Urknall-Theorie: Verhalten der Urteilchen während der Inflationsphase

[julian apostata]

Ich fürchte, ich bin mit folgendem Text allein schon aus dem Grunde überfordert, weil ich fast bei jedem Satz mindestens einmal im Wörterbuch nachschauen muss und dann noch nicht mal sicher bin, ob ich den Text auch sinngemäß ins Deutsche übertragen kann.

http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0110012v2.pdf

Ich versuch nur mal die Übersetzung von dem da

In our
analysis we will exclude the possibility of such a contracting
phase by considering spacetimes for which the
past region obeys an averaged expansion condition, by
which we mean that the average expansion rate in the
past is greater than zero:In unserer Analyse wollen wir solch eine Kontraktionsphase ausschließen, indem wir solche Zeiten betrachten, wo eine durchschnittliche Expansion statt fand, und die durchschnittliche Expansion in diesen Zeiten >0 war.

Ist meine Übersetzung so halbwegs korrekt?

Und was könnte Forme(1) bedeuten?

[TEX]H_{av}>0[/TEX]

Ich vermute H=Hubbleparameter
a=Skalenfaktor (offiziell gilt für Gegenwart: a=1)

Sind die beiden letzten Vermutungen wenigstens korrekt?

Was aber könnte v sein?

Wenn ich den Text wenigstens bis hierher verstünde, könnte ich vielleicht versuchen, weiter zu machen.

 

[Bernhard]

Ein Ereignishorizont macht noch keine Singularität

ich wäre dankbar nicht nur für Antworten, sondern auch für eigene unausgegorene Meinungen zum Thema. Ich find's spannend gerade.

Hallo Ich,

Julian A. hat doch erst vor einigen Tagen so schön vorgerechnet, dass ein beschleunigter Raumfahrer in einer Rakete ab einer gewissen Distanz von Lichtstrahlen nicht mehr eingeholt werden kann. Mit anderen Worten, die lichtartigen Geodäten aus der Vergangenheit zu diesem Raumfahrer haben eine endliche Länge. Es bildet sich für diesen Raumfahrer also ein Ereignishorizont. Die Raumzeit bleibt deswegen aber immer noch nicht-singulär. Haben wir bei der vorliegenden Metrik nicht genau das gleiche Problem, denn die Raumzeit wird doch nur für a = 0 singulär?

Kurzum, ich kann hier noch kein Singularitätentheorem erkennen.

 

[Bernhard]

Ist meine Übersetzung so halbwegs korrekt?

Zeiten ist noch zu ungenau:

In unserer Analyse wollen wir solch eine Kontraktionsphase ausschließen, indem wir lediglich solche Raumzeiten betrachten, die in der Vergangenheit einer gemittelten Expansionbedingung unterliegen und zwar in der Art, dass die durchschnittliche Expansionsrate in der Vergangenheit größer als Null ist.

Was aber könnte v sein?

Das ist ein typischer "Fallstrick" der englischen Sprache: average ...

 

[Chrischan]

Hallo Julian,

[TEX]H_{av}>0[/TEX]

Ich vermute H=Hubbleparameter
a=Skalenfaktor (offiziell gilt für Gegenwart: a=1)

Sind die beiden letzten Vermutungen wenigstens korrekt?

Was aber könnte v sein?

Eventuell ja ganz simpel:
[TEX]H_{\textbf{av}\textit{erage}}>0[/TEX] (nix a=Skalenfaktor, v=??? sondern av=Durchschnitt)

Du hattest doch korrekt übersetzt "durchschnittliche Expansion in diesen Zeiten >0 war"...

Gruß,
Christian

 

[julian apostata]

Vielen Dank

av=average, na das ist schon mal ein guter Anhaltspunkt, um vielleicht auch den Rest des Textes zu entschlüsseln.

Ich werde mich also in nächster Zeit daran machen, wenigstens erst mal bis Formel(2) zu kommen, um dann in den nächsten Wochen vielleicht auch mal mitreden zu können.

