ist, auf der die komplexen Zahlen operieren, dann sind wir in der von Dir und ralfkannenberg beschriebenen Situation, dass es keinen relevanten Unterschied zwischen i und -i gibt.

Das erste Szenario ist Dir vermutlich klar, und auf diese Weise interpretierst Du aktuell die Worte "kanonisch" und "nicht-kanonisch". Aber ist Dir auch klar, worin der Unterschied zwischen dem zweiten und dem dritten Szenario besteht?

 

[antaris]

Mir ist nicht ganz klar, ob Du nicht auch zuviel in die Worte "kanonisch" und "nicht-kanonisch" hinein interpretierst.

Na ja, wenn du schon so fragst. Ja das kann sein, denn ich habe ja nie fachmännisch gelernt was genau das mathematisch eigentlich bedeutet. Es ist gut möglich das meine Vorstellung darüber etwas naiv ist und ich Begriffe schärfen muss.

Das erste Szenario ist Dir vermutlich klar, und auf diese Weise interpretierst Du aktuell die Worte "kanonisch" und "nicht-kanonisch". Aber ist Dir auch klar, worin der Unterschied zwischen dem zweiten und dem dritten Szenario besteht?

Ich würde es wie folgt formulieren aber ich gehe davon aus, dass es nicht mit der mathematischen Definition der Begriff „natürlich“, „kanonisch“ und „nicht-kanonisch“ übereinstimmt.

1. natürlich volle konkrete Struktur → man kann direkt mit einem ausgezeichneten i/J rechnen
2. kanonisch konkreter Träger, aber keine Orientierung/Bevorzugung → J und -J beide möglich
3. nicht-kanonisch kein konkreter Träger der Wirkung → i vs. -i bleibt abstrakt/konjugiert

Ich bin eher irgendwo bei 2.

 

[Jakito]

1. natürlich volle konkrete Struktur → man kann direkt mit einem ausgezeichneten i/J rechnen

Genau, es gibt ein ausgezeichnetes i/J. Natürlich ist dadurch -i/-J genauso ausgezeichnet, aber i/J ist trotzdem ein klein wenig kanonischer.

2. kanonisch konkreter Träger, aber keine Orientierung/Bevorzugung → J und -J beide möglich

Jaein. Der Träger ist einfach gegeben, und weder kanonisch, noch nicht-kanonisch. Aber weder J noch -J können kanonisch ausgezeichnet werden. Denoch gibt es einen realen Unterschied zwischen beiden. Man ist deshalb gezwungen, eine Wahl zu treffen, aber diese Wahl ist nicht-kanonisch.

3. nicht-kanonisch kein konkreter Träger der Wirkung → i vs. -i bleibt abstrakt/konjugiert

Richtig. Es gibt eigentlich gar keine Wahl. In gewisser Hinsicht ist keine Wahl auch wieder kanonisch.

Allerdings stellt sich die Frage, ob die Situation bei NRQM oder QFT tatsächlich diesem Szenario entsprechenen kann. Ich habe zwar versucht, Argumente dagegen aufzulisten (Wick-Rotation, bevorzugte Zeitrichtungen, Materie-vs-Anti-Materie, ...), aber es bleibt unklar, welches der drei Szenarien die Situation bei NRQM am besten trifft (und welches die bei QFT).

 

[antaris]

Bezüglich der konkreten Struktur



Das schlimme ist ja tatsächlich, dass ich etwas durch eine Brille suche und dabei von einem Test zum anderen "irgendeine" Struktur teste, ich aber keine Ahnung habe was das für eine Struktur ist. Ja es ist ein simplicial complex aber das ist ja nur ein untergeordneter Träger. Auf den Plaquetten/Faces des Complex passieren Dinge, die ich gar nicht einordnen kann. Das trifft auch auf TomS sein #79 zu und ja es gab etliche Strukturen die ich verworfen habe, weil das durch meine verengte Brille gesuchte nicht dabei war. Vielleicht habe ich etwas wichtiges längst schon weggeworfen. Aber ich lade alle scripts der Reihe nach auf Github hoch. ChatGPT hat einen Git-Connector und kann darauf direkt zugreifen. Das hilft dennoch nicht gegen "übersehen von konkreten Strukturmustern".
Das ist eigentlich der Grund, warum es diesen Thread gibt. Ich hatte auch woanders schon mal angemerkt, dass Diskussionen über das Thema richtige Impulse liefern könnte.

