TomS
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Ich bin über folgendes Paper gestolpert:
arxiv.org
Hypercharge Quantisation and Fermat's Last Theorem
Nakarin Lohitsiri, David Tong
What values of the Standard Model hypercharges result in a mathematically consistent quantum field theory? We show that the constraints imposed by the lack of gauge anomalies can be recast as the equation x³ + y³ = z³. If hypercharge is quantised, then x, y and z must be integers. The trivial (and only) solutions, with x=0 or y=0, reproduce the hypercharge assignments seen in Nature. This argument does not rely on the mixed gauge-gravitational anomaly, which is automatically vanishing if hypercharge is quantised and the gauge anomalies vanish.
Zum Hintergrund: Es gibt die mathematisch präzise Erkenntnis, dass wann immer eine Theorie chirale Fermionen enthält, sogenannte Anomalien auftreten, d.h. dass in den Kontinuitätsgleichungen der klassisch erhaltenen Ströme Terme auftreten, die die Stromerhaltung verletzen und damit die klassisch vorhandene Symmetrie zerstören. Desweiteren wissen wir, dass das Auftreten von Anomalien einer lokalen Eichsymmetrie die Renormierbarkeit der Theorie zerstört, diese also inkonsistent wird. Derartige Eich-Anomalien sind also zu vermeiden, während globale Anomalien nicht nur zulässig sind sondern sogar "echte Physik" enthalten.
Nun treten je Strom und Teilchen-Spezies im Standardmodell diese Anomalien tatsächlich auf, allerdings ist die Summe der störenden Therme exakt Null. Beispielsweise hat ein chiraler schwacher Strom für das Elektron einen nicht-verschwindenden anomalen Term, ebenso der für das Elektron-Neutrino sowie für u- und d-Quark. Die Summe dieser Terme ist aber je Fermion-Generation wie von Zauberhand Null, weil gewisse Summen über die Ladungen inkl. der drittel-zahligen Quarkladungen verschwinden.
Die Tatsache, dass diese Anomalien in Summe verschwinden, ist schon seit Jahrzehnten bekannt. Die Autoren analysieren die Bedingungen für das Verschwinden im Rahmen des Standardmodells mit der Eichgruppe U(1) * SU(2) * SU(3), d.h. die zulässigen quantisierten Hyperladungen der Fermionen; natürlich reproduzieren sie zunächst die bekannten Werte.
Gibt es weitere Lösungen? Nein. Sie zeigen dies durch Äquivalenzumformung der zentralen Gleichung zu v³ + w³ = 1. Diese hat aber nur die trivialen Lösungen (v,w) = (1,0) und (v,w) = (0,1); weitere Lösungen sind aufgrund des Fermatschen Theorems ausgeschlossen. Unter Voraussetzung der Eichgruppe des Standardmodells sind die Hyperladungen der Fermionen je Generation eindeutig durch das Fermatsche Theorem festgelegt..
Ui
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Hypercharge Quantisation and Fermat's Last Theorem
What values of the Standard Model hypercharges result in a mathematically consistent quantum field theory? We show that the constraints imposed by the lack of gauge anomalies can be recast as the equation x^3 + y^3 = z^3. If hypercharge is quantised, then x, y and z must be integers. The trivial...
arxiv.org
Nakarin Lohitsiri, David Tong
What values of the Standard Model hypercharges result in a mathematically consistent quantum field theory? We show that the constraints imposed by the lack of gauge anomalies can be recast as the equation x³ + y³ = z³. If hypercharge is quantised, then x, y and z must be integers. The trivial (and only) solutions, with x=0 or y=0, reproduce the hypercharge assignments seen in Nature. This argument does not rely on the mixed gauge-gravitational anomaly, which is automatically vanishing if hypercharge is quantised and the gauge anomalies vanish.
Zum Hintergrund: Es gibt die mathematisch präzise Erkenntnis, dass wann immer eine Theorie chirale Fermionen enthält, sogenannte Anomalien auftreten, d.h. dass in den Kontinuitätsgleichungen der klassisch erhaltenen Ströme Terme auftreten, die die Stromerhaltung verletzen und damit die klassisch vorhandene Symmetrie zerstören. Desweiteren wissen wir, dass das Auftreten von Anomalien einer lokalen Eichsymmetrie die Renormierbarkeit der Theorie zerstört, diese also inkonsistent wird. Derartige Eich-Anomalien sind also zu vermeiden, während globale Anomalien nicht nur zulässig sind sondern sogar "echte Physik" enthalten.
Nun treten je Strom und Teilchen-Spezies im Standardmodell diese Anomalien tatsächlich auf, allerdings ist die Summe der störenden Therme exakt Null. Beispielsweise hat ein chiraler schwacher Strom für das Elektron einen nicht-verschwindenden anomalen Term, ebenso der für das Elektron-Neutrino sowie für u- und d-Quark. Die Summe dieser Terme ist aber je Fermion-Generation wie von Zauberhand Null, weil gewisse Summen über die Ladungen inkl. der drittel-zahligen Quarkladungen verschwinden.
Die Tatsache, dass diese Anomalien in Summe verschwinden, ist schon seit Jahrzehnten bekannt. Die Autoren analysieren die Bedingungen für das Verschwinden im Rahmen des Standardmodells mit der Eichgruppe U(1) * SU(2) * SU(3), d.h. die zulässigen quantisierten Hyperladungen der Fermionen; natürlich reproduzieren sie zunächst die bekannten Werte.
Gibt es weitere Lösungen? Nein. Sie zeigen dies durch Äquivalenzumformung der zentralen Gleichung zu v³ + w³ = 1. Diese hat aber nur die trivialen Lösungen (v,w) = (1,0) und (v,w) = (0,1); weitere Lösungen sind aufgrund des Fermatschen Theorems ausgeschlossen. Unter Voraussetzung der Eichgruppe des Standardmodells sind die Hyperladungen der Fermionen je Generation eindeutig durch das Fermatsche Theorem festgelegt..
Ui
