Schneller als das Licht

[Ich]

Ist die passive die Stärke der Kopplung des Testteilchens ans Gravitationsfeld, während die aktive als Quelle der Gravitation auftritt?
In Newtons-Gravtheorie wären dann die beiden schweren und die träge Masse allesamt identisch?

Ja.

Ein Körper der in einem Koordinatensystem die Geschw. v besitzt, hat eine erhöhte träge M. und eine erhöhte passive schwere Masse, aber keine erhöhte aktive Masse (-> andessen Stelle der erwähnte Feldtensor tritt)?

Ich würde mich jetzt weit aus dem Fenster lehnen, wenn ich da genaue Erklärungen gäbe. Newtons Gravitationsgesetz ist ungültig, und kann nicht repariert werden, indem man relativistische Masse einsetzt, genausowenig stimmt es mit Ruhemasse.

Und das Gravfeld des Körpers ist ebenso unverändert (unabhängig von v)? Das müßte so sein, sonst wäre das Gravfeld des Körper vom Bezugssystem (BS) abhängig, und könnte in dem einen BS wie das Feld ein Schwarzes Loch aussehen und in einem anderen nicht.

Das Feld kann im Ruhesystem sicher beschrieben werden als von der Ruhemasse ausgehend. Bewegte Beobachter spüren aber nicht dasselbe Feld, ähnlich wie in der Elektrodynamik kommen gravitomagnetische Faktoren dazu, also geschwindigkeitsabhängige Kraft. Es kann kein SL herauskommen, aber relativ zueinander bewegte Körper beeinflussen sich anders als ruhende. Da ist in diesen Tensorkomponenten geeignet verschlüsselt. Wenn du's genauer wissen willst, frag mich besser in ein paar Jahren nochmal - wenn ich bis dahin den Spaß an solchen Dingen nicht verloren habe. Oder jemand anderen, der sich wirklich auskennt, einen Prof oder so.

 

[Aragorn]

Bewegte Beobachter spüren aber nicht dasselbe Feld, ähnlich wie in der Elektrodynamik kommen gravitomagnetische Faktoren dazu, also geschwindigkeitsabhängige Kraft. Es kann kein SL herauskommen, aber relativ zueinander bewegte Körper beeinflussen sich anders als ruhende.

Danke für deine Erklärungen
Das im Gravfeld bewegte Massen eine zusätzliche Kraft erfahren ist mir neu. Gehe ich richtig in der Annahme das es diesen gravitomagn. Faktor nur in der ART, also nicht bei Newtons-Gravgesetz gibt?

Hier habe ich noch was anschauliches dazu gefunden (siehe S.7):

http://www2.uni-siegen.de/~flieba/pdf/m.pdf

Magnetisches Feld: F=q*v X B
Gravitomagn. Feld: F=-2*m*v X Omega

X = Kreuzprodukt

Omega = 2GMRe^2/5c^2 * [3(w.r)r - wr^2] / r^5

w.r = Skalarprodukt

v,B,r,w,Omega sind Vektoren (fett)

Mit der Interpretation der Gleichungen tue ich mich schwer. Würde meinen:

a) die Kraft F=m*dv/dt steht immer senkrecht zu den Vektorenpaar v,B oder v,Omega ist aber entgegengerichtet (v X B -> orthoganales Rechtssystem, v X Omega -> orthogonales Linkssystem)
b) der Vektor Omega ergibt sich aus der vektoriellen Addition zweier Vektoren [(3w.r)r zeigt radial vom Massenmittelpunkt ausgehend nach außen, wr^2 zeigt in Richtung der Drehachse]

Wenn ich das richtig sehe müßten demnach:
* Massen im Gravfeld eine zusätzliche geschw. abhängige Beschleunigung in Richtung Massenmittelpunkt erfahren?
* Und diese Kraft müßte bei abnehmendem Abstand r sehr schnell zunehmen, weil Omega ~ f(r,r^2)/r^5 ist?
* Massen auf einer radialen Bahn keine zusätzl. Kraft erfahren, weil das Kreuzprodukt paralleler Vektoren Null ergibt (die Länge des Vektors entspricht dem Betrag des Parallelograms das von den Vektoren aufgespannt wird).
* Und zusätzlich noch eine Beschleunigung in Drehrichtung der Masse erhalten (durch die Drehfrequenz w in Omega)?
* diese zusätzliche Kraft nur auftritt wenn die Zentralmasse rotiert (für w=0 -> [3(w.r)r - wr^2] = 0)

Oder jemand anderen, der sich wirklich auskennt, einen Prof oder so.