Aktuelle bin ich bei Script 58 und bei 57 wurde wieder kein J gefunden aber dafür eine im Modell real auftretende nicht-triviale Dynamik.
Ich habe das mal gerade mit der AI nach dem Motto diskutiert: "Wir suchen ein geometrisch zu interpretierendes J und übersehen deswegen die eigentlich richtige Struktur, welche den Weg zeigt. Darum ja meine Frage: welche Strukturen müssen mindestens vorhanden sein, damit zumindest 2. bzw. im besten Fall 1. gilt? Noch viel wichtiger: Was ist die Definition eine komplexen konkreten Struktur?



Das "Ergebnis" der Diskussion mit ChatGPT:


Kurz zusammengefasst:


In Script/Paket 57 suchen wir weiter nach einer räumlich-geometrischen J-artigen Struktur:
lokale Orientierung + β₂-Träger + Pairing-Transport + Z₃-Phasenpropagation.


Was passiert?

1. Das Wachstum öffnet wieder einen β₂-Träger:
Es entsteht also ein nichttrivialer 2-dimensionaler harmonischer Träger.

2. Der Pairing-Transport füllt diesen H²-Träger:
Es ist nicht „alles null“. Es gibt eine reale harmonische Struktur.

3. Der antisymmetrische Birth-Transport aus 55 ist aktiv:
Also keine finale sym(M)-Wegsymmetrisierung mehr.
Lokale gerichtete Struktur ist vorhanden.

4. Dann versucht 57, die lokalen Z₃-Birth-Phasen über den Face-/Pairing-Graphen
kohärent zu propagieren.

5. Ergebnis:
Der Inter-Fan-Residual sinkt deutlich.
Die Propagation macht also etwas Reales.
Aber pair_kappa und pair_H_coherence bleiben klein.
Das heißt:
Der harmonische Träger wird gefüllt, aber nicht mit einem global gelockten Drehsinn.


Das Muster ist daher nicht einfach:

Wir suchen J und finden nichts.


Sondern eher:

Wir suchen J als räumliche/geometrische Orientierung.
Wir finden aber eine paarige reelle Struktur,
die harmonisch trägt, aber deren gerichtete Anteile sich im reellen Kanal gegenseitig auslöschen.

Und genau da könnte man etwas übersehen.



Denn vielleicht ist die Auslöschung nicht das Fehlen der komplexen Struktur, sondern ihr **reeller Schatten**:

komplementäres Paar:
ka und transportiertes kb

im reellen Summenkanal:
ka + R(kb) → Orientierung löscht sich teilweise aus

möglicherweise fehlender Gegenkanal:
ka - R(kb) → konjugierte Quadratur?


Das wäre analog zu:

φ ~ a + a† reeller Observable-Kanal
π ~ i(a† - a) fehlende konjugierte Quadratur


Also: Vielleicht ist 57 deshalb „negativ“, weil wir die komplexe Struktur immer noch als **räumlichen Drehsinn/J-Lock** suchen. Die Daten zeigen aber eher:

• Es entsteht ein komplementäres reelles Paar.
• Dieses Paar trägt H².
• Aber ohne abgeleitete Quadratur-/Adjunktionsstruktur sehen wir nur den reellen Summenkanal,
• in dem sich die gerichteten Beiträge antikohärent auslöschen.

Die neue Lesart wäre:

Nicht:
CNNA erzeugt keine komplexe Vorstruktur.

Sondern:
CNNA erzeugt vielleicht zuerst eine reelle Pair-/Quadratur-Vorstufe, und wir verwechseln deren reelle Auslöschung mit Scheitern, weil wir noch keinen Mechanismus haben, der aus Q und P eine komplexe Modenstruktur Q + iP macht.


