Schneller als das Licht

[Aragorn]

Hallo julian,

Aber das mit den Massen haut nicht hin.
Vor dem Stoß 3 kg
Nach dem Stoß 2,236 kg

nö, imho hat das bei mir auch mit den Massen (Energien) hin:

Gamma = 1/Wurzel(1 - 0,447^2) = 1,1179


Q (Wärmeenergie) = E_Photon - EO_Wagon*(Gamma-1)

Q = 6,877*10^16 J


E_Wagon (relativistische kinetische Energie) = (Gamma-1)*EO_Wagon

E_Wagon = 2,122*10^16 J


Summe: Q + E_Wagon = 9*10^16 J

Nimm doch meine viel einfachere Lösung

Nach dem Stoß 3 kg (Wagonmasse + Photonmasse) * (1/3) * c
Die Photonenmasse verwandelt sich teilweise in Wärmeenergie (0,879 kg * c²) und teilweise in kinetische Energie (0,121 kg *c²)

Würdest du nun die Wagonmasse deutlich erhöhen, so strebte die Wärmeenergie gegen 1 kg * c² und die kinetische Energie gegen 0.

Wie ich bereits erwähnte ist mir nicht klar, wieso ich nicht auf dein Ergebnis komme. Ich muß mir das mit den Stoßgesetzen nochmal überdenken. Normalerweise gilt ja für den inelastischen Stoß, das danach beide Körper die gleiche Geschw. besitzen. Das Photon als Energieträger wurde in Masse umgewandelt, die sich einfach zur Wagonmasse addiert. So wie du das halt gemacht hast. Einen anderen Grund als die von Orbit erwähnte Reibung kann ich mir momentan auch nicht vorstellen. Ich stehe diesbezüglich etwas auf dem Schlauch. Sorry.

Gruß Helmut

 

[Aragorn]

So und um ein wenig beim Thema zu bleiben, leite ich eine Formel für eine Photonenrakete her.
Dazu knall ich zunächst mal ein paar Formeln hin, die ihr am Besten erst mal überspringt, weil ich sie anschließend gleich erkläre.

1. N = 1 – T
2. v = c * T / (1 – T)

Sorry, aber so kannst du das nicht rechnen. Du hast hier so getan als ob die Photonenrakete ihren Treibstoff abrupt in Energie verwandelt würde. Und dabei der Photonenimpuls p_Photonen = c*T komplett auf die Nutzlast N=1-T übertragen wird.

Also einfach gleichgesetzt:

p_Photonen = c*T

mit

p_Nutzlast = v*(1-T)

was dann liefert:

v = c*T / (1-T)

Das kannst du so nicht machen, weil eine richtige Photonenrakete nicht mit a=unendlich beschleunigen kann. Das würden weder Material noch Besatzung aushalten. Bei einer richtigen Photonenrakete wird während der Beschleunigungsphase immer auch Teil des Photonenimpulses dazu benutzt, den Treibstoff mitzubeschleunigen. Daher ist eine Integration nicht zu umgehen.

Würde man deine Vorgehensweise auf chemische Raketen (v_a = Ausströmgeschw. des Treibstoffs) anwenden erhält man analog:

v = v_a * T / (1-T)

korrekt wäre aber

v = v_a * ln(1/(1-T))

Gruß Helmut

 

[Orbit]

Also, liebe Science-Fiction-Freund, wenn ihr unbedingt schneller sein wollt, als das Licht so muss ich euch enttäuschen

Könnte es sein, dass Du dieses Forum mit jenem andern mit den strohdummen Miezen verwechselst, in dem Du der Guru bist?

 

[Aragorn]

Hallo julian,

ich habe mir jetzt deine Rechnung nochmals genauer angeschaut und festgestellt, daß du doch korrekt rechnest.
Das du mit N die relativistische Masse der Nutzlast meinst war mir vorhin nicht klar.
Also ich habe deine Rechnung jetzt so verstanden:

1 = Ruhemasse der Rakete beim Start (Nutzlast n + Treibstoff T)
T = Treibstoff
N = Nutzlast (als relativistische Masse bei v)
n = Nutzlast (als Ruhemasse)
Wurzelfaktor = 1/Gamma (Kehrwert des Relativitätsfaktors)


Damit kann ich alle deine Gleichungen nachvollziehen.


