Quantenelektrodynamik, Eichfixierung, Coulomb-Potential 1/r

[TomS]

Wie ist das möglich bei Impuls m·γ·{c; v¹}

Was genau meinst du?

Was mich irritiert ist, dass du den Impuls eines Teilchens betrachtest. Der einfache Fall des quantenmechanischen Systems ist nicht-relativistisch. Und im Fall der QED kommt kein derartiger Impuls vor.

 

[Rainer]

Der einfache Fall des quantenmechanischen Systems ist nicht-relativistisch

Dann ist das nicht lorentzinvariant
OB etwas relativistisch ist, hängt ja vom Beobachter ab.
Aber mir ging es eher um die kovariante Darstellung mit der p₀ Komponente. Wenn man diese auf Null setzt, ist es nicht mehr kovariant, und ich kann mir schwer vorstellen, wie das wieder kovariant wird.

 

[TomS]

Dann ist das nicht lorentzinvariant

Das habe ich auch nirgends behauptet.

Relativistisch ist die QED.

Aber mir ging es eher um die kovariante Darstellung mit der p₀ Komponente. Wenn man diese auf Null setzt, ist es nicht mehr kovariant, und ich kann mir schwer vorstellen, wie das wieder kovariant wird.

Doch, natürlich ist das kovariant, ich weiß nur noch nicht, wie ich es dir besser erklären kann.

Schauen wir uns das Zweiteilchensystem (17) an. Es ist sicher Galilei-kovariant.

Nun betrachten wir die Eichbedingung P = 0. Dies bricht scheinbar die Galilei-Kovarianz, da Boosts natürlich P = 0 verletzen. Wir setzen aber gerade nicht P = 0, sondern wir untersuchen spezielle Lösungen, die (27) bzw. (41) erfüllen. Der Hamiltonian H transformiert kovariant zu H', h alleine nicht. Anstatt die Kovarianz explizit zu brechen, beschränken wir uns freiwillig auf spezielle Lösungen und ignorieren den Rest.

Ähnlich gehen wir bei der QED vor. Hier haben wir es jedoch mit zwei Bedingungen zu tun, die eine unterschiedliche Rolle spielen. A0 = 0 implementieren wir vor der Quantisierung, weil A0 kein physikalischer Freiheiheitsgrad ist. G = 0 ist dann eine zwingende Konsequenz der Theorie, anders als oben die freiwillige Wahl von P = 0.

Dummerweise können wir also die verschiedenen Bedingungen im kanonischen Formalismus nicht gleich behandeln.

Nun ist aber die Behauptung, dass mit A0 = 0 zwar die Kovarianz unsichtbar wird, jedoch nach wie vor gegeben ist. Die offene Frage ist, wie man dies beweist.

Es gibt Berechnungen ein und des selben Prozesses in verschiedenen Eichungen, die allesamt auf die selben Ergebnisse führen. Es gibt dazu die Beweise, dass die Poincare-Algebra erfüllt ist, und dass die Ergebnisse kovariant sind; das muss man je Eichung zeigen. Insgs. besteht kein Zweifel daran, dass nicht-kovariante Eichungen dennoch die Kovarianz der messbaren Größen nicht zerstören.

 

[Rainer]

Dummerweise können wir also die verschiedenen Bedingungen im kanonischen Formalismus nicht gleich behandeln.

das beruhigt mich etwas

Es gibt Berechnungen ein und des selben Prozesses in verschiedenen Eichungen, die allesamt auf die selben Ergebnisse führen.

Sicherlich die gleichen und nicht die selben Ergebnisse. Bei mir bleiben da Zweifel, aber ich werde da nicht einsteigen können. Letztlich ist das nur relevant, wenn dann doch anderswo unerklärliche Diskrepanzen auftreten.

Ich habe ja kein Problem mit einer räumlichen Foliation, sondern damit, die rein räumlichen Tensoren als kovariant zu bezeichnen.

In der Minkowskimetrik unterscheiden sich kovariant und kontravariant allein durch das unterschiedliche Vorzeichen zwischen Zeit und Raumkomponenten. Ohne Zeitkomponente verliert das Wort seine Bedeutung.

 

[TomS]

das beruhigt mich etwas


Sicherlich die gleichen und nicht die selben Ergebnisse.

Doch, natürlich.

Wenn man die Renormierungen jeweils umrechnet, muss exakt das selbe rauskommen.