Jetzt muss ich aber erst mal hier hin.

http://www.bardentreffen.de/

 

[Ich]

Hi julian apostata,

nimm einfach mal konstantes H an und rechne aus, wie sich die Pekuliargeschwindigkeiten mit der Zeit ändern. Nach Paper ist das derart schnell, dass Teilchen in endlicher Eigenzeit bei t=-unendlich ankommen können. Was wohl schlecht ist. Lass dich nicht entmutigen, heute abend hab' ich's auch probiert zu rechnen und bin auf Mist gekommen. Morgen nochmal.

Mit anderen Worten, die lichtartigen Geodäten aus der Vergangenheit zu diesem Raumfahrer haben eine endliche Länge. Es bildet sich für diesen Raumfahrer also ein Ereignishorizont. Die Raumzeit bleibt deswegen aber immer noch nicht-singulär. Haben wir bei der vorliegenden Metrik nicht genau das gleiche Problem, denn die Raumzeit wird doch nur für a = 0 singulär?

Bei deinem Beispiel kannst du die Unendlichkeit nur in unendlicher Eigenzeit erreichen. Nimm mal zeitartige Geodäten statt lichtartiger, dann wird's klarer: Egal, welches Koordinatensystem du wählst, alle solchen Geodäten sind unbegrenzt in der Eigenzeit.
Das ist anders im vorliegenden Fall: Dort kommst du in endlicher Eigenzeit zu unendlicher Koordinatenzeit (nur in die Vergangenheitsrichtung). Das ist an sich noch kein Problem, wenn man z.B. durch Wechsel in ein anderes Koordinatensystem dort entscheiden kann, wie's weitergeht. Das ist z.B. beim Fall ins Schwarze Loch so, dort kommt man in endlicher Eigenzeit nach t=Unendlich, aber dort geht's trotzdem weiter. Man muss nur andere Koordinaten wählen, um das auszurechnen.
Hier ist der Fall so, dass die ART versagt, nicht nur das KS. Egal welchen KS man wählt, es ist nicht klar, wie man die Raumzeit über t=-Unendlch hinaus erweitern soll. Das heißt, dass an diesem Punkt die Geodätengleichung prinzipiell undefiniert ist und damit die ART ihre Vorhersagekraft verliert. Das ist eine Singularität nach modernem Mainstream-Verständnis.

Mein Problem damit: alles schön und gut, aber wir extrapolieren hier in die Vergangenheit. Wenn man die Geschichte richtigrum betrachtet, dann fordert eine solche Geodäte einen unphysikalischen Anfangszustand, nämlich E=Unendlich. Von daher würde ich solche Geodäten als unphysikalisch ausschließen.
Das interessiert natürlich den Mainstream nicht, der sieht die ART als symmetrisch bezüglich Zeitumkehr, das sind solche Argumente von vornherein nichtig. Bei Anti-de-Sitter wär's so, dasss ein Teilchen mit endlicher Pekuliargeschwindigkeit in endlicher Eigenzeit unendliche kinetische Energie erreichen würde (in die Zukunft extrapoliert). Das wäre auch nach meinem Verständnis erklärungsbedürftig. Für den Mathematiker sind beide Fälle gleich, aber für mich nicht.
Ich sehe das so: ich geben einen Anfangszustand vor. Die ART muss dann das Verhalten bis in die zukünftie Unendlichkeit weiterberechnen können, dann ist alles gut.
Wenn sie nicht in die unendliche Vergangenheit weiterberechnen kann, dann mag das schlicht und einfach daran liegen, dass dieser Anfangszustand unphysikalisch ist und nie erreicht werden kann. Dann habe ich kein Problem damit, dass die ART sowas nicht berechnen kann.

 

[Bernhard]

nimm einfach mal konstantes H an und rechne aus, wie sich die Pekuliargeschwindigkeiten mit der Zeit ändern.

Hallo Ich,

ein konstantes H bedeutet a(t) = a0 * exp(const. * t). Wie man damit dann Pekuliargeschwindigkeiten ausrechnet, müsstest Du mir erst erklären. Damit kenne ich mich leider nicht aus.

