Kosmologie: Neuer Blick auf die großräumigen Strukturen im lokalen Universum

[antaris]

Wenn du eine 2-dim. Fläche in einen 3-dim. Raum einbettest, dann resultiert daraus eine gewisse Freiheit, diese Fläche zu krümmen, ohne sie tatsächlich intrinsisch zu krümmen. Z.B. ist eine 2-dim. Ebene und ein 2-dim. Zylindermantel im 3-dim. Raum intrinsisch flach. Misst du die Krümmung mittels Maßstäben in den Flächen, so ist sