Quantenelektrodynamik, Eichfixierung, Coulomb-Potential 1/r

TomS

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Ich sehe keinen Anlass, dass die Poissongleichung von der Dimensionalität abhängen sollte.
Nicht die Gleichung, jedoch deren Lösungen. Sie die Links.

Das ist reine Phänomenologie und gilt eben für das 3D-Modell. Bei höheren Dimensionen kann man das eben nicht auf die Dichte herunterbrechen.
Natürlich kann man das; einfach die Poisson-Gleichung für den n-dim. Laplace lösen.

Das stimmt nämlich in allen Dimensionen: die zu betrachtenden Gleichungen sehen – mit Ausnahme der Zahl der Dimensionen – identisch aus. D.h. auch, die Eichfixierung funktioniert für n > 1 immer gleich, nur ganz zuletzt sieht H unterschiedlich aus.
 

TomS

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Schauen wir uns den Laplace-Operator in n Dimensionen in sphärischen Koordinaten an:

3d25b7ed7c917ff189741e4a24f35c05e839e90b


Der zweite Term rechts entspricht dem Laplace-Beltrami-Operator auf der (n-1)-Sphäre, in dem ausschließlich Ableitungen nach den Winkelkoordinaten drinstecken. Dieser Term verschwindet, weil die Fundamentallösung der Poisson-Gleichung sphärische Symmetrie aufweist und die Winkelabhängigkeit daher verschwindet. D.h. im folgenden benötigen wir nur den ersten Term rechts.

Außerdem vergessen wir die delta-Funktion, gehen also von der Poisson- zur Laplace-Gleichung für r > 0 über.

{\displaystyle \Delta f=0}


Mit dem Ansatz f = 1/rª, was für die Poisson-Gleichung nur für n > 2 funktioniert, finden wir die Lösung a = n-2.

Für die Poisson-Gleichung muss man noch zeigen, dass dieser Ansatz auch für r = 0 funktioniert d.h. die delta-Funktion reproduziert, und man muss noch eine Normierungskonstante einführen.

Abgesehen davon liefert das bereits die Fundamentallösung, d.h. die Greensche Funktion der Poisson-Gleichung und damit das Coulomb-Potential in n Dimensionen.

Im Falle der Eichfelder entspricht dies nicht automatisch die Form von Φ, insbs. in der Eichung A0 = Φ = 0. Aber es entspricht für eine große Klasse von Eichungen der potentiellen Energie in der Hamiltonfunktion, speziell der potentiellen Energie zwischen zwei Ladungen.
 
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Bernhard

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Ja, den habe ich schon gesehen, nur verstehe ich kein einziges Wort davon.
Dann hätte ich eine Frage zur Definition der Fundamentallösung. Wo gibt es mehr Verständnisschwierigkeiten: Bei dem linearen Differentialoperator oder der Distribution? Die komplexen Koeffizienten brauchen wir hier nicht. Die sind erstmal egal. Das kompliziertere Konzept liegt bei der Distribution vor. Erzähl einfach mal, wo es "zwickt". Das Thema ist nicht trivial. Physik-Studium ca. 3. Semester.

Was kann man mit der Fundamentallösung machen? Antwort: Man kann damit eine komplizierte (partielle) Differentialgleichung durch ein vergleichsweise übersichtliches Integral beschreiben und sich dann in manchen Fällen eine Menge Rechenarbeit sparen. Ein Integral ist zB bei der Poisson-Gleichung in drei Dimensionen numerisch viel einfacher zu handhaben, wie die ursprüngliche Differentialgleichung.
 

Bernhard

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Man kann damit eine komplizierte (partielle) Differentialgleichung durch ein vergleichsweise übersichtliches Integral beschreiben und sich dann in manchen Fällen eine Menge Rechenarbeit sparen.
Beispiel: Man will die Rotationskurve (=Potential) einer Scheibengalaxie mit Hilfe der Poissongleichung berechnen und setzt die Lösung in Form einer Reihe über die Kugelflächenfunktionen an und löst anschließend das System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Ich habe das mal spaßeshalber vor langer Zeit so gemacht und gesehen, wie länglich die Rechnungen damit werden. Um zu einer brauchbaren Genauigkeit zu kommen, habe ich damals AFAIK bis l=10 gerechnet und die gewöhnliche DGL vermutlich mit Runge-Kutta berechnet.

Später habe ich dann gesehen, dass man exakt die gleiche Rotationskurve mit einem ganz kurzen Numerik-Programm erhält, wenn man die bekannte Fundamentallösung verwendet, über den Bereich der Scheibe ein genügend feines Raster (kleine Würfel) legt und dann numerisch integriert.
 