Bei mir bleiben da Zweifel …

Das würde bedeuten, dass man die letzten 80 Jahre etwas übersehen hat.

Letztlich ist das nur relevant, wenn dann doch anderswo unerklärliche Diskrepanzen auftreten.

Na ja, eigtl. wollte ich auf etwas anderes hinaus, nämlich wie das 1/r Potential auftritt. Ich habe die detaillierte Rechnung noch nicht fertig, aber im Kern läuft es auf folgendes hinaus:
1. klassisch verwendet man die Coulombeichung, löst die Poisson-Gleichung und setzt das in H ein;
2. quantenmechanisch fordert man G |phys> = 0, löst die Gleichung für Omega und transformiert damit H;
beides führt auf den Coulomb-Term

Ich habe ja kein Problem mit einer räumlichen Foliation, sondern damit, die rein räumlichen Tensoren als kovariant zu bezeichnen.

Schon verstanden. Deswegen sage ich ja, dass die zeitlichen Komponenten nicht einfach weg sind, sondern dass man nur eine spezielle Untermenge betrachtet.

Die volle Theorie enthält weiterhin alle Komponenten.

 

[Rainer]

1. klassisch verwendet man die Coulombeichung, löst die Poisson-Gleichung und setzt das in H ein;
2. quantenmechanisch fordert man G |phys> = 0, löst die Gleichung für Omega und transformiert damit H;
beides führt auf den Coulomb-Term

Schade.
Ich hatte nicht auf eine ergebnisorientierte Rechnung, sondern auf eine elementare Überlegung gehofft, zB wie sich die Eichbosonen ausbreiten.

Aber vlt läft die Lösung der QM ja doch auch darauf hinaus.

Nach meiner Auffassung verdünnen sich die Eichbosonen nicht mit der Entfernung (Wahrscheinlichkeitsdichte), sie breiten sich kugelförmig aus, sondern ihre Frequenz nimmt direkt mit der Entfernung ab, ggf zeitabhängig~r.
r = λ/2
DAS wäre für mich eine Erklärung.

 

[TomS]

Ich hatte nicht auf eine ergebnisorientierte Rechnung, sondern auf eine elementare Überlegung gehofft, zB wie sich die Eichbosonen ausbreiten.

Die elementare und zugleich fundamentale Überlegung bzw. Fragestellung ist:

• wie quantisiert man eine Eichtheorie?
• d.h. wie identifiziert und quantisiert man die physikalischen Freiheitsgrade und fixiert dabei die Eichsymmetrie?

Das geht letztlich zurück auf

Generalized Hamiltonian Dynamics
P. A. M. Dirac

Nach meiner Auffassung verdünnen sich die Eichbosonen nicht mit der Entfernung …

Das ist ad hoc.

Der oben kurz dargestellte Ansatz liefert jedoch derartiges als Ergebnis – wobei dieses Ergebnis um Größenordnungen komplizierter ist. Das funktioniert z.B. für nicht-abelsche Eichtheorien wie die QCD, bei der Quantengravitation gibt es noch technische Schwierigkeiten …

Zu ersterem siehe z.B

Hamiltonian approach to QCD in Coulomb gauge: Gribov's confinement scenario at work

I will review essential features of the Hamiltonian approach to QCD in Coulomb gauge showing that Gribov's confinement scenario is realized in this gauge. For this purpose I will discuss in detail the emergence of the horizon condition and the Coulomb string tension. I will show that both are...

arxiv.org

 

[TomS]

Eventuell noch mal besser einen Schritt zurück, um das prinzipielle Problem besser zu verstehen.

Eichsymmetrie ist zunächst ein unphysikalisches Artefakt!

Physikalisch

Man erkennt dies am einfachsten direkt in der Elektrodynamik:

1. Wir kennen eichinvariante und direkt messbare Größen, insbesondere elektrische und magnetische Felder E bzw. B. Die Eichfelder A sind dagegen nicht messbar. Am Beispiel von A0: man misst nie dieses Feld, lediglich eine Kraft oder eine potentielle Energie. Letzteres sind tatsächlich eichinvariant.
2. Die Einführung der Eichfelder impliziert die Einführung und physikalischer Freiheitsgrade: an elektromagnetischen Wellen beobachten wir zwei Polarisation, aus den vier Eichfeldern folgen jedoch zunächst vier Freiheitsgrade, zwei davon ohne reale Entsprechung

