Die Poisson Berechnung im ℝ³ geht wie folgt:
Q = ∫ρ d.V = ε∫E d.S = ε·E·4r²π → E = Q/r²(4π·ε)
Im ℝ⁴ ergibt sich nun analog:
Q = ∫ρ₄ d.Hy = ε₄∫E₄ d.S³
Wer sagt denn, dass die Stärke des E₄-Feldes von der Größe der S³ abhängt bzw unabhängig von der Entfernung in Summe konstant ist? Wer sagt denn, dass die Stärke des E-Feldes von der Größe der S abhängt, nur weil es mit 1/r² abfällt? Das ist vlt lediglich eine bequeme Koinzidenz im ℝ³. Das ist doch dann ein reiner Zirkelschluss. Natürlich kommt das heraus, was man als Voraussetzung hineingibt. Das muss aber nicht mit der Natur übereinstimmen. Die Eichbosonen breiten sich auch in 4 Dimensionen gleichmäßig aus, warum sollten sie dort mit 1/r² abfallen, anstatt sich nur mit 1/r abzuschwächen (Resonanz λ~r)? Der Gradient ist dann immer derselbe und fällt mit 1/r², egal wieviele Dimensionen.
Das hatte ich aber alles schon gesagt.
Irgendwie schaust du immer wieder auf neue Rechnungen, ohne eine mal wirklich zu Ende zu denken. Also ok, dann das verwandte Gaußsche Gesetz mittels Integration.
Sag bitte, mit welcher der folgenden Argumente du ein Problem hast.
Wir starten mit einer
endlichen, statischen Ladungsverteilung rho; daraus folgt gemäß des
Gaußschen Gesetzes
das elektrische Feld E. Integrieren wir die über ein Volumen V, das die Ladungsverteilung rho vollständig umschließt
so folgt rechts die Gesamtladung Q innerhalb dieses Volumens V. Für verschiedene Volumina V, die jeweils die selbe Ladungsverteilung rho vollständig *) umschließen, erhalten wir immer das selbe Q.
Zur Berechnung der linken Seite benötigen wir den
Gaußschen Integralsatz **) . Damit erhalten wir
Nun argumentiert man, dass für eine sphärisch symmetrische Ladungsverteilung rho auch das resultierende elektrische Feld sphärisch symmetrisch ist, d.h.
1) die Richtung ist radial und
2) der Betrag ist ausschließlich abhängig vom Radius.
3) Für einen Ball V und die Oberfläche S(V) dieses Balls ist auch der Normalenvektor des Flächenelements d
A rein radial.
Wählt man also V als Ball, in dessen Zentrum rho sitzt, so folgt für das Integral links der Wert
Integral = |F| • A(S)
A(S) ist das Flächenmaß der Oberfläche S ***)
Wg. (1) ist der Betrag |F| auf der gewählten Oberfläche S konstant. Wg. (2) und (3) liefert das Flächenintegral einfach das Produkt des konstanten Betrags |F| mit dem Flächenmaß A(S).
Dabei ist offenbar A(S) abhängig vom Radius r der gewählten Fläche S, also A(S) = A(r) und damit
|F| • A(r) = Q
Zusammengefasst: Ausgehend von beliebigen Bällen V, die jeweils die sphärisch symmetrische Ladungsverteilung rho vollständig umschließen, erhalten wir die Ladung Q. Der Betrag |F| des elektrischen Feldes auf der Oberfläche S(V) eines Balls V hängt mit der Ladung Q zusammen vermöge |F| • A(r) = Q, wobei A(r) die Oberfläche des jeweiligen Balls V mit Radius r bezeichnet.
Bis hierher ist die Argumentation völlig unabhängig von der Dimension. Um das zu unterstreichen können wir für V, d.h. einen Ball auch
n-Ball schreiben, wobei n=2 eine Kreisscheibe, n=3 einen 3-dim. Ball … beschreibt. Analog schreiben schreiben wir für S(V) dann n-Sphäre, d.h. für n=2 einen 1-dim. Kreisrand und für n=3 die 2-dim. Oberfläche eines 3-dim. Balls. In den Formeln mit den drei Integralen darfst du dir auch zwei, vier … oder 163 Integralsymbole denken.
Wenn das soweit klar ist, können wir uns ansehen, wie die Abhängigkeit von der Dimension ins Spiel kommt.
*) Wir betrachten eine
endlichen Ladungsverteilung rho, die immer
vollständig innerhalb der betrachteten Oberfläche liegt; d.h. die für keine Oberfläche liegt ein Teil der Ladungsverteilung außerhalb.
**) Der Gaußsche Integralsatz besagt, dass das Volumenintegral über die Divergenz eines Feldes F (rechts) identisch zum Oberflächenintegral (links) ist.
***) Ich unterscheide zwischen dem geometrischen Objekt S und dessen Flächenmaß A(S).
