Sinnvoller Umgang mit Unterstützung durch künstliche Intelligenz und Grenzen
- Ersteller ralfkannenberg
- Erstellt am
Petz
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Chat GPT & Co ist zwar ein Witz, aber im Vergleich zu diesen ganzen KI Assistenten die mittlerweile auf den neuen Smartphones und Windows 11 Geräten mitgeliefert werden sind die Sprachmodelle aus dem Internet noch vergleichsweise harmlos:
Das TLDR von der Geschichte ist dass die Spione jetzt wo die KI auf dem Gerät mitstenografiert keine speicherintensiven Screenrecordings mehr speichern müssen wenn sie wissen wollen was man macht, die KI fasst das jetzt alles in einem kleinem Textfile das man nirgends mehr findet und daher nicht löschen kann zusammen. Ich werde deshalb nicht auf die neuen KI gepowerten Geräte updaten sondern auf Windows 11 und bei meinem Dumbphone bleiben.
Das TLDR von der Geschichte ist dass die Spione jetzt wo die KI auf dem Gerät mitstenografiert keine speicherintensiven Screenrecordings mehr speichern müssen wenn sie wissen wollen was man macht, die KI fasst das jetzt alles in einem kleinem Textfile das man nirgends mehr findet und daher nicht löschen kann zusammen. Ich werde deshalb nicht auf die neuen KI gepowerten Geräte updaten sondern auf Windows 11 und bei meinem Dumbphone bleiben.
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albertus
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Für wen das Thema KI aus beruflicher Sicht von Interesse ist, der sollte sich vielleicht mal das Video hier anschauen:
Da werden grundsätzliche Begriffe erklärt und auch wenn sich das Video eher an IT-Profis wendet, bringt der Autor immer wieder allgemeinverständliche Beispiele. Dem Video schließt sich eine ganze Videoreihe an. Auch wenn davon nur wenig verständlich ist, wenn man nicht täglich mit den genannten IT-Themen zu tun hat, kann man sich einen Eindruck verschaffen, was heute möglich ist und wie die professionelle Nutzung erfolgt - erfordert halt etwas Geduld.
IT-Sicherheit ist selbstredend bei KI-Nutzung ein nennenswertes und zu beachtendes Thema. Für Interessenten kann ich die Januarausgabe der IT-Zeitschrift "iX " empfehlen. Dort werden spezielle Attacken auf KI ( Wie sie ablaufen und wie man sich schützt) dargelegt. Für den Einstieg erst mal ein guter Beitrag.
Das Editorial dieser iX-Ausgabe liefert interessante Informationen zu OpenAI (ChatGPT) und dem Thema Gemeinnützlichkeit, kartellrechtliche Fragen bis zur grundsätzlichen Frage: Wie offen sollte KI sein? Aus welchen Daten überhaupt bestehen die großen KI-Modelle und welche Maßnahmen sind erforderlich, um eine Monolbildung bei der Meinungsbildung durch OpenAi zu verhindern? Bei den "Großen" in der Branche ist da offensichtlich bereits ein heftiger Kampf um Marktanteile im Gange. Musk zeigt z.B. OpenAi erneut an und stellt andererseits auf X eine eigene KI bereit. Lt. dem Autor dieses Editorials liefert die Musk-ID Grok mehr Falschinformationen aus als GPT-4, insbesondere bei Antworten zur US-Politik.
Daher auch hier meine Empfehlung, immer schön kritisch und vorsichtig bleiben. Schaden kann man abwenden oder wenigstens eingrenzen, wenn man sich umfassend informiert. Das ist aber nun keine neue Erkenntnis.
Wer erst mal ein einfache und gut verständliche Einführung zu ChatGPT sehen möchte, dem lege ich das Video
nahe.
Gruß, Astrofreund
Da werden grundsätzliche Begriffe erklärt und auch wenn sich das Video eher an IT-Profis wendet, bringt der Autor immer wieder allgemeinverständliche Beispiele. Dem Video schließt sich eine ganze Videoreihe an. Auch wenn davon nur wenig verständlich ist, wenn man nicht täglich mit den genannten IT-Themen zu tun hat, kann man sich einen Eindruck verschaffen, was heute möglich ist und wie die professionelle Nutzung erfolgt - erfordert halt etwas Geduld.
IT-Sicherheit ist selbstredend bei KI-Nutzung ein nennenswertes und zu beachtendes Thema. Für Interessenten kann ich die Januarausgabe der IT-Zeitschrift "iX " empfehlen. Dort werden spezielle Attacken auf KI ( Wie sie ablaufen und wie man sich schützt) dargelegt. Für den Einstieg erst mal ein guter Beitrag.
