Rotverschiebung im Zusammenhang der Hubble konstante zum bestimmen von Entfernungen

Yukterez

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Na ja, wir wissen ja nicht was Chrischan dort gelesen haben will, ich jedenfalls warte es ab was er dazu sagen wird.
Der hat mein Zitat

Davis & Lineweaver: "We show that we can observe galaxies that have, and always have had, recession velocities greater than the speed of light. We explain why this does not violate special relativity and we link these concepts to observational tests."
bereits mit

Was würde eigentlich JuRo dazu sagen, wenn Yuki hier erklärt der olle Einstein war mit seinem Postulat es gäbe keine höheren Geschwindigkeiten als c einfach zu blöd für diese Welt...
beantwortet :)

Nicht glaubend dass sich daran etwas ändern wird,

Yukterez
 

Yukterez

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Also berrechne ich mit der von mir genannten Formel v=H0*d die entfernung die das Objekt hatte als das licht ausgestrahlt wurde und nicht die die es jetzt wirklich hat oder?
Und ja, in der Astronomie spricht man in 99% der Fälle immer über den Zeitpunkt der Aussendung des Lichts, wenn man von Ereignissen, Geschwindigkeiten oder Entfernungen spricht.
Die Antwort auf die von Adlernebel gestellte Frage lautet eigentlich nicht "und ja" sondern ganz klar "nein". Das erkennt man schon daran dass in seiner Formel ein H0 drin steht, und kein H(t).

In der Luft zerreissend,

Yukterez
 

Yukterez

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Du bist aber prompt mit deinen Antworten
Gut dass du auch mal wieder was gesagt hast. Nachdem die Fütterungszeit jetzt wieder zu Ende ist wird es Zeit dem Threadersteller die richtige Formel für seine Aufgabe zu geben:

Wenn du ein rotverschobenes Objekt hast und du wissen möchtest in welcher Distanz es sich befindet gehst du am besten wie folgt vor.

Zuerst definierst du die Formel um den zum jeweiligen Redshift passenden Hubbleparameter zu erhalten:

$$H(\text{z}) =\text{H}_0 \sqrt{\Omega_{\text{R}} (z+1)^4 + \Omega_{\text{M}} (z+1)^3 + \Omega_{\text{K}} (z+1)^2 + \Omega_{\Lambda}}$$

Damit kannst du die Zeit in der das Licht das du heute empfängst ausgesendet wurde ausrechnen:

$$\tau (\text{Z})=\int_\text{Z}^{\infty } \frac{1}{(\text{z}+1) H(\text{z})} \, d\text{z}$$

Setzt du Z gleich 0 erhältst du das Alter des heutigen Universums, ziehst du das Alter zur Zeit der Emission davon ab erhältst du die Lichtreisezeit. Das gleiche geht mit a = 1/(z+1) auch mit dem Skalenfaktor a:

$$\text{H}(\text{a})=\text{H}_0 \sqrt{\frac{\Omega_{\text{R}}}{\text{a}^4}+\frac{ \Omega _{\text{M}}}{\text{a}^3}+\frac{\Omega_{\text{K}}}{\text{a}^2}+\Omega_{\Lambda}}$$

Zeit nach Ausdehnung:

$$\text{t}(\text{A})=\int_0^\text{A} \frac{1}{\text{a} \text{ H}(\text{a})} \, d\text{a}$$

Das kannst du dann umstellen auf Ausdehnung nach Zeit:

$$\alpha(\tau) = \text{FindRoot}[\text{t}(\text{A})-\tau ,\{\text{A},1\}]$$

Wenn du bis in die Ära der strahlungsdominierten Phase willst musst du das numerisch solven, wenn dir eine ungefähre Lösung bis in die materiedominierte Phase reicht kannst du

$$\alpha(\tau) = \sqrt[3]{\left(\sqrt{\frac{\Omega_{\text{M}}}{ \Omega_{\Lambda} }} \sinh \left(\frac{1}{2} \tau \left(3 \text{ H}_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}}\right)\right)\right)^2}$$

verwenden. Die oben stehenden Formeln benötigst du jetzt um den Lichtkegel bis zur Zeit der Emission zu bekommen:

$$\text{Lcp}(\tau )=\int_1^{\alpha (\tau )} -\frac{\text{c } \alpha (\tau )}{\text{a}^2 \text{ H}(\text{a})} \, d\text{a}$$

Damit hast du die Entfernung zum Zeitpunkt der Emission; um jetzt noch die heutige Entfernung zu erhalten multiplizierst du

$$\text{Lcc}(\tau ) = \text{Lcp}(\tau ) (\text{z}+1)$$

Wenn du von der Entfernung auf die Geschwindigkeit schließen willst multiplizierst du Lcp mit dem damaligen Hubbleparameter, und Lcc mit der heutigen Hubblekonstante um die Rezessionsgeschwindigkeit bei Emission und Absorption zu erhalten.

Alles was du jetzt noch brauchst ist ein Objekt mit Rotverschiebung. Dann brauchst du noch die kosmischen Parameter, die da für das aktuelle FLRW/λCDM-Modell folgende wären:

$$\Omega_{\text{R}}=5.47998\text{e-5}; \ \Omega_{\text{M}}=0.317; \ \Omega_{\Lambda}=1-\Omega_{\text{R}}-\Omega_{\text{M}}; \ \Omega_{\text{K}}=0, \ \text{H}_0=67150 \text{m/Mpc/sek}$$

Wenn du diese Zahlen dort oben einsetzt erhältst du für ein Objekt mit z = 15 das Ergebnis:

Distanz damals = 2.13234 Mrd. Lj., Distanz heute = 34.1175 Mrd. Lj.,
Rezessionsgeschwindigkeit damals = 5.28542 c. Rezessionsgeschwindigkeit heute = 2.34302 c.

Falls das mit dem Latex nicht hinhaut hier die Rechnung in leserlicher Form: z15.png

Vorrechnend,

Yukterez
 
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Yukterez

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Nachtrag: wenn du aufgrund von anderen Messungen wie z.B. Durchmesser die Distanz bereits kennst, die beobachtete Rotverschiebung aber nicht zu dieser passt, dann berechnest du den zur Distanz passenden Redshift z_rec, und löst über z=(z_rec+1)(z_pec+1)-1 nach z_pec auf. Damit hast du dann die Komponente die von der Pekuliargeschwindigkeit herrührt, und kannst diese in die Formel für den relativistischen Doppler einsetzen um nach v_pec (die Geschwindigkeit des Objekts relativ zur Hintergrundstrahlung) aufzulösen. Wenn die Objekte weiter weg sind ist dieser Anteil zwar zu vernachlässigen da die Eigengeschwindigkeit von Galaxien nur maximal 0.002c beträgt während die Rezessiongeschwindigkeit von roten Objekten c locker um ein vielfaches übersteigen kann, bei sehr nahen Objekten wie z.B. der Andromenda-Galaxie kann es aber ins Gewicht fallen.

Ergänzend,

Yukterez
 

Yukterez

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Um auf den Einwand des Teamleaders einzugehen (früher oder später würden seine Mitläufer ja doch auch hier damit aufkreuzen): wenn die Rotverschiebung negativ ist liegt eine Blauverschiebung vor. Beispiel Andromedanebel: Dieser befindet sich in einer ungefähren Entfernung von 2500000 Lj. Die zu dieser Entfernung passende Rotverschiebung wäre z_rec=0.00017 - beobachtet wird aber z_total=-0.001. Um auf v_pec zu schließen stellen wir

z_total = (z_rec+1)·(z_pec+1)-1

um, und erhalten

z_pec = (z_total-z_rec)/(1+z_rec)

also in Zahlen

z_pec = -0.0011698

Jetzt setzen wir das in den relativistischen Doppler ein:

z_pec = √[(c+v_pec)/(c-v_pec)]-1

und erhalten

v_pec = (2·c·z_pec+c z_pec²)/(2+2·z_pec+z_pec²)

was dann in Zahlen ca. -350 km/sek wären (das Minus kommt daher dass sie sich auf uns zu bewegt). Würden Milchstraße und Andromedagalaxie relativ zur Hintergrundstrahlung ruhen würden sie sich mit ca. +50km/sek von einander entfernen.

Das Ergebnis kann sich um ein paar % von den Literaturwerten unterscheiden, entweder weil damals noch mit WMAP und heute mit Planck gerechnet wird, und/oder weil die Entfernung auch schon um ein paar % ungenau ist. Die Größenordung ist aber auf jeden Fall die richtige.

Präventiv zuvorkommend,

Yukterez
 
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Yukterez

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Ein weiterer Grund für ein paar % Abweichung könnte auch sein dass sich Milchstraße und Andromeda relativ zur CMB in eine gemeinsame Richtung bewegen.

Meinen Gegnern den Wind aus den Segeln nehmend,

Yukterez
 

Yukterez

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Ich habe mal ein bisschen gegoogelt und dabei auch ein paar Quellen die für Andromeda einfach nur eine Radialgeschwindigkeit von 100 km/sek angeben, aber im aktuellen Messier-Katalog ist von 300 km/sek die Rede - das ist schon etwas näher an den 350 km/sek die ich da oben rausbekommen habe.

Noch herausfinden werdend wo die verbleibenden 16% geblieben sind,

Yukterez
 

Yukterez

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Oha, habe ich gesagt Messier-Katalog? Ich meinte natürlich Simbad-Datenbank, das war wohl ein freudscher Versprecher verursacht dadurch dass der Andromedanebel ein Messier-Objekt ist.

Hoffend dass man mich dafür nicht gleich verbannt,

Yukterez
 

Herr Senf

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... im aktuellen ...-Katalog ist von 300 km/sek die Rede - das ist schon etwas näher an den 350 km/sek
die ich da oben rausbekommen habe. Noch herausfinden werdend wo die verbleibenden 16% geblieben sind

Na, die haben einfach mit z = 0,001 gerechnet und nicht mit z = 0,00117, sind doch 16 % oder?
Die Rechnung #51 kommt mir etwas gekünstelt vor, Andromeda und Milchstraße sind in der lokalen Gruppe gravitativ gebunden.
Wie willst du da einen Einfluß der Expansion herauskitzeln, wenn es ein Mehrkörperproblem über deutlich größere Skalen ist.

Liebe Grüße - Dip
 

Yukterez

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Na, die haben einfach mit z = 0,001 gerechnet und nicht mit z = 0,00117, sind doch 16 % oder?
Ich habe nicht mit den Zahlen die du da anscheinend gelesen hast gerechnet sondern mit z_rec=+0.00017 und z_total=-0.001.

Die Rechnung #51 kommt mir etwas gekünstelt vor, Andromeda und Milchstraße sind in der lokalen Gruppe gravitativ gebunden.
Solange du keine bessere Rechnung vorweisen kannt kommt mir deine Kritik zu meiner Rechnung etwas gekünstelt vor.

Wie willst du da einen Einfluß der Expansion herauskitzeln, wenn es ein Mehrkörperproblem über deutlich größere Skalen ist.
Immerhin deckt sich meine Zahl -350km/sek fast mit der aus dem Simbad-Katalog -300km/sek, was ich in Anbetracht dessen dass die Entfernungsangaben in den verschiedenen Wikipedia-Artikeln auch um genau 16% auseinandergehen gar nicht so schlecht finde. Und von dir kam bisher was genau?

Sehen wollend,

Yukterez
 
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Herr Senf

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Ich habe nicht mit den Zahlen die du da anscheinend gelesen hast gerechnet sondern mit z_rec=+0.00017 und z_total=-0.001. ... Sehen wollend

Na gut, wenn du nicht mit 0,00117 gerechnet hast, dann eben mit 0,0011698.

Ich nehm halt ungenaue Kommastellen nicht so genau - Dip

PS: die 300 km/s Annäherung beziehen sich außerdem auf die Sonne, die Zentren nähern sich nur mit 100 km/s an.
Wenn es um die Expansion geht, müßtest du doch die Zentren nehmen, also die Umlaufgeschwindigkeit der Sonne rausrechnen.
 
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Yukterez

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PS: die 300 km/s Annäherung beziehen sich außerdem auf die Sonne
Die Rotverschiebung der Galaxie wird ja auch aus dem Sonnensystem heraus gemessen.

Wenn es um die Expansion geht, müßtest du doch die Zentren nehmen, also die Umlaufgeschwindigkeit der Sonne rausrechnen.
Wenn es nur um die Expansion geht muss ich überhaupt nichts tun außer den Hubbleparameter mit der Entfernung zu multiplizieren, dann kommt das heraus was schon weiter oben steht, nämlich 50km/sek für die Geschwindigkeit mit der sich die mitbewegten Koordinaten voneinander entfernen. Die Sonnenbewegung kann man natürlich auch noch rausrechnen, wenn man den Wert gegoogelt hat kann man ihn von der Geschwindigkeit abziehen. Wenn die Bewegung der Sonne 200km/sek bleiben für die Geschwindigkeit der Galaxien zueinander 350km/h-200km/h=150km/h, aber da müsste man wohl erst mal googeln ob sich die Sonne wirklich genau radial auf Andromeda zubewegt, oder auch teilweise transversal.

Mich wegen 16% nicht mit solchen Feinheiten aufhaltend,

Yukterez
 

Herr Senf

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... Wenn es nur um die Expansion geht muss ich überhaupt nichts tun außer den Hubbleparameter mit der Entfernung zu multiplizieren, dann kommt das heraus was schon weiter oben steht, nämlich 50km/sek für die Geschwindigkeit mit der sich die mitbewegten Koordinaten voneinander entfernen. ...
Nur die Galaxien der Lokalen Gruppe kümmern sich nicht drum, was mitbewegte Koordinaten nach irgendeinem Rechenmodell machen.
Die schwirren darin irgendwie rum, wer wohin ist häpchenweise untersucht. Die komplette Lokale Gruppe hat selbst noch eine "peculiar motion"
irgendwohin, und erst diese bzw. ihr Schwerpunkt wird von deinen mitbewegten Koordinaten erfaßt, "spürt" die Expansion relativ zu anderen Haufen.
Innerhalb der Gruppe kannst du die Spaßrechnungen kneifen.

Dip
 
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