Rainer
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Ich möchte ein möglichst einfaches Szenario untersuchen, das den Urknall und die Inflation modelliert, und sodann nahtlos an die bekannte Kosmologie anschließt. Dabei beschränke ich mich auf die mathematische Darstellung, die reale Physik mag dann bestimmte Rahmenbedingungen setzen, die ggf zu berücksichtigen wären, falls dies jemals experimenteller Beobachtung zugänglich wäre.
Wie schon in ein paar Posts erwähnt, stelle ich mir den Urknall als positiv gekrümmte Sphäre S³ in einem Einbettungsraum ℝ⁴ vor, egal ob diese geometrische Konstruktion nun fiktiv mathematisch oder real physikalisch ist. Dies entspricht der Vorstellung bei der Ewigen Inflation, wo ein ewig inflationär expandierendes Universum jederzeit irgendwo ein Babyuniversum hervorbringt, wo das falsche Vakuum beginnt, zu echtem Vakuum zu zerfallen und die Inflation dort dann gebremst wird. Ich beschränke mich allerdings auf ein einziges Universum, mit einem echten Urknall, bei dem ich als Anfangswerte (Index o) annehme: (3 Postulate)
Krümmungsradius Ro = rP
Hubble Parameter Ho = 0 1/s
Strahlung ρr = 0 kg/m³
also
Krümmung Ko = 1/Ro² = 1/rP²
Aus der 1. Friedmanngleichung ergibt sich sodann unmittelbar
Ho² = 0 = c²Λo/3-c²Ko
Λo = 3Ko = 3/rP² = 1,14842e+70 1/m²
Ω = ΩΛ/1
Unmittelbar nach dem Urknall haben wir also eine S³ mit Krümmungsradius Ro = rP ohne jede reelle Energie, sondern nur mit Vakuum hoher Dichte, also de Sitter Space.
ρΛo = κ·Λo = 6,1531472e+95 kg/m³
Skalenfaktor ao = Ro/R° > 3e-63 nach heutiger Messgenauigkeit mit Ωk ≈ 0,0007
ȧo = Ho·ao = 0
Der Hubble Radius beträgt zwar
rH = c/H → ∞
Ωo ~ 1/H → ∞
Ωk = 1-Ω → -∞
doch der gesamte Raum der S³ hat lediglich einen Radius von
r = π·R = π·tP
also mit Rundumblick, wenn er nicht sofort beginnen würde, dramatisch zu expandieren.
Nach der 2. Friedmanngleichung ergibt sich jedoch eine hohe Beschleunigung was eine exponentielle Expansion bewirkt
ä/a = Ḣ+H² = c²Λ/3 = 1/tP² = 3.44e+86 1/s²
a = ao·exp.(H·τ)
ȧ = ao·sinh.(τ/tP)/tP
ä = ao·cosh.(τ/tP)/tP²
H = ȧ/a = tanh.(τ/tP)/tP
Ḣ = sech².(τ/tP)/tP²
Diese strebt asymptotisch einem Maximalwert zu
H°° = ²(Λo/3)c = 1/tP
der bereits nach einer kurzen Zeit zu 99,9% erreicht wird
H/H°° = 0,999 = tanh.(τ/tP)
τ = atanh.(0,999)tP = 3,8 tP
Der Krümmungsradius R beträgt zu diesem Zeitpunkt
R = a·Ro/ao = Ro·exp.(H·τ) wobei allerdings H nicht konstant ist, man kann vereinfachend vom halben Wert H(τ) ausgehen.
H(τ) = tanh.(3,8)/tP = 0,999/tP
H(τ)/2 = 0,5/tP
R(τ) = Ro·exp.(H·τ) = Ro·exp.(0,5·3,8) = 6,7rP
Der Radius der S³ beträgt somit
r(τ) = π·R = 6,7π·rP = 21 rP
und der Radius der Hubblesphäre
rH = c/H = 0,5rP
Mehr folgt demnächst, ich hoffe es gibt keinen Tippfehler oder gar logischen Fehler.
Wie schon in ein paar Posts erwähnt, stelle ich mir den Urknall als positiv gekrümmte Sphäre S³ in einem Einbettungsraum ℝ⁴ vor, egal ob diese geometrische Konstruktion nun fiktiv mathematisch oder real physikalisch ist. Dies entspricht der Vorstellung bei der Ewigen Inflation, wo ein ewig inflationär expandierendes Universum jederzeit irgendwo ein Babyuniversum hervorbringt, wo das falsche Vakuum beginnt, zu echtem Vakuum zu zerfallen und die Inflation dort dann gebremst wird. Ich beschränke mich allerdings auf ein einziges Universum, mit einem echten Urknall, bei dem ich als Anfangswerte (Index o) annehme: (3 Postulate)
Krümmungsradius Ro = rP
Hubble Parameter Ho = 0 1/s
Strahlung ρr = 0 kg/m³
also
Krümmung Ko = 1/Ro² = 1/rP²
Aus der 1. Friedmanngleichung ergibt sich sodann unmittelbar
Ho² = 0 = c²Λo/3-c²Ko
Λo = 3Ko = 3/rP² = 1,14842e+70 1/m²
Ω = ΩΛ/1
Unmittelbar nach dem Urknall haben wir also eine S³ mit Krümmungsradius Ro = rP ohne jede reelle Energie, sondern nur mit Vakuum hoher Dichte, also de Sitter Space.
ρΛo = κ·Λo = 6,1531472e+95 kg/m³
Skalenfaktor ao = Ro/R° > 3e-63 nach heutiger Messgenauigkeit mit Ωk ≈ 0,0007
ȧo = Ho·ao = 0
Der Hubble Radius beträgt zwar
rH = c/H → ∞
Ωo ~ 1/H → ∞
Ωk = 1-Ω → -∞
doch der gesamte Raum der S³ hat lediglich einen Radius von
r = π·R = π·tP
also mit Rundumblick, wenn er nicht sofort beginnen würde, dramatisch zu expandieren.
Nach der 2. Friedmanngleichung ergibt sich jedoch eine hohe Beschleunigung was eine exponentielle Expansion bewirkt
ä/a = Ḣ+H² = c²Λ/3 = 1/tP² = 3.44e+86 1/s²
a = ao·exp.(H·τ)
ȧ = ao·sinh.(τ/tP)/tP
ä = ao·cosh.(τ/tP)/tP²
H = ȧ/a = tanh.(τ/tP)/tP
Ḣ = sech².(τ/tP)/tP²
Diese strebt asymptotisch einem Maximalwert zu
H°° = ²(Λo/3)c = 1/tP
der bereits nach einer kurzen Zeit zu 99,9% erreicht wird
H/H°° = 0,999 = tanh.(τ/tP)
τ = atanh.(0,999)tP = 3,8 tP
Der Krümmungsradius R beträgt zu diesem Zeitpunkt
R = a·Ro/ao = Ro·exp.(H·τ) wobei allerdings H nicht konstant ist, man kann vereinfachend vom halben Wert H(τ) ausgehen.
H(τ) = tanh.(3,8)/tP = 0,999/tP
H(τ)/2 = 0,5/tP
R(τ) = Ro·exp.(H·τ) = Ro·exp.(0,5·3,8) = 6,7rP
Der Radius der S³ beträgt somit
r(τ) = π·R = 6,7π·rP = 21 rP
und der Radius der Hubblesphäre
rH = c/H = 0,5rP
Mehr folgt demnächst, ich hoffe es gibt keinen Tippfehler oder gar logischen Fehler.