Das Editorial dieser iX-Ausgabe liefert interessante Informationen zu OpenAI (ChatGPT) und dem Thema Gemeinnützlichkeit, kartellrechtliche Fragen bis zur grundsätzlichen Frage: Wie offen sollte KI sein? Aus welchen Daten überhaupt bestehen die großen KI-Modelle und welche Maßnahmen sind erforderlich, um eine Monolbildung bei der Meinungsbildung durch OpenAi zu verhindern? Bei den "Großen" in der Branche ist da offensichtlich bereits ein heftiger Kampf um Marktanteile im Gange. Musk zeigt z.B. OpenAi erneut an und stellt andererseits auf X eine eigene KI bereit. Lt. dem Autor dieses Editorials liefert die Musk-ID Grok mehr Falschinformationen aus als GPT-4, insbesondere bei Antworten zur US-Politik.
Daher auch hier meine Empfehlung, immer schön kritisch und vorsichtig bleiben. Schaden kann man abwenden oder wenigstens eingrenzen, wenn man sich umfassend informiert. Das ist aber nun keine neue Erkenntnis.
Wer erst mal ein einfache und gut verständliche Einführung zu ChatGPT sehen möchte, dem lege ich das Video
Gruß, Astrofreund
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albertus
Registriertes Mitglied
Der folgende Beitrag ist für mich nur ein Testfeld, wie ich hier mit LaTeX arbeiten könnte. Also bitte nicht über den Inhalt nachdenken oder einen tieferen Sinn darin erwarten.
Beginn der Tests:
Die Lösung der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ist gegeben durch:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Mit quicklatex.com :
Im Browser https://quicklatex.com/ aufrufen, dort den LaTeX-Code eingeben(kopieren) und
Auf Taste Rendern drücken.
Ergebnis wird in der Vorschau angezeigt und die URL des png.Files (Bild) findet man am Ende der Seite.
Diese URL habe ich hier als Link benutzt und zwei Möglichkeiten getestet:
1. Browser mit aufrufen oder
2. Gleichung als Bild einbinden
und ... naja ...
Etwas anspruchsvolleren Inhalt (züglich Grafik) habe ich erneut mit quicklatex in eine png-Datei gewandelt und hier getestet:
1. Browser mit https://quicklatex.com/cache3/d5/ql_ce13e38c52bdab8ee7c7a978300e17d5_l3.png oder 2. als Bild
hier eingeben.
Gruß, Astrofreund
Beginn der Tests:
Die Lösung der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 ist gegeben durch:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Mit quicklatex.com :
Im Browser https://quicklatex.com/ aufrufen, dort den LaTeX-Code eingeben(kopieren) und
Auf Taste Rendern drücken.
Ergebnis wird in der Vorschau angezeigt und die URL des png.Files (Bild) findet man am Ende der Seite.
Diese URL habe ich hier als Link benutzt und zwei Möglichkeiten getestet:
1. Browser mit aufrufen oder
2. Gleichung als Bild einbinden
und ... naja ...
Etwas anspruchsvolleren Inhalt (züglich Grafik) habe ich erneut mit quicklatex in eine png-Datei gewandelt und hier getestet:
1. Browser mit https://quicklatex.com/cache3/d5/ql_ce13e38c52bdab8ee7c7a978300e17d5_l3.png oder 2. als Bild
hier eingeben.
Gruß, Astrofreund
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ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Astrofreund,
das sind zwei verschiedene Tests, nicht wahr ?
Freundliche Grüsse, Ralf
albertus
Registriertes Mitglied
Ich habe mit verschiedenen Möglichkeiten versucht, Ausgaben, die in einem Latexdokument vorlagen, hier einzubinden. Der Inhalt ist als nebensächlich zu sehen. Dort habe ich auch nichts geändert/editiert.
Inhalt habe ich bei meiner KI angefragt und um Ausgabe als LaTeX-Dokument gebeten. Das für mich brauchbar erscheinende Ergebnis habe ich mit den einzelnen dabei zumachenden Schritten oben in #4 dargestellt.
Wer eine Ausgabe im Webbrowser braucht, kann die übliche Verfahrensweise mit dem Link gehen. Wer hier gleich das Bild sehen und behalten will, kann den von quicklatex.com gelieferten link über die "Bild einfügen" Funktion (Ctrl+P) hier einbinden. Beides funktioniert.
Das Bild im Browser kann ich in ein Textdokument (Libreoffice) als Bild einbinden und als weiteres Dokument abspeichern und bei Bedarf in PDF wandeln und wenn ich brauche, ausdrucken.
Bei den Versuchen, welche Technologie geeignet ist kam erneut die KI zum Einsatz. Man muss nur die richtigne Fragen stellen.
Wenn Du das mal ausprobieren willst ... ich helfe gern.
Mit Link in Browser: https://quicklatex.com/cache3/4f/ql_a1624b6d83c1b7e4a90f14db79ce884f_l3.png oder als Bild einbinden
Die erste Zeile (beginnt mit article ...) darf nicht ausgegeben werden. Das ist ein Fehler von quicklatex. Bei Texworks erscheint diese Zeile nicht. Dafür liefert diese Software keinen Link auf ein Bild. Ergo bleibt nur, bei Acrobat die PDF-Ausgabe in die Acrobate-Cloud zu kopieren und den Link darauf zu nutzen:
Adobe Acrobat
Da sollte es aber weitere Möglichkeiten geben.
Gruß, Astrofreund
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ralfkannenberg
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Hallo zusammen,
da es nicht primär um Inhalte geht bitte ich zu berücksichtigen, dass ich kein Spezialist bei den Dedekind'schen Schnitten bin und nun auch nicht prüfen werde, ob das, was die AI da geschrieben hat, zutreffend ist. Es sieht "ok" aus, aber einen pedantischen Fehler würde ich übersehen, d.h. meine Meinung bzw. mein Review ist sicher keine Referenz.
Ich sehe aber folgendes Problem, welches auf der Wikipedia auch anders gelöst ist, nämlich dass wir einen sogenannten Zirkelschluss haben: die Dedekindschen Schnitte werden verwendet, um reelle Zahlen zu definieren, aber bei der Definition der √2 wird verwendet, dass diese "reell" sei.
In der Wikipedia wird das statt dessen wie folgt definiert:
A = {a in IQ: a² < 2 oder a < 0}
B = {b in IQ: b² ≥ 2 und b ≥ 0}
Diese Definition kommt ohne Vorwissen, was eine reelle Zahl ist, aus.
Diese zunächst seltsam anmutende Zusatzbedingung mit der 0 wird meiner Meinung nach deswegen benötigt, weil in A ja auch alle negativen rationalen Zahlen liegen müssen, welche aber mit der Bedingung a² < 2 nicht erreicht werden, weil a² ≥ 0 ist. Man muss also die negativen rationalen Zahlen noch dazunehmen.
Bei der Menge B wiederum ist es andersherum, da die Bedingung b² ≥ 2 auch negative Zahlen b ≤ √2 umfasst, und damit wären diese Zahlen sowohl in A als auch in B. Das wird mit der Zusatzbedingung, d.h. anstelle des "oder"-Operators bei A nun der "und"-Operator B, vermieden.
Freundliche Grüsse, Ralf
albertus
Registriertes Mitglied
Hallo Ralf,
mit der Frage ausprobieren meinte ich kein Mathethema, sondern die Technologie, um hier Gleichungen etc. per LateX-Code darstellen zu können. Dies wurde berechtigt immer wieder gefordert. Über die Jahre hatte dieses Forum die Möglichkeit und irgendwann war das nicht mehr möglich. Daher habe ich auf Umwegen versucht, das wieder möglich zu machen.
Gruß, Astrofreund
mit der Frage ausprobieren meinte ich kein Mathethema, sondern die Technologie, um hier Gleichungen etc. per LateX-Code darstellen zu können. Dies wurde berechtigt immer wieder gefordert. Über die Jahre hatte dieses Forum die Möglichkeit und irgendwann war das nicht mehr möglich. Daher habe ich auf Umwegen versucht, das wieder möglich zu machen.
Gruß, Astrofreund
albertus
Registriertes Mitglied
Die Chinesen haben schon vor Jahren derartige gigantische Summen in die KI gesteckt. Nun ziehen die USA nach.
Es ist ein gigantisches Investitionsprogramm, das US-Präsident Trump vorstellt: Mehrere Konzerne planen, Hunderte Milliarden Dollar in ein KI-Infrastrukturprojekt in Texas zu stecken. Sie versprechen nicht weniger als "einen enormen wirtschaftlichen Nutzen" für die ganze Welt.
www.n-tv.de
Also dran bleiben, das wird jetzt wirklich ernst und die EU sollte auch endlich in die Gänge kommen. Die Milliarden bisher reichen hinten und vorn nicht.
Gruß, Astrofreund
Es ist ein gigantisches Investitionsprogramm, das US-Präsident Trump vorstellt: Mehrere Konzerne planen, Hunderte Milliarden Dollar in ein KI-Infrastrukturprojekt in Texas zu stecken. Sie versprechen nicht weniger als "einen enormen wirtschaftlichen Nutzen" für die ganze Welt.
Konzerne wollen 500 Milliarden Dollar in KI-Projekte stecken
Es ist ein gigantisches Investitionsprogramm, das US-Präsident Trump vorstellt: Mehrere Konzerne planen, Hunderte Milliarden Dollar in ein KI-Infrastrukturprojekt in Texas zu stecken. Sie versprechen nicht weniger als "einen enormen wirtschaftlichen Nutzen" für die ganze Welt.
www.n-tv.de
Also dran bleiben, das wird jetzt wirklich ernst und die EU sollte auch endlich in die Gänge kommen. Die Milliarden bisher reichen hinten und vorn nicht.
Gruß, Astrofreund
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Astrofreund,
ich habe nochmals eine mathematische Frage an die AI:
"Wie beweist man, dass die Kubikwurzel von 3 nicht algebraisch vom Grade 2 ist ?"
Kannst Du sie das bitte fragen ? - Je nach Antwort kann ich sonst den Beweis auch selber hier hineinstellen, aber vielleicht kennt die AI einen eleganteren Beweis.
Besten Dank und freundliche Grüsse, Ralf
ich habe nochmals eine mathematische Frage an die AI:
"Wie beweist man, dass die Kubikwurzel von 3 nicht algebraisch vom Grade 2 ist ?"
Kannst Du sie das bitte fragen ? - Je nach Antwort kann ich sonst den Beweis auch selber hier hineinstellen, aber vielleicht kennt die AI einen eleganteren Beweis.
Besten Dank und freundliche Grüsse, Ralf
albertus
Registriertes Mitglied
Die französische KI meint:
"
Um zu beweisen, dass die Kubikwurzel von 3 (\(\sqrt[3]{3}\)) nicht algebraisch vom Grade 2 ist, müssen wir zeigen, dass sie keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Eine Zahl ist algebraisch vom Grade 2, wenn sie eine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) ist, wobei \(a\), \(b\) und \(c\) rationale Zahlen sind.
Angenommen, \(\sqrt[3]{3}\) wäre eine Lösung einer solchen quadratischen Gleichung. Dann gäbe es rationale Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\), sodass:
\[ a(\sqrt[3]{3})^2 + b(\sqrt[3]{3}) + c = 0 \]
Dies vereinfacht sich zu:
\[ a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c = 0 \]
Nun betrachten wir die möglichen rationalen Lösungen für \(a\), \(b\) und \(c\). Da \(\sqrt[3]{3}\) irrational ist, müssen wir prüfen, ob die obige Gleichung für rationale \(a\), \(b\) und \(c\) erfüllt sein kann.
1. **Irrationalität von \(\sqrt[3]{3}\)**:
- \(\sqrt[3]{3}\) ist irrational, was bedeutet, dass es keine rationale Zahl gibt, die \(\sqrt[3]{3}\) darstellt.
2. **Koeffizientenanalyse**:
- Wenn \(a \neq 0\), dann ist \(a \cdot 3^{2/3}\) irrational.
- Wenn \(b \neq 0\), dann ist \(b \cdot 3^{1/3}\) irrational.
- \(c\) ist rational.
3. **Summe von irrationalen und rationalen Zahlen**:
- Die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist immer irrational.
- Daher kann die Summe \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c\) niemals Null sein, wenn \(a\) oder \(b\) nicht Null sind, weil Null eine rationale Zahl ist.
Daher kann \(\sqrt[3]{3}\) keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein. Dies beweist, dass \(\sqrt[3]{3}\) nicht algebraisch vom Grade 2 ist.
Leider habe ich hier kein LaTeX. Kannst Du mir eine Mailadresse nennen (im PN), wo ich Dir eine PDF als Anhang hinschicken kann?
Gruß, Astrofreund
"
Um zu beweisen, dass die Kubikwurzel von 3 (\(\sqrt[3]{3}\)) nicht algebraisch vom Grade 2 ist, müssen wir zeigen, dass sie keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Eine Zahl ist algebraisch vom Grade 2, wenn sie eine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) ist, wobei \(a\), \(b\) und \(c\) rationale Zahlen sind.
Angenommen, \(\sqrt[3]{3}\) wäre eine Lösung einer solchen quadratischen Gleichung. Dann gäbe es rationale Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\), sodass:
\[ a(\sqrt[3]{3})^2 + b(\sqrt[3]{3}) + c = 0 \]
Dies vereinfacht sich zu:
\[ a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c = 0 \]
Nun betrachten wir die möglichen rationalen Lösungen für \(a\), \(b\) und \(c\). Da \(\sqrt[3]{3}\) irrational ist, müssen wir prüfen, ob die obige Gleichung für rationale \(a\), \(b\) und \(c\) erfüllt sein kann.
1. **Irrationalität von \(\sqrt[3]{3}\)**:
- \(\sqrt[3]{3}\) ist irrational, was bedeutet, dass es keine rationale Zahl gibt, die \(\sqrt[3]{3}\) darstellt.
2. **Koeffizientenanalyse**:
- Wenn \(a \neq 0\), dann ist \(a \cdot 3^{2/3}\) irrational.
- Wenn \(b \neq 0\), dann ist \(b \cdot 3^{1/3}\) irrational.
- \(c\) ist rational.
3. **Summe von irrationalen und rationalen Zahlen**:
- Die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist immer irrational.
- Daher kann die Summe \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c\) niemals Null sein, wenn \(a\) oder \(b\) nicht Null sind, weil Null eine rationale Zahl ist.
Daher kann \(\sqrt[3]{3}\) keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein. Dies beweist, dass \(\sqrt[3]{3}\) nicht algebraisch vom Grade 2 ist.
Leider habe ich hier kein LaTeX. Kannst Du mir eine Mailadresse nennen (im PN), wo ich Dir eine PDF als Anhang hinschicken kann?
Gruß, Astrofreund
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Astrofreund,
besten Dank.
Leider habe ich zur Zeit keine private email-Adresse, und die Büro-Mail-Adresse dürfen wir nicht weitergeben.
Aber ich denke, das ist kein Problem; ich vermute, dass " \(\sqrt[n]{x}\)" die n.-te Wurzel von x sein soll.
Und ziemlich sicher dürfte \neg "ungleich" bedeuten.
Allerdings verstehe ich noch nicht, was \cdot bedeutet.
Was ich indes auch ohne das sehe ist, dass man mit den Koeffizienten des Minimalpolynoms arbeitet. Diese Idee hatte ich anfangs auch, wobei ich hier versucht hatte, diese ohne Einschränkung der Allgemeinheit teilerfremd zu setzen und dann wie beim Beweis der Irrationalität dieser Zahlen einen Widerspruch herzuleiten. Das ist mir aber nicht gelungen (was nicht heissen soll, dass das so nicht geht). Danach habe ich bemerkt, dass "x nicht algebraisch vom Grade 2" gleichbedeutend ist, dass x² irrational ist; damit wird der Beweis einfach führbar.
Die AI indes hat nun einen anderen Weg beschritten, den ich mir gerne anschauen möchte; sie nutzt, dass die Summe einer irrationalen Zahl mit einer rationalen Zahl stets irrational ist. Wenn das geht, so wäre das natürlich wirklich sehr elegant.
Freundliche Grüsse, Ralf
TomS
Registriertes Mitglied
Angenommen, x = die Kubikwurzel von 3 wäre eine algebraische Zahl vom Grad höchstens 2. x ist jedoch eine Nullstelle der kubischen Gleichung x³ - 3 = 0, und diese ist irreduzibel über den rationalen Zahlen gemäß Eisensteinkriterium für p=3. Das ist ein Widerspruch.
Vermutlich kann man auch mit dem Grad der Galois-Gruppe argumentieren.
Vermutlich kann man auch mit dem Grad der Galois-Gruppe argumentieren.
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ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Tom,
ich hatte geahnt, dass Du über die Irreduzibiliät argumentieren würdest. Das ist bei mir alles sehr lange her und seit 1988 habe ich mich auf diesem Niveau nicht mehr mit Algebra beschäftigt, von Galois-Gruppen ganz zu schwiegen, auch wenn ich 1995 nochmals mit solchen Inhalten beim Beweis der Transzendenz von π mit normalen Körpererweiterungen konfrontiert war.
Ich hatte aber nach einem elementaren Beweis gesucht, aber im allgemeinen Fall werden dann diese Überlegungen auf elementarem Niveau sehr rasch mal sehr unübersichtlich.
Freundliche Grüsse, Ralf
ich hatte geahnt, dass Du über die Irreduzibiliät argumentieren würdest. Das ist bei mir alles sehr lange her und seit 1988 habe ich mich auf diesem Niveau nicht mehr mit Algebra beschäftigt, von Galois-Gruppen ganz zu schwiegen, auch wenn ich 1995 nochmals mit solchen Inhalten beim Beweis der Transzendenz von π mit normalen Körpererweiterungen konfrontiert war.
Ich hatte aber nach einem elementaren Beweis gesucht, aber im allgemeinen Fall werden dann diese Überlegungen auf elementarem Niveau sehr rasch mal sehr unübersichtlich.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo zusammen,
wollen wir das mal kurz historisch einordnen: das Eisensteinkriterium wurde 1850 von Gotthold Eisenstein formuliert, wobei es bereits 4 Jahre zuvor von Theodor Schönemann erstmals formuliert wurde.
Das ist z.B. die Zeit, in der Liouville 1851 die erste transzendente Zahl konkret angeben konnte, nachdem er 7 Jahre zuvor das Liouville'sche Kriterium formuliert hatte. Astronomisch wurde in dieser Zeit 1846 der Planet Neptun entdeckt und 17 Tage (nicht Jahre, sondern Tage) später auch der grosse Neptunmond Triton. Auch die beiden innersten grossen reulären Uranusmonde Ariel und Umbriel wurden in dieser Zeit 1851 entdeckt, sowie 3 Jahre zuvor im Jahre 1848 der Saturnmond Hyperion.
Freundliche Grüsse, Ralf
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albertus
Registriertes Mitglied
Wurzel richtig vermutet.
\neg ist Ungleichzeichen
\cdot ist Multiplikationszeichen
Internet, Latex: https://www.namsu.de/latex.html
Wenn Du Dich selbst bei Mistral anmelden möchtest: https://auth.mistral.ai/ui/login?flow=a1d15293-7300-42ee-9983-1b87b610340e
Gruß, Astrofreund
albertus
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2.Antwort der KI:
"Du indes hast nun einen anderen Weg beschritten, den ich mir gerne anschauen möchte; Du nutzt, dass die Summe einer irrationalen Zahl mit einer rationalen Zahl stets irrational ist. Wenn das geht, so wäre das natürlich wirklich sehr elegant.
Ja, der Ansatz, den ich verwendet habe, basiert auf der Tatsache, dass die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl immer irrational ist. Lass uns diesen Ansatz noch einmal genauer betrachten und formalisieren.
### Beweis:
Angenommen, \(\sqrt[3]{3}\) wäre algebraisch vom Grade 2. Dann gäbe es rationale Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\), sodass \(\sqrt[3]{3}\) eine Lösung der quadratischen Gleichung
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
ist. Setzen wir \(x = \sqrt[3]{3}\) in die Gleichung ein, erhalten wir:
\[ a(\sqrt[3]{3})^2 + b(\sqrt[3]{3}) + c = 0 \]
Dies vereinfacht sich zu:
\[ a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c = 0 \]
Nun analysieren wir die Terme:
1. **Irrationalität von \(\sqrt[3]{3}\)**:
- \(\sqrt[3]{3}\) ist irrational. Das bedeutet, dass es keine rationale Zahl gibt, die \(\sqrt[3]{3}\) darstellt.
2. **Koeffizientenanalyse**:
- Wenn \(a \neq 0\), dann ist \(a \cdot 3^{2/3}\) irrational, da das Produkt einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl irrational ist.
- Wenn \(b \neq 0\), dann ist \(b \cdot 3^{1/3}\) irrational, aus demselben Grund.
- \(c\) ist rational.
3. **Summe von irrationalen und rationalen Zahlen**:
- Die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist immer irrational.
- Daher kann die Summe \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c\) niemals Null sein, wenn \(a\) oder \(b\) nicht Null sind, weil Null eine rationale Zahl ist.
### Formalisierung:
Angenommen, \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c = 0\).
- Wenn \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\), dann sind sowohl \(a \cdot 3^{2/3}\) als auch \(b \cdot 3^{1/3}\) irrational.
- Die Summe zweier irrationaler Zahlen kann rational sein, aber die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist immer irrational.
- Daher kann \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c\) niemals Null sein, wenn \(a\) oder \(b\) nicht Null sind.
### Schlussfolgerung:
Da \(\sqrt[3]{3}\) keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein kann, ist \(\sqrt[3]{3}\) nicht algebraisch vom Grade 2.
Dieser Beweis nutzt die Eigenschaften irrationaler und rationaler Zahlen, um zu zeigen, dass \(\sqrt[3]{3}\) keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein kann."
Gruß, Astrofreund
"Du indes hast nun einen anderen Weg beschritten, den ich mir gerne anschauen möchte; Du nutzt, dass die Summe einer irrationalen Zahl mit einer rationalen Zahl stets irrational ist. Wenn das geht, so wäre das natürlich wirklich sehr elegant.
Ja, der Ansatz, den ich verwendet habe, basiert auf der Tatsache, dass die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl immer irrational ist. Lass uns diesen Ansatz noch einmal genauer betrachten und formalisieren.
### Beweis:
Angenommen, \(\sqrt[3]{3}\) wäre algebraisch vom Grade 2. Dann gäbe es rationale Zahlen \(a\), \(b\) und \(c\), sodass \(\sqrt[3]{3}\) eine Lösung der quadratischen Gleichung
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
ist. Setzen wir \(x = \sqrt[3]{3}\) in die Gleichung ein, erhalten wir:
\[ a(\sqrt[3]{3})^2 + b(\sqrt[3]{3}) + c = 0 \]
Dies vereinfacht sich zu:
\[ a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c = 0 \]
Nun analysieren wir die Terme:
1. **Irrationalität von \(\sqrt[3]{3}\)**:
- \(\sqrt[3]{3}\) ist irrational. Das bedeutet, dass es keine rationale Zahl gibt, die \(\sqrt[3]{3}\) darstellt.
2. **Koeffizientenanalyse**:
- Wenn \(a \neq 0\), dann ist \(a \cdot 3^{2/3}\) irrational, da das Produkt einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl irrational ist.
- Wenn \(b \neq 0\), dann ist \(b \cdot 3^{1/3}\) irrational, aus demselben Grund.
- \(c\) ist rational.
3. **Summe von irrationalen und rationalen Zahlen**:
- Die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist immer irrational.
- Daher kann die Summe \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c\) niemals Null sein, wenn \(a\) oder \(b\) nicht Null sind, weil Null eine rationale Zahl ist.
### Formalisierung:
Angenommen, \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c = 0\).
- Wenn \(a \neq 0\) und \(b \neq 0\), dann sind sowohl \(a \cdot 3^{2/3}\) als auch \(b \cdot 3^{1/3}\) irrational.
- Die Summe zweier irrationaler Zahlen kann rational sein, aber die Summe einer irrationalen Zahl und einer rationalen Zahl ist immer irrational.
- Daher kann \(a \cdot 3^{2/3} + b \cdot 3^{1/3} + c\) niemals Null sein, wenn \(a\) oder \(b\) nicht Null sind.
### Schlussfolgerung:
Da \(\sqrt[3]{3}\) keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein kann, ist \(\sqrt[3]{3}\) nicht algebraisch vom Grade 2.
Dieser Beweis nutzt die Eigenschaften irrationaler und rationaler Zahlen, um zu zeigen, dass \(\sqrt[3]{3}\) keine Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sein kann."
Gruß, Astrofreund
albertus
Registriertes Mitglied
Antwort der chinesischen KI (DeepSeek):
"
Um zu beweisen, dass die Kubikwurzel von 3, \( \sqrt[3]{3} \), nicht algebraisch vom Grad 2 über \( \mathbb{Q} \) ist, gehen wir wie folgt vor:
1. **Minimalpolynom bestimmen**:
Das Polynom \( f(x) = x^3 - 3 \) hat \( \sqrt[3]{3} \) als Nullstelle. Nach dem **Eisenstein-Kriterium** mit \( p = 3 \) (da \( 3 \) den konstanten Term \(-3\) teilt, aber \( 3^2 = 9 \) nicht teilt) ist \( f(x) \) irreduzibel über \( \mathbb{Q} \). Somit ist \( f(x) \) das **Minimalpolynom** von \( \sqrt[3]{3} \), und der Grad der Körpererweiterung \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}) : \mathbb{Q}] \) ist 3.
2. **Widerspruchsannahme**:
Angenommen, \( \sqrt[3]{3} \) wäre algebraisch vom Grad 2. Dann gäbe es ein Polynom \( g(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb{Q}[x] \) mit \( g(\sqrt[3]{3}) = 0 \). Dies würde implizieren, dass der Grad der Körpererweiterung \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}) : \mathbb{Q}] \leq 2 \) ist.
3. **Widerspruch zum Minimalpolynom**:
Da das Minimalpolynom \( x^3 - 3 \) bereits Grad 3 hat, kann es kein Polynom kleineren Grades (hier Grad 2) geben, das \( \sqrt[3]{3} \) als Nullstelle hat. Der Grad der Körpererweiterung ist durch das Minimalpolynom eindeutig bestimmt und muss daher 3 sein. Die Annahme eines Grades 2 führt somit zu einem **Widerspruch**.
4. **Direkter algebraischer Widerspruch**:
Durch Umformen der Gleichung \( a(\sqrt[3]{3})^2 + b\sqrt[3]{3} + c = 0 \) lässt sich zeigen, dass \( \sqrt[3]{3} \) rational sein müsste, was nicht der Fall ist (Details siehe Gedankengang).
**Fazit**:
Da \( \sqrt[3]{3} \) ein Minimalpolynom vom Grad 3 besitzt, kann es kein Polynom zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten geben, das \( \sqrt[3]{3} \) als Nullstelle hat. Somit ist \( \sqrt[3]{3} \) **nicht algebraisch vom Grad 2** über \( \mathbb{Q} \).
\boxed{\sqrt[3]{3} \text{ ist nicht algebraisch vom Grad 2 über } \mathbb{Q}.}
"
Gruß, Astrofreund
"
Um zu beweisen, dass die Kubikwurzel von 3, \( \sqrt[3]{3} \), nicht algebraisch vom Grad 2 über \( \mathbb{Q} \) ist, gehen wir wie folgt vor:
1. **Minimalpolynom bestimmen**:
Das Polynom \( f(x) = x^3 - 3 \) hat \( \sqrt[3]{3} \) als Nullstelle. Nach dem **Eisenstein-Kriterium** mit \( p = 3 \) (da \( 3 \) den konstanten Term \(-3\) teilt, aber \( 3^2 = 9 \) nicht teilt) ist \( f(x) \) irreduzibel über \( \mathbb{Q} \). Somit ist \( f(x) \) das **Minimalpolynom** von \( \sqrt[3]{3} \), und der Grad der Körpererweiterung \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}) : \mathbb{Q}] \) ist 3.
2. **Widerspruchsannahme**:
Angenommen, \( \sqrt[3]{3} \) wäre algebraisch vom Grad 2. Dann gäbe es ein Polynom \( g(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb{Q}[x] \) mit \( g(\sqrt[3]{3}) = 0 \). Dies würde implizieren, dass der Grad der Körpererweiterung \( [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{3}) : \mathbb{Q}] \leq 2 \) ist.
3. **Widerspruch zum Minimalpolynom**:
Da das Minimalpolynom \( x^3 - 3 \) bereits Grad 3 hat, kann es kein Polynom kleineren Grades (hier Grad 2) geben, das \( \sqrt[3]{3} \) als Nullstelle hat. Der Grad der Körpererweiterung ist durch das Minimalpolynom eindeutig bestimmt und muss daher 3 sein. Die Annahme eines Grades 2 führt somit zu einem **Widerspruch**.
4. **Direkter algebraischer Widerspruch**:
Durch Umformen der Gleichung \( a(\sqrt[3]{3})^2 + b\sqrt[3]{3} + c = 0 \) lässt sich zeigen, dass \( \sqrt[3]{3} \) rational sein müsste, was nicht der Fall ist (Details siehe Gedankengang).
**Fazit**:
Da \( \sqrt[3]{3} \) ein Minimalpolynom vom Grad 3 besitzt, kann es kein Polynom zweiten Grades mit rationalen Koeffizienten geben, das \( \sqrt[3]{3} \) als Nullstelle hat. Somit ist \( \sqrt[3]{3} \) **nicht algebraisch vom Grad 2** über \( \mathbb{Q} \).
\boxed{\sqrt[3]{3} \text{ ist nicht algebraisch vom Grad 2 über } \mathbb{Q}.}
"
Gruß, Astrofreund
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Astrofreund,
besten Dank - weitere Fragen an die AI benötige ich momentan nicht. Ich kopiere das in Word, transferiere das in normalen Text und schaue mir dann den Beweis an.
Momentan habe ich aber noch im Büro zu tun.
Freundliche Grüsse, Ralf
ralfkannenberg
Registriertes Mitglied
Hallo Astrofreund,
ich kann diesen Schritt nicht nachvollziehen; ja schlimmer noch - es scheint mir, dass das genau die Aussage ist, die wir beweisen wollen.
Ok, man kann das natürlich kann man das elementar beweisen, aber "einfach so" folgt das meines Erachtens nicht.
Beweis, dass ³√3 irrational:
sei ³√3 = p/q, beide teilerfremd
=> p³ = 3q³ => p³ durch 3 teilbar => p durch 3 teilbar
3 Fälle:
(1) p=3n => p³=27n³ = 3*(9b³) durch 3 teilbar
(2) p=3n+1 => p³=(3n+1)*(3n+1)² = (3n+1)*(9n²+ 6n+1) = (27n³+18n²+ 3n+ 9n²+ 6n+1) = (27n³+27n²+ 9n+1) = 3*(9n³+ 9n²+ n ) + 1
(3) p=3n+2 => p³=(3n+2)*(3n+2)² = (3n+2)*(9n²+12n+4) = (27n³+36n²+12n+18n²+24n+8) = (27n³+54n²+36n+8) = 3*(9n³+18n²+36n+2) + 2
=> p=3n
=> p³ = 3q³ = p³ = (3n)³ = 27n³ => 3q³ = 27n³
=> q³ = 9n³, d.h. q³ ist durch 3 teilbar, d.h. q ist durch 3 teilbar --> Widerspruch
Beweis, dass (³√3)² irrational und somit (³√3) nicht algebraisch vom Grade 2:
sei (³√3)² = p/q, beide teilerfremd
=> p³ = 9q³ => p³ durch 3 teilbar => p durch 3 teilbar - Beweis siehe oben
=> p=3n
=> p³ = 9q³ = p³ = (3n)³ = 27n³ => 9q³ = 27n³ => q³ = 3n³
=> q³ = 3n³, d.h. q³ ist durch 3 teilbar, d.h. q ist durch 3 teilbar --> Widerspruch
Dasselbe klappt übrigens für (³√3)³ nicht:
sei (³√3)³ = p/q, beide teilerfremd
=> p³ = 27q³ => p³ durch 3 teilbar => p durch 3 teilbar - Beweis siehe oben
=> p=3n
=> p³ = 27q³ = p³ = (3n)³ = 27n³ => 27q³ = 27n³ => q³ = 1n³
=> q³ ist nicht zwingend durch 3 teilbar, d.h. Widerspruch nicht konstruierbar
Freundliche Grüsse, Ralf
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