Das ist anders im vorliegenden Fall: Dort kommst du in endlicher Eigenzeit zu unendlicher Koordinatenzeit (nur in die Vergangenheitsrichtung).

Für einen mitbewegten Beobachter werden die Geodätengleichungen einfach durch dx^i = 0 (i=1,2,3) erfüllt. Daraus folgt dann sofort [tex]d\tau = \pm dt[/tex]. Eigenzeit und Koordinatenzeit sind für diesen Beobachter (vom Vorzeichen mal abgesehen) also identisch. Ich kann Dir deswegen momentan nicht ganz folgen. .

 

[julian apostata]

@Ich

Was ist denn eine Pekuliargeschwindigkeit?

Ansonsten ist deine kleine Rechenaufgabe ja relativ leicht zu lösen

[TEX]a=e^{\omega\cdot t}[/TEX]

[TEX]\dot{a}=\omega\cdot a[/TEX]

[TEX]\ddot{a}=\omega^2\cdot a[/TEX]

[TEX]H=\frac{\dot{a}}{a}=\omega[/TEX]

Spätestens an der 2. Zeitableitung kann man ja erkennen, dass ein konstantes H nur möglich ist, in einem Universum ohne Gravitation.

Aber hilft mir das nun wirklich weiter, beim Verständnis des Textes?

 

[Ich]

@Ich

Was ist denn eine Pekuliargeschwindigkeit?

Das ist die Geschwindigkeit, die ein Teilchen relativ zum "Hintergrund" hat. Hintergrund sind die gedachten mitbewegten Teilchen, die sich vorbildlich an die globale Expansion halten. Von daher ist meine "kleine" Rechenaufgabe etwas anderes.

Spätestens an der 2. Zeitableitung kann man ja erkennen, dass ein konstantes H nur möglich ist, in einem Universum ohne Gravitation.

Verstehe ich nicht. w² ist ungleich Null, es liegt also Gravitation vor. w² ist auch positiv, also handelt es sich um abstoßende Gravitation. Du hast das doch selbst mal ausgerechnet, dass Dunkle Energie sich in dem Sinne wie Materie mit der doppelten negativen Masse verhält.

Aber hilft mir das nun wirklich weiter, beim Verständnis des Textes?

Nö. Vielleicht hilft dir meine Antwort an Bernhard weiter.

 

[Ich]

ein konstantes H bedeutet a(t) = a0 * exp(const. * t). Wie man damit dann Pekuliargeschwindigkeiten ausrechnet, müsstest Du mir erst erklären. Damit kenne ich mich leider nicht aus.

Ich hab's gestern ja auch nicht hingekriegt - und heute doch nicht nochmal probiert, hatte anderes zu tun.
Für einen mitbewegten Beobachter werden die Geodätengleichungen einfach durch dx^i = 0 (i=1,2,3) erfüllt. [...] Eigenzeit und Koordinatenzeit sind für diesen Beobachter (vom Vorzeichen mal abgesehen) also identisch. Ich kann Dir deswegen momentan nicht ganz folgen

