Modified Gravity - Übersicht und Analyse alternativer Theorien

[Bernhard]

Bezieht sich short distance auf ein Pfadintegral?

Nein. Diese Beschreibung bezieht sich nicht auf Pfadintegrale. Pfadintegrale werden üblicherweise für eine Minkowski-Raumzeit formuliert.

Das zugrundeliegende Konzept der Pfadintegrale sollte sich prinzipiell auch auf diskrete Geometrien übertragen lassen. Aus den Integralen werden dann Summen.

 

[antaris]

Ich habe noch nicht nach der Arbeit von Bianconi gesucht aber wenn ich mich recht erinnere definiert sie eine prä-Geometrie über die Längen der Kanten und daraus den Radius und damit den Umfang des Poincaire Ball ihrer Netzwerk-Mannigfaltigkeit und das nur mit Hilfe von 2 Parameter.

Ich habe das wieder falsch aus der Erinnerung wiedergeben.

Es geht eigentlich um das Verhältnis zwischen Volumen und Oberfläche und ist ebenso in der Arbeit

Wu, Menichetti, Rahmede, Bianconi: Nature Scientific Reports: Emergent Complex Network Geometry

auf Seite 6 beschrieben:

The generated topologies are small-world. In fact they combine high clustering coefficient with a
typical distance between the nodes increasing only logarithmically with the network size. The exponen-
tial growth of the network is to be expected by the observation that in these networks we always have
that the total number of links as well as the number of unsaturated links scale linearly with time. This
corresponds to a physical situation in which the “volume” (total number of links) is proportional to the
“surface” (number of unsaturated links). Therefore we should expect that the typical distance of the nodes
in the network should grow logarithmically with the network size N . In order to check this, in Fig. 4 we
give D, the average distance of the nodes from the initial triangle over the different network realisations
as a function of the network size N . From this figure it is clear that asymptotically in time ∝D logN ,
independently of the value of p and m.

Wenn wir das, mit Hinblick auf zutreffende Beschreibung im realen Universum (ja/nein/vielleicht), analysieren und aufbereiten könnten, wäre ich sehr dankbar.

 

[Bernhard]

Netzwerke müssen nicht zweidimensional sein. Ein Beispiel sind die platonischen Körper. Dort gibt es auch je einen Zusammenhang zwischen Oberfläche und Volumen.

 

[antaris]

Hmm ja, ich denke das ist ds Ziel dieses Ansatz. Denkbar sind auch Graphen mit Dimension d > 3, den "higher order cell complexes".
Folgt daraus dann aber nicht automatisch auch eine Metrik?

 

[Bernhard]

Folgt daraus dann aber nicht automatisch auch eine Metrik?

Das hängt von der Beschreibung des Netzwerks ab. Wenn du nur die Anzahl der Knoten und Ecken angibst folgt daraus noch keine Metrik.

 

[antaris]

Wenn du nur die Anzahl der Knoten und Ecken angibst folgt daraus noch keine Metrik.

Oben hatte ich den Absatz unten auf Seite 6 von "Emergent Complex Network Geometry" zitiert und dort wird klar über "typical distance und average distance between the nodes" geschrieben.

Über die Definition von Pfade und Abstände zwischen Knoten wird in der Review-Arbeit Complex Quantum Networks: a Topical Review auf Seite 19 und 20 aus meiner Sicht detailliert eingegangen:

Global network measures often are extracted from information about the shortest
paths between the nodes of the network. The paths between two nodes are alternating
sequences of nodes and links going from a source node to a target node. The path length
in unweighted networks is typically given to be the number of links traversed by the
path. This leads to the definition of distance between two nodes as the smallest length
of all the paths joining the two nodes. If two nodes are not connected by any path,
the distance between them is by definition infinity. Note that although the distance
between two nodes is uniquely defined, there might be multiple shortest paths between
two nodes. Important global properties of a network are the network diameter given
by the largest distance between any two nodes of the network, and the average shortest
distance, given by the average distance among every distinct pair of nodes in the network.
Naturally, the average shortest distance is equal or smaller than the diameter, where
the equality holds only for fully connected networks, i.e. networks in which all pair of
nodes are linked (at distance 1).
...

