Hallo Dgoe,
hier die angekündigte Herleitung:
ich fange an bei der Formel:
(1) σt = ρr²ω²
σt = sigma_t =Reißfestigkeit des Zylindermaterials in Pascal
ρ = rho = Materialdichte des Zylinders oder Kreisringes in kg/m³
r = Radis des (Kreis)Zylinders in m
ω = Winkelgeschwindigkeit in 1/Sekunde. Das Bedeutet folgendes:
Wenn ω = 2, dann dreht sich daß Gebilde zweinmal pro Sekunde um sich selbst, also 2 mal 360° innerhalb von einer Sekunde. Das wiederum führt zu einer Umlaufgeschwindigkeit von zweimal 2 Pi r pro Sekunde, also pro Sekunde zweimal ein kompletter Kreisumfang.
Wenn r = 1 m dann beträgt der Kreisumfang 2*Pi*r = 3,28 m und weil der sich hier im Beispiel in einer Sekunde zweimal um sich selber dreht, haben wir eine Umlaufgeschwindigkeit von 6,56 m/s (für diese Rechnung habe ich Pi zu 3,14 gerundet und damit auch weiter gerechnet)
Wenn Du wissen willst wie diese Formel zustande kommt, dann kannst Du Dir das Video
https://www.youtube.com/watch?v=F2a-Rlv-cCw anschauen. Ich selber finde die Erklärung (Ingenieur) ab 1 Minute 30 anschaulicher und Du kannst das auch numerisch überprüfen, indem Du den Ring in viele kleine Abschnitte teilst und für jedes Teilstück die Kraft in ‚senkrechter‘ Richtung ausrechnest. Die Kräfte in waagerechter Richtung heben sich ja für die gezeigte Ringhälfte auf. Das Ganze ist zwar etwas Arbeit, aber sehr anschaulich.
So, wir sind immer noch bei der obigen Formel (1)
Wie kommt man nun zu:
(2) σt / ρ = v²
Wenn man (1) so
σt / ρ =r² * ω²
umstellt, dann siehst Du schon auf der rechten Seite, im Ausdruck
r² * ω² = (
r * ω)²
die Umfanggeschwindigkeit in der Klammer
durchschimmern, weil eben
ω = 2Pi / Sekunde ist und multipliziert mit dem Radius zur Kreisumfangsgeschwindigkeit führt.
Damit kommt man dann eben zur Formel (2), wie sie oben schon notiert ist.
Wenn Du jetzt für σt die Reißfestigkeit (in Pascal) einsetzt und für ρ die Dichte (kg/m³) des Materials, welches Du zerreißen willst (oder eben gerade noch nicht zerreißen willst) einsetzt, dann bekommst Du auf der rechten Seite das Quadrat der Umlaufgeschwindigkeit, bei der dieses Material gerade zerreißt, oder gerade noch nicht zerreißt.
Im praktischen Betrieb würde man natürlich nicht die Reißfestigkeit, sondern die Spannung einsetzten, bei der sich das Material noch nicht dauerhaft verformt. Die praktische Umsetzung würde aber z.B. auch erfordern, daß man die elastische Verformung (also die, die beim Nachlassen der Kräfte wieder weg geht) für den eingesetzten Radius mit berücksichtigen muß.
Noch etwas zur oben schon angedeuteten numerischen Berechnung:
Du siehst in dem Video den roten Pfeil, der nach außen zeigt, weg vom Mittelpunkt des Kreises. Der soll die Kraftrichtung anzeigen.
Man kann diese Kraft nun in zwei Komponenten teilen. Eine, die in Y-Richtung (also in senkrechter Richtung) zeigt und eine die in waagerechte Richtung zeigt.
Der Anteil der senkrechten Richtung läßt sich über den Cosinus des Winkels errechnen, in die dieser Pfeil zeigt. Wenn man 0° als die waagerechte Richtung nach rechts vereinbart, dann ist die Komponente dieses roten Pfeiles die in Y-Richtung zeigt = 0, also keine Kraft in diese Richtung. (Cosinus 0° = 0)
Zeigt der Pfeil aber senkrecht nach oben, dann ist die Kraft, die auf dieses Teilstück ausgeübt wird auch vollständig in die Y-Richtung gerichtet (Cosinus 90° = 1) Du kannst also auf diese Weise für jedes Teilstück (z.B. in 1° Schritten) die jeweilige Kraftkomponente in Y-Richtung ausrechnen und addieren.
Übrigens wird der Anteil für die Waagerechte Richtung dabei mit dem Sinus des jeweiligen Winkels ausgerechnet. (Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse ist dabei der Kreisradius und die beiden Katheten sind die Kraftanteile in die beiden Richtungen)
Herzliche Grüße
MAC
