Das Gegenbeispiel
ist schön. Den Denkfehler hatte ich aber erst später gemacht, denn im Kontext der Diskussion mit TomS hatte ich zuvor bereits klar gestellt, was ich meine, wenn ich "Singularität" sage:
Die Singularität Deiner Darstellung befindet sich an der Identität. Damit meine ich, Deine "Überlagerung" ist in der Umgebung der Identität nicht "trivial".
Mein Denkfehler kam später, als Ich mich fragte, was denn mit solchen Abbildungen ist, die statt aus dem ganzen Raum "nur" aus einer zusammenhängenden offenen Teilmenge des Raumes auf die Kugeloberfläche abbilden. Dann habe ich mir irgendwie in meinem Kopf sich ausdehnende Gebiete (auf der Kugeloberfläche) vorgestellt (genau wie im Gegenbeispiel).
Und als ich dann nicht gesehen habe, wie man auf diese Art eine Parametrisierung der Kugeloberfläche konstruieren kann, habe ich dann angefangen mich zu fragen, wie man die Nicht-Existenz beweisen könnte. Wie ich dann dazu kam, anzunehmen mein Beweis funktioniere auch in diesem Fall, war ... leider ganz typsich: Meinen ursprünglichen Beweis konnte ich mir im Kopf vorstellen, und nachvollziehen warum er funktioniert, und wann. Aber irgendwann glaubte ich, mein Beweis müsse auch im anderen Fall funktionieren, obwohl ich eigentlich wusste, dass ich mir in meinem Kopf eben nicht mehr vorstellen konnte, warum er für diesen Fall funktionieren sollte.
Daraus entstand dann unabsichtlich die Fangfrage ("why does every parametrization of the n-sphere has singular points"), welche eine falsche Tatsache implizit voraus setzte. Obwohl ChatGPT mathematisch Recht hat, ist aber auch hier mein Eindruck wieder:
Mathematisch nicht falsch, aber als "Diskussionsbeitrag" absolut enttäuschend.
(Na gut, hier wohl eher: "Mathematisch wunderbar sauber und richtig, aber als Diskussionsbeitrag trotzdem irgendwie seltsam".) Die Antwort von Claude Sonnet hatte etwas Entscheidendes, was ChatGPT irgendwie fehlt. ChatGPT wirkt auf mich ein wenig wie ein "Besserwisser", der sich nicht so recht in die Diskussionsteilnehmer (oder spätere Leser) hineinversetzen kann. Und irgendwie noch nichtmals versteht, warum er versuchen sollte, dies zu tun.
Vermutlich ist deshalb beim Lesen Deiner mit ChatGPT-Hilfe geschriebenen Dokumente bei mir irgendwann die Angst entstanden, dass sie es nicht schaffen werden, "normale" Mathematiker abzuholen, d.h. für Deine Untersuchungen zu begeistern.
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