In Complex Quantum Network Manifolds in Dimension d > 2 are Scale-Free wird folgende Bedingung definiert, damit überhaupt eine Netzwerk-Mannigfaltigkeit entstehen kann:

Consider a

-dimensional simplicial complex formed by gluing together simplices of dimension

, i.e. a triangle for d = 2, a tetrahedron for d = 3 etc. A necessary requirement for obtaining a discretization of a manifold is that each simplex of dimension

can be glued to another simplex only in such a way that the (d−1)-faces formed by (d−1)-dimensional simplices (links in d = 2, triangles in d = 3, etc.) belong at most to two simplices of dimension

.

Der obige Parameter der die Anzahl der maximalen simplices je "Klebepunkt" (faces) definiert, muss entsprechend m = 2 sein.
Weiter wird im nächsten Absatz die Bedingung definiert, ob eine "face" gesättigt oder ungesättigt ist:

Here we indicate with

the set of all

-faces belonging to the

-dimensional manifold with δ < d. If a (d−1)-face

belongs to two simplices of dimension

we will say that it is “saturated” and we indicate this by an associated variable ξα with value ξα = 0; if it belongs to only one simplicial complex of dimension

we will say that it is “unsaturated” and we will indicate this by setting ξα = 1.

 

[ralfkannenberg]

Results
Metric spaces satisfy the triangular inequality. Therefore in spatial networks we must have that if a node
i connects two nodes (the node j and the node k), these two must be connected by a path of short dis-
tance.
...

Bezieht sich short distance auf ein Pfadintegral?

Hallo Antaris,

die Dreieckungleichung besagt anschaulich, dass wenn Du von einer Strecke "abbiegst", der Weg über die Abbiegung länger wird als der Originalweg.

Wenn Du also nicht von x nach y, sondern erst von x nach z und dann von z nach y gehst, so ist der Weg länger.

Meistens wird die Dreiecksungleichung umgekehrt formuliert, d.h. der direkte Weg von x nach y ist kürzer als der Weg über einen Umwegpunkt z, d.h. die Summe der beiden Wege von x nach z und dann von z nach y. Und zwar für alle z.

"Dreiecksungleichung" deswegen, weil die 3 Punkte x, y und z ein Dreieck bilden.


Wenn Du nun eine Metrik hast, so gilt per definitionem, dass die Dreiecksungleichung gültig ist.

Im Zitat hast Du nun die "nodes" i, j und k (Achtung: das sind in diesem Kontext keine imaginären Einheiten, wie man sie von den Quaternionen her kennt).

Wenn man also nun "irgendwie" einen Längenbegriff zwischen diesen "nodes" definiert und diese sollen den Metrikeigenschaften genügen, dann muss gelten, dass der Weg von j nach i und dann der Weg von i nach k "länger" ist als der "kürzere" Weg ("short distance") von j nach k, der nicht dem Umweg via i nimmt. Und zwar dies für alle i.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

Hallo Ralf,

danke für die Erklärungen.

Da die Pfade auf einer diskreten "Zick-Zack-Linie" an Kanten von Dreiecke bzw. Tetraeder entlang führen, summiert sich die gesamte Distanz zweier Knoten(/nodes/vertices) im Netzwerk über die einzelnen Längen der Kanten(/links/edges), der auf den Pfad dazwischenliegenden Knoten?

 

[ralfkannenberg]

summiert sich die gesamte Distanz zweier Knoten(/nodes/vertices) im Netzwerk über die einzelnen Längen der Kanten(/links/edges), der auf den Pfad dazwischenliegenden Knoten?