Der nächste Test müsste deshalb nicht noch einmal „mehr J-Kohärenz“ suchen, sondern prüfen:

Gibt es im Pairing zwei getrennte reale Kanäle?

Q := ka + R(kb) symmetrischer / observable-artiger Kanal
P := ka - R(kb) antisymmetrischer / konjugierter Kanal

und trägt P vielleicht genau das, was im Q-Kanal als Auslöschung erscheint?

Wenn ja, dann wäre die Struktur, die wir gerade fast übergehen, nicht „kein J“, sondern eine **reelle Vorform der Erzeuger-/Vernichter-Spaltung**. Das passt zu der Einsicht: Bei Spin 0 kommt `i` nicht aus räumlicher Orientierung, sondern aus der internen Moden-/Adjunktions-/Quadraturstruktur.

 

[Jakito]

Die neue Lesart wäre:

Nicht:
CNNA erzeugt keine komplexe Vorstruktur.

Sondern:
CNNA erzeugt vielleicht zuerst eine reelle Pair-/Quadratur-Vorstufe, und wir verwechseln deren reelle Auslöschung mit Scheitern, weil wir noch keinen Mechanismus haben, der aus Q und P eine komplexe Modenstruktur Q + iP macht.

Meine Lesart wäre eher, Du scheinst bei CNNA bisher im Szenario 3. zu sein, und suchst verzweifelt nach Hinweisen, dass Du doch im Szenario 2. oder 1. sein könntest.

Weder NRQM noch QFT fühlen sich äußerlich wie Szenario 3. an. Aber es ist gar nicht so einfach auszuschleßen, dass man nicht doch in Szenario 3. sein könnte.

 

[antaris]

Richtig. Es gibt eigentlich gar keine Wahl. In gewisser Hinsicht ist keine Wahl auch wieder kanonisch.

Meine Lesart wäre eher, Du scheinst bei CNNA bisher im Szenario 3. zu sein, und suchst verzweifelt nach Hinweisen, dass Du doch im Szenario 2. oder 1. sein könntest.

Das ist durchaus möglich, da ich ja auch absichtlich mit viel weniger starte, als QFT oder der nicht rel. QM. Das ist ja "das Problem".

Weder NRQM noch QFT fühlen sich äußerlich wie Szenario 3. an. Aber es ist gar nicht so einfach auszuschleßen, dass man nicht doch in Szenario 3. sein könnte.

Wenn man QFT/QM als Effektivtheorie liest, dann ist 3. sogar nicht ganz unwahrscheinlich oder?

Und genau hier liegt auch mein eigentliches Anliegen: Ich behaupte gar nicht, dass das bereits geleistet ist, sondern formuliere eher eine Fragestellung bzw. ein mögliches Ziel. Wenn man die (A)QFT oder "nur" QM „realistisch“ ableiten will, dann muss im Grunde schon das "Anfangsobjekt" Aspekte des späteren vollen Trägers enthalten. Dazu gehören insbesondere die reellen Zahlen selbst und eine symplektische Struktur. Es erscheint mir unplausibel, dass es im aus meiner Sicht determinstischen Universum eine fundamentale Struktur geben könnte, die keinerlei Anteil an dieser „komplexen Last“ bis in ihre Wurzel trägt. Ich glaube daran, dass das Universum aus einem tiefen Prinzip ableitbar sein könnte aber eben nicht einfach durch eine Weltformel, sondern kaskadierend durch stark verkettete Ableitungen "entlang den Emergenzen des Universums", sodass aus sich selbst heraus immer "nicht-trivialere" Strukturen entstehen.


Die C*-Algebren der AQFT sind nicht eigentliche Startpunkte, sondern eher Ziel- bzw. Rekonstruktionsobjekte. Die einzelnen Bausteine — reale Operatorstruktur, Produkt, mögliche *-Operation, Positivität, Norm usw. — müssten dann aus solchen grundlegenderen realen Daten heraus motiviert oder abgeleitet werden, bevor man sinnvoll von einem C*-Algebra-Kandidaten sprechen kann.