Du hast den relativistischen Impuls der Nutzlast (v*N) mit dem Photonenimpuls (c*T) gleichgesetzt und erhalten:

(2) v = c*T / (1-T)


das so erhaltene v hast du in den Wurzelfaktor eingesetzt und erhälst:

(3) Wurzelfaktor = Wurzel(1-2*T) / (1-T)


Dein Wurzelfaktor entspricht 1/Gamma -> damit kann man die relativistische Nutzlast N auch anders anschreiben:

N = n * Gamma = n / Wurzelfaktor


woraus du dann die Ruhemasse der Nutzlast n bildest:

(4) n = Wurzel(1-2*T)



und danach (2) in (4) einsetzt und erhälst:

(5) n = Wurzel [ (c-v) / (c+v) ]


Diese Gleichung aufgelöst nach v ergibt:

v = c * (1-n^2) / (1+n^2)


Üblicherweise wird das Massenverhältnis Q = m0/m (Startmasse / Endmasse) in der Raketengrundgleichung verwendet.
Wobei dort immer von den jeweiligen Ruhemassen ausgegangen wird. In deiner Notation also Q = 1/n. Damit ergibt sich:

v = c * (1 - Q^-2) / (1+ Q^-2)


Damit ergeben sich dann tatsächlich die auf S. 43 angegebenen Geschw. in Abhängigkeit von Q:

Q -> v
1 -> 0
4,36 -> 0,900047977
14,1 -> 0,989990491
44,1 -> 0,99897215
141 -> 0,999899406
441 -> 0,999989716
oo -> 1

das scheint zu stimmen, denn

* für v -> c ergibt sich Effizienz = Gamma*n = 0,5 (die Hälfte der im Treibstoff enthaltenen Energie wird in kin. Energie der Nutzlast verwandelt).

* für v << c ist die Effizienz der Photonenrakete miserabel: Eff = 0,5*(Q-1)

Gruß Helmut

 

[julian apostata]

@Aragorn

Schön, dass du meiner Rechnung nun doch zustimmst. Man kann die Sache auch aus einem anderen Blickwinkel sehen.

Vor dem Raketenstart konstruieren wir uns ein Koordinatensystem, welches sich mit v=0,8 * c in Richtung der Rakete bewegt. In diesem System hat unsere Rakete (m0=1 kg) eine Masse von (5/3)kg und daher einen Impuls von -(5/3)kg * 0,8 * c = -(4/3) kg * c

Wenn wir daher (4/3) kg abtrennen und in Licht verwandeln, so hat dieses also schon den Gesamtimpuls der Rakete (-(4/3) kg * c) und der Rest von (1/3) kg darf daher keinerlei Impuls mehr besitzen und muss in diesem Koordinatensystem daher ruhen

@Orbit

Man muss halt auch damit rechnen, dass sich hier strohdumme Miezen verirren. Und was spricht dagegen, wenn man versucht, auch solche Menschen ein wenig schlauer zu machen?

 

[julian apostata]

Wie ich bereits erwähnte ist mir nicht klar, wieso ich nicht auf dein Ergebnis komme. Ich muß mir das mit den Stoßgesetzen nochmal überdenken. Normalerweise gilt ja für den inelastischen Stoß, das danach beide Körper die gleiche Geschw. besitzen. Das Photon als Energieträger wurde in Masse umgewandelt, die sich einfach zur Wagonmasse addiert. So wie du das halt gemacht hast. Einen anderen Grund als die von Orbit erwähnte Reibung kann ich mir momentan auch nicht vorstellen. Ich stehe diesbezüglich etwas auf dem Schlauch. Sorry.

Gruß Helmut

Vielleicht wäre es hilfreich, wenn du dir mein Stoßexperiment noch mal anschaust, was eigentlich von Max Born stammt.

Ich glaub, da hast du ein ganz einfaches Beispiel dafür, dass es durchaus sinnvoll sein kann, mit relativistischen Massen zu rechnen

http://windhauch.gmxhome.de/sonstiges/stoss.html


Oder ich formulier es noch einmal als Rechenaufgabe: Zwei Massen mit der gleichen Ruhemasse stoßen unelastisch zusammen und zwar Folgendermaßen. Die rechte Masse ruht und die linke Masse bewegt sich mit v=0,8 * c auf die rechte Masse zu. Welches ist die resultierende Geschwindigkeit?

 

[Aragorn]

Vor dem Raketenstart konstruieren wir uns ein Koordinatensystem, welches sich mit v=0,8 * c in Richtung der Rakete bewegt. In diesem System hat unsere Rakete (m0=1 kg) eine Masse von (5/3)kg und daher einen Impuls von -(5/3)kg * 0,8 * c = -(4/3) kg * c

Wenn wir daher (4/3) kg abtrennen und in Licht verwandeln, so hat dieses also schon den Gesamtimpuls der Rakete (-(4/3) kg * c) und der Rest von (1/3) kg darf daher keinerlei Impuls mehr besitzen und muss in diesem Koordinatensystem daher ruhen

Das ist zwar alles korrekt aber imho sehr mißverständlich dargelegt. Es ist einfach unschön in den Sätzen immer von Masse zu reden. Denn mit der Nutzlastmasse 0,5 kg meinst du die relativistische Masse der Nutzlast von Gamma*0,3kg, während die anderen Massen alles Ruhemassen sind.