Hallo Antaris,

keine Ahnung, ich habe keinerlei Erfahrung mit so etwas. Aber ich habe in der Publikation den Namen Oliver Knill gefunden und ich habe mich schon lange gefragt, was wohl aus meinem damaligen Studienkollegen geworden ist, habe aber nie nach ihm gegooglet.

Ich habe nie daran gezweifelt, dass er eine grosse akademische Karriere hinlegen wird, und offenbar ist er nun als Professor bei der Harvard University angestellt und beschäftigt sich mit der Mathematik solcher Strukturen. - Er ist ein sehr netter Mensch und bei Fragen kannst Du Dich an ihn per email wenden.

Unvergessen, wie wir beide an einem Montag zusammen (wieder einmal ...) beim Oberassistenten antraben mussten, weil wir mit unseren privaten zahlentheoretischen Programmen den UNIX-Rechner am Wochenende zuvor lahmgelegt hatten und die Doktoranden deswegen nicht mehr arbeiten konnten. Die angedrohte Accountsperre wurde aber nie umgesetzt.

Ganz zu Beginn von diesem Seminar hatten wir beide uns an einem Samstag mit dem UNIX-Rechner vertraut gemacht und da dieser abgestürzt war versuchten wir, den irgendwie zu restartieren. Ausschalten nutzte nichts, der lief einfach weiter, und schliesslich kroch er unter den Tisch und zog den Stecker heraus, was natürlich auch nichts nutzte, so dass wir nicht weiterarbeiten konnten und schliesslich wieder nach Hause gingen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

summiert sich die gesamte Distanz zweier Knoten(/nodes/vertices) im Netzwerk über die einzelnen Längen der Kanten(/links/edges), der auf den Pfad dazwischenliegenden Knoten?

Hallo Antaris,

unabhängig Deiner Frage - ich vermute, man kann sie bejahren, aber das "summieren" ist im Allgemeinen nicht die von den reellen Zahlen gewohnte Summierung - sei an Toms Hinweis erinnert:

In der LGQ ist noch nicht mal die Dimension der emergenten Raumzeit vorab definiert, geschweige denn der räumliche Abstand zweier Knoten; dieser Abstand hängt nämlich an einer abstrakten Eigenschaft der Kante, und hat nichts damit zu tun, dass und wie lang man diese auf ein Papier malt.

Man muss also zunächst einmal festlegen, was der Abstand zwischen zwei Knoten bedeuten soll. Und dieser Abstand muss dann die Definition einer Metrik erfüllen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

Hallo Ralf,

Ich habe nie daran gezweifelt, dass er eine grosse akademische Karriere hinlegen wird, und offenbar ist er nun als Professor bei der Harvard University angestellt und beschäftigt sich mit der Mathematik solcher Strukturen. - Er ist ein sehr netter Mensch und bei Fragen kannst Du Dich an ihn per email wenden.

schon interessant, wie sich die Kreise manchmal schließen.
Danke für den Hinweis aber ich glaube dann schreibe ich wirklich Bianconi mal an.

Man muss also zunächst einmal festlegen, was der Abstand zwischen zwei Knoten bedeuten soll. Und dieser Abstand muss dann die Definition einer Metrik erfüllen.

In #122 hatte ich einen Absatz zitiert und m.E. geht daraus hervor, was mit Längen und Abstände gemeint ist.

...the total number of links as well as the number of unsaturated links scale linearly with time. This corresponds to a physical situation in which the “volume” (total number of links) is proportional to the “surface” (number of unsaturated links)

Wenn das Volumen bzw. die Oberfläche einzig von der Anzahl der links (ersteres also alle) und letzteres nur von der Anzahl der ungesättigten links abhängt, so muss der Abstand zwischen 2 benachbarte links immer 1 sein. Ich glaube der Abstand ist hier dimensionslos definiert. Dieser müsste erst auf eine Längeneinhheit skaliert, also mit einer realen Länge, wie z.B. die Planck-Länge, multipliziert werden.
Wenn das Volumen und die Oberfläche nur durch abzählen aller bzw. der ungesättigten links ermittelt werden kann, so handelt es sich um mikrozustände aus denen ganz einfach die Entropie bestimmt werden kann?