Mathematisch

Die Probleme sind bereits in der klassischen Elektrodynamik vorhanden, können dort jedoch sehr einfach gelöst werden. Im wesentlichen verhält es sich dabei wie folgt:

1. Betrachtet man einen unendlich-dimensionalen Phasenraum, der durch alle Feldkonfigurationen (A, E), jeweils zu lesen als Funktionen von (x,t) aufgespannt wird, so bedeutet das Vorliegen einer Eichsymmetrie, dass verschiedene Punkte in diesem Raum physikalisch äquivalent sind – nämlich genau dann, wenn sie durch eine Eichtransformstion miteinander verbunden sind. Bewegungen in diesem Raum zerfallen also in zwei Klassen: i) physikalische Bewegungen in der Zeit, ii) unphysikalische, d.h. unbeobachtbare Transformationen unter der Eichgruppe.
2. In Quantenfeldtheorien zeigt sich, dass (ii) eine konsistente Quantisierung – sei’s im Pfadintegral- oder im kanonischen Formalismus – verhindert.
3. Ziel der sogenannten reduced Phase Space Quantization ist es, im oben genannten Phasenraum eine Untermannigfaltigkeit zu definieren, so dass auf dieser immer nur exakt ein Punkt liegt, der einen physikalischen Zustand beschreibt. Damit zerfallen Bewegungen im Phasenraum in zwei Klassen: i) die Zeitentwicklung in dieser Untermannigfaltigkeit, ii) die Eichtransformation immer orthogonal dazu.
4. Führt man dies durch, so erhält man je Untermannigfaltigkeit eine physikalische Hamilton-Funktion, in der Quantenfeldtheorie den entsprechenden Hamilton-Operator, die die Zeitentwicklung in dieser Untermannigfaltigkeit generiert, und keine dazu orthogonale Bewegung. Die Wahl dieser Untermannigfaltigkeit entspricht der Eichfixierung *)
5. Dies ist nicht gleichbedeutend mit einer Brechung der Eichinvarianz, denn es ist nach wie vor möglich, zwischen verschiedenen Untermannigfaltigkeiten, d.h. verschiedenen Eichung zu transformieren. Eine derartige Eichtransformation ändert neben den Feldern auch die Hamilton-Funktion. Davon wird – in analoger Weise – im Pfadintegralformalismus ausgiebig Gebrauch gemacht.
6. Jede Eichfixierung f definiert also eine Untermannigfaltigkeit Mf, und eine Hamilton-Funktion hf, jede Feldkonfiguration (Af, Ef) bezeichnet eindeutig einen physikalischen Zustand. Einen Eichtransformation überführt dies von f nach f'.
7. In der Elektrodynamik – und damit auch in der QED, analog in der QCD – spielt dabei das Gaußsche Gesetz eine entscheidende Rolle: es entspricht dem Generator einer Eichtransformation. Der entscheidende und komplizierte Punkt dabei ist, dass letztlich zwei Eichsymmetrien vorliegen, die man im kanonischen Formalismus separat betrachten muss. Die erste entspricht der Tatsache, das A0 kein physikalischer Freiheitsgrad ist, d.h. dass dazu kein kanonisch konjugierte Impuls existiert; deswegen ist die Weyl-Eichung A0 = 0 in gewisser Weise ausgezeichnet. Die zweite entspricht Eichtransformationen, die durch das Gaußsche Gesetz generiert werden, und die die zuvor implementierte Weyl-Eichung respektieren. Das Vorliegen dieser Eichsymmetrien führt auf zwei Reduktionen des oben genannten Phasenraumes, d.h. zur Eliminierung von zwei der vier ursprünglichen Freiheitsgrade des Feldes A, und letztlich je Wahl der zweiten Eichfixierung f2 bezüglich des Gaußschen Gesetzes auf eine physikalischen Hamilton-Funktion bzw. -Operator h(A0=0, f2). Wie oben gesagt generiert h Zeitentwicklungen, die A0= und f2 respektieren. Die Form dieser Hamilton-Funktion h hängt dabei von der gewählten Eichfixierung f2 ab; im Zuge der Berechnung von h resultieren daraus die Wechselwirkungsterme in h, die in bestimmten Eichungen gerade dem Coulomb-Term entsprechen. Vereinfacht gesprochen resultiert im Zuge einer speziellen Eichfixierung aus dem Wechselwirkungsterm jA in der ursprünglichen Lagrange-Dichte das statische Coulomb-Potential ρ(x) ρ(x') / |x - x'| zwischen zwei Ladungsdichten.