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Rainer

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dann numerisch integriert.
Man bekommt analytisch lediglich ein oder zwei Elliptische Integrale, aber wenn man die Dichte variiert, wird es bissl (deutlich) komplizierter.
Das geht aber ganz ohne Poisson.
Wenn die Grundlagen nicht verstanden werden, bringt die "tollste" Mathematik nichts.
Genau. Ich suche nach dem Punkt, wo die Dimensionen ins Spiel kommen. Den Rest der Rechnung muss ich ja nicht verstehen, es geht mir um die Frage, woraus die Schlussfolgerung folgt und nicht wie.

Es ist natürlich klar, dass wir nur drei begehbare räumliche Dimensionen haben, insofern ist die Frage nach zusätzlichen räumlichen Dimensionen falsch formuliert, wenn man zB von Dichte spricht.
 
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TomS

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Du musst es ja nicht für beliebige n verstehen; schau dir ganz mal n = 1,2,3 an.
 

Bernhard

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Ja, das habe ich bereits zur Kenntnis genommen, und kaue wohl noch länger darauf herum.
Bei Rechnungen dieser Art ist es wohl am Einfachsten auf eine korrekte Rechnung zu vetrauen. Zusätzlich muss man wissen, wo die Anzahl an Dimensionen genau zu berücksichtigen ist.

Einfachere Beispiele für solche Rechnungen ist die https://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm oder das n-dimensionale Volumen der https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskugel .
 

Rainer

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Die Poisson Berechnung im ℝ³ geht wie folgt:

Q = ∫ρ d.V = ε∫E d.S = ε·E·4r²π → E = Q/r²(4π·ε)

Im ℝ⁴ ergibt sich nun analog:
Q = ∫ρ₄ d.Hy = ε₄∫E₄ d.S³
Wer sagt denn, dass die Stärke des E₄-Feldes von der Größe der S³ abhängt bzw unabhängig von der Entfernung in Summe konstant ist? Wer sagt denn, dass die Stärke des E-Feldes von der Größe der S abhängt, nur weil es mit 1/r² abfällt? Das ist vlt lediglich eine bequeme Koinzidenz im ℝ³. Das ist doch dann ein reiner Zirkelschluss. Natürlich kommt das heraus, was man als Voraussetzung hineingibt. Das muss aber nicht mit der Natur übereinstimmen. Die Eichbosonen breiten sich auch in 4 Dimensionen gleichmäßig aus, warum sollten sie dort mit 1/r² abfallen, anstatt sich nur mit 1/r abzuschwächen (Resonanz λ~r)? Der Gradient ist dann immer derselbe und fällt mit 1/r², egal wieviele Dimensionen.

Das hatte ich aber alles schon gesagt.
 
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TomS

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Die Poisson Berechnung im ℝ³ geht wie folgt:

Q = ∫ρ d.V = ε∫E d.S = ε·E·4r²π → E = Q/r²(4π·ε)

Im ℝ⁴ ergibt sich nun analog:
Q = ∫ρ₄ d.Hy = ε₄∫E₄ d.S³
Wer sagt denn, dass die Stärke des E₄-Feldes von der Größe der S³ abhängt bzw unabhängig von der Entfernung in Summe konstant ist? Wer sagt denn, dass die Stärke des E-Feldes von der Größe der S abhängt, nur weil es mit 1/r² abfällt? Das ist vlt lediglich eine bequeme Koinzidenz im ℝ³. Das ist doch dann ein reiner Zirkelschluss. Natürlich kommt das heraus, was man als Voraussetzung hineingibt. Das muss aber nicht mit der Natur übereinstimmen. Die Eichbosonen breiten sich auch in 4 Dimensionen gleichmäßig aus, warum sollten sie dort mit 1/r² abfallen, anstatt sich nur mit 1/r abzuschwächen (Resonanz λ~r)? Der Gradient ist dann immer derselbe und fällt mit 1/r², egal wieviele Dimensionen.

Das hatte ich aber alles schon gesagt.
Irgendwie schaust du immer wieder auf neue Rechnungen, ohne eine mal wirklich zu Ende zu denken. Also ok, dann das verwandte Gaußsche Gesetz mittels Integration.

Sag bitte, mit welcher der folgenden Argumente du ein Problem hast.

Wir starten mit einer endlichen, statischen Ladungsverteilung rho; daraus folgt gemäß des Gaußschen Gesetzes

ff0076e721a4b485bda8ff427f00e73c6efb6006


das elektrische Feld E. Integrieren wir die über ein Volumen V, das die Ladungsverteilung rho vollständig umschließt

6fda4156b95e37ff852766f978bfdd06c9eca429


so folgt rechts die Gesamtladung Q innerhalb dieses Volumens V. Für verschiedene Volumina V, die jeweils die selbe Ladungsverteilung rho vollständig *) umschließen, erhalten wir immer das selbe Q.

