Was ist denn dim[SU(5)]? Was heißt das für "normalirdische", sag ich mal so, also Laie?
Hallo Dgoe,
Deine Frage ist sehr berechtigt und die Antwort leider selbst für einen Mathematiker nicht intuitiv, da der Dimensionsbegriff bei Lie-Gruppen - ich würde einer Gruppe ohnehin gar keine Dimension zuordnen wollen - ein anderer ist als man es sich eigentlich gewohnt ist.
Üblicherweise ist die Dimension eine Zahl, die angibt, wieviele linear unabhängige Vektoren man benötigt, um einen Vektorraum aufzuspannen, also "aufzubauen".
Per
definitionem (hoffentlich stimmt das, ich habe mich nie ernsthaft mit Lie-Gruppen beschäftigt) ist die Dimension einer Lie-Gruppe die Dimension der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Man landet da also gleich ziemlich tief in der Mathematik und es ist möglich, ein Hochschuldiplom in Mathematik zu erwerben, ohne sich jemals mit Mannigfaltigkeiten beschäftigt zu haben.
Wie auch immer, ich habe in diesem Zusammenhang mal nachgelesen, was zu diesem Thema bei den
Matrizen geschrieben wird; dabei habe ich im Abschnitt "Vektorräume von Matrizen" eine Formulierung entdeckt, die meines Erachtens falsch ist:
Eine Basis von K[sup]mxn[/sup] ist gegeben durch die Menge der Einheitsmatrizen E[sub]ij[/sub] mit i in {1,m}, j in {1,n}. Diese Basis wird manchmal auch als Standardbasis von K[sup]mxn[/sup] bezeichnet.
Das sind also (mxn)-Matrizen, die nur eine 1 haben (und zwar in der i.-ten Spalte und in der j.-ten Zeile) und an allen anderen Stellen eine 0. Das sind aber für m>1 und/oder n>1 keine Einheitsmatrizen, denn Einheitsmatrizen sind Einheiten und in der linearen Algebra kommt noch die Zusatzbedingungen dazu, dass die Einheitsmatrix das Neutralelement der Matrizenelement sein soll.
Somit ist die Einheitsmatrix die Matrix, die in der Hauptdiagonale überall 1 hat und ansonsten überall 0.
Somit ist die EInheitsmatrix also die Summe aller "Wikipedia-Einheitsmatrizen" mit indizes i=j.
Kann das bitte jemand von denen, die dort Berechtigung hat, korrigieren lassen: ich würde an dieser Stelle den Begriff "Einheitsmatrix" durch den Begriff "Standardbasis-Matrix" ersetzen.
Freundliche Grüsse, Ralf