Dies ist letztlich ein allgemeingültiges Programm, dass auf alle Systeme zutrifft, in denen eine Eichsymmetrie vorliegt. Anwendung auf QED, QCD etc. sind dabei lediglich Spezialfälle.

*) In nicht-abschen Eichtheorien ist die Eichfixierung und damit die Wahl der Untermannigfaltigkeiten alles andere als trivial – Stichwort Gribov ambiguities.

 

[Rainer]

d.h. wie identifiziert und quantisiert man die physikalischen Freiheitsgrade und fixiert dabei die Eichsymmetrie?

Ja, das schon, das Problem (für mich) sind die (ggf) ergebnisorientiert gewählten Randbedingungen, wie etwa der dreidimensionale Raum.

Der oben kurz dargestellte Ansatz liefert jedoch derartiges als Ergebnis

Verdünnung oder NICHT-Verdünnung?
Naja soweit ich das verstehe, läuft es nicht auf die Beschleunigungsfelder E und B (Feldliniendichte), sondern auf das Potential Φ und A hinaus, also Nicht-Verdünnung. Dabei stellt sich dann die Frage, wie der Abfall 1/r entsteht.

Die nächste Frage wäre dann, ob die Raumkrümmung darauf Einfluss hat. Das würde bedeuten, dass man ein Gravitationsfeld durch ein SL abschirmen könnte. Wohlgemerkt spreche ich nicht von GW, die man sicherlich so abschrimen kann.

Aber eigentlich will ich darauf hinaus, dass die Anzahl der Raumdimensionen gar keinen Einfluss auf das Gravitationsfeld hat.

 

[TomS]

Ja, das schon, das Problem (für mich) sind die (ggf) ergebnisorientiert gewählten Randbedingungen, wie etwa der dreidimensionale Raum.

Man wählt 3+1 Dimensionen und den Lagrangian der QED (oder QCD oder SUSY oder was auch immer).

Verdünnung oder NICHT-Verdünnung?

Nicht konkret das.

Aber was du dir zu konkreten Felderverläufen vorstellst, ist eben ein Ergebnis, kein Input. Hast du dir mal den Hamiltonian zur QCD angeschaut? Sowas kann man sich nicht ausdenken.

Naja soweit ich das verstehe, läuft es nicht auf die Beschleunigungsfelder E und B (Feldliniendichte), sondern auf das Potential Φ und A hinaus …

Es läuft überhaupt nicht auf konkrete Feldverläufe sondern auf ein allgemeingültiges H hinaus. (A, E) sind kanonisch konjugierte Größen, B folgt aus A.

Dabei stellt sich dann die Frage, wie der Abfall 1/r entsteht.

Durch die Eichfixierung. Die Rechnung liefere ich noch nach, das ist notiert.

Die nächste Frage wäre dann, ob die Raumkrümmung darauf Einfluss hat.

Hätte sie, aber das ist ein ein deutlich schwierigeres Problem.

Aber eigentlich will ich darauf hinaus, dass die Anzahl der Raumdimensionen gar keinen Einfluss auf das Gravitationsfeld hat.

Doch. Die ART verhält sich in n ungleich 4 Dimensionen teilweise völlig anderes. Das gilt sogar schon für die Elektrodynamik.

 

[Rainer]

Doch. Die ART verhält sich in n ungleich 4 Dimensionen teilweise völlig anderes. Das gilt sogar schon für die Elektrodynamik.

An den Maxwellgleichungen sehe ich davon nichts, außer dass das Kreuzprodukt darauf beruht.
Aber dass drei Dimensionen ausgezeichnet sind, sieht man ja mit bloßem Auge, das schließt weitere Dimensionen nicht unbedingt aus, und damit meine ich keine Kompaktifizierung.

 

[TomS]

In einer n+1 dimensionalen Raumzeit existieren zunächst n+1 A-Komponenten; in der Weyl-Eichung verbleiben davon n räumliche.

Aus der Definition und Antisymmetrie des el.-mag. Feldstärkentensors folgen in einer n+1 dimensionalen Raumzeit zunächst n E-Feld-Komponenten und n(n-1)/2 B-Feld-Komponenten. Die beiden Zahlen sind identisch für (n-1)/2 = 1 also nur für n = 3. Für n = 1 existiert kein B-Feld.