Danke, aber Profs frage ich lieber nicht:

'Professor: Relativität, Tensoren, Dilatanz - können Sie in einfachen Worten sagen, was das ist?' 'Ja, sicher: das sind Fachwörter.' (Einstein)

Gruß Helmut

 

[julian apostata]

Das hatten wir doch schon. Was du hier als M bezeichnest, ist die Energie.
Lass das Photon auf ein kleines Messinstrument knallen, und seine Energie erhöht sich um E. Allerdings ist es nicht mehr in Ruhe, und du kannst es nicht wiegen. Brems es ab oder lass die Waage mitfahren, und du misst einen Massenzuwachs kleiner E. Wenn M die Masse des Messinstruments ist, ist die Masse nach dem Zusammenstoß sqrt(M²+2ME).
QUOTE]


Also ich konstruier mal folgende Rechenaufgabe:

Ein Photon hat die kinetische Energie 1 kg * c² und daher den Impuls 1 kg * c.
Das Photon wird von einem Eisenbahnwagon geschluckt. Der Wagon hat die Masse 2 kg und die Schiene dient zugleich auch als Waage (diese ist auf kg geeicht).

Nach dem Zusammenstoß errechnet sich ein Gesamtimpuls von 3 kg * (1/3) *c.

Das heißt, die Schienenwaage zeigt zunächst mal 3 kg und der Wagon bewegt sich mit (1/3) * c weiter.

Die Schienenwaage zeigt allerdings nur ganz kurz 3 kg an. Nachdem sich das System nämlich abgekühlt hat, nehmen wir wieder die Ruhemasse des Wagons und rechnen:

2 kg/ Wurzel[1- (1/3)²] ~ 2,121 kg

Diesen Wert zeigt also die Schienenwaage nach dem Abkühlvorgang.

Das heißt, das Photon hat auf den Wagen eine kinetische Energie von 0,121 kg * c² übertragen.

Die übertragene Wärmeenergie beträgt dann (1 kg – 0,121kg) * c² = 0,879 kg * c²

Stimmt meine Rechnung, oder nicht?

Falls meine Rechnung stimmen sollte, kommt jemand auf einen einfacheren Rechenweg, ohne Massen zu benutzen?

 

[Orbit]

Julian
Dein 'Photon' hätte eine Energie von 8,988E16 Joule oder eine Wellenlänge von 2,2E-42 m. Das wäre weit unter der Plancklänge von 1.616E-35 m. Ein einzelnes Teilchen kann höchstens eine Energie von 1,9563E9 Joule haben.
Zum Vergleich: Mit dem LHC am CERN wird man höchstens Schwerpunktenergien erreichen, welche 1E16 mal kleiner sind.
Den Rest überlasse ich Aragorn oder Ich.

 

[Aragorn]

Stimmt meine Rechnung, oder nicht?

Falls meine Rechnung stimmen sollte, kommt jemand auf einen einfacheren Rechenweg, ohne Massen zu benutzen?

Hallo julian,

imho ist dein Beispiel nur für kleine v korrekt.
Imho muß hier mit dem relativistischen Impuls und Energie gerechnet werden.

Rechenweg ohne Massen (nur mit E_Photon und E0_Wagon):

Energie des Photons: E = h*f
Impuls des Photons: p = h/Lambda = h*f/c = E/c
h = 6,626*10^-34 Js

E_Photon = 9*10^16 J
p_Photon = E_Photon/c = 3*10^8 Js/m


unelastischer Stoß:

Impulserhaltung:

relativistischer Impuls: p_Wagon = Gamma*m0*v = Gamma*E0_Wagon/c^2*v

p_Photon = p_Wagon

E_Photon = Gamma*E0_Wagon*v/c

mit Gamma = 1/(1-v^2/c^2)^0,5

E0_Wagon = Ruheenergie des Wagons


Wenn nun nach der Geschw. des Wagons nach dem Stoß gefragt ist, so ergibt obiges aufgelöst nach v:

v^2 + c/Beta*v - c^2 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung mit der Lösung:

--------------------------------------------------------
v = 0,5*c/Beta*(Wurzel(1-4*c^2*Beta^2)-1)

-> die andere Lösung fällt raus weil die v>c ergibt.

mit Beta = (E_Photon/E0_Wagon)^2
--------------------------------------------------------

die Werte aus deinem Beispiel eingesetzt ergeben:

