Das passt zu der anschaulichen Beschreibung in der Wikipedia. Mir fehlt da ein Hinweis auf Skalarfelder, wie zB in der relativistischen Quantenmechanik.
Quantenelektrodynamik, Eichfixierung, Coulomb-Potential 1/r
- Ersteller TomS
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Rainer
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Es ist ja egal, wievie Skalare man betrachet, ob einer oder Feld oder
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Rainer
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Du hast vermutlich den Wert des Skalars mit seiner Berechnung verwechselt.
Die Berechnung ist für jeden Beobachter (womöglich) anders, aber das Ergebnis ist immer dasselbe.
Der Vollständigkeit halber zwei Beispiele dazu aus der SRT: Man betrachte zwei Inertialsysteme S und S'. S' bewege sich mit 0,9c entlang der positiven x-Achse von S.
Beispiel 1 (Skalar):
Wie groß ist die Lichtgeschwindigkeit in S?
Wie groß ist die Lichtgeschwindigkeit in S'?
Beispiel 2 (Vierervektor):
Wie lauten die Komponenten der Vierergeschwindigkeit eines ruhenden Beobachters in S?
Wie lauten die Komponenten der Vierergeschwindigkeit dieses Beobachters in S'?
Rainer
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Wir sprachen über die Nullkomponente, und die ist in der Vierergeschwindigkeit
u°° = γ·c
hmm stimmt. grübel
Die kovarianten Vierervektoren sind als ganzes invariant
|u| = c
|p| = c·m
Rainer
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naja das sind die nach der Eigenzeit abgeleiteten. Im Grunde ist dieser Wert c, er wird nur mit γ multipliziert, um als Ganzes invariant zu werden.
Die Länge eines Objektes ist natürlich auch ein Skalar, aber nur die Eigenlänge ist (trivialerweise) invariant.
Ja ganz so einfach ist das nicht, stimmt.
Das sind natürlich beides Objekte, die Dimensionen der Raumzeit betreffen, das ist bei Φ nicht der Fall.
Φ gibt das Niveau der Raumzeit an, der Gradient ist dann die Krümmung, grob gesagt.
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TomS
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Rainer, ich bin ehrlich, ich habe keine Lust mehr, mit dir darüber zu streiten, wo was falsch ist. Gehen wir einfach davon aus, dass es bei Unstimmigkeiten daran liegt, dass du etwas falsch verstanden hast – evtl. weil ich es falsch erklärt habe.
Nochmal zurück zum Anfang:
Nochmal zurück zum Anfang:
- es ging darum, Eichtransformationen zu verstehen, und wie der Coulomb-Term ~ 1/r auch in Eichungen insbs. mit Φ = 0 entsteht
- es ging darum zu verstehen, warum derartige Eichungen trotzdem auf eine Lorentz- bzw. allgemeiner eine Poincare-kovariante Theorie führen
- zuletzt ging es darum, zu erklären, warum man davon ausgeht, dass der Coulomb-Term nur in drei Dimensionen ~ 1/r ist
Damit wir weiterkommen, muss nur noch eingesehen werden, dass das obige Viererpotential A_{\alpha} aus dem dann der Feldstärketensor berechnet wird, ein Vierervektor ist, genau wie die Vierergeschwindigkeit. Genau wie bei der Vierergeschwindigkeit transformiert auch die nullte Komponente des Viererpotentials nicht wie ein Skalar, sondern wie die Komponente eines Vierervektors.
Φ wird in Artikeln wie diesem hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Coulomb-Eichung nur deshalb skalares Potential genannt, um es verbal gegen das verbleibende Vektorpotential abzugrenzen. Streng relativistisch ist die Anwendung dieser Begriffe an dieser Stelle leider mißverständlich.
Rainer
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Ja, das ergibt natürlich Sinn.
Ich gehe ja immer vom Gravitationsfeld Φ aus, dort gibt es ja kein vergleichbares Magnetfeld, vielmehr ist alles Teil des Gravitationspotentials.