Ich denke es geht hier vor allem darum zu zeigen, dass sich das Netzwerk überhaupt in Dimensionen d>2 ausdehnt und dass es möglich ist skalenfreie Netzwerke -> Netzwerk-Mannigfaltigkeiten zu erzeugen und darauf die Möglichkeit zu haben Quuantenstatistiken zu definieren. Das klingt nach einer Basis für ein viel größeres und zusammenhängenderes Weltbild -> genau das, was mich so daran fasziniert.

Das Ziel Bianconi's ist m.E. ja gerade nicht, dass das Netzwerk selbst die Raumzeit ist und entsprechend eine Metrik stellt, siehe:

Diese Beschreibung ist mir zu ungenau. Es sollte anstelle von "emergent" besser mit den beiden Metriken argumentiert werden, die Bianconi verwendet. Zum einen die herkömmliche, riemannsche Metrik der ART und zusätzlich ein G, welches aus den Materiefeldern ( abgeleitet wird. Die Materiefelder werden netzwerktheoretisch [das hier diskutierte Netzwerk] beschrieben. Der Zusammenhang zwischen g und G wird über einen mathematischen Lagrange-Formalismus formuliert.

In den neuen Arbeiten zur quantenrelativen Entropie usw. nutzt sie die Netzwerk-Wachstumsmodelle gar nicht. Sie setzt dort nur ein statisches, topologisches, schon vorhandenes Netzwerk aus simplicial und cell complexes, sowie darauf definierten topologischen Dirac-Operator voraus und schreibt explizit, dass die Variation der Topologie, also die makroskopische Dynamik/Evolution aus dem Netzwerk in zukünftige Arbeiten behandelt wird.

 

[antaris]

Danke für den Hinweis aber ich glaube dann schreibe ich wirklich Bianconi mal an.

Oliver Knill: GEODESICS FOR DISCRETE MANIFOLDS (2025)

Das ist sehr technisch aber das "Hilfswerkzeug" meint: "In den Definitionen benutzt er nur Simplices & Inzidenzen; keine Einbettungskoordinaten – exakt die Vorgabe von Bianconi für ein koordinatenfreies G-Feld".

Klingt spannend.

 

[ralfkannenberg]

Wenn das Volumen bzw. die Oberfläche einzig von der Anzahl der links (ersteres also alle) und letzteres nur von der Anzahl der ungesättigten links abhängt, so muss der Abstand zwischen 2 benachbarte links immer 1 sein.

Hallo Antaris,

vielleicht stimmt das; bestätigen möchte ich das aber mangels Verständnis der Situation nicht. Mit "curvature" ist übrigens die Krümmung gemeint, und diese wird in Gleichung (4) festgelegt.

Ich selber verstehe schon die drei ersten Gleichungen nicht und habe leider auch keine Zeit, mich damit zu beschäftigen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Bernhard]

In den neuen Arbeiten zur quantenrelativen Entropie usw. nutzt sie die Netzwerk-Wachstumsmodelle gar nicht. Sie setzt dort nur ein statisches, topologisches, schon vorhandenes Netzwerk aus simplicial und cell complexes, sowie darauf definierten topologischen Dirac-Operator voraus und schreibt explizit, dass die Variation der Topologie, also die makroskopische Dynamik/Evolution aus dem Netzwerk in zukünftige Arbeiten behandelt wird.

Die interessierende Frage nach der Emergenz physikalischer Phänomene wird in den verlinkten Arbeiten mMn nur recht vage und allgemein beschrieben, abgesehen vom Bianconi-Barabasi-Modell.

Dagegen überträgt Bianconi viele mathematisch physikalische Strukturen (unter anderem auch Pfadintegrale) auf Netzwerke.

