Rainer
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Im Zentrum heben sich die Kräfte auf. Die Uhren gehen dennoch langsamer. Das wäre aber ein tiefes Bohrloch.
Da die Schwere zunächst zunimmt, wäre die Unterscheidung bis zum halben Erdradius schwierig:
Lichtgeschwindigkeit messen
- Ersteller SRMeister
- Erstellt am
Da die Schwere zunächst zunimmt, wäre die Unterscheidung bis zum halben Erdradius schwierig:
Nun die Fallgeschwindigkeit von der Oberfläche bis zur Uhr läßt sich messen und herausrechnen. Aber stimmt, es sollte sich gegenüber dem Fall in die Kugel innerhalb der Kugel nichts mehr ändern und von daher ist das überflüssig.
Rainer
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Selbst am Mond könnte man das nicht ausprobieren
www.scinexx.de
Von wegen kalt und tot: Der Mond ist in seinem Inneren doch noch heiß. Die Gesteinsschicht direkt über seinem Kern ist wahrscheinlich sogar geschmolzen, wie ein internationales Forscherteam herausfand. Ursache für diese Hitzezone ist die Erde: Ihre Gezeitenkraft liefert die Energie, um das Mondinnere aufzuheizen,
Der Mond ist doch heiß
Von wegen kalt und tot: Der Mond ist in seinem Inneren doch noch heiß. Die Gesteinsschicht direkt über seinem Kern ist wahrscheinlich sogar geschmolzen,
www.scinexx.de
SRMeister
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Hallo Rainer,
ja das war mir schon bewusst, siehe meine frühere Anmerkung:
Wenn ich mich richtig erinnere, gibt es in der ART auch zwei "Variablen" für die Gravitation: Eine davon verschwindet ebenfalls im Zentrum, die andere "summiert" (integriert?) sich bis zum Zentrum. Aber das weist du bestimmt genauer
TomS
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Es gibt keine Zeitdilatation für einen Punkt.
Der Begriff Zeitdilatation ist in der ART ohnehin irreführend. In der SRT bezeichnet er den momentanen wechselweisen Gangunterschied zweier Uhren; also der eine Beobachter schreibt dem jeweils anderen Beobachter einen verlangsamten Zeitverlauf zu; der Effekt ist symmetrisch.
In der ART könnte man dies auch für zwei voneinander entfernte Beobachter versuchen, allerdings kann man diesen i.A. keine eindeutig definierte Relativgeschwindigkeit zuordnen. Diese Übertragung von SRT nach ART funktioniert also nicht. Vergleicht man einfach Zeitkoordinaten, also z.B. die Zeiten t1 und t2 eines Beobachter bei Radius R1 und die eines zweiten Beobachters bei Radius R2 in der Schwarzschildmetrik, so sind dies zunächst nur Koordinaten - also bar jeder physikalischen Bedeutung.
Man benötigt den Vergleich von Eigenzeiten
Diese berechnet man nun für stationäre Beobachter in der Schwarzschildmetrik
wobei ich verwendet habe, dass die Orte und damit die räumlichen Koordinaten (r, theta, phi) fest bleiben; i, o steht für "inner" und "outer", d.h. Innen- sowie Außenraum-Lösung; siehe:
de.wikipedia.org
Die Funktion f entspricht dabei der jeweiligen 00-Komponente der Metrik.
Die beiden Lösungen gehen am Schwarzschild-Radius stetig differenzierbar ineinander über. Die Koordinate t entspricht der Eigenzeit eines (hypothetischen) stationären Beobachters im Unendlichen.
Statt einer realen Reise des einen zum anderen Beobachter mit jeweils lokalen Uhrenvergleich bleiben beide Beobachter stationär. Wir schicken die Uhr U2 des Beobachters 2 zu einem Zeitpunkt t=0 vom Beobachter 1 zu 2 auf die Reise; zum Startzeitpunkt nullen wir die Uhr. Die Reise verläuft (fast) mit Lichtgeschwindigkeit, d.h. auf der Uhr vergeht (fast) keine Zeit (oder wir sparen uns die Reise der Uhr und übertragen die Zeiten per Lichtsignal). Für den Rückreise gehen wir genauso vor.
Damit können wir die Eigenzeiten entlang der so definierten Abschnitte der Weltlinien beider Beobachter vergleichen.
Bei der Quotientenbildung fällt die künstlich eingeführte Zeitkoordinate t bzw. T heraus; wir erhalten den messbaren Gangunterschied zweier Uhren an zwei verschiedenen Orten. Man setzt die Lösungen aus dem wiki-Artikel ein - fertig.
Das funktioniert auch, wenn sich beide Beobachter im Innen- oder beide im Außenraum befuinden.
Es funktioniert ebenfalls für beliebig bewegte Beobachter; einfach lösbar ist dabei der Spezialfall konstanter Radien und zusätzlich konstanter Winkelgeschwindigkeiten.
Der Begriff Zeitdilatation ist in der ART ohnehin irreführend. In der SRT bezeichnet er den momentanen wechselweisen Gangunterschied zweier Uhren; also der eine Beobachter schreibt dem jeweils anderen Beobachter einen verlangsamten Zeitverlauf zu; der Effekt ist symmetrisch.
In der ART könnte man dies auch für zwei voneinander entfernte Beobachter versuchen, allerdings kann man diesen i.A. keine eindeutig definierte Relativgeschwindigkeit zuordnen. Diese Übertragung von SRT nach ART funktioniert also nicht. Vergleicht man einfach Zeitkoordinaten, also z.B. die Zeiten t1 und t2 eines Beobachter bei Radius R1 und die eines zweiten Beobachters bei Radius R2 in der Schwarzschildmetrik, so sind dies zunächst nur Koordinaten - also bar jeder physikalischen Bedeutung.
Man benötigt den Vergleich von Eigenzeiten
Diese berechnet man nun für stationäre Beobachter in der Schwarzschildmetrik
wobei ich verwendet habe, dass die Orte und damit die räumlichen Koordinaten (r, theta, phi) fest bleiben; i, o steht für "inner" und "outer", d.h. Innen- sowie Außenraum-Lösung; siehe:
Schwarzschild-Metrik – Wikipedia
Die Funktion f entspricht dabei der jeweiligen 00-Komponente der Metrik.
Die beiden Lösungen gehen am Schwarzschild-Radius stetig differenzierbar ineinander über. Die Koordinate t entspricht der Eigenzeit eines (hypothetischen) stationären Beobachters im Unendlichen.
Statt einer realen Reise des einen zum anderen Beobachter mit jeweils lokalen Uhrenvergleich bleiben beide Beobachter stationär. Wir schicken die Uhr U2 des Beobachters 2 zu einem Zeitpunkt t=0 vom Beobachter 1 zu 2 auf die Reise; zum Startzeitpunkt nullen wir die Uhr. Die Reise verläuft (fast) mit Lichtgeschwindigkeit, d.h. auf der Uhr vergeht (fast) keine Zeit (oder wir sparen uns die Reise der Uhr und übertragen die Zeiten per Lichtsignal). Für den Rückreise gehen wir genauso vor.
Damit können wir die Eigenzeiten entlang der so definierten Abschnitte der Weltlinien beider Beobachter vergleichen.
Bei der Quotientenbildung fällt die künstlich eingeführte Zeitkoordinate t bzw. T heraus; wir erhalten den messbaren Gangunterschied zweier Uhren an zwei verschiedenen Orten. Man setzt die Lösungen aus dem wiki-Artikel ein - fertig.
Das funktioniert auch, wenn sich beide Beobachter im Innen- oder beide im Außenraum befuinden.
Es funktioniert ebenfalls für beliebig bewegte Beobachter; einfach lösbar ist dabei der Spezialfall konstanter Radien und zusätzlich konstanter Winkelgeschwindigkeiten.
Dazu müsste man die Lösung der ART für die Hohlkugel konstruieren.
Das verstehe ich nicht. Siehe der Wiki-Artikel.
Rainer
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Im Prinzip richtig. Bleiben wir bei der Hohlkugel. Hier ist es eben so, dass jeder Punkt im Innenraum das gleiche Potential aufweist, weil sich die Entfernung gegenüber allen Punkten die Waage hält, egal an welcher Position, am einfachsten im Mittelpunkt zu sehen.
Rainer
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Für die gravitative Zeitdilatation sehr wohl, denn hier wird dies auf einen Bookkeeper (stationärer Beobachter gegenüber dem Gravizentrum) at Infinity definiert....und zwar aus der Sicht eines ebenfalls stationären Beobachters im fraglichen Potential, wenn in diesem Kontext salopp von einem Punkt die Rede ist. gtt also σ ist von der Geschwindigkeit des Beobachters vollkommen unabhängig.
Der Effekt ist in Fällen der SRT symmetrisch (kinematische Zeitdilatation), nicht aber in Fällen der ART (gravitative Zeitdilatation)
Wieso soll man dies nicht können? Für die SRT kommt es nur auf die kinematische Relativgeschwindigkeit an, und zwar kinematisch unbeschleunigt. Aber auch im Falle der Beschleunigung lässt sich ein tangentiales IS konstruieren, das die momentane kinematische Relativgeschwindigkeit ergibt. "Momentan" ist natürlich wieder eine Frage der Gleichzeitigkeit, aber das ist ja nichts Besonderes.