Beim Coulombpotential ist ja klar, dass dieses sich in ein Mangnetfeld transformiert, auch wenn es letztlich beides das Gleiche ist. Aber natürlich ist nur die Summe also der gesamte Vierervektor das gesamte Feld. Deshalb betrachte ich allein das Coulompotential als skalaren allgemeingültigen Wert und setze dabei die anderen Komponenten gedanklich auf Null. Also wie ein relativ unbewegter Beobachter. Auch wenn er sich bewegt, ändert sich daran nichts, er teilt das Ganze nur lediglich in unterschiedliche Komponenten auf, was man bei der Gravitation nicht macht.
|A| = Φ° ist der Skalar wie das Coulombpotential im eigenen Ruhesystem.
Es war natürlich ein Fehler, einen Teil eines Vektors als allgemeinen Skalar zu behandeln, ich hatte das genau mit dem Wert des gesamten Vierervektors verwechselt.
Naja, das Wichtigste was mich interessierte, wurde ja soweit es geht beantwortet: "es kann sein". Ich hatte mir mehr erhofft, wieso das Potential mit 1/r physikalisch entsteht. Meine handwaving Erklärung ist halt nicht zufriedenstellend.
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TomS
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Das "es kann sein" verstehe ich nicht.
Die zuletzt skizzierte Mathematik ist hier tatsächlich recht nahe am anschaulichen Bild der Feldliniendichte.
Die letzte Formel, die wir hergeleitet hatten, war
|F| • A(r) = Q
Damit folgt für den Betrag der Feldstärke
|F(r)| = Q / A(r)
Abhängig von der Zahl der räumlichen Dimensionen n gilt für die Oberfläche An(r) der (n-1)-Sphäre eines n-Balls
A₂(r) ~ r¹
A₃(r) ~ r²
A₄(r) ~ r³
und damit für die Feldstärke
F₂(r) ~ Q / r¹
F₃(r) ~ Q / r²
F₄(r) ~ Q / r³
Das folgt aus dem anschaulichen Feldlinienbild für n=3, sowie mathematisch in allen Dimensionen n mittels: i) Poisson-Gleichung für das Potential speziell in Coulombeichung sowie daraus für die Feldstärke; ii) Gaußschem Gesetz direkt für die Feldstärke in beliebigen Eichungen; (i) und (ii) mittels verschiedener Lösungsmethoden, u.a. a) direkte Integration der jeweiligen Differentialgleichung, b) Integralsätzen (die zuletzt skizzierte Methode), c) Fouriertransformation; iii) in der Quantenfeldtheorie mittels quantenmechanischer Eichfixierung für den Wechselwirkungsterm
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Off topic: Bei Newton ja, bei Einstein eher Nein. Die linearisierten Feldgleichungen enthalten bei der ART auch eine Art "Magnetfeld". Die Ähnlichkeiten zum Elektromagnetismus sind in diesem Fall sehr ausgeprägt.
TomS
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Die Diskussion eines Gravitationspotentials führt zu nichts.
In der Newtonschen Mechanik ist das OK jedoch letztlich durchdiskutiert. In der ART ist die Idee eines Gravitationspotentials im Allgemeinen sinnlos, und in den Spezialfällen wo es funktioniert, landet man bei der Newtonschen Mechanik.
Die Formulierung der ART als Eichtheorie ist verwandt mit der anderer nicht-abelschen Eichtheorie, funktioniert jedoch in vielen Details deutlich anders. Insbs. resultiert aus der Eichfixierung kein Term vergleichbar dem Coulomb-Potential, ganz anders als hier.
In der Newtonschen Mechanik ist das OK jedoch letztlich durchdiskutiert. In der ART ist die Idee eines Gravitationspotentials im Allgemeinen sinnlos, und in den Spezialfällen wo es funktioniert, landet man bei der Newtonschen Mechanik.
Die Formulierung der ART als Eichtheorie ist verwandt mit der anderer nicht-abelschen Eichtheorie, funktioniert jedoch in vielen Details deutlich anders. Insbs. resultiert aus der Eichfixierung kein Term vergleichbar dem Coulomb-Potential, ganz anders als hier.
Rainer
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Da hast Du mich missverstanden. Φ=-mG/r wird durchaus auch in der ART verwendet:
σ = ²(1+2Φ/c²)
Dies ist eine allgemein gültige Form, nicht nur bei einer Schwarzschildmetrik.
Genauso wie man die Metriken jedes einzelnen Elementarteilchens überlagern kann, überlagern sich deren Potentiale, besser gesagt anders herum:
σ = ²(1+2Σ.Φ/c²)
Natürlich ist die Bestimmung der Einzelpotentiale beim Mehrkörpersystem nicht trivial. Aber das ist kein besonderes Problem der ART.
Das Potentialfeld ist genauso vorhanden wie bei Newton, es wirkt sich nur ein bisschen komplizierter auf die Raumzeitkrümmung aus.
Φ/c² ≈ σ-1
Du meinst sicherlich Framdragging. Das halte ich nicht für vergleichbar, auch wenn es oft gesagt wird.
Ich sehe die Vergleichbarkeit eher im Lorentzfaktor, der auch (bzw gerade) für lineare Bewegungen gilt, aber das geht ins Philosophische. Bei der Gravitation ist beides genau genommen nicht unterscheidbar und kann daher nur analog fiktiv aufgespaltet werden.
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TomS
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Es ist schon mal nicht allgemeingültig, nur die 00-Komponente zu betrachten. Siehe z.B.
Kerr metric - Wikipedia
Nein, weil die ART nicht-linear ist. Die Summe zweier Schwarzschild-Metriken ist schlicht keine Lösung der ART.
Im Allgemeinen nicht – siehe oben.
Nein. Ich meine das hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitomagnetismus . Diese Dinge hat übrigens auch der Physiker https://de.wikipedia.org/wiki/Burkhard_Heim ziemlich falsch eingeschätzt und damit so einige Verwirrungen bis in die Gegenwart verbreitet.
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Rainer
Registriertes Mitglied
Das liegt daran, dass sich die Potentiale addieren und nicht die Komponenten der Metrik.
Die Rotation der Kerr Metrik habe ich noch nicht analysiert. Dass hier Kreuzterme hinzukommen, ergibt sich (zumindest in erster Linie) aus der Bewegung der Koordinaten zur Raumzeit, nicht aus dem Potentialfeld.
Sag ich doch:
Durch den Gravitomagnetismus wird unter anderem der Lense-Thirring-Effekt verursacht, der bewirkt, dass eine rotierende Masse die Raumzeit um sich herum mitzieht und sie dabei verdrillt.
Der restliche Artikel kommt mir neu vor....ja am 7.3.24 kam die Erweiterung. Das lese ich jetzt gleich mit Spannung.
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TomS
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Weder das eine noch andere.
Schau dir halt mal die Gleichungen an.
Es führt dazu, dass der Begriff des Potentialfeldes völlig sinnlos wird.
Rainer
Registriertes Mitglied
Das stimmt doch ziemlich genau mit den Lösungen in wiki überein.
Analog zum Magnetfeld, das von einer bewegten elektrischen Ladung erzeugt wird, postulierte er, dass eine bewegte Masse ein gravitomagnetisches Feld
Ähnlich habe ich das auch berechnet und die Ergebnisse von wiki erhalten. Der Vakuumwiderstand
ZG = ²(μG/εG) = 4pi·G/c = 2,797567e-18 m²/kgs.
Heim hatte behauptet mit Gravitomagnetismus den Effekt zu erklären, der heute durch die Dunkle Materie erklärt wird, d.h. das Verhalten der Rotationskurven im Außenbereich der Galaxien. Dass das so nicht funktioniert, wurde inzwischen mehrfach gezeigt. Siehe hier: https://www.astronews.com/community/threads/keine-naheliegende-erklärung-für-dm.11412/
Rainer
Registriertes Mitglied
Achso, das habe ich bei wiki nicht gelesen. Das war natürlich nix. Aber die Idee haben sicher auch neute noch viele