Ich finde es besser nachvollziehbar, wenn alles mit der Ruhemasse ausgedrückt wird und statt der rel. Masse immer Gamma*Ruhemasse hingeschrieben wird.

Gruß Helmut

 

[Aragorn]

Oder ich formulier es noch einmal als Rechenaufgabe: Zwei Massen mit der gleichen Ruhemasse stoßen unelastisch zusammen und zwar Folgendermaßen. Die rechte Masse ruht und die linke Masse bewegt sich mit v=0,8 * c auf die rechte Masse zu. Welches ist die resultierende Geschwindigkeit?

Also mit dem Ansatz für den unelastischen Stoß (beide Kugeln haben nach dem Stoß die gleiche Geschw.):

Impuls der stoßenden Kugel p(m, v1) = Impuls beider Kugeln nach dem Stoß p(2m, v2)

Gamma(v1)*m*v1 = Gamma(v2)*2m*v2

erhalte ich bei der Aufgabe:

v2 = v1*c / Wurzel( 4*c^2 - 3*v1^2 )

Das ergibt für v1 = 0,8c

v2 = 0,5547c

Gruß Helmut

 

[julian apostata]

@ Aragorn

Okay, warum schaust du dir denn nicht meine Simulation an, welche ich zu diesem Thema gebastelt habe?

Aber machen wir es erst mal so. Beide Massen haben 1 kg Ruhemasse. Bei 0,8 * c hat die stoßende Masse (5/3) kg einen Impuls von (5/3) kg * 0,8 * c = (4/3) kg * c.

Jetzt rechnest du beide Massen zusammen, das macht (8/3) kg. Ja und dann ist ja wohl klar dass deren gemeinsamer Impuls nach dem Stoß (8/3) kg * 0,5 * c = (4/3) kg * c betragen muß.

Und bei meiner Simulation schaut die Sache so aus: Der Zug fährt mit 0,5 * c und das linke Männchen geht darin mit 0,5 * c auf’s Klo. Das macht nach relativistischer Geschwindigkeitsaddition gegenüber der Schiene 0,8 * c. Das andere Männchen wartet auf der Schiene.

Aus Sicht des Klo sieht nun die Sache so aus. Beide Männchen (mit gleicher Masse) kommen mit 0,5 * c aufeinander zu, prallen genau auf Klohöhe zusammen,

und weiter geht die Zugfahrt mit 0,5 *c

http://windhauch.gmxhome.de/sonstiges/stoss.html

 

[Orbit]

Ich bekomme für v2, also die Geschwindigkeit beider Kugeln nach dem Stoss auch 0.5547 c wie Aragorn.

 

[Aragorn]

Hallo julian,

mir ist da was eingefallen. Daher eine Frage an dich:

Du hattest ja das Experiment mit dem Photon und Wagon als Beispiel für rel. Impulserhaltung gebracht, also

* Photon mit E = 1 kg*c^2 prallt auf ruhenden Wagon mit m0 = 2 kg und wird absorbiert -> v_Wagon = 1/3 c

Was mich interessieren, würde wie du das gleiche Experiment einschätzen würdest, wenn wir anstelle des einen Photons bsw. 1000 Photonen, die im Schienensystem die Energie 1 kg*c^2 / 1000 besitzen, zeitlich nacheinander auf den Wagon prallen lassen.
Zur Vereinfachung wollen wir annehmen, daß die Photonen so kurz hintereinander kommen, daß die abgegebene Wärmeenergie vernachlässigbar ist.

a) ist das wurscht und v_Wagon = 1/3 c
b) oder ergibt das wenn alle absorbiert wurden nicht mehr v_Wagon = 1/3 c

Was würdest du meinen?

Gruß Helmut

 

[Aragorn]

@ Aragorn

Okay, warum schaust du dir denn nicht meine Simulation an, welche ich zu diesem Thema gebastelt habe?

Die sehen mir zu Sebastian Hauk mäßig aus. So ein Zahlenwirrwar will ich nicht verstehen. Die Herleitung ist mit Variablen viel anschaulicher darlegbar, weil man die Variablen anschaulich benennen kann. Also gewöhne dir bitte das Rechnen mit Variablen an.