 

[TomS]

Exakt diese Bedingung

Consider a d-dimensional simplicial complex formed by gluing together simplices of dimension d, i.e. a triangle for d = 2, a tetrahedron for d = 3 etc. A necessary requirement for obtaining a discretization of a manifold is that each simplex of dimension d can be glued to another simplex only in such a way that the (d−1)-faces formed by (d−1)-dimensional simplices (links in d = 2, triangles in d = 3, etc.) belong at most to two simplices of dimension d.

hatte ich oben im Kontext der LQG * angesprochen. Der rote Graph ist dual zu der blauen Triangulation

Dual graph - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Das ist aber der weniger spannende Fall, denn hier geht man zunächst von einer Fläche aus, zerlegt sie in Dreiecke und konstruiert dazu den dualen Graphen. Die Geometrie – hier die weiße Fläche – ist nicht emergent.

Von emergent würde man sprechen, wenn der Ausgangspunkt der rote Graph wäre. In diesem Fall ist die Formulierung der notwendigen Bedingung, dass eine zulässige Blaue Triangulierung vorliegt, jedoch keineswegs trivial. Noch schwieriger wird das ganze dadurch, dass der Graph ja dynamisch wächst, d.h. dass neue rote Knoten entstehen, die dann zu neuen blauen Dreiecken führen würden. Baut man in diesen Wachstumsprozess eine Regel ein – wie auch immer die aussehen mag – so dass die o.g. notwendige Bedingung erfüllt bleibt, so würde zwar eine spezielle Geometrie aus dem Wachstum resultieren, dass jedoch überhaupt eine Geometrie – bzw. deren Triangulierung – resultiert, hat man über die Regel schon fest eingebaut. Auch hier wäre Geometrie an sich nicht emergent.

In der CDT ** betrachtet man nicht Graphen sondern immer nur die Triangulierung. In der LQG * hat man verschiedene Möglichkeiten zur Auswahl, wie das dynamische Wachstum des Graphen = des Spin-Netwerkes – erfolgen soll.

Der spannende Fall ist derjenige, in dem die o.g. notwendigen Bedingung nicht eingebaut wird. Man sieht das leicht, wenn man ein paar neue rote Ecken zu dem Graphen hinzufügt; Schnittpunkte verschiedener neuer Ecken entsprechen dann jedoch nicht neuen Ecken. Als Konsequenz ist der Graph nicht mehr im zwei Dimensionen einsetzbar, und er entspricht auch nicht unbedingt einer mehrdimensionalen Triangulierung – also z.B. 3-dim. Tetraedern. Nicht zuletzt hindert einen niemand daran, nicht-lokale Kanten einzubauen, da die erst die emergente Geometrie über einen Abstand entscheiden würde; als Konsequenz hat der Graph nicht unmittelbar eine Dimension.

Zur Dimension eines Graphen gibt es diverse Ansätze:

Dimension (graph theory) - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Spectral dimension - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Der letzte Ansatz folgt daraus, die Diffusion bzw. einen Random Walk auf einem Graphen zu betrachten. Für die Diffusionsgleichung auf einer d-dim. Mannigfaltigkeit hängen die Lösungen von d ab. Auf einem gegebenen Graphen zunächst ohne irgendein d betrachtet man die Diffusion bzw. den Random Walk und berechnet daraus dieses d.

Das interessante ist, dass d weder ganzzahlig noch überall auf dem Graphen identisch sein muss, sondern lokal variieren kann. Z.B. könnte dies bedeuten, dass unser Universum nicht 3-dim. ist, sondern nur in sehr guter Näherung 3-dim., weil die o.g. notwendige Bedingung, dass der Graph einer 3-dim. Triangulation entspricht, minimal verletzt ist.

Und nicht zuletzt kann d auch zeitlich variieren. Tatsächlich deuten einige Überlegungen darauf hin, dass sich die Dimension der Raumzeit nahe an Singularitäten reduziert.

Man beachte, dass all dies nicht von Beginn an und händisch in die Theorie eingebaut wird, sondern daraus resultiert – also echte Emergenz.