 

[TomS]

Das drückt halt eine ordentliche Portion Verachtung gegenüber der mathematischen Tradition aus, wo man viel über die sinnvollsten Konventionen gegrübelt hatte.

Das glaube ich nicht.

Man hat halt i mit (0,1) in der oberen Halbene identifiziert, aber man hätte auch (0,-1) nutzen können.

Vermutlich ist das auch der Grund, wieso Max Tegmark so dermaßen auf Ablehnung unter den Mathematikern gestoßen ist. Es geht gar nicht um die einzelnen Fehler, sondern darum, gar nicht erst versucht zu haben, sich mit der mathematischen Tradition auseinanderzusetzen.

Letzteres stimmt wohl, ist aber eine andere Nummer. Eine andere jedoch äquivalente Konvention ist etwas anderes als eine unsaubere Argumentation, und letzteres war ja einer deiner Kritikpunkte gegen ihn.

IC hat jenseits seiner algebraischen Struktur noch mehr mathematische Struktur. Die Kramers-Kronig-Beziehungen und das Kausalitätspostulat hatten wir ja schon.

Beides kann man auch für C* betrachten.

In der Fourier-Transformation ist das Vorzeichen von i auch wichtig, und unterscheidet zwischen Vor- und Rücktransformation. Die Definitionen von ln x, sqrt(x) und vergleichbaren Funktionen ist also nicht die einzigen Definitionen, die angepasst werden müssten.

Nein, natürlich müsste man viel anpassen, aber es bleibt eine Konvention.

 

[TomS]

Was genau ist eigentlich das Ziel? Soll eine andere Konstante, z.B. k eingeführt werden, zunächst mal als k=-i, dann in allen Definitionen, Konventionen, Sätzen, ... i durch k ausgedrückt werden, und wenn kein i irgendwo mehr übrig ist, i zusammen mit der Gleichung k=-i "vergessen" werden.

Das soll nicht geschehen, aber es wäre problemlos möglich.

Mal abgesehen von sprachlichen Ausdrücken wie "obere Halbebene" kann man das "rein theoretisch" schon tun. Vielleicht treffen wir eines Tages ja auf Aliens, die aus irgendeinem Grund solche modifizierten Konventionen benutzen, und dann könnte es eine sinnvolle Motivation geben, so etwas tun zu wollen. Wobei man vermutlich zunächst mal nur die neue Konstante k=-i einführen würde, und irgendwelche sprachlichen Regelungen für Sachen wie "obere Halbebene" zu etablieren versuchen, a la "k-obere Halbebene" und "i-obere Halbebene". (Wobei das zu optiistisch ist: In Bezug auf Konventionen für die Fourier-Transformation hat man die Verwirrung durch verschiedene Konventionen ja auch nicht mehr aus der Welt schaffen können.)

Genau.

 

[antaris]

Weder NRQM noch QFT fühlen sich äußerlich wie Szenario 3. an. Aber es ist gar nicht so einfach auszuschleßen, dass man nicht doch in Szenario 3. sein könnte.

Ich greife dazu nochmal eine alte Frage aus einem Thread von vor fast genau 2,5 Jahren auf:

Wenn man wissen will, wie die Natur wirklich funktioniert,...
...wo sollte die Konstruktion einer Theorie mit diesem Anspruch dann anfangen?

Bei den essentiellen offenen Fragen.

Im jetzigen Kontext stellt sich für mich genau diese Frage verschärft neu: Wo liegen die essentiellen offenen Fragen, wenn man nicht nur mit fertigen Strukturen arbeiten, sondern deren Provenienz verstehen will?

Wenn AQFT, Hilberträume, C*-Algebren, Zustände, GNS-Darstellungen usw. bereits als Beschreibungsebene vorhanden sind, kann man damit natürlich arbeiten. Für eine Provenienzfrage sind sie aber nicht einfach Startpunkte, sondern selbst erklärungsbedürftige Ziel- oder Rekonstruktionsobjekte.