Die ART umfasst die SRT vollständig, es kommen lediglich gravitative Effekte HINZU.
dτ/dt = σ/γ
E = σ·γ
Die Expansion des Universums muss ich hier ausnehmen, die "einfache" konforme Lösung dafür habe ich noch nicht gefunden anstatt über den Skalenfaktor zu integrieren.
Die ist im Prinzip einfach. Die Innere Lösung ist ja bekannt. Nimm die für das Zentrum und lege dort eine Hohlkugel hinein. In diesem Innenraum ändert sich naturgemäß nichts am Potential und an σ. Nimm also die äußere Lösung für eine Hohlkugel, in ihrem Innenraum hat sowohl Φ wie σ genau den Wert der umschließenden Sphäre.
Gemeint ist sicherlich gtt UND grr.
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TomS
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Nee.
... und damit wie ich sagte nicht für einen Punkt sondern bzgl. zweier Weltlinien
Nicht wirklich. Die Geschwindigkeit ist lediglich Null gesetzt.
Weil man Äpfel mit Birnen vergleicht.
Wie ich oben schrieb:
Wenn ich exakt das auf die ART übertrage, also zwei relativ zueinander bewegte Beobachter am selben Ort - damit ich von Relativgeschwindigkeiten sprechen darf - dann ist der Effekt wieder symmetrisch.
Aber die gravitative Zeitdilatation ist etwas anderes; sieht man ja auch an der Rechnung. Der selbe Begriff xxx-Zeitdilatation ist verwirrend.
Weil die Relativgeschwindigkeit letztlich auf die die Differenz zweier Tangentialvektoren führt. Und die ist in einer gekrümmten Raumzeit nicht definiert, wenn die beiden Tangentialvektoren an unterschiedlichen Punkten der Raumzeit existieren.
D.h. wenn P und Q diese zwei Punkte sind, und wenn v(P) und v(Q) zwei Geschwindigkeiten in P bzw. Q sind, dann ist v(Q) - v(P) undefiniert.
Können wir später diskutieren, brauchen wir hier nicht.
Mein Ansatz funktioniert auch dafür.
Gibt es dazu eine explizite Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen?
Die Newtonsche Argumentation klingt natürlich vernünftig, ist nicht ausreichend. Die Innenraumlösung nach Schwarzschild wird für nicht-verschwindende Dichte berechnet und liefert kein Ergebnis für eine Materieschale mit Vakuum im Innenraum.
Rainer
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Das stimmt natürlich. Daher spricht man auch nicht einfach von Zeitdilatation sondern korrekter Weise immer von gravitativer Zeitdilatation.
Die Zweite ist definiert, genauso wie beim Nullpotential, immer auf die Minkowski Metrik bezogen, die "Vakuumlösung".
Das habe ich noch nicht betrachtet, aber man kann einfach ρ=0 setzen. Dann verschwindet zwar alles.
Das funktioniert mit
Ϙ.σ = σa/σb
falls ra > rb ist das also relativ das Gegenteil von Dilatation, da weniger gravitative Zeitdilatation als beim anderen Beobachter.
Der Unterschied gegenüber der SRT ist die stationäre Position der beiden Punkte gegenüber dem Gravizentrum. Ich schreibe absichtlich nicht von Beobachtern, weil es eben auf den momentanten Punkt ankommt, unabhängig von jedem relativen Bewegungszustand. Das muss man bei der Relativität der Gleichzeitigkeit natürlich berücksichtigen, die Definition der Zeitunabhängigkeit (spatiale Foliation) ist immer im Ruhesystem des Gravizentrums.
Das muss ich mir noch ansehen.
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Rainer
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Das findet man sicherlich auf Yukterez' Homepage, auch für Scheiben etc.
Übrigens ist die Innere Lösung von Schwarzschild im Endeffekt identisch mit Newtons Rechnung in Bezug auf g. Die inkompressible Kugel ist letztlich genauso wie die homogene Kugel. Druck und Raumdehung und Potentielle Energie gleichen sich gegenseitig genau aus.
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TomS
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Wenn du das "bzgl. zweier Weltlinien" meinst, dann nein. In der Rechnung zeige ich ja, dass im Ergebnis nichts steht außer den Weltlinien und der Metrik auf den selben; keine Asymptotik, keine flache Raumzeit.
Deswegen frage ich; ich weiß es nicht.
Verstehe ich nicht.
Das klingt komisch.
