Neutronensterne: Der Radius von Pulsar PSR J0437-4715

[Rainer]

Aber zwei (oder mehr) gravitierende Objekte können nicht statisch sein, sie müssen sich bewegen (schon bei Newton). Also kann eine statische Metrik keine Lösung sein.

Ich habe aber eine Lösung für eine statische Metrik gelöst. Ob Dir das nützlich erscheint oder nicht, ist kaum maßgeblich.
Jedenfalls kann das Sonnensysstem mit hinreichender Genauigkeit als statisch angesehen werden.

Was hält Du denn von der Wurmlochlösung? KANN es diese denn real geben?

 

[TomS]

Ich habe aber eine Lösung für eine statische Metrik gelöst.

Bisher hast du nur eine Metrik hingeschrieben. Dass sie die Einstein-Gleichungen löst, hast du nicht gezeigt.

 

[Rainer]

Bisher hast du nur eine Metrik hingeschrieben.

Gut, nennen wir es eine Vermutung.

 

[ralfkannenberg]

(...) hatte in der Formel mit 1 - x = y bzw. 1 - y = x nicht in dem sehr kleinen Term ~ 0 sondern in dem ~ 1 um Null entwickelt. Mein Physiklehrer meint "Thomas, wenn sie nicht mal eine einfache Taylor-Näherung anwenden können, dann Physik studieren

Hallo Tom,

es ist noch gar nicht so lange her und da wollte ich auch eine Taylorreihe anwenden (wir Mathematiker machen sowas nun wirklich äusserst selten, wir beweisen da eher). Das war ein "Kampf mit den Elementen" und ein Fehler nach dem anderen und natürlich auch um den falschen Punkt entwickelt - was mir zum Glück aber recht bald auffiel, dass da irgendetwas mit dem Punkt falsch sein müsse. Zudem "roch es zum Himmel", dass das Ergebnis schon der erste Term sein würde und der Rest jedesmal 0 ist, d.h. das Ergebnis war schon klar, aber aber trotzdem waren alle meine Versuche immer irgendwie falsch.

Zum Glück habe ich eine Ehefrau, die theoretische Chemikerin ist und im Gegensatz zu mir auch promoviert hat, und sie hat mir dann die Taylorreihe auswendig richtig aufgeschrieben.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[TomS]

Gut, nennen wir es eine Vermutung.

Das ist doch mal ehrlich.

Wie gesagt, ich kann dir nur empfehlen, dich an Veröffentlichungen zu halten. Selbst wenn du so eine Vermutung formulierst, musst du ewig viel rechnen und bist dankbar, wenn du eine Konvention nutzt, für die einiges schon erledigt ist.

Die nächsten Schritte wären:
- Christoffel-Symbole berechnen
- Riemann-Tensor berechnen
- Ricci- und Einstein-Tensor berechnen
- prüfen, ob letzterer Null ist

Da das sicher nicht der Fall sein wird, eine geeignete Abschätzung des akzeptablen Fehlers durchführen.

 

[Rainer]

Da das sicher nicht der Fall sein wird

Das wäre die interessante Frage.
Es gibt Programme, die dies erledigen, aber ich habe keines.
Mit den Summen wird dies dennoch sicher ein schwieriges Unterfangen.

 

[TomS]

Das wäre die interessante Frage.
Es gibt Programme, die dies erledigen, aber ich habe keines

Wenn du's ordentlich hinschreibst, sieht man evtl. ob's im Ansatz stimmen kann. Also LaTeX.

 

[Rainer]

Wenn du's ordentlich hinschreibst, sieht man evtl. ob's im Ansatz stimmen kann. Also LaTeX.

ds² = -c²dt²σ² + dx²x²/r²σ² +dy²y²/r²σ² +dz²z²/r²σ²

ja das war die erste falsche Lösung, richtig ist die folgende
ds² = -c²dt²σ² + dx²(1+ξ²β²/σ²) + dy²(1+υ²β²/σ²) + dz²(1+ζ²β²/σ²)
Schwarzschildmetrik ohne Kreuzterme, alles in Schwarzschild Koordinatengrößen
ξ = x/r
υ, ζ entsprechend
β² = rs/r
σ² = 1-β²

Die Multikörperlösung summiert über die Terme -2Φₐ/c²=(β²)ₐ bzw gₐ·rₐ→(ξ²β²/σ²)ₐ bzw υ und ζ entsprechend

 

[TomS]

Ds² = -c²dt²σ² + dx²(1+ξ²β²/σ²) + dy²(1+υ²β²/σ²) + dz²(1+ζ²β²/σ²)

Das kann man sicher noch vereinfachen.

Also r² = x² + y² + z²?

Aber dann ist

Schwarzschild ohne Kreuzterme, alles in Schwarzschild Koordinatengrößen

nicht zutreffend, denn du schreibst das Linienelement ja in x,y,z hin, also sind das die Koordinaten, in denen du rechnest.

Hier eine neuere Fassung:

https://www2.mpia-hd.mpg.de/homes/tmueller/pdfs/catalogue_2014-05-21.pdf

Wenn r² = x² + y² + z², dann (2.2.18), aber das enthält Kreuzterme – so ähnlich wie dein voriger Vorschlag.

Wenn (2.2.32) – sieht ebenfalls ähnlich aus – dann ist aber ρ² = x² + y² + z², und ρ ist etwas anderes als r, siehe (2.2.23).

