Primus

ralfkannenberg

ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

ich will ja Eure Euphorie nicht stoppen, aber ist Euch bewusst, dass die Primzahlen über dem Ring der ganzen Zahlen bzw. deren Verteilung nur ein Spezialfall ist ? Es gibt zahlreiche andere Ringe, die auch Primelemente haben, und bei denen ist dann alles wieder völlig anders.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
M

MoreInput

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Hi,
die Grafik von Dore erinnert mich sehr an die Ulam Spirale https://de.wikipedia.org/wiki/Ulam-Spirale: Man wickelt einfach den Zahlenstrahl spiralförmig im Viereck auf, und markiert dort die Primzahlen. Anstatt dass die Primzahlen vollkommen willenlos verteilt sind, markieren sie in der Ulam Spiral häufig Diagonalen.
Hier z.B. die Primzahlen bis 1.000.000: http://postimg.org/image/f131m8ckt/f33f23d3/
Hier habe ich die Primzahlen bis 10.000.000 visualisiert: http://s4.postimg.org/fxet44cgd/Yellow10_M.png
Wenn man den Kopf schräg hält, so entdeckt man sehr viele Primzahlen, die alle auf einer Linie liegen.

Zitat aus Wikipedia: "Es scheint, als würden die Diagonallinien immer auftauchen, unabhängig von der Größe der Spirale. [...] Den Primzahlforschern waren diese Zahlen schon lange geläufig. Im 18. Jahrhundert hatte der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler die Formel n^2 + n + 17 entdeckt, die für aufeinanderfolgende Werte n zwischen 0 und 15 jeweils Primzahlen ergab. Tatsächlich sind diese 16 Zahlen diejenigen, die auch in Ulams Schema auf der Hauptdiagonale erscheinen: 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 und 257. Später fand Euler eine weitere Formel, die für n zwischen 0 und 40 ausschließlich Primzahlen ergab: n^2 - n + 41. Durch Nachrechnen am Computer zeigte sich, dass diese zweite Eulersche Formel erstaunlich gut war, da sie für n bis 10.000.000 in 22,08 % der Fälle Primzahlen ergibt. Ulam fand weitere Formeln, deren Prozentzahlen bei der Generation von Primzahlen fast ebenso gut waren wie die der Eulerformel. Das Muster der Ulam-Spirale kann jedoch bis heute nicht vollständig erklärt werden."

Sehr schön ist es auch, wenn man nicht nur die Primzahlen markiert, sondern farbig codiert, wie viele Primfaktoren eine Zahl hat. Dann wird aus den Primzahlen ein schöner Teppich gewoben:
http://s3.postimg.org/udive16f7/Grey.png
Man findet immer wieder Regelmäßigkeiten und Muster, trotz allem bleiben die Primzahlen immer noch zufällig.

[Edit: Nachträge]
 
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Dgoe

Dgoe

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@Ralf:
daran habe ich auch schon gedacht, nur nicht in Begriffen, wie Ringe, wenngleich ich schon einiges über diese von Dir gelernt habe. Ich dachte an andere Zahlensysteme dabei. Mit jeder anderen Basis sieht sogleich alles wieder ganz anders aus.

Das vervielfacht allerdings nur die Baustellen, kein Grund die erste Baustelle mit Basis 10 gleich dicht zu machen. Wenn man mal mit den prominentesten durch ist, ergeben sich vielleicht auch Gemeinsamkeiten. Könnte allerdings länger dauern und am Ende ist man vielleicht auch trotzdem nicht viel schlauer...


@zabki:
interessant, da muss ich noch drüber nachdenken. Es gibt jedenfalls "Diagonalen", also Parallelen zur Diagonale von unten links nach rechts oben zumindest, die keine Primzahl enthalten. Den Fall, am Anfang nur eine Primzahl, hatte ich beim Suchen aber auch schon, meine ich.

Ich gebe aber wirklich mal besser die Positionen durch als nächstes.
Hoffentlich stimmt's - muss noch vergrößern. Ich bin mir aber trotz winziger Messung ziemlich sicher.


@Kibo:
das ist ja toll. Ich muss aber erst rüber an den PC für die .exe. Freue mich schon drauf. Bin hier auf Android gerade.


