Null Geodäte

[Brockhoff]

Hallo !

Warum wird in der Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) metric
für Photonen der Wert ds^2 = 0.
Photonen bewegen sich in der Raumzeit auf Null Geodäten, deshalb
sei ds^2 =0 .

Kann mir jemand das ohne Mathematik einfach erklären.
Es würde doch bedeutet, dass das Licht in der Raumzeit keinen Weg zurücklegt, oder ?

mfg
HB

 

[TomS]

$ds^2 = 0$ ist gerade die definierende Eigenschaft von Nullgeodäten und gilt für beliebige Raumzeiten.

In der ART ist die Definition von $ds^2$ etwas kompliziert, da hier die Metrik eingeht, d.h. Abstände müssen bzgl. einer gekrümmten Raumzeit gemessen werden. Recht einfach wird das dagegen in der SRT für eine flache Raumzeit. Wir betrachten das mal für eine Raumdimension. Dann gilt zunächst allgemein

$ds^2 = c^2\,dt^2 -dx^2$

für Nullgeodäten $ds^2=0$ folgt mittels einer binomischen Formel

$ 0 = ds^2 = ( c\,dt + dx)\,( c\,dt - dx)$

D.h. man erhält zwei Lösungen

$dx = \pm c\, dt$

Das ist aber nur die infinitesimale Formulierung von

$x(t) = \pm c\,t$

und bedeutet letztlich nur, dass sich Photonen (allgemein masselose Teilchen) mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.


Derr entscheide Punkt ist die Definition von $ds^2$. Dabei verwendet man eben gerade nicht den normalen Satz des Pythagoras, sondern man hat ein Minuszeichen, das letztlich den Unterschied zwischen zeitartiger und raumartigen Richtungen ausmacht.

Insofern ist aber deine Schlussfolgerung richtig, dass für diesen verallgemeinerten Abstandsbegriff gilt, dass Photonen keinen Weg zurücklegen, und dass für sie entlang ihr Weltlinie keine Eigenzeit vergeht.

 

[Ich]

Insofern ist aber deine Schlussfolgerung richtig, dass für diesen verallgemeinerten Abstandsbegriff gilt, dass Photonen keinen Weg zurücklegen, und dass für sie entlang ihr Weltlinie keine Eigenzeit vergeht.

... wo man dazusagen sollte, dass der "Abstand" entweder der verstrichenen Eigenzeit entspricht (wenn ds²>0) oder dem raumartigen Abstand zweier Ereignisse in dem Bezugssystem, in dem sie gleichzeitig passieren (wenn ds²<0).
ds=0 heißt also wie gesagt, dass zwischen Sende- und Empfangsereignis weder Eigenzeit vergeht noch ein Bezugssystem existiert, in dem sie gleichzeitig passieren.

Hört sich seltsam an, kann man aber verstehen, wenn man in ein seeehr schnell bewegtes Bezugssystem geht: wegen der Zeitdilatation vergeht dort fast keine Zeit zwischen den Ereignissen, und wegen der Längenkontraktion liegt auch fast kein Abstand dazwischen.
Licht selbst hat aber kein Bezugssystem.

 

[Brockhoff]

Danke !
Mit Hilfe der FLRW und einem Modell kann ich Entfernungen im
Friedmann Universum berechnen.
Im Augenblick beschäftigt mich dem Schnittpunkt der Weltlinie mit dem Vergangenheitskegel.
Das ist nämlich der Emissionspunkt. Dort beginnt die Strahlung, die wir heute empfangen.
Das Licht legt aber doch eine bestimmte Strecke zurück. Irgendetwas verstehe ich nicht mit ds^2=0.


Danke
HB

 

[Ich]

Das Licht legt aber doch eine bestimmte Strecke zurück. Irgendetwas verstehe ich nicht mit ds^2=0.

"bestimmte Strecke" = dr, nicht ds. Abstandsmessungen sind prinzipiell vom Bezugssysten bzw. Koordinatensystem abhängig. Mal dir am besten ein paar Raumzeitdiagramme mit zwei solchen Ereignissen auf, in verschiedenen Bezugssystemen (SRT reicht, RW-Metrik ist noch zu komplex). Dann siehst du, dass jedesmal ein anderer Abstand rauskommt.