Beta = (9*10^16 / 18*10^16)^2 = 0,25

v = 0,268c
---------------



die Differenz der Energien Q ist die umgesetzte Wärmeenergie:

Q = E_Photon - E_kin_Wagon

relativistische kinetische Energie: E_kin_Wagon = m0*c^2*(Gamma - 1) = E0_Wagon*(Gamma - 1)

---------------------------------------------
Q = E_Photon - E0_Wagon*(Gamma-1)
---------------------------------------------

Dort wieder das zuvor errechnete v eingesetzt liefert:

Q = 9*10^16 J - 18*10^16J / (1-0,268^2)^0,5

Q = 8,31*10^16 J
-------------------

PS: Vergesst was ich geschrieben habe
Ich blicke es momentan nicht so recht.

Gruß Helmut

 

[Ich]

Stimmt meine Rechnung, oder nicht?

Ja,

Falls meine Rechnung stimmen sollte, kommt jemand auf einen einfacheren Rechenweg, ohne Massen zu benutzen?

Nein.

Ich sag doch, dass mich die Terminologie stört, nicht das Ergebnis. Dass die Rechnung jetzt komplizierter geworden ist, man jetzt doch wieder die Ruhemasse beschwören muss und das Messgerät, nachdem es die aufgenommene Energie wieder abgegeben hat schwerer ist als vorher scheint dich nicht zu stören. Wenn ich statt "relativistische Masse" "Energie" sage kommt natürlich dieselbe Rechnung raus.

Probieren wir's anders, wenn p:=m*v nicht mehr reicht. Alle Rechnungen reichen in erster Näherung, dv<<v.

Ein Körper mit (ruhe-) Masse 1 kg fliegt mit gamma=2 von links nach rechts.

1. Ich lasse 1 Sekunde lang eine Kraft von 1 N nach oben wirken.
a) Um vieviel verändert sich die Geschwindigkeit des Körpers, also wie groß ist seine Beschleunigung?
b) Warum?
c) Welche Beschleunigung spürt der Körper?
d) Warum?

2. Ich lasse 1 Sekunde lang eine Kraft von 1 N nach rechts wirken.
a) Um vieviel verändert sich die Geschwindigkeit des Körpers, also wie groß ist seine Beschleunigung?
b) Warum?
c) Welche Beschleunigung spürt der Körper?
d) Warum?

 

[Orbit]

Aragorn
Ich verstehe nicht, wie Du auf diese quadratische Gleichung kommst.
Ich komme auf v = c/Wurzel 5 = 0.447 c.
Und die umgesetzte Wärmeenergie wäre dann 6,87E16 J.

Orbit

 

[Aragorn]

Hallo Orbit,

das hatte ich auch zuerst raus, dann aber wieder ausgebessert. Muß ich mir dann wohl doch noch mal anschauen. Ach, ich bin einfach schon zu alt für sowas

PS: Ich habe es jetzt nochmals nachvollzogen und bemerkt das ich bei einem (v/c)^2 das Quadrat verschlampt hatte.
Ich verstehe jetzt allerdings nicht mehr wieso ichs überhaupt ausgebessert habe.
Jedenfalls korrekt aufgelöst ergibt sich keine quadratische Gleichung mehr, und die Geschw. v des Wagons ergäbe sich mit:

v^2 = c^2*x^2 / (1+x^2)

mit x=E_Photon/E0_Wagon

das ergibt für das Beispiel:

x^2 = 0,25
v^2 = 0,25/1,25

v = 0,447c

Allerdings ist der Rechenansatz wohl falsch.
Wrong Input -> Wrong Output

Gruß Helmut

 

[Orbit]

@ Aragorn

Allerdings ist der Rechenansatz wohl falsch.

Wieso? Weil Ich Julians Rechnung richtig findet?
Die ist auch richtig; aber Deine jetzt auch.
In einem nicht reibungsfreien System kann Julian doch eine Endgeschwindigkeit einfach mal annehmen, und wenn die nicht über unserer relativistisch gerechneten und in einem reibungsfreien System geltenden liegt, ist das doch OK. Entsprechend höher muss dann aber sein Wert für die umgesetzte Wärme sein. Und das ist er mit 7,9E16 gegenüber unseren 6.87E16 J auch.