Im Paper geht es ja auch nicht um mitbewegte Beobachter, die werden sogar etwas unter den Teppich gekehrt.
Es geht um Folgendes: Ein Objekt habe jetzt eine endliche Pekuliargeschwindigkeit. Wir verfolgen nun seine Geodäte rückwärts in der Zeit. Es stellt sich heraus, dass die Pekuliargeschwindigkeit in Richtung Vergangenheit immer größer wird. Deswegen tritt verstärkt Zeitdilatation auf. Der Witz is hier der: die Geschwindigkeit und damit die Zeitdilatation wachsen derart schnell, dass das Objekt in endlicher Eigenzeit bei t=-inf ankommt. Weil da die Raumzeit aus ist und niemand weiß, wie's da weitergehen soll (man kann sie wohl nicht erweitern, so wie es z.B. beim Horizont eines SL der Fall ist), hat die ART an diesem Punkt keine Möglichkeit, die weitere Entwicklung zu berechnen. Da bricht also die Theorie zusammen, da ist eine Singularität.
Das ist alles schön und gut, aber man darf (nach meinem Verständnis) nicht vergessen, dass wir ja in die Vergangenheit unterwegs waren. Für mich heißt das also erstmal nur, dass man keine Anfangsbedingungen für solche Teilchen festlegen kann. Was nicht daran liegt (Vorsicht, das ist nur Deutung meinerseits) dass die Raumzeit kaputt ist, sondern daran, dass die Raumzeit solche Teilchen einfach nicht zulässt. Sie bremst vielmehr jedes Teilchen mit endlicher (=vernünftiger) Pekuliargeschwindigkeit in unendlicher Zeit auf Geschwindigkeit Null herunter. Also sind diese Geodäten, die heute mit endlicher Geschwindigkeit daherkommen, verboten.

Zur Berechnung der Pekuliargeschwindigkeit: ein Teilchen der Geschwindigkeit v kommt in dt eine Strecke dx=v*dt weit. Das dort vorhandene mitbewegte Teilchen ist nach Hubble um dv=H*dx schneller. Deswegen ist die Pekuliargeschwindigkeit nach dt auch um dv größer (wir gehen ja in die Vergangenheit; wenn wir in die Zukunft gingen, wäre sie natürlich kleiner). Wobei man natürlich die relativistische Addition verwenden muss.
Das Ganze muss dann eine Funktion v(t) ergeben, und damit auch eine Funktion d\tau/dt =1/gamma(t). Das integriert von -inf bis jetzt muss dann einen endlichen Wert ergeben.

 

[Bernhard]

Hallo Ich,

aus Zeitgründen kann ich momentan nur einige Ergebnisse meiner eigenen Rechnungen aufschreiben. Die drei Killingvektoren führen auf:

[tex]a(\lambda)^2\frac{dx^i}{d\lambda} = v^i[/tex]

mit i=1,2,3 und den parametrisierten Pekuliargeschwindigkeiten v^i.

Die Geodätengleichung für t kann damit zu

[tex]\frac{dt}{d\lambda} = \frac{v}{a} + k[/tex]

mit

[tex]v = \sqrt{(v^1)^2+(v^2)^2+(v^3)^2}[/tex]

integriert werden. Für k=0 hat man die (im paper erwähnten) lichtartigen Geodäten.

EDIT: Damit folgt dann für die Eigenzeit des Beobachters:

[tex] (\frac{d\tau}{d\lambda})^2=\frac{2vk+ak^2}{a} [/tex]

Man kann k in Abhängigkeit von a dann so wählen, dass [tex]\frac{dt}{d\tau}[/tex] für einen bestimmten Zeitpunkt in der Vergangenheit divergiert. Hast Du das so gemeint?
Gruß

 

[Ich]

Hi Bernhard,

ich wollte die Sache eigentlich anschaulich rechnen, stehe aber auf dem Schlauch.
Egal, deine Formel [tex]\frac{dt}{d\lambda} = \frac{v}{a} + k[/tex] gefällt mir recht gut, allerdings ausschließlich für k=1. Deiner zweiten Formel kann ich nicht folgen.
Wenn du die erste Formel umstellst nach [tex]\frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{\frac{v}{a} + k}[/tex] siehst du, dass das Integral von t=-inf bis jetzt - also die Eigenzeit des Beobachters - endlich ist, für [tex]a = e^{Ht}[/tex]. Das ist die Aussage des Papers.

 

[Bernhard]

Deiner zweiten Formel kann ich nicht folgen.

Hallo Ich,

als Erklärung: Ich leite diese Formel über das Bogenelement ds her, denn das ist bei c=1 gleich dem benötigten [tex]d\tau[/tex].