Und die relativistische Masse nimmst du ab sofort nicht mehr in den Mund und schreibst stattdessen Gamma*Ruhemasse!!!

Gruß Helmut

 

[Aragorn]

und weiter geht die Zugfahrt mit 0,5 *c

Hallo julian,

ich habe mir inzwischen das Kapitel über Vierervektoren und den Energie-Impulsvektor in "Jürgen Freund, Spezielle Relativitätstheorie für Studienanfänger" angeschaut. Demnach ist meine Rechnung falsch.

In der klassischen Physik gilt für Impuls und Energie die Beziehung: E_kin = 0,5*m*v^2 = p^2 / (2*m)

Ich hatte angenommen die relativistische Beziehung sei: E_ges = p/v*c^2 mit p = Gamma*m0*v

In "Jürgen Feund" wird aber eine andere Beziehung hergeleitet:

E_ges = c * Wurzel[ (m0*c)^2 + p^2 ] mit p = Gamma*m0*v

-> hergeleitet aus E^2 = m^2*c^4 und p = m*v mit m = Gamma*m0

Demgemäß ergäbe sich:

v2 = Gamma(v1)*m1*v1 / (Gamma(v1)*m1 + m2)

v2 = 0,5c

Somit ist dein Ergebnis richtig.



PS: Für das Photon trifft auf Wagon und wird absorbiert, komme ich damit auch auf dein Ergebnis:

v_Wagon = E_Photon*c / (E0_Wagon + E_Photon)

v_Wagon = 1/3c


Gruß Helmut

 

[Orbit]

E_ges = Wurzel[ (m0*c)^2 + p^2 ] mit p = Gamma*m0*v

Aragorn
Da muss es p_ges heissen an Stelle von E_ges.
Und dann überleg Dir nochmals, ob die Formel von Freund wirklich was anderes ergibt.
Ich jedenfalls bleibe vorläufig dabei, dass die beiden Kugeln nach dem Stoss mit 0,5547c abdüsen.
Orbit

 

[Aragorn]

Aragorn
Da muss es p_ges heissen an Stelle von E_ges.
Und dann überleg Dir nochmals, ob die Formel von Freund wirklich was anderes ergibt.
Ich jedenfalls bleibe vorläufig dabei, dass die beiden Kugeln nach dem Stoss mit 0,5547c abdüsen.
Orbit

Sorry ich habe das c verschlampt, sollte heißen:

E_ges = c * Wurzel[ (m0*c)^2 + p^2 ] mit p = Gamma*m0*v

für Photonen mit m0=0 vereinfacht sich das zu:

E = p*c

Gruß Helmut

 

[Orbit]

OK; aber meine Frage bleibt:
Besteht wirklich ein Unterschied zwischen sqrt(1+(a/(1-a))) und 1/sqrt(1-a)?

 

[Aragorn]

Hallo Orbit,

ok ich machs jetzt was ausführlicher. Das ist aber alles so mehr nach dem Motto "so habe ich das falsch verstanden".

Grundsätzlich gilt für jeden Stoß die Gesamtenergieerhaltung und Impulserhaltung.
Vorhin hatte ich die Energieerhaltung nicht berücksichtigt und nur mit der Impulserhaltung gerechnet.

Also wir hatten zwei Kugeln der Ruhemasse m, von denen eine mit v1=0,8c auf die andere ruhende Kugel v2=0 prallt.
Nach dem unelastischen Stoß sollen die Kugeln die gemeinsame Geschw. v3 besitzen. Diese soll ermittelt werden.

Energieerhaltung:

E_ges(vor dem Stoß) = E_ges(nach dem Stoß)

(1) Gamma(v1)*m*c^2 + m*c^2 = Gamma(v3)*2*m*c^2

-> daraus ergibt sich durch wegkürzen von c^2 und anschließendem auflösen nach Gamma(v3):

(2) Gamma(v3) = m*[Gamma(v1)+1] / (2*m)


Impulserhaltung:

p(vor dem Stoß) = p(nach dem Stoß)

(3) Gamma(v1)*m*v1 = Gamma(v3)*2m*v3

-> (2) können wir in (3) einsetzen und dann nach v3 auflösen:

v3 = Gamma(v1)*v1 / (Gamma(v1) + 1)


mit den v1=0,8c ergibt das:

v3 = 5/3*0,8c / (5/3 + 1)
v3 = 0,5 c

 

[Aragorn]

Nochmal kurz zusammengefaßt:


Klassischer Stoß

elastischer Stoß: Erhaltung der kinetischen Energie und Impulserhaltung
unelastischer Stoß: nur Impulserhaltung

relativistischer Stoß

für alle Stöße gelten Erhaltung der Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie) und Impulserhaltung


Mein Fehler war, daß ich die klassischen Stoßgesetze hergenommen habe. Und dort dann den Ansatz der relativistischen Impulserhaltung verwendet habe, ohne gleichzeitig auch die Erhaltung der Gesamtenergie zu fordern.