Die o.g. Überlegungen sind deutlich älter als die Bianconis, sie bewegt sich also nicht auf absolutem Neuland. Ich suche bei Gelegenheit mal ein paar Arbeiten heraus.

*

Loop quantum gravity - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

**

Causal dynamical triangulation - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

 

[Bernhard]

In der CDT

Schon wieder CDT. Wenn nicht CFT gemeint ist, kann ich das nicht zuordnen.

Tatsächlich deuten einige Überlegungen darauf hin, dass sich die Dimension der Raumzeit nahe an Singularitäten reduziert.

Interessant

Ich suche bei Gelegenheit mal ein paar Arbeiten heraus.

Das würde gut zum Thema passen.

 

[TomS]

Schon wieder CDT. Wenn nicht CFT gemeint ist, kann ich das nicht zuordnen.

Hab's oben ergänzt.

 

[antaris]

Exakt diese Bedingung

hatte ich oben im Kontext der LQG * angesprochen. Der rote Graph ist dual zu der blauen Triangulation

Dual graph - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Das ist aber der weniger spannende Fall, denn hier geht man zunächst von einer Fläche aus, zerlegt sie in Dreiecke und konstruiert dazu den dualen Graphen. Die Geometrie – hier die weiße Fläche – ist nicht emergent.

Von emergent würde man sprechen, wenn der Ausgangspunkt der rote Graph wäre. In diesem Fall ist die Formulierung der notwendigen Bedingung, dass eine zulässige Blaue Triangulierung vorliegt, jedoch keineswegs trivial. Noch schwieriger wird das ganze dadurch, dass der Graph ja dynamisch wächst, d.h. dass neue rote Knoten entstehen, die dann zu neuen blauen Dreiecken führen würden. Baut man in diesen Wachstumsprozess eine Regel ein

– wie auch immer die aussehen mag –

Bianconi verwendet 2 Wachstumsmodelle. Das eine (GGN, siehe unten) hatte ich oben schon mal mit dem initialen Dreieck angesprochen und ist, wie ich nun verstanden habe, ein älteres Modell welches nur bis d = 2 durchdacht ist, insgesamt 2 Parameter benötigt aber auch in höhere Dimensionen erweitert werden könnte (hat sie aber offenbar nicht vor). Binconi scheint bei diesem Modell einen Abbruch durchgeführt zu haben, denn in anderen Arbeiten bezieht sie sich af das NGF-Wachstumsmodell. Dieses funktioniert in beliebigen Dimensionen, führt auf eine hyperbolische Geometrie und kommt mit nur einem Parameter aus.

Beide Modelle können auf ein CQNM (Complex Quantum Network Manifolds) führen.

NGF - Nework Geometry with Flavor (initial ein 3-Simplex -> Tetraeder bei d = 3)
Der sogenannte "Flavor"-Parameter s kann mit den Werten -1, 0 oder 1 eingestellt werden und steuert die Wahrscheinlichkeit ob/wo ein eues simplices angeklebt wird. Bianconi geht nicht in eine spezifische Richtung, sondern zeigt in ihren Arbeiten die Möglichkeiten auf. Einzig bei der Wahl s = -1 entsteht aber ein hyperbolisches Netzwerk und trotz Stochastik wird sichergestellt, dass oben zitierte notwendige Bedingung erfüllt wird.

In: Complex Quantum Networks: a Topical Review

„An interesting property of NGFs is that although their growth obeys a purely combinatorial rule, the NGFs display an emergent hyperbolic geometry (obeying
Gromov δ-hyperbolicity condition for any value of the flavor s [325]).“

In: The spectral dimension of simplicial complexes: a renormalization group theory

„At each time t>1 a (d−1)-face α is chosen with probability

where

is the partition function. [...] the incidence number can change with time.“

Das Ziel ist die Beschreibung einer emergenten hyperbolischen Geometrien aus einem rein kombinatorischen und stochastischen Wachstumsprozess.

