Quantenelektrodynamik, Eichfixierung, Coulomb-Potential 1/r

[TomS]

Um Ursprung und Bedeutung des Coulomb-Potentials zu verstehen, beginnt am besten bei der klassischen Eichtheorie des Elektromagnetismus.

In der Quantenelektrodynamik verhält sich vieles ähnlich, jedoch auf Ebene der Feldoperatoren und Zustände, daher mathematisch deutlich komplizierter.

Wir starten mit dem Lagrangian

der die fermionischen Ströme

enthält.

Aus dem Lagrangian folgen die Dirac- und die Maxwell-Gleichungen

als Euler-Lagrange-Gleichungen.

Diese sind invariant unter den Eichtransformationen

In der Elektrodynamik assoziiert man das Coulomb-Potential oft mit der Null-Komponente.

Dies ist gilt nicht allgemein sondern nur in speziellen Eichungen, insbs. der Coulomb-Eichung.

In der Elektrodynamik bedeutet dies, man kann eine Eichung wählen, um die Rechnungen zu vereinfachen.

In der QED muss man die Eichung fixieren!

Der Grund ist, dass aus den klassischen Feldern zu Feldoperatoren werden, die auf einem Hilbertraum physikalischer Freiheitsgrade wirken. Die o.g. Gleichungen enthalten jedoch auch unphysikalische Freiheitsgrade. Ändert sich das elektromagnetische Feld gemäß einer Eichtransformation, so entspricht dies keiner physikalischen Änderung sondern einer reine Symmetrietransformation; man muss beides auseinanderhalten.

Die o.g. Eichsymmetrie lässt zwei Eichtransformationen zu, mittels derer man auch zwei Komponenten des Eichfeldes bzw. Viererpotentials eliminieren kann. Als Konsequenz bleiben 4 - 2 = 2 physikalische Komponenten, was gerade den beiden transversalen Polarisationen des Photons entspricht. Nur diese werden quantisiert.

Für die QED existieren also verschiedene Formulierungen in unterschiedlichen Eichungen, die auf physikalisch äquivalente Ergebnisse führen, jedoch mathematisch unterschiedlich aussehen.

Wählt man die Coulomb-Eichung, so erhält man aus den Maxwell-Gleichungen das Gaußsche Gesetz sowie daraus wiederum die Poisson-Gleichung

d.h. das elektrische Potential phi ist kein physikalisch unabhängiges Photonfeld sondern vollständig durch die elektrische Ladungsdichte definiert; für Punktladungen folgt gerade das Coulomb-Potential. Analog verschwindet vermöge der Poisson-Gleichung einer weitere (longitudinale) Komponente des Photonfeldes.

Nun schauen wir uns das in der Weyl-Eichung an

Ups. Offensichtlich kann das Potential phi nicht dem Coulomb-Potential 1/r entsprechen.

In dieser Eichung sieht man sofort, dass eine zweite Eichsymmetrie existiert, denn man kann eine Eichtransformation

mit zeitunabhängigem Lambda durchführen, was die Weyl-Eichung respektiert. In dieser Eichung erkennt man unmittelbar, dass es gerade die Eichsymmetrie ist, die die beiden unphysikalischen Polarisationen eliminiert.

Was man nicht unmittelbar erkennt ist, wie das Coulomb-Potential wieder auftaucht. Dazu schreibe ich noch was, kann aber etwas dauern; es wird ein eigenes PDF, da LaTeX hier nicht funktioniert und das Zusammenkopieren von Formeln als Bilder extrem unschön ist.

 

[TomS]

Anbei das versprochene Dokument: quantum gauge fixing

 

[Rainer]

Anbei das versprochene Dokument

U (1) Eichsymmetrie

Die Lorentz-Invarianz ist für kovariante Vierervektoren selbstverständlich, funktioniert allerdings nur mit A₀

Wenn Du dann A₀=0 setzt, bedeutet dies eine rein räumliche Betrachtung, wenn ich nicht irre.
Dies entspricht wohl einer Realtivgeschwindigkeit v=c. Dann verschwindet das Coulombpotential und es bleibt nur noch das Vektorpotential.
Dass auch A'₀ = 0 wäre, ergibt sich aus der Lichtgeschwindigkeit.