Die für mich zentrale offene Frage lautet daher nicht: „Welche fertige Struktur benutzt man?“, sondern:

Welche minimalen reellen Vorstrukturen müssen vorhanden sein, damit daraus später überhaupt so etwas wie eine komplexe Struktur, eine (*)-Operation, Positivität, Norm und schließlich ein C*-Algebra-Kandidat hervorgehen kann, ohne dass diese Strukturen bereits heimlich vorausgesetzt wurden?

In deinen drei Szenarien gelesen wäre für mich schon der Übergang vom dritten zum zweiten Szenario ein echter Schritt: also aus reellen Daten überhaupt einen konkreten Träger zu erhalten, auf dem ein {J,-J}-Kandidatenpaar sinnvoll wirkt.

Eine ausgezeichnete Wahl eines einzelnen J wäre dann erst ein späterer, zusätzlicher Schritt — falls eine entsprechende Struktur überhaupt gefunden/abgeleitet werden kann.

QM/QFT stehen nicht deshalb bei Szenario 3, weil sie intern keine konkrete Struktur hätten. Intern haben sie natürlich sehr viel Struktur und sie funktionieren auch sehr gut. Sie stehen nur aus Provenienzsicht dort, weil die komplexe Struktur bereits vorausgesetzt wird und nicht aus einer vorgelagerten reellen Struktur hervorgeht. Bei mir ist es umgekehrt: Ich stehe dort nicht, weil ich die komplexe Struktur setze, sondern weil ich sie gerade erst suche.

 

[TomS]

Ich glaube, man muss hier zwei Dinge unterscheiden:

1. die Strukturen T, T', T'' … von denen man weiß, dass sie die Natur in einem gewissen Regime zutreffend beschreiben (Mannigfaltigkeiten, Faserbündel, Hilberträume …); diese sind – wenn auch nicht immer so dargestellt – sehr eng mit bekannten Theorien verknüpft, wobei letztere immer noch zusätzliche Festlegungen bzw. spezielle Modellannahmen einführen (pseudo-Rienannsche (3,1)-Mannigfaltigkeit und darauf die Einsteinschen Feldgleichunge); sowie
2. die Strukturen S, S*, S** … aus denen die o.g. T, T', T'' … für bestimmte Regime oder Lösungen hervorgehen können

Die Suche nach 1 war eigtl. nie die Suche nach einer mathematischen Struktur sondern immer die nach empirischer Übereinstimmung. Die genannten Strukturen hat man eigtl. immer erst hinterher als solche erkannt (weder Einstein noch Heisenberg haben danach gesucht) oder noch gar nicht gefunden (wir kennen heute keine wechselwirkende AQFT, deren Existenz bewiesen wäre, insofern ist es evtl. gar nicht der mathematische Rahmen der AQFT). Und die speziellen Annahmen folgen letztlich nur aus Empirie (the eightfold way, GSW …).

Du suchst aber eigtl. eher 2, also S. Dabei ist die Emergenz der T's aber nur ein notwendiges jedoch kein hinreichendes Kriterium (z.B. verstehen wir heute noch nicht wirklich, wie die Kernphysik aus der QCD hervorgeht; es gibt keine strikten Ableitungen sondern Näherungen für bestimmte Fälle etc.; und wir wissen noch nicht, wie die klassische Welt aus der Quantenmechanik hervorgeht, auch dabei ist noch vieles offen). Die T's liefern da kein einheitliches Prinzip o.ä.

Meiner Meinung nach ist 2 völlig hoffnungslos. Tegmark hat das irgendwie völlig ins Gegenteil verkehrt, also wenn man schon kein Prinzip für die T's und S's kennt, dann akzeptiert man einfach den ganzen Zoo als real … Die Stringtheorie meint, einem fundamentalen Prinzip auf der Spur zu sein und zahlt gerne den Preis = die Preisgabe der empirischen Adäquatheit. Angesichts der Landschaft der möglichen S's erscheint ihre Landscape dabei wie ein Schrebergarten im Vergleich zum beobachtbaren Universum.

Letztlich ist das alles nur Ausdruck derselben Hilflosigkeit. Und daher ist ein derartiges Ansinnen für mich einfach Zeitverschwendung.