In: Complex Quantum Networks: a Topical Review

„Network Geometry with Flavor (NGF) describe emergent hyperbolic geometries. [...] NGFs display an emergent hyperbolic geometry emerging from a fully stochastic dynamics that makes no reference to their underlying geometry.“

GGN - Geometrical Growing Network (initial ein 2-Simplex -> Dreieck bei d = 2)

Wachstumsprozess durch sukzessives Anfügen neuer Dreiecke an „ungesättigte“ Kanten. Dafür werden 2 parameter benötigt:

• m: Maximalzahl der Dreiecke, die an einer Kante (Link) hängen dürfen.
• p: Wahrscheinlichkeit, zusätzlich Querkanten einzufügen und somit komplexere (nicht zwingend planare) Strukturen und Communities zu generieren

In: Emergent Complex Network Geometry

„We distinguish between two cases: the case in which a link can belong to an arbitrarily large number of triangles (m = ∞), and the case in which each link can belong at most to a finite number m of triangles.“

„Process (b) – With probability p we add a single link between two nodes at hopping distance 2, and we add all the triangles that this link closes, without adding more than m triangles to each link.“

Ich denke es ist offensichtlich, dass das NGF-Wachstumsmodell zu bevorzugen ist, denn es ist auf beliebige Dimensionen d > 2 anwendbar, erzeugt bei richtiger Parametrisiierung (s = -1) eine hyperbolische Netzwerk-Mannigfaltigkeit, welches eben genau die notwendige Voraussetzung erfüllt und das einzig mit kombinatorischer Stochastik.

Ich glaube das GGN Modell ist aus ihrer Forschung zu den "normalen" Netzwerken entstanden und das NGF-Modell als Erweiterung auf hochkomplexe Räume und Quantengravitation

 

[antaris]

so dass die o.g. notwendige Bedingung erfüllt bleibt, so würde zwar eine spezielle Geometrie aus dem Wachstum resultieren, dass jedoch überhaupt eine Geometrie – bzw. deren Triangulierung – resultiert, hat man über die Regel schon fest eingebaut. Auch hier wäre Geometrie an sich nicht emergent.

In der CDT ** betrachtet man nicht Graphen sondern immer nur die Triangulierung. In der LQG * hat man verschiedene Möglichkeiten zur Auswahl, wie das dynamische Wachstum des Graphen = des Spin-Netwerkes – erfolgen soll.
Der spannende Fall ist derjenige, in dem die o.g. notwendigen Bedingung nicht eingebaut wird. Man sieht das leicht, wenn man ein paar neue rote Ecken zu dem Graphen hinzufügt; Schnittpunkte verschiedener neuer Ecken entsprechen dann jedoch nicht neuen Ecken. Als Konsequenz ist der Graph nicht mehr im zwei Dimensionen einsetzbar, und er entspricht auch nicht unbedingt einer mehrdimensionalen Triangulierung – also z.B. 3-dim. Tetraedern.

Die oben zitierte Gleichung verstehe ich nicht ganz aber du kannst sicher besser einschätzen ob Bianconi damit hält, was sie verspricht.

Nicht zuletzt hindert einen niemand daran, nicht-lokale Kanten einzubauen, da die erst die emergente Geometrie über einen Abstand entscheiden würde; als Konsequenz hat der Graph nicht unmittelbar eine Dimension.

Bianconi diskutiert explizit Modelle (z.B. NGF), die eine klare Dimensionsdefinition trotz stochastischer Konstruktion und scheinbarer Nichtlokalität haben, und zeigt, dass sich dabei die Spektraldimension emergent definiert:

In: The spectral dimension of simplicial complexes: a renormalization group theory
"The spectral dimension is a concept that extends the notion of dimension for a lattice. [...] Interestingly, the notion of spectral dimension is used widely in quantum gravity to compare different models of quantum space-time in search for their universal properties."