Orbit

 

[Aragorn]

Hallo Orbit,

danke, das könnte vielleicht die Erklärung sein
Ich muß aber zugeben, daß ich ein anderes Ergebnis erwartet hatte und ziemlich verblüfft war, das ich so nicht v=1/3 c herausbekommen habe. Daher war ich mir eigentlich sicher, das in meiner Rechnung Fehler stecken und ich die noch korrigieren müßte.

Gruß Helmut

 

[Orbit]

das könnte vielleicht die Erklärung sein

Hoffen wir's. Hab nämlich ziemlich lange an dem Problemchen rum dilettiert.

Ach, ich bin einfach schon zu alt für sowas

Mach Dir keine Sorgen. Es ist völlig normal, dass sich Pubertierende zwischendurch mal ziemlich alt vorkommen.

 

[julian apostata]

Hallo julian,


E_Photon = Gamma*E0_Wagon*v/c

mit Gamma = 1/(1-v^2/c^2)^0,5

E0_Wagon = Ruheenergie des Wagons


Gruß Helmut

Tut mir leid, ich würde ja gern mitdiskutieren, aber ich versteh allein schon diesen einen Ansatz nicht.

Meinst du jetzt: die Energie des Photons (1 kg * c²) ist gleichzusetzen mit der Ruheenergie des Wagons (2 kg *c²) geteilt durch den Wurzelfaktor (Wurzel (1-v²/c²)), multipliziert mit (v/c) ?

Wenn dem so ist, dann versteh ich die Sache gleich zweimal nicht.

 

[julian apostata]

Ich sag doch, dass mich die Terminologie stört, nicht das Ergebnis. Dass die Rechnung jetzt komplizierter geworden ist, man jetzt doch wieder die Ruhemasse beschwören muss und das Messgerät, nachdem es die aufgenommene Energie wieder abgegeben hat schwerer ist als vorher scheint dich nicht zu stören. Wenn ich statt "relativistische Masse" "Energie" sage kommt natürlich dieselbe Rechnung raus.

Auch bei dir habe ich keine Ahnung, worauf du hinaus willst. Das Messgerät wird doch leichter, wenn es sich abkühlt. Wie kommst du jetzt auf das glatte Gegenteil von meiner Aussage???

 

[julian apostata]

x^2 = 0,25
v^2 = 0,25/1,25

v = 0,447c

Allerdings ist der Rechenansatz wohl falsch.
Wrong Input -> Wrong Output

Gruß Helmut

Vor dem Stoß: p = 1kg * c
Nach dem Stoß: p = 3 kg * 0,447 * c

Also für mich ist das ein glatter Verstoß gegen das Impulserhaltungsgesetz.

 

[Ich]

Das Messgerät wird doch leichter, wenn es sich abkühlt.

Schwerer als vor dem Stoß, meinte ich.

 

[Orbit]

Vor dem Stoß: p = 1kg * c
Nach dem Stoß: p = 3 kg * 0,447 * c

Also für mich ist das ein glatter Verstoß gegen das Impulserhaltungsgesetz.

Wieso 3 kg?
Der mit v = 0.447 c hin sausende Wagen hat eine Gesamtenergie von
1.79751E17/(1-0.447^2)^0.5 = 2.01E17 J
und das entspricht einer Äquivalenzmasse von
2.01E17/c^2 = 2,2358 kg.
Orbit

 

[Aragorn]

Tut mir leid, ich würde ja gern mitdiskutieren, aber ich versteh allein schon diesen einen Ansatz nicht.

Meinst du jetzt: die Energie des Photons (1 kg * c²) ist gleichzusetzen mit der Ruheenergie des Wagons (2 kg *c²) geteilt durch den Wurzelfaktor (Wurzel (1-v²/c²)), multipliziert mit (v/c) ?

Wenn dem so ist, dann versteh ich die Sache gleich zweimal nicht.

Ja, wobei ich bei dem Ansatz ein c bereits herausgekürzt hatte. Der ungekürzte Ansatz für die Impulserhaltung p_Photon = p_Wagon lautet:

E_Photon/c = Gamma * [E0_Wagon/c^2] * v_Wagon


-> Gamma * [E0_Wagon/c^2] ist die "relativistische Masse" in der veralteten Terminologie.

Jetzt klarer?