Setze einfach
und du hast gravitative und kinematische Effekte in einer Formel beieinander stehen.
TomS
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Wir hatten das schon mal, nämlich hier: https://www.astronews.com/community/threads/keine-naheliegende-erklärung-für-dm.11412/post-141936
Für lichtartige Vektoren entlang lichtartiger Geodäten ist das eindeutig, für zeitartige Geodäten mit nicht definierter Verbindung nicht unbedingt.
Rainer
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Ich sprach ja nicht von Deiner Rechnung, die ich leider immer noch nur überflogen habe.
Na Du willst ja die asymmetrische gravitative Zeitdilatation verstehen. Beide gtt sind auf das Nullpotential bezogen. Relativ zueinander muss man daher beide Faktoren gegenseitig dividieren.
Das ist sehr ungeschickt. Trennung der Effekte ist das A und O in der Physik.
Soweit ich sehe, läuft das auf ein Integral hinaus, was ja die herkömmliche Lösung ist, ich wollte ja eine einfachere rein geometrische Lösung wie den Dpplereffekt hinaus. Die/eine Formel habe ich zwar schon gefunden, aber nicht die Begründung dafür.
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TomS
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Inwiefern? Es handelt sich um die Eigenzeit entlang einer Weltlinie. Ein "Nullpotential" spielt keine Rolle. Evtl. irritiert dich das zwischenzeitliche Auftreten von t und T; das sind spezielle Koordinaten, die man mit dem stationären Beobachter im Unendlichen assoziieren kann. Es funktioniert genauso mit irgendwelchen anderen Koordinaten ohne spezielle Bedeutung; und das Ergebnis ist ohnehin unabhängig von der Wahl der Koordinaten, da das Integral invariant unter Koordinatentransformationen ist. D.h. auch der stationäre Beobachter im Unendlichen (und dessen Gravitationspotential) spielen keine Rolle.
Das solltest du nicht so auffassen. Es sind Lösungen von Gleichungen für eine Metrik. I.A. ist der Bezug einer Metrik auf eine andere (flache) Metrik nicht sinnvoll.
Das ist das korrekte Ergebnis, und daher geschickt. Alles andere wäre vermutlich falsch
Ernsthaft: Man kann die Effekte tatsächlich trennen, wenn bestimmte Näherungen gelten. In der Schwarzschild-Lösung trifft das zu weit ab vom Schwarzschildradius und zugleich für Geschwindigkeiten kleiner c. Dann kann man die Terme unter der Wurzel in eine Taylorreihe entwickeln, und dann scheint es so, dass gravitative und kinematische Effekte getrennt beitragen. Das ist aber ein Artefakt der Näherung.
Einfacher, geometrischer und allgemeingültiger geht's wirklich nicht.
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Rainer
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Unsinn.
Δ(γ·σ) = 0 gilt immer und überall
Was Du vermutlich meinst, ist die Auswirkung auf Beschleunigung, Kräfte, Einergie etc. Wir sprechen hier aber nur von der Zeitdilatation.
dτ = dt·σ/γ
Doch natürlich, das ist die Nulleichung.
TomS
Registriertes Mitglied
Bevor du behauptest, jemand rede Unsinn, schau dir bitte diese Gleichungen an:
Was ich meine, habe ich oben erklärt.
Genau diese Formel folgt unter bestimmten Voraussetzungen, die i.A. nicht erfüllt sein müssen. Meine Rechnung ist allgemeingültig.
Was ist eine Nulleichung?
Nein, dieser Beobachter spielt keine Rolle, weil das zu berechnende Integral eine lokale und diffeomorphismeninvariante Größe ist, die ausschließlich von der Metrik g in der Umgebung der Weltlinie C abhängt. Von nichts sonst.
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Rainer
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Die Nulleichung ist willkürlich beliebig aber konsistent.
Da gibt es keine Bedingungen oder gar Näherungen.
Jede Formel kann natürlich nur das beantworten, wofür sie ist. Aus der Lorentzkontraktion kann man keine Reibung berechnen....
Rainer
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Die Nulleichung ist willkürlich beliebig aber konsistent...glaubst Du nicht?
Von welchen Näherungen willst Du überhaupt sprechen?
Schwarzschild ist genauso wie alle anderen Lösung EXAKT und von gar keinen Näherungen abhängig.
TomS
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Sagst du mir jetzt noch, was eine Nulleichung ist und wo ich sie brauche?
Von dieser Formel:
dτ = dt·σ/γ
Ich nehme an, γ ist der Lorentz-Faktor. Diese Gleichung gilt i.A. nicht sondern nur in bestimmten Näherungen. Meine Rechnung ist dagegen allgemeingültig.