Zur Dimension eines Graphen gibt es diverse Ansätze:

Dimension (graph theory) - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Spectral dimension - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Der letzte Ansatz folgt daraus, die Diffusion bzw. einen Random Walk auf einem Graphen zu betrachten. Für die Diffusionsgleichung auf einer d-dim. Mannigfaltigkeit hängen die Lösungen von d ab. Auf einem gegebenen Graphen zunächst ohne irgendein d betrachtet man die Diffusion bzw. den Random Walk und berechnet daraus dieses d.

Das ist wirklich spannend, da Bianconi darauf ganz konkret eingeht.

Das Netzwerk (CQNM) hat eine toplogische Dimension, z.B. d = 3 aber die Spektraldimension

stellt ein effektives Maß der Dimension dar.
Bei einer topologischen Dimension d = 3 des diskreten Netzwerks ist die Spektraldimension höher.

„Specifically we see that planar Apollonian networks (in d=3) have a spectral dimension

....“

Siehe auch: The spectral dimension of simplicial complexes: a renormalization group theory

Das interessante ist, dass d weder ganzzahlig noch überall auf dem Graphen identisch sein muss, sondern lokal variieren kann. Z.B. könnte dies bedeuten, dass unser Universum nicht 3-dim. ist, sondern nur in sehr guter Näherung 3-dim., weil die o.g. notwendige Bedingung, dass der Graph einer 3-dim. Triangulation entspricht, minimal verletzt ist.

Und nicht zuletzt kann d auch zeitlich variieren. Tatsächlich deuten einige Überlegungen darauf hin, dass sich die Dimension der Raumzeit nahe an Singularitäten reduziert.

In Complex Quantum Networks: a Topical Review wird ebenfalls auf Variation eingegangen aber da ist

Skalenabhängig. Soweit ich es überblicken kann, wird dazu aber nichts nachgerechnet.

„Interestingly the characterization of the spectral dimension of discrete spacetimes emerging from different quantum gravity models has been recently considered important to classify quantum gravity approaches [...] the fractal dimensionality of spacetime and the scale-dependent spectral dimension.“

Man beachte, dass all dies nicht von Beginn an und händisch in die Theorie eingebaut wird, sondern daraus resultiert – also echte Emergenz.

Die o.g. Überlegungen sind deutlich älter als die Bianconis, sie bewegt sich also nicht auf absolutem Neuland. Ich suche bei Gelegenheit mal ein paar Arbeiten heraus.

*

Loop quantum gravity - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

**

Causal dynamical triangulation - Wikipedia

en.m.wikipedia.org

Wie du ja schon erwähnt hast, sind die Modelle artverwandt aber es spricht m.E. für den Grundgedanken...eine informationsbasierte und netzwerktheoretische Beschreibung des Universums.


Letztlich ist folgendes m.E. etwas neues oder gab es das auch schon vorher?

In: Complex Quantum Networks: a Topical Review

"Quantum statistics emerge spontaneously from a non-equilibrium network evolution. [...] Networks mapped to a Bose gas can undergo a topological phase transition called the Bose-Einstein condensation in complex networks, in correspondence to the Bose-Einstein condensation of the Bose gas."

 

[antaris]

In Complex Quantum Networks: a Topical Review wird ebenfalls auf Variation eingegangen aber da ist

Skalenabhängig. Soweit ich es überblicken kann, wird dazu aber nichts nachgerechnet.

Sie zeigt aber in The spectral dimension of simplicial complexes: a renormalization group theory

„It follows that for small-world networks, having infinite Hausdorff dimension

, it is only possible to have finite spectral dimension greater or equal than two, i.e.

.

Die Spektraldimension kann also nicht kleiner als 2 sein und dennoch formuliert sie es nicht im selben Rahmen wie die LQG.
Ist damit nicht automatisch "asymptotic safe gravity" enthalten?




Hier ist vom "Dirac-Bianconi-Operator" die Rede: Higher-order interactions and the future of network science (Institute of Science Tokyo, 2025)