Ich verwende also

[tex]a(\lambda)^2\frac{dx^i}{d\lambda} = v^i\quad\quad(1)[/tex]

und

[tex]\frac{dt}{d\lambda} = \frac{v}{a} + k\quad\quad(2)[/tex]

und setze das in das nach lambda abgeleitete Bogenelement ein

[tex](\frac{ds}{d\lambda})^2=(\frac{d\tau}{d\lambda})^2 = (\frac{dt}{d\lambda})^2 - a^2(\frac{dx^1}{d\lambda})^2 - a^2(\frac{dx^2}{d\lambda})^2 - a^2(\frac{dx^3}{d\lambda})^2[/tex]

Damit erhalte ich dann

[tex](\frac{d\tau}{d\lambda})^2 = (\frac{v}{a})^2 + \frac{2vk}{a} + k^2 - a^2 \cdot \frac{v^2}{a^4} = \frac{2vk}{a} + k^2 = \frac{2vk+ak^2}{a}[/tex]

 

[Bernhard]

Hi Bernhard,

ich wollte die Sache eigentlich anschaulich rechnen

OK. Das kann man aber immer noch machen, wenn man mal die Formel für die Abhängigkeit zwischen der Koordinatenzeit t und der Eigenzeit des frei fallenden Beobachters anschreibt:

[tex]\frac{dt}{d\tau} = \pm\frac{v+ak}{2vk+ak^2}[/tex]

Diese Funktion hat bei k=0 und bei k = -2v/a einen Pol. Bevor man diese Funktion weiter integriert sollte man sich also vielleicht noch überlegen, welche Bedeutung die Integrationsvariable k hat.

Mit

[tex](\frac{ds}{d\lambda})^2=k\left(2\frac{v}{a}+k\right)[/tex]

wird beispielsweise klar, dass k=0 lichtartige Geodäten impliziert.

 

[Ich]

Hi Bernhard,

[tex]\lambda[/tex] ist doch auch bei dir der affine Parameter? Dann ist [tex]\tau[/tex] notwendigerweise proportional dazu, wenn man den selben Nullpunkt wählt. Und gleich, wenn man k=1 wählt.

Wobei ich die anschauliche Rechnung doch noch gemacht habe. Wie im Paper vorgeschlagen nimmt man p~1/a sowie [tex]1/\gamma = \frac{d\tau}{dt} = \sqrt{\frac{m^2}{m^2+p^2}}[/tex] und kommt so auf
[tex]\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{\frac{1}{1+v_0^2 e^{-2Ht}}}[/tex],
was deiner Formel 1 ähnelt, aber doch unterschiedlich ist.
Für t<<0 wird sie zu [tex]\frac{d\tau}{dt} = e^{Ht}[/tex], also [tex]\tau = \frac{e^{Ht_0}}{H}[/tex] - ein endlicher Wert.

 

[Bernhard]

[tex]\lambda[/tex] ist doch auch bei dir der affine Parameter? Dann ist [tex]\tau[/tex] notwendigerweise proportional dazu

Ich hätte wohl doch besser danach fragen sollen, was affin hier genau bedeutet, denn ich habe lambda als frei wählbar betrachtet. Falls lambda linear mit tau verknüpft sein soll, muss ich die Rechnungen nochmal machen. Bitte entschuldige.

 

[Bernhard]

[tex]\lambda[/tex] ist doch auch bei dir der affine Parameter? Dann ist [tex]\tau[/tex] notwendigerweise proportional dazu, wenn man den selben Nullpunkt wählt.

Hallo Ich,

ich denke "affin" bedeutet in diesem Zusammenhang lediglich bijektiv, denn bei den lichtartigen Geodäten ist das Bogenelement bekanntlich immer Null. Eine Linearität zwischen [tex]\lambda[/tex] und der Bogenlänge macht da keinen Sinn. Es ist aber eher ein Detail. Lass uns lieber die wichtigeren Aspekte des Papers diskutieren, sprich die im paper angesprochenen Eigenschaften der verschiedenen Geodäten. Ich brauche dazu aber noch mehr Zeit, schließlich lädt der Sommer auch noch zu diversen anderen Vergnügungen ein .
Gruß