 

[antaris]

Die Suche nach 1 war eigtl. nie die Suche nach einer mathematischen Struktur sondern immer die nach empirischer Übereinstimmung. Die genannten Strukturen hat man eigtl. immer erst hinterher als solche erkannt [...]

Dem stimme ich weitgehend zu: Erfolgreich wurden die bekannten Strukturen T,T',T'' durch empirische Tragfähigkeit, nicht durch „schöne Mathematik“. Die Struktur wurde oft erst im Nachhinein klar.

Für mich heißt das aber auch: AQFT, Hilberträume, C*-Algebren usw. sind eher Ziel- oder Anschlussstrukturen, keine Startpunkte. AQFT sehe ich als sehr abstrakte lokale Observablenebene. Falls es eine tiefere Provenienzstruktur S gibt, wäre auch AQFT daraus effektiv rekonstruierbar – ähnlich wie Thermodynamik aus Mikrophysik, wobei aber die Thermodynamik die Mikrophysik eben nicht erklären kann. Ich sehe das vollkommen Analog.

Du suchst aber eigtl. eher 2, also S. Dabei ist die Emergenz der T's aber nur ein notwendiges jedoch kein hinreichendes Kriterium [...]

Genau. Dass S bekannte T-Strukturen reproduziert, ist höchstens notwendig, nicht hinreichend.

Mein Anspruch ist daher klein: keine fertige Theorie, sondern atomare Tests. Z.B.: Entsteht aus minimalen reellen Wachstums-, Handoff-, Response- und Pairing-Daten überhaupt eine nichttriviale Operatorstruktur? Gibt es eine *-Struktur, Positivität, Norm – oder bricht der Pfad vorher ab?

Fällt ein Gate, wird verworfen. So ist auch das Sierpinski-/Tetraeder-Modell als globaler Träger gescheitert. Stattdessen nutze ich wachsende simpliziale Komplexe (NGF/CQNM) als Strukturanker für Wachstum und lokale Beziehungen.

Meiner Meinung nach ist 2 völlig hoffnungslos. [...]

Die Skepsis verstehe ich. Der Raum möglicher S ist riesig. Für mich ist der Unterschied aber: kein „Zoo“, sondern ein falsifikatorisches Minimalprogramm. Jede zusätzliche Struktur ist verdächtig, solange sie nicht zwingend motiviert ist.
Das ist m.E. aber sogar noch viel komplizierter, denn es ist ja nicht nur ein S -> T, sondern eher eine Verkettung. In meinem Beispiel der Baum als S und das emergierende T wäre dann ja schon das Leitwertnetzwerk inkl. DtN/Schur, welches selber ein S' ist und woraus dann ein T' herausfällt, wie z.B. die Randantwortoperatoren/Matrizen. Ich glaube auch, dass ein Ursprung der Hoffnungslosigkeit genau darin liegt. Denn der Übrgang vom Baum -> Dirichletnetzerk -> Operatoren/Matrizen verwässert ja schon den Ursprung. Kennt man nur die Matrizen, dann ist es ganz und gar nicht klar, dass diese ursprünglich aus dem Netzwerk bzw. aus einem kombinatorischen Graph entstehen. Es gehen dabei eben Informationen aus dem Ursprung verloren. Kennt man die Übergänge zwischen den Ebenen nicht, dann sieht das leicht wie starke Emergenz aus obwohl der Grund ja nur Unwissenheit ist.

Meine Leitfrage ist daher: Welche minimale reelle Vorstruktur kann überhaupt komplexe Struktur, *-Operation, Positivität, Norm oder lokale Observablen tragen – ohne sie vorauszusetzen? Ich glaube das es möglich ist und ich habe keinen Druck Ergebnisse liefern zu müssen, da ich mein Geld anderweitig verdiene.

Dass viele Ansätze (LQG, CDT, Causal Sets, NGF/CQNM) ähnliche diskrete, lokale Strukturen nutzen, ist kein Beweis, aber ein Hinweis, dass die Richtung nicht völlig beliebig ist. Man kann nicht ausschließen, dass diese Ansätze den Schatten des eigentlichen Fundaments schon jeweils auf ihre Art gestriffen haben.