Dein impliziter Hinweis an mich auf Stinespring/Kraus ist für offene Quantensysteme natürlich relevant, aber er beantwortet nicht meine konkrete Provenienzfrage.
Stinespring/Kraus setzt bereits den üblichen quantenmechanischen Rahmen voraus: komplexer Hilbertraum, Dichteoperatoren, vollständig positive Abbildungen, Operatoren auf diesem Hilbertraum. Damit ist die komplexe Struktur schon vorhanden.
Meine Frage liegt aber eine Ebene davor:
Wo entsteht aus einer zunächst reellen Provenienz-/Randantwortstruktur überhaupt die vorgelagerte komplexe Struktur, aus der später ein komplexer Hilbertraum, eine GNS-Darstellung oder ein CP-Kanal formuliert werden kann?
In AQFT ist der Hilbertraum nicht primär gesetzt, sondern entsteht über die GNS-Konstruktion aus Algebra plus Zustand. Aber die lokalen Observablenalgebren der Standard-AQFT sind bereits komplexe C*- oder von-Neumann-Algebren. Die Observablen selbst sind dann die selbstadjungierten Elemente, also ein reeller Teil innerhalb einer bereits komplexen Algebra.
Wie entsteht provenienzseitig die komplexe lokale Algebra oder zumindest eine reelle lokale Struktur mit einem Operator J, sodass J² = -I gilt?
Ohne longitudinale und transversale Randantworten entsteht in meinem Ansatz gar keine komplexe Phase. Die longitudinale Seite ist grob die Environment/root-Antwort gegen die UV/leaf-Antwort. Aber allein diese radiale Achse reicht nicht. Man braucht zusätzlich eine transversale, zyklische oder nichtkommutative Struktur. Sonst hat man nur einen reellen Response-Sektor, aber keine komplexe Rotation.
Deshalb hilft Stinespring/Kraus an dieser Stelle nur begrenzt. Es erklärt, wie eine offene Dynamik innerhalb einer bereits komplexen Quantenmechanik als Reduktion einer unitären Gesamtbeschreibung verstanden werden kann. Es erklärt aber nicht, woher die komplexe Hilbertraumstruktur selbst stammt.
Außerdem ist in einem realistischen Modell gerade der exakte Stinespring-Kanal nicht bekannt. Mathematisch gilt: Wenn ein CP-Kanal gegeben ist, besitzt er eine Stinespring-Dilatation. Physikalisch hat man aber meist nur ein reduziertes, approximatives Modell. Man kennt nicht alle Umgebungsfreiheitsgrade, nicht den exakten Umgebungszustand, nicht alle Anfangskorrelationen und nicht die exakte unitäre Gesamtentwicklung.
mathematisch:
gegebener CP-Kanal -> exakte Stinespring-Dilatation
realistisch:
unvollständig bekannter offener Prozess
-> approximativer Kraus-/Mastergleichungs-Kanal
-> keine bekannte exakte unitäre Äquivalenz des realen Systems
Kraus beschreibt die offene Systemdynamik auf dem reduzierten System. Diese Dynamik ist im Allgemeinen nicht unitär auf dem System selbst. Eine unitäre Erweiterung existiert formal für den gewählten Kanal, aber das heißt nicht, dass man die reale Umgebung oder die reale vollständige Konjugationsäquivalenz kennt.
Daher ist meine Frage nicht:
Kann man einen gegebenen offenen Kanal in einem komplexen Hilbertraum dilatieren?
sondern:
Wo entsteht aus reeller Baum-/Schur-/DtN-Provenienz überhaupt eine komplexe lokale Operatorstruktur, die später als AQFT-Algebra, GNS-Hilbertraum oder offener CP-Kanal dargestellt werden kann?
Und genau deshalb sind m.E. die longitudinale und transversale Randantworten auf dem Baum so wichtig. Ohne beide gibt es keine intern erzeugte komplexe Phase, sondern nur eine reelle radiale Response-Struktur.