Und last but not least – eigtl. willst du ja auf einen Näherung für mehrere SLs hinaus. Das bricht die Rotationssymmetrie, und deswegen sind die komplizierten isotropen Koordinaten nutzlos.

 

[Rainer]

Also r² = x² + y² + z²?

ja klar

Und last but not least – eigtl. willst du ja auf einen Näherung für mehrere SLs hinaus. Das bricht die Rotationssymmetrie, und deswegen sind die komplizierten isotropen Koordinaten nutzlos.

Das gibt mir die Methode, wie Gravitation in der ART wirkt. Φ sowie g·r sind additiv. g·r muss dabei vektoriell addiert werden, daher die Zerlegung in die x,y,z Komponenten.

 

[TomS]

ja klar

Also tatsächlich Schwarzschild-Koordinaten.

Φ sowie g·r sind additiv.

Was ist g·r? Wo kommt das vor?

… muss dabei vektoriell addiert werden, daher die Zerlegung in die x,y,z Komponenten.

Du musst für die Vektoraddition keine speziellen Koordinaten wählen.

 

[Rainer]

Du musst für die Vektoraddition keine speziellen Koordinaten wählen.

Das ist richtig, weil ich sowieso in x,y,z Koordinaten transferieren muss. Aber für die Addition ist das nicht gerade trivial, wie Du schon daran siehst, dass es bisher keine Lösung ohne Kreuzterme gibt.

 

[TomS]

Aber für die Addition ist das nicht gerade trivial, wie Du schon daran siehst, dass es bisher keine Lösung ohne Kreuzterme gibt.

Doch, siehe die verlinkte 1PN-Näherung für v=0.

 

[Rainer]

1PN-Näherung

Ich strebe keine Näherung an.

Aber Du kannst ja den Vergleich für eine Wunschkonstellation vornehmen.

 

[TomS]

Ich strebe keine Näherung an.

Na ja, mit irgendwas musst du ja starten.

Und wie gesagt, für eine Lösung musst du mehr tun als nur die Metrik postulieren.

 

[Rainer]

Und wie gesagt, für eine Lösung musst du mehr tun als nur die Metrik postulieren.

Sonst hätte ich ja schon die Koffer gepackt.

Aber ich werde sicherlich diese Lösung (ähm Vermutung) an einem Binärsystem ausprobieren, Dreieckskonstellationen berechnen etc.

 

[Rainer]

was man bei unrelativistischen Bewegungen vernachlässigen kann.
Ich könnte versuchen, das zusätzlich einzubauen.

Nein, das wäre uferlos.
Für die "gefühlte" Gravitation ist weder der Ort der Masse in der (eigenen) Gleichzeitigkeitsebene noch der momentan optisch sichtbare Ort maßgeblich, sondern der, an dem sich die Masse befinden würde, wenn sie sich mit unveränderter Relativgeschwindigkeit vom sichtbaren Ort weiter bewegt hätte. Dabei hängt die Zeit von der Entfernung und die Entfernung wieder von der Zeit ab, wenn man das rückrechnen will .... na vlt ist es doch einfacher, nochmal drüber schlafen. Man müsste halt für jeden Raumzeitpunkt berechnen, an welchem Ort und mit welcher Relativgeschwindigkeit jeder andere Massepunkt sichtbar (!) ist.

 

[TomS]

Nein, das wäre uferlos.

Die post-Newtonsche Approximation macht genau das:

Post-Newtonian expansion - Wikipedia

en.wikipedia.org

Parameterized post-Newtonian formalism - Wikipedia

en.wikipedia.org

Für die "gefühlte" Gravitation ist weder der Ort der Masse in der (eigenen) Gleichzeitigkeitsebene noch der momentan optisch sichtbare Ort maßgeblich, sondern der, an dem sich die Masse befinden würde, wenn sie sich mit unveränderter Relativgeschwindigkeit vom sichtbaren Ort weiter bewegt hätte. Dabei hängt die Zeit von der Entfernung und die Entfernung wieder von der Zeit ab, wenn man das rückrechnen will ....

Das entspricht der Idee der retardierten Potentiale

Retarded potential - Wikipedia

en.wikipedia.org

(natürlich für die Gravitation)

 

[Rainer]

Das entspricht der Idee der retardierten Potentiale

ja, das ist dasselbe. Das Problem ist ja beim Vielkörperproblem die Beschreibung für den gesamten Raum aus der Sicht eines Beobachters. Dafür müsste man die Sicht jedes Raumpunktes berechnen und dann in die Sicht des Beobachters übersetzen. Es geht zwar genauso, indem man die Sicht jeder Masse berechnet und diese dann für jeden Raumpunkt überlagert, mal sehen....achso, das Problem ist dann die Relativität der Gleichzeitigkeit, man muss ja ganz unterschiedlich in die Vergangenheit gehen.

Die post-Newtonsche Approximation macht genau das:

Für Berücksichtigung von Bewegungen wird an der Näherung wohl kein Weg vorbeiführen.

 

[TomS]

ja, das ist dasselbe.

Es ist nicht ganz das selbe.

Bei retardierten Potentialen in der Elektrodynamik hast du eine vorgegebene Raumzeit (die kann auch gekrümmt und dynamisch sein) und du berechnest die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen auf dieser Raumzeit ohne Rückwirkung auf dieselbe.

In der ART konstruierst du diesen Effekt in die Raumzeit hinein, es resultieren dynamische Metriken, Gravitationswellen … Das ist schon konzeptionell viel schwieriger.