Wenn es nur zwei Polarisierungsebenen gibt, dann kann man die dritte Richtung durch entsprechende Wahl des Koordinatensystems jederzeit entfernen.

3.3 Das System

(17) Das Potential V wird hier als "Postulat" eingeführt. Das sage ich, weil dieses ja mein Interesse war.

(21) Kovariante Viererimpulse sind sowieso invariant.
u = γ{c; v} Vierergeschwindigkeit
p = m·u Viererimpuls

(22) Wieso das Potential allerdings "wegen der Distanz" invariant sein soll, ist unklar. Tatsächlich ist das Potential als Skalar IMMER invariant, trotz der unterschiedlichen Distanz aus Sicht unterschiedlicher Beobachter. Dass die Distanz unterschiedlich ist, sieht man leicht, weil der Gradient für die Beobachter unterschiedlich ist.
Die Gleichung (22) selbst ist lediglich eine statische Translation und keine Bewegung, also kein anderer Beobachter. Für einen anderen Beobachter ergibt sich die Koordinatentransformation mittels des Lorentzfaktors γ und verändert daher die Distanz in gleichem Maße. Im Falle eines mit Lichtgeschwindigkeit bewegten Feldes ändert sich die Frequenz (Blau-/Rotverschiebung)
Translationssymmetrie ist keine Invarianz.

 

[TomS]

U (1) Eichsymmetrie

Die Lorentz-Invarianz ist für kovariante Vierervektoren selbstverständlich, funktioniert allerdings nur mit A₀

Das funktioniert auch ohne, allerdings ist es nicht unmittelbar sichtbar.

Eine QFT ist genau dann Poincare-kovariant, wenn ihre Operatoren H, P, J und K (Hamiltonian, Impulse, Drehimpulse, Boosts), die Poincare-Algebra erfüllt. Das kann man für QED etc. explizit prüfen und findet natürlich, dass dies gilt.

Wenn Du dann A₀=0 setzt, bedeutet dies eine rein räumliche Betrachtung, wenn ich nicht irre.
Dies entspricht wohl einer Realtivgeschwindigkeit v=c. Dann verschwindet das Coulombpotential und es bleibt nur noch das Vektorpotential.
Dass auch A'₀ = 0 wäre, ergibt sich aus der Lichtgeschwindigkeit.

Nee. Steht doch im Dokument. Das Coulomb-Potential steckt dann nicht in A₀, ist aber wieder in H enthalten.

3.3 Das System

(17) Das Potential V wird hier als "Postulat" eingeführt. Das sage ich, weil dieses ja mein Interesse war.

Dieses System ist nur ein Beispiel, um zu verstehen, was Eichtransformationen und Eichfixierung quantenmechanisch bedeuten. Es hat nichts mit der Coulomb-Potential zu tun.

Wie das Coulomb-Potential in der QED in der Eichung A₀=0 folgt, steht im letzten Abschnitt.

Die Gleichung (22) selbst ist lediglich eine statische Translation und keine Bewegung, also kein anderer Beobachter.

Hier geht es nicht um Beobachter.

Ich fürchte, ich habe dich schon vorher abgehängt. Lass uns mal Schritt für Schritt vorgehen.

 

[Rainer]

Wie das Coulomb-Potential in der QED folgt, steht im letzten Abschnitt.

Sie ist nicht ad hoc sondern resultiert automatisch aus der L¨osung einer Differentialgleichung
Das würde mich interessieren, also die Prämissen dafür.

Hier geht es nicht um Beobachter.

Naja bei Kovarianz und Vierervektoren ist es SRT, daher die Lorentzinvarianz, was ist denn an der Poincare Invarianz anders?