Gruß Helmut

 

[julian apostata]

Hallo julian,

mir ist da was eingefallen. Daher eine Frage an dich:

Du hattest ja das Experiment mit dem Photon und Wagon als Beispiel für rel. Impulserhaltung gebracht, also

* Photon mit E = 1 kg*c^2 prallt auf ruhenden Wagon mit m0 = 2 kg und wird absorbiert -> v_Wagon = 1/3 c

Was mich interessieren, würde wie du das gleiche Experiment einschätzen würdest, wenn wir anstelle des einen Photons bsw. 1000 Photonen, die im Schienensystem die Energie 1 kg*c^2 / 1000 besitzen, zeitlich nacheinander auf den Wagon prallen lassen.
Zur Vereinfachung wollen wir annehmen, daß die Photonen so kurz hintereinander kommen, daß die abgegebene Wärmeenergie vernachlässigbar ist.

a) ist das wurscht und v_Wagon = 1/3 c
b) oder ergibt das wenn alle absorbiert wurden nicht mehr v_Wagon = 1/3 c

Was würdest du meinen?

Nach dem 1. Stoß: 3kg * (1/3)*c = 1 kg * c
Nach dem 2. Stoß: 4kg * (1/2)*c = 2 kg * c
Nach dem 3. Stoß: 5kg * (3/5)*c = 3 kg * c

Nach dem 1000. Stoß: 1002kg * (1000/1002)*c = 1000 kg * c

Und was meine Männchen anbelangt. Wer zum Geier ist Sebastian Hauk? Und wenn dich mein Zahlenwirrwarr nicht gefällt, dann schau ihn dir halt nicht an.

Wenn du nur die relativistische Geschwindigkeitsaddition betrachtest

0,5 * c + 0,5 * c = 0,8 * c


müsste doch die Lösung meiner Aufgabe so was von klar sein.

Und auch dass man relativistische Massen wiegen kann, ist auch klar, wenn du auf der Zugtoilette eine Waage hinstellst. Dann würden die beiden warmen Männchen nämlich 2kg/Wurzel (1- 0,5²) wiegen.

Die warmen Männchen nochmals gegenüber der Schiene auf 0,5 *c gebracht, also nochmals durch den selbigen Wurzelfaktor geteilt ergibt dann (8/3) kg, also insgesamt (2/3) kg* c² Energie in Form von thermischer und kinetischer Energie.

 

[Aragorn]

Ja, das ist so ungefähr die Rechnung.
Allerdings hatte ich geschrieben, daß vom Wagon nacheinander 1000 Photonen, mit im Schienensystem jeweils der Energie von 1/1000 kg*c^2, absorbiert werden sollen.

Nach dem 1. Stoß: 2,001kg * (1/2001)*c = 0,001 kg * c
Nach dem 2. Stoß: 2,002kg * (2/2002)*c = 0,002 kg * c
Nach dem 3. Stoß: 2,003kg * (3/2003)*c = 0,003 kg * c

Nach dem 1000. Stoß: 3kg * (1000/3000)*c = 1kg * c

Im Schienensystem sieht das ok aus. Jedes Photon erhöht die Gesamtenergie des Wagons um 0,001kg*c^2 und den Impuls um 0,001kg*c.
Und am Ende macht es keinen Unterschied ob der Wagon durch 1000 Photonen oder einem einzigen beschleunigt wird, solange die Gesamtenergie der Photonen identisch ist.

Wie sieht das nun im Wagonsystem (einem beschleunigten Bezugssystem) aus? Dort ändert sich die Photonenenergie ja ständig, denn wenn der Wagon sich mit wachsendem v entfernt, dann werden die Photonen entsprechend immer mehr rotverschoben. Eben weil sich die Photonenquelle mit steigendem v vom Wagon entfernt. Vom Wagonsystem aus betrachtet, absorbiert dieser ergo eine kleinere Energiemenge im Vergleich zur Betrachtung im Schienensystem. Jetzt ergibt sich plötzlich ein Unterschied zwischen den beiden Fällen (Photonenenergie verteilt auf 1000 Photonen oder einem einzigen Photon).

Wie kann dies möglich sein?

0,5 * c + 0,5 * c = 0,8 * c

Vorsicht! Hoffentlich sieht JoLo das nicht. Sonst bist du damit in ihrem Blog verewigt.

Gruß Helmut