Das Gaußsche Gesetz eliminiert zusätzlich die longitudinale Polarisation, d.h. es verbleiben n-1 transversale, physikalische Polarisationen d.h. n-1 Komponenten von A und E. Für n = 3 erhält man 2 Polarisationen. Für n = 1 existieren keine dynamischen A- bzw. E-Felder.

Die Wellengleichung führt in jeder Dimension auf die Dispersionsrelation ω² - k² = 0. D.h. auch, der Photon-Propagator ist immer identisch.

Löst man jedoch die Poisson-Gleichung und bestimmt so die statische potentielle Energie zweier Punktladungen bzw. den Wechselwirkungsterm ρ(x) K(x - x') ρ(x') im Hamiltonian, wobei K(x) der Greenschen Funktion der Poisson-Gleichung entspricht, so findet man etwas erstaunliches:
n = 1: K(x) ~ |x|
n = 2: K(x) ~ ln |x|
n = 3: K(x) ~ 1 / |x|
allg. n > 2: K(x) ~ 1 / |x|^(n-2)
Die Form des Coulomb-Potentials ist also abhängig von der Zahl der Dimensionen n.

 

[Rainer]

Poisson-Gleichung

Das ist nichts anderes als die Feldliniendichte ausrechnen. Die gesamte Idee der Rechnung basiert auf 3D.
g·S = 4π·G·M
Poi = -∇²Φ = -∇.g = -4π·G·ρ = -G·m/r³
Ich behaupte, dass Φ auch in höheren Dimensionen ~Q/r ist, und daher auch g genauso ist, was spricht dagegen?

Angenommen ich habe eine Platte (2D), die der Bedingung Φ=X/r genügt, dann ergibt sich dort genauso g=X/r²
Wieso soll sich das Potential wie die Poisson Gleichung verhalten?
Warum soll diese Platte nicht Teil einer Kugel sein, die sich ganz genauso verhält, egal welche Ebene man betrachtet?
Die Kräfte sind ganz genauso, egal ob Platte oder Kugel.

Oder spielt hier die Tatsache herein, dass das Feld konservativ ist? Eigentlich nicht. Die Raumpunkte sind vom Weg völlig unabhängig.

 

[TomS]

Das ist nichts anderes als die Feldliniendichte ausrechnen.

Niemand redet von Feldlinien; das ist doch nur eine Veranschaulichung.

Die gesamte Idee der Rechnung basiert auf 3D.

Ja.

Warum interessiert dich überhaupt n > 3? Wir reden hier doch über die Eichfixierung in der QED.

∇²Φ = -4π·G·ρ

Stimmt.

Ich behaupte, dass Φ auch in höheren Dimensionen ~Q/r ist, was spricht dagegen?

Zunächst mal reden wir von der Greensfunktion K, da wir ja die Hamiltonfunktion suchen, nicht Φ. Im vorliegenden Fall der Eichfixierung ist A0 = Φ = 0, H enthält dennoch ρ(x) K(x - x') ρ(x').

Für die Greensche Funktion K (und damit in Spezialfällen auch Φ, wenn du möchtest) gelten meine o.g. Formeln, abhängig von der Zahl der Dimensionen; ~ Q/r gilt ausschließlich in n = 3.

Siehe

Poisson-Gleichung – Wikipedia

de.wikipedia.org

 

[TomS]

Noch eine Anmerkung, da wir hier über die Elektrodynamik im Hamilton-Formalismus in der Weyl-Eichung reden:

A) Es gilt

A0 = Φ = 0.

Deswegen benötigt man die Poisson-Gleichung zwar als mathematisches Werkzeug zur Bestimmung der Greenschen Funktion K, jedoch nicht in der Form

∇² Φ = - ρ

zur Bestimmung von Φ, da ja Φ = 0.

Für das elektrische Feld gilt jedoch weiterhin das Gaußsche Gesetz

∇ E = ρ

Setzt man

Ei = ∂0 Ai - ∂i A0 = ∂0 Ai

(letzte Gleichung wg. Weyl-Eichung)

so folgt

∇ E = - ∂i Ei = - ∂i (∂0 Ai) = ∂0 ∇ A = ρ

B) im kanonischen Formalismus sind die A- und E-Felder, unabhängige, kanonisch konjugierte Variablen, deren Zeitentwicklung gerade aus der Hamilton-Funktion folgt. D.h. man wählt als Anfangsbedingung für eine feste Zeit t = 0 eine Feldkonfiguration (A,E) die die Nebenbedingungen

A0 = 0
E = ∂0 A
∇ E = ρ

erfüllt. Die Eichfixierung liefert eine Hamilton-Funktion, die diese Nebenbedingungen automatisch auch für t > 0 respektiert.