Dass wir in Raum und Zeit viele Symmetrien haben ist ja nichts Neues.

 

[TomS]

Für die QED ist das mathematisch sehr verwickelt.

Am Beispiel des einfachen quantenmechanischen Systems: Man erhält den korrekten Hamiltonian H' für die Relativkoordinate einschließlich der reduzierten Masse aus dem ursprünglichen H und dem speziell konstruierten Omega, das die Eichung P = 0 implementiert. So wird's im Dokument explizit gezeigt.

In der QED: Man erhält den korrekten Hamiltonian H' für die Eichfelder einschließlich der Coulomb-Wechselwirkung aus dem ursprünglichen H und dem speziell konstruierten Omega, das die Coulomb-Eichung div A = 0 implementiert. So steht's kurz gegen Ende im Dokument.

Auch in der QED: Man erhält einen anderen korrekten Hamiltonian H'' für die Eichfelder einschließlich der zugehörigen Wechselwirkung aus dem ursprünglichen H und einem anderen Omega, das eine andere Eichung (Lorentz, axial …) implementiert.

Alle diese Eichungen und alle diese Hamiltonoperatoren sehen unterschiedlich aus, liefern aber die selbe Physik und sind daher alle äquivalent.

 

[Rainer]

In der SRT ist das ganz einfach. Man betrachtet das Ruhesystem der Quelle und berechnet das Potential nach Newton. Dann bildet man den Gradienten nach SRT. Das Potential ist als Skalar sowieso invariant, also nimmt man das einfachste Bezugssystem.

 

[Rainer]

Wie das Coulomb-Potential in der QED in der Eichung A₀=0 folgt, steht im letzten Abschnitt.

Da steht nur, dass es zu H wird, aber nicht, wie es sich überhaupt berechnet.

 

[TomS]

Du meinst, in der klassischen Elektrodynamik ist das sehr einfach.

Ja.

In der QED hat es einiger Anläufe bedurft, in der QCD wurde das m.W.n. erst in den 70ern bis 80ern gefunden, mein Chef hat Anfang der 90er noch daran geforscht.

 

[TomS]

Da steht nur, dass es zu H wird, aber nicht, wie es sich überhaupt berechnet.

Stimmt.

Ich liefere die Rechnung gerne nach.

 

[Rainer]

Eine QFT ist genau dann Poincare-kovariant

Das reicht aber nicht für Lorentzinvarianz, das ist ja Pillepalle.
Wenn Dir das als "Invarianz" genügt, dann ist alles nur Ramsch, dann gilt es nur für EINEN ausgewählten Beobachter. Da kann man sich die kovarianten Rechnungen sparen.

 

[Rainer]

Ich liefere die Rechnung gerne nach.

Das wäre schön, denn das ist der Punkt, um den es (mehrdimensional) geht. Die Mär der Feldliniendichte zieht bei mir nicht.

 

[TomS]

Das reicht aber nicht für Lorentzinvarianz, das ist ja Pillepalle.

Erstens reicht es für die Lorentz-Kovarianz (nicht Invarianz) denn dabei handelt es sich um eine Untergruppe der Poincare-Gruppe.

Und wenn es Pillepalle ist, dann konstruiere doch selbst die Operatoralgebra der QED und beweise, dass sie der Poincare-Algebra entspricht. Das ist nicht Pillepalle

Wenn Dir das als "Invarianz" genügt, dann ist alles nur Ramsch, dann gilt es nur für EINEN ausgewählten Beobachter.

Es kommt überhaupt kein ausgezeichneter Beobachter vor. Wie kommst du drauf?

 

[Rainer]

Lorentz-Kovarianz

sowas gibt es nicht.
Es gibt kovariante Vektoren.
Die Invarianzen sind wichtig.

Es kommt überhaupt kein ausgezeichneter Beobachter vor. Wie kommst du drauf?

Wenn es nicht invariant ist, dann ist es im System eines bestimmten Beobachters.
(x₁-x₂) = (x₁+Δ)-(x₂+Δ)
gilt nur für einen Beobachter, allgemein formuliert gilt
(x₁-x₂)' = γ(x₁-x₂)
bzw
Xμ = {c·t;r¹)

Und wenn es Pillepalle ist, dann konstruiere doch selbst die Operatoralgebra der QED und beweise, dass sie der Poincare-Algebra entspricht. Das ist nicht Pillepalle

Davon habe ich zwar keine Ahnung, aber Invarianz wird dabei nicht herauskommen, sondern nur Eichsymmetrien.
Dass die Zeitsymmetrie besteht, die Richtung im Raum und der Ort im Raum egal sind, ist ja eher trivial.

 

[TomS]

sowas [Lorentz-Kovarianz] gibt es nicht.

Ach.

Lorentz covariance - Wikipedia

en.wikipedia.org

Die Invarianzen sind wichtig.

Wenn es um Lorentz-Skalare geht. H, P etc. sind keine solchen.

Wenn es nicht invariant ist, dann ist es im System eines bestimmten Beobachters.

Nein.

Das Eichfeld A ist nicht invariant, aber die Theorie ist kovariant. Und sie ist Beobachter-unabhängig.

Das wirst du aber nicht verstehen, wenn du dich dagegen sträubst.

 

[Rainer]

Ach.

Ich hätte ja gedacht, dass Riemann die Kovarianz erfunden hat, aber klar, es geht ja um das Minuszeichen, das hatte Riemann noch nicht auf der Pfanne.
Naja, das ist das Grundkonzept der kovarianten Größen. Klar müssen dafür Bedingungen erfüllt sein. Die Lorentz Kovarianz ist ein Konzept.

Jedenfalls erfüllen Deine Gleichungen nicht dieses Konzept, wenn sie nicht invariant sind.

wiki:
Eine Gleichung wird als Lorentz-kovariant bezeichnet, wenn sie in Lorentz-kovarianten Größen ausgedrückt werden kann. Die Schlüsseleigenschaft solcher Gleichungen ist, dass sie in jedem Inertialsystem gelten,

Deine Längenangaben ohne Lorentzfaktor erfüllen dies nicht.

Naja ok, wenn x ein Vierervektor ist, dann passt es wieder. Das geht aber niemals ohne Zeitkomponente X₀

Wenn es um Lorentz-Skalare geht. H, P etc. sind keine solchen.

Die (gültigen) Vierervektoren bzw Tensoren sind eben schon invariant...aber nie ohne Zeitkomponente.
Wenn Du die Zeit weglässt, erhältst Du eine räumliche Foliation, die Sicht eines bestimmten ausgewählten Beobachters, wie zB bei der kosmischen Zeit der im Hubble Flow unbewegte Beobachter.

Man darf natürlich in jedem beliebigen Bezugssystem rechnen, aber das Ergebnis muss dann umformuliert werden, wenn es kovariant korrekt sein soll.

 

[TomS]

Jedenfalls erfüllen Deine Gleichungen nicht dieses Konzept, wenn sie nicht invariant sind.

Nochmal: Eine Theorie ist Poincare-kovariant, wenn ihre Operator-Algebra der Poincare-Algebra entspricht. Das ist hier der Fall.

Eine Gleichung wird als Lorentz-kovariant bezeichnet, wenn sie in Lorentz-kovarianten Größen ausgedrückt werden kann. Die Schlüsseleigenschaft solcher Gleichungen ist, dass sie in jedem Inertialsystem gelten,

Das ist die Definition der manifesten Kovarianz.

Meine Bedingung ist schwächer, jedoch hinreichend, da sie für jede physikalische Größe die korrekten Transformatationsvorschriften liefert (dazu zählt speziell die Invarianz Lorentz-skalarer Größen).

Man sieht es nicht unmittelbar, muss es prüfen, und findet, dass es gilt.

Naja ok, wenn x ein Vierervektor ist, dann passt es wieder. Das geht aber niemals ohne Zeitkomponente X₀

Doch. Man kann das beweisen. Das ist klassische Elektrodynamik.

Die (gültigen) Vierervektoren bzw Tensoren sind eben schon invariant

Sie sind nicht invariant, sondern transformieren kovariant.

nie ohne Zeitkomponente.
Wenn Du die Zeit weglässt, erhältst Du eine räumliche Foliation.

Warte mal, ich glaube, ich verstehe dein Problem.

Die Eichung A₀=0 gilt zunächst für ein spezielles Bezugsystem.

Sie gilt dann nicht in anderen Bezugsystemen für das dort gültige A'₀, das man mittels Lorentz-Transformation findet. Nun kann man aber in jedem anderen Bezugsystem eine weitere Eichtransformation finden, so dass A''₀ = 0 wieder hergestellt wird.

D.h. die Eichbedingung A₀ = A''₀ = … = 0 kann in allen anderen Bezugsystemen dadurch implementiert werden, dass man Lorentz- und anschließend Eichtransformation geeignet kombiniert.

 

[Rainer]

Ja genau. Das kann man. Üblich schleift man eben die Zeitkomponente gleich mit.
Es ist ja auch klar, dass eine räumliche Translation Δx auch für alle anderen Beobachter egal ist, es hat halt nur Einfluss auf die dortigen Koordinaten, die nicht mit Δx skalieren. Aber wenn mir die dortigen Koordinaten (auch) egal sind, weil ich diese zuletzt festlege, ist das ja auch egal.
Die Rechnung steht halt dabei unter dem Vorbehalt, wie man sie abschließt....wie wenn man bei einer Gleichung auf der rechten Seite etwas ändert und sagt, das mache ich später auch auf der linken Seite....das Ergebnis wird dann hoffentlich richtig, aber die Rechnung ist nicht hasenrein.
Ich wäre mir da jedenfalls nicht sicher, ob alles mit rechten Dingen zugegangen ist, denn die kovariante Rechnung suggeriert Kovarianz, die aber gar nicht besteht.

Andererseits, wenn die Zeitkomponente immer Null ist, kann man sie auch weglassen. Für ein physikalisches Ergebnis muss man sowieso nach Kontravarianz umformulieren.
Aber sie ist eben nicht immer Null.
u = {c; v¹}

 

[TomS]

Ich wäre mir da jedenfalls nicht sicher, ob alles mit rechten Dingen zugegangen ist, denn die kovariante Rechnung suggeriert Kovarianz, die aber gar nicht besteht.

Die Theorie ist kovariant, das kann man explizit zeigen. Die ist nicht manifest kovariant, deswegen muss man dies zeigen.

Btw., man muss dies unabhängig von einer Eichtheorie in der kanonischen Quantisierung immer zeigen, da diese immer eine raumartige Hyperfläche auszeichnet.

Und dies wurde gezeigt. Nicht-kovariante Eichungen sind seit Jahrzehnten gut verstanden und weit verbreitet. Ich denke, bereits Schwinger hat dies gezeigt, z.B. hier:

Quantum Electrodynamics. I. A Covariant Formulation

Attempts to avoid the divergence difficulties of quantum electrodynamics by multilation of the theory have been uniformly unsuccessful. The lack of convergence does indicate that a revision of electrodynamic concepts at ultrarelativistic energies is indeed necessary, but no appreciable...

colab.ws

Quantum Electrodynamics. I. A Covariant Formulation
Schwinger Julian1
Physical Review, volume 74, issue 10, pages 1439-1461

 

[Rainer]

Die Theorie ist kovariant, das kann man explizit zeigen. Die ist nicht manifest kovariant, deswegen muss man dies zeigen.
Btw., man muss dies unabhängig von einer Eichtheorie in der kanonischen Quantisierung immer zeigen, da diese immer eine raumartige Hyperfläche auszeichnet.

Wie ist das möglich bei Impuls m·γ·{c; v¹}

u = {c; v¹}

da fehlte der Lorentzfaktor
u = γ{c; v¹}