43f5b26c3353643a7920d0a4a8d0fa6d960a7f79


Zur Berechnung der linken Seite benötigen wir den Gaußschen Integralsatz **) . Damit erhalten wir

359332f2f38358086aa7c48ef3b2ae228d2e11b6


Nun argumentiert man, dass für eine sphärisch symmetrische Ladungsverteilung rho auch das resultierende elektrische Feld sphärisch symmetrisch ist, d.h.
1) die Richtung ist radial und
2) der Betrag ist ausschließlich abhängig vom Radius.

3) Für einen Ball V und die Oberfläche S(V) dieses Balls ist auch der Normalenvektor des Flächenelements dA rein radial.

Wählt man also V als Ball, in dessen Zentrum rho sitzt, so folgt für das Integral links der Wert

Integral = |F| • A(S)

A(S) ist das Flächenmaß der Oberfläche S ***)

Wg. (1) ist der Betrag |F| auf der gewählten Oberfläche S konstant. Wg. (2) und (3) liefert das Flächenintegral einfach das Produkt des konstanten Betrags |F| mit dem Flächenmaß A(S).

Dabei ist offenbar A(S) abhängig vom Radius r der gewählten Fläche S, also A(S) = A(r) und damit

|F| • A(r) = Q

Zusammengefasst: Ausgehend von beliebigen Bällen V, die jeweils die sphärisch symmetrische Ladungsverteilung rho vollständig umschließen, erhalten wir die Ladung Q. Der Betrag |F| des elektrischen Feldes auf der Oberfläche S(V) eines Balls V hängt mit der Ladung Q zusammen vermöge |F| • A(r) = Q, wobei A(r) die Oberfläche des jeweiligen Balls V mit Radius r bezeichnet.

Bis hierher ist die Argumentation völlig unabhängig von der Dimension. Um das zu unterstreichen können wir für V, d.h. einen Ball auch n-Ball schreiben, wobei n=2 eine Kreisscheibe, n=3 einen 3-dim. Ball … beschreibt. Analog schreiben schreiben wir für S(V) dann n-Sphäre, d.h. für n=2 einen 1-dim. Kreisrand und für n=3 die 2-dim. Oberfläche eines 3-dim. Balls. In den Formeln mit den drei Integralen darfst du dir auch zwei, vier … oder 163 Integralsymbole denken.

Wenn das soweit klar ist, können wir uns ansehen, wie die Abhängigkeit von der Dimension ins Spiel kommt.


*) Wir betrachten eine endlichen Ladungsverteilung rho, die immer vollständig innerhalb der betrachteten Oberfläche liegt; d.h. die für keine Oberfläche liegt ein Teil der Ladungsverteilung außerhalb.

**) Der Gaußsche Integralsatz besagt, dass das Volumenintegral über die Divergenz eines Feldes F (rechts) identisch zum Oberflächenintegral (links) ist.

373cf173e4a8d1b242adffcc0909ce89a8c47875


***) Ich unterscheide zwischen dem geometrischen Objekt S und dessen Flächenmaß A(S).
 
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Rainer

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Wir starten mit einer endlichen, statischen Ladungsverteilung rho; daraus folgt gemäß des Gaußschen Gesetzes
Zur Berechnung der linken Seite benötigen wir den Gaußschen Integralsatz
Dies ist nicht selbstverständlich unabhängig von der Anzanl der Dimensionen, das ist eine reine Unterstellung.

Wo der gedankliche Zirkelschluss genau einfließt sehe ich zwar noch nicht.

Es ist natürlich keine Frage, dass die Feldstärke linear von Q abhängt. Nur muss die Summe über die Oberfläche nicht in jeder Dimension konstant sein. Vielmehr gehe ich von einer Konstanz der Großkreise aus.

Grundlage dafür ist ein verallgemeinerter Feldstärketensor.
Da ist halt die Frage, wie dieser von der Anzahl der Dimensionen abhängt.

Um das Ganze nochmal zu unterschreichen:
Der Zustandsparameter w eines Gases ist wγ = 1/3, für das Vakuum (DE) jedoch wΛ = -1. Ich behaupte, dass diese beiden Parameter im ℝ⁴ lauten
wγ₄ = 1/4
wΛ₄ = -1 unabhängig von der Anzahl der Dimensionen. Genauso sollte das Potential mit den Dimensionen skalieren: gar nicht.
 
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