:)
Gruß,
Dgoe
 
Dgoe

Dgoe

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Hallo MoreInput,

wirklich sehr spannend. Vielen Dank dafür. Kann leider erst später weiter darauf eingehen...

Gruß,
Dgoe
 
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zabki

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Die vorrangige Belegung der Diagonalen(parallelen) bei der Ulam-Spirale mit Primzahlen scheint mir ganz direkt "plausibel" zu sein:

Die durch die "1" gehenden Diagonalen sind ungrade belegt. Bei den Diagonalparallelen ist im Wechsel jeweils eine gerade, und die Nachbarparallelen ungrade belegt. Die Zeilen und Spalten sind mit aufeinander folgenden Zahlen belegt, also jede Zeile/Spalte für sich im Wechslen gerade/ungerade.

Also besteht bei den ungeraden Diagonal(parallelen) sozusagen die doppelte Chance zum Primzahlvorkommen wie bei den Zeilen und Spalten; die "geraden" Diagonalparallelen haben keine Primzahlen (außer der 2), was in den Graphiken die primzahlhaltigen ungeraden visuell noch hervorheben dürfte. (Eine Diagonalhälfte - bei Wicklung der Spirale entgegen Uhrzeigersinn die von der 1 nach rechts unten gehende - hat allerdings ungerade Quadratzahlen, also auch keine Primzahlen).

Korrekt?
 
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Dgoe

Dgoe

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@ zabki,

ich weiß nicht. Fällt mir schwer Dir zu folgen.
Lieber wäre es mir, wenn Du diesen Beitrag nochmal weniger an Profis gerichtet, etwas normalsterblicher formulieren könntest, so dass auch Einfältigere, wie ich, folgen könnten. Platz satt dafür, sollte ja kein Problem sein.


@MoreInput,

das ist echt so interessant, wie ein Blick auf eine echte Matrix - an den Film denkend.

Das hat mich letzte Woche schon inspiriert, an andere Parkettierungen zu denken, mich zu fragen, was dann dabei passiert. So z.B. statt Quadrate zu nehmen, nehme man gleichseitige Dreiecke, spiralförmig immer um das nächstentfernte Sechseck herum...

Ich will aber erst einmal bei dem vorherigen Bild bleiben. Der Reihe nach. Ich hatte die durchgängigen Diagonalen (bzw. Parallelen zu den 2 Diagonalen des Quadrats) erwähnt, die es gibt, die keine Primzahl kreuzen.

Die Koordinaten möchte ich durchgeben, wie versprochen. Ich hatte diese schon notiert, nur noch keine Zeit gehabt, sie hier kund zu tun. Dazu ein separater Beitrag in ein paar Minuten:

Gruß,
Dgoe
 
Dgoe

Dgoe

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Also zurück zu diesem Bild. (von links nach rechts von 1 bis 100, nächste Zeile von 101 bis 200. Insgesamt 100 Zeilen bis zur Zahl 10000)

Nun ist ja jedes Kästchen eine Zahl. Ich könnte also angeben, zwischen welcher und welcher Zahl die "Diagonalen" liegen. Ich mache es mir aber einfacher -sicher auch dankenswerterweise, indem ich ein Koordinatensystem einführe, was die Orientierung vereinfacht.

Der Ursprung liegt oben links bei der 1, in der Ecke oben links des Kästchens der 1.
Die Koordinate (1,-1) trifft den Mittelpunkt des Kästchens der Eins. Und immer so weiter. Beispiel: (1,-3) ist die Zahl 201.

Am Liebsten würde ich das Bild vertikal spiegeln (über die x-Achse), damit alle Werte positiv sind. Vielleicht später mal zur allgemeinen Verwirrung, jetzt aber nicht.

Sooo.

Ach ja, Winkel immer relativ zur x-Achse vom Ursprung aus. Also die Diagonale des Quadrats zwischen oben links und unten rechts wäre -45°.

Nun bekommen die Ecken noch Buchstabenbezeichnungen. Hierbei möchte ich aber vom Standard solange abweichen, wie das Ganze noch nicht gespiegelt ist, denn nach einer späteren Spiegelung wäre es exakt Standard, nur die negativen Vorzeichen entfallen dann noch (und Winkelvorzeichen kehren sich dann um).

Standard wäre nämlich A, B, C, D gegen den Uhrzeigersinn, beginnend von der Ecke unten links, so wie hier.
Das lassen wir aber jetzt, stattdessen beginnen wir oben links im Uhrzeigersinn mit A, B, C, D. Also B ist oben rechts, C ist unten rechts, D unten links. Okay?

Ok.


- kleine Pause -
 
Z

zabki

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Dgoe schrieb:
@ zabki,

ich weiß nicht. Fällt mir schwer Dir zu folgen.
Lieber wäre es mir, wenn Du diesen Beitrag nochmal weniger an Profis gerichtet, etwas normalsterblicher formulieren könntest, so dass auch Einfältigere, wie ich, folgen könnten. Platz satt dafür, sollte ja kein Problem sein.
Zum Vergrößern anklicken....

wundert mich. dachte, es wäre die schlichtestmögliche Überlegung/Beobachtung zu dem Diagramm; oder jeder sieht Fehler bei mir.

kann leider nicht viel schreiben, da wg. heute Armbruch nur mit links. Hoffe, später besser. grüße zabki
 
Dgoe

Dgoe

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Et maintenant, voilà :

Zwischen (44,-100) und (100,-44).
Zwischen (45,-100) und (100,-45)

Also eine Doppelte sogar (dies obendrein kein Einzelfall).

Zwischen (80,-100) und (100,-80)

Zwischen (87,-100) und (100,-87)
Zwischen (88,-100) und (100,-88)

Zwischen (1,-20) und (20,-1)
Zwischen (1,-21) und (21,-1)

Zwischen (1,-78) und (78,-1)

Zwischen (1,-44) und (44,-1)
Zwischen (1,-45) und (45,-1)


Dann noch in den jeweiligen Ecken mehrere, später mehr dazu. Und evtl. andere Ungesichtete bisher.
Aber auch noch eine echt prominente Querlinie, die nicht im 45-Grad-Winkel verläuft, wie schon erwähnt, ja und sie geht sogar komplett durch.

Wer denkt, da gibt es doch zig, viele... bitte, nur zu, notiere sie! Es gibt nämlich kaum welche...

Gruß,
Dgoe

P.S.:
ich werde mir noch die Mühe machen, die Verbindungen zwischen den Zahlen zu notieren - vielleicht ganz interessant auch...
 
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Dgoe

Dgoe

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Ach zabki,

kein Problem, Hauptsache der Arm wird wieder gesund.
Ich wohl nur wie so selten, einfach schwer von Begriff.

Gruß,
Dgoe
 
Z

zabki

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geht schon.
nimm schachbrett, unbegrenzt. setzte "1" auf schwarzes feld. wickle ulamspirale auf.

dann stehen ungerade zahlen auf schwarzen, gerade auf weißen feldern.

folgt sofort (wenn "2" ausgeklammert): auf weißen schrägen keine P, alle P auf schwarzen schrägen.

auf zeilen/spalten stehen die P niemals "dicht", immer mind. eine gerade zahl dazwischen.

auf schwarzen schrägen können P ggf. "dicht" stehen.

erklärt das nicht schon die sichtbarkeit einer "diagonalstruktur"?

besonderheit:
die zahlen, die ein quadrat beim aufwickeln "vollmachen" (1, 9, 25...) sind quadrate der ungeraden und bilden eine diagonalhälfte, die also keine P enthält.

Grober Fehler bei mir? hab ich mich verrannt?
 
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K

Kibo

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Ich hab das Programm noch mal neu in c++ geschrieben. es ist jetzt etwas sauberer implementiert, denke ich. Hier noch mal der Downloadlink.

mfg
 
Dgoe

Dgoe

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Huhu Kibo,

also, dass es auf android nicht geht, war ja klar. jetzt habe ich extra windows darauf losgelassen, reagiert einfach gar nicht, nichts passiert, reproduzierbar auf doppelklick. Wäre aber süper...
Ich muss aber dringend nochmal dein vorheriges exe testen, denn ich kam nicht dazu, (familiärer Trauerfall ganz leider).

Gruß,
Dgoe
 
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Dgoe

Dgoe

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libgcc_s_dw2-1.dll fehlt dem computer heißt es, alo ne library.
bei dem ersten link, der 2te führt ins nichts. nichts passiert..

Och nö, fand dein ding super, jetzt geht es gar nicht. Probiere morgen nochmal.

Gruß,
Dgoe
 
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