Vor dem Stoß: p = 1kg * c
Nach dem Stoß: p = 3 kg * 0,447 * c

Also für mich ist das ein glatter Verstoß gegen das Impulserhaltungsgesetz.

p_Photon = 1kg*c

p_Wagon = Gamma*m0_Wagon*v

p_Wagon = 1/Wurzel(1-0,447^2)*2kg*0,447c = 1kg*c

Ergo kein Verstoß gegen Impulserhaltung

Gruß Helmut

 

[julian apostata]

@ Aragorn

Ich glaub, jetzt blick ich durch, was du meinst. Aber ich denke mal, da bist du ganz fürchterlich auf dem Holzweg, vielleicht auch deswegen, weil du viel zu kompliziert denkst.

Dein Ansatz lautet praktisch

1kg * c = [2 kg / Wurzel(1-v²/c²)] * v

In der Tat ginge die Gleichung auf bei v= c * Wurzel (0,2) ~ 0,447 * c

Und tatsächlich wäre der Impuls vor dem Stoß und nach dem Stoß der Gleiche.

Aber das mit den Massen haut nicht hin.
Vor dem Stoß 3 kg
Nach dem Stoß 2,236 kg

Nimm doch meine viel einfachere Lösung

Nach dem Stoß 3 kg (Wagonmasse + Photonmasse) * (1/3) * c
Die Photonenmasse verwandelt sich teilweise in Wärmeenergie (0,879 kg * c²) und teilweise in kinetische Energie (0,121 kg *c²)

Würdest du nun die Wagonmasse deutlich erhöhen, so strebte die Wärmeenergie gegen 1 kg * c² und die kinetische Energie gegen 0.

 

[julian apostata]

So und um ein wenig beim Thema zu bleiben, leite ich eine Formel für eine Photonenrakete her.
Dazu knall ich zunächst mal ein paar Formeln hin, die ihr am Besten erst mal überspringt, weil ich sie anschließend gleich erkläre.

1. N = 1 – T
2. v = c * T / (1 – T)
3. Wurzelfaktor = Wurzel(1 – v²/c²) = [Wurzel (1 – 2*T)] / (1-T)
4. n = Wurzel (1 – 2*T)
5. n = Wurzel [(c-v)/(c+v)]

Eine Photonenrakete habe 1 kg Masse und wir wollen damit 0,8 * c erreichen. Nun, da verwandeln wir (4/9) kg Masse in Licht, das macht einen Impuls von (4/9) kg * c.

Der Rest der Rakete bekommt einen entgegen gesetzten Impuls von (5/9) kg * 0,8 * c.

Den Anteil der Rakete, welcher sich in Licht verwandelt, nennen wir T (wie Treibstoff) und den Rest N (wie Nutzlast). v sei dann die Geschwindigkeit des Restes (siehe Formel 1 – 3).

Da sich die Nutzlast jedoch mit 0,8 * c bewegt, muss sie eine deutlich niedrigere Ruhemasse besitzen. Dazu multiplizieren wir die (5/9) kg mit dem Wurzelfaktor 0,6 und erhalten (1/3) kg. Diese Ruhemasse der Nutzlast bezeichnen wir mit n (siehe Formel 4).

Für die Raketeninsassen schaut die Sache also dann so aus, dass sie (2/3) ihrer Rakete als Treibstoff verwenden und das restliche Drittel mit 0,8 * c sich weiter bewegt. Siehe Formel 5, welche sich herleitet durch Kombination aus Formel 2 und 4.

Und dass die letzte Formel (5) kein Quatsch ist, erkennt man, wenn man da drauf klickt

http://www.vhs-rapperswil-jona.ch/Relativitaetstheorie.pdf

und auf Seite43 geht.

Nun gut, etwas weiter unten steht dann zwar geschrieben, dass die Formel 23 für die relativistische Masse an Hochschulen kaum noch verwendet wird.

Aber ich denke mal, für normale Menschen, welche nicht Physik studiert haben ist sie durchaus hilfreich. Und jeder halbwegs fitte Realschüler kann damit die Formel für eine Photonenrakete herleiten.

 

[julian apostata]

Also, liebe Science-Fiction-Freund, wenn ihr unbedingt schneller sein wollt, als das Licht so muss ich euch enttäuschen

n = Wurzel [(c-v)/(c+v)]

Die effektivste Rakete, die man sich theoretisch auch nur vorstellen kann wäre die Photonenrakete.

Die Lichtgeschwindigkeit könntet ihr damit zwar gerade noch erreichen, jedoch zu welchem Preis. Denn setzt mal für v=c und ihr seht im Zähler steht die Null und für den Rest n bleibt nichts mehr übrig, weil ihr die ganze Rakete in Licht verwandelt habt (einschließlich euch selbst, wenn ihr da unbedingt mitreisen wollt)