 

[Bernhard]

Hallo Ich,

ich habe mir nochmal die Vorgaben aus dem Paper für die lichtartigen Geodäten angesehen und festgestellt, dass man damit Dein oben erwähntes Beispiel mit der zeitlich konstanten Hubble-Konstanten recht leicht berechnen kann. Es gelte also [tex]a(t) = \exp(Ht)[/tex]. Mit der im Paper vorgeschlagenen Normierung des affinen Parameters der Geodäte, sowie [tex]t_i=-\infty[/tex], [tex]t_f=0[/tex] folgt:

[tex]\frac{dt}{d\lambda} = \exp(-Ht)[/tex]

Das kann dann zu

[tex]\lambda = \frac{1}{H}\exp(Ht)[/tex]

integriert werden. Man sieht dann, dass der Parameter der Geodäte auf den Wertebereich von 0 (bei [tex]t_i[/tex]) bis 1/H (bei [tex]t=t_f=0[/tex]) beschränkt bleibt. Trotzdem kann die Geodäte nach t=-inf zurückververfolgt werden. Eine past-incompleteness kann ich da dann eigentlich nicht mehr erkennen .
Gruß

 

[Ich]

ich denke "affin" bedeutet in diesem Zusammenhang lediglich bijektiv, denn bei den lichtartigen Geodäten ist das Bogenelement bekanntlich immer Null.

Nö, der affine Parameter ist schon ausgezeichnet. Zum Beispiel kriegst du über [tex]dx^i/d\lambda[/tex] den Wellenvektor, der dann den Erhaltungssätzen folgt. Das wäre nicht so, wenn du die Ereignisse auf der Geodäte beliebig bijektiv auf R abbildest. Nur für zeit/raumartige Geodäten kann man den Parameter mit der Bogenlänge gleichsetzen.

Man sieht dann, dass der Parameter der Geodäte auf den Wertebereich von 0 (bei ) bis 1/H (bei ) beschränkt bleibt. Trotzdem kann die Geodäte nach t=-inf zurückververfolgt werden. Eine past-incompleteness kann ich da dann eigentlich nicht mehr erkennen

Der Punkt ist: Koordinatenzeiten sind Schall und Rauch. Ob man irgendwas zu einer unendlichen Koordinatenzeit verfolgen kann oder nicht hat nicht unbedingt physikalische Bedeutung. Zum Beispiel kann man bei Schwarzschild gut über den Horizonz kommen. Andersrum endetdas Universum in konformalen Koordinaten (siehe Davis&Lineweaver) nach 63 Mrd. Jahren, ohne dass da eine Singularität wäre.
Anders ist es mit der Eigenzeit: Wenn man eine Geodäte in endlicher Eigenzeit an einen Punkt bringt, an dem die ART einem nicht sagen kann, wie's weitergeht, dann ist da irgendwas unvollständig. Das ist hier der Fall.

 

[Bernhard]

Nö, der affine Parameter ist schon ausgezeichnet. Zum Beispiel kriegst du über [tex]dx^i/d\lambda[/tex] den Wellenvektor, der dann den Erhaltungssätzen folgt. Das wäre nicht so, wenn du die Ereignisse auf der Geodäte beliebig bijektiv auf R abbildest. Nur für zeit/raumartige Geodäten kann man den Parameter mit der Bogenlänge gleichsetzen.

Hallo Ich,

man könnte also zwei räumlich ruhende Experimentatoren A und B in das betrachtete Univerum einbauen. A lebe in der Vergangenheit (t_A << t_B) von B und sende einen Lichtrahl mit der Frequenz nue zu B. Dieser kann dann die Frequenz bei sich messen. Meiner Meinung nach sollte dabei B im deSitter-Universum (a(t) = exp(H*t), dass das ein sehr spezieller Fall ist, ist klar) für beliebige Zeitpunkte (ohne t=-inf oder t=inf) stets nichtsinguläre Werte erhalten.
Gruß