Eine andere Eichfixierung bedeutet andere Nebenbedingungen und eine andere Hamilton-Funktion – jedoch die selbe Physik.

 

[Rainer]

Warum interessiert dich überhaupt n > 3? Wir reden hier doch über die Eichfixierung in der QED.

Naja in der Stringtheorie wird behauptet, dass mehr Dimensionen die Gravitation verändern würden. Das halte ich für Unsinn. Die Äquatorebene einer Rotation gilt vollkommen unabhängig davon, wieviele Dimensionen der Raum hat, das hängt nur von Φ ab. WIE Φ~1/r entsteht, ist offensichtlich ungeklärt, es sieht für mich aber wie der harmonische Oszillator mit dem Parameter X bzw Resonanz ω aus
X = ω² = G·M/r³ = Poi
Φω = r²X = G·M/r
der ja bekanntlich auch eindimensional gut funktioniert und rechnerisch (isotrop) nicht von der Anzahl der Dimensionen abhängt. Egal wieviele Dimensionen der Raum hat, stellt jeder Großkreis eine mögliche Äquatorebene dar, in der die selben Gesetze gelten....da haben wir es ja
Φ ~ Q/U = Q/λ ✓
weil jedes Elementarteilchen einen SHO mit dem gesamten Raum bildet
(was bei Schwacher Kraft räumlich durch die Reichweite eingeschränkt wird und bei Starker Kraft ganz scheitert
nach dieser Idee, müsste also die Starke Kraft mit der Entfernung mit ∇(Φ·f(dim)r^(dim-1)) ~ r^(dim-3) ansteigen)

Alles nur eine Idee, gehört eigentlich in die Rubrik Abseits vom Standardmodell.

 

[TomS]

Naja in der Stringtheorie wird behauptet, dass mehr Dimensionen die Gravitation verändern würden. Das halte ich für Unsinn.

Nein, das ist kein Unsinn.

Die Gravitation – im Falle der Stringtheorie eine Näherung, in der das Newtonsche Gravitationspotential sinnvoll verwendet werden kann – hängt empfindlich von der Anzahl der Dimensionen ab, sowie von weiteren Details der Topologie und der Geometrie.

Das ist die triviale Konsequenz der Poissongleichung, d.h. der Eigenfunktionen und Greenschen Funktionen des Laplace-Beltrami-Operators.

Die Äquatorebene einer Rotation gilt vollkommen unabhängig davon, wieviele Dimensionen der Raum hat, das hängt nur von Φ ab.

Und Φ hängt von der Anzahl der Dimensionen sowie von weiteren Details der Topologie und der Geometrie ab.

WIE Φ~1/r entsteht, ist offensichtlich ungeklärt

Alles nur eine Idee, gehört eigentlich in die Rubrik Abseits vom Standardmodell.

Nein, ist offensichtlich seit langem geklärt.

Warum schaust du dir nicht einfach die Poisson-Gleichung an? Evtl. hast du Verständnisfragen dazu, aber deswegen sind das doch keine Fragen jenseits des Standardmodells.

 

[Rainer]

die Poisson-Gleichung

Das habe ich mir angesehen. Aber wie die Fundamentallösung entsteht (Prämissen), ist mir nicht klar geworden. Ich sehe keinen Anlass, dass die Poissongleichung von der Dimensionalität abhängen sollte.

Für das elektrische Feld gilt jedoch weiterhin das Gaußsche Gesetz

Das ist reine Phänomenologie und gilt eben für das 3D-Modell. Bei höheren Dimensionen kann man das eben nicht auf die Dichte herunterbrechen.

 

[TomS]

Explizit n = für 2,3,4:

https://arxiv.org/pdf/1801.10224

Gefällt mir nicht.

Allgemein für n > 2:

https://rc476.user.srcf.net/methods/sphintgf.v1.pdf

Reicht völlig.

 

[Rainer]

das werde ich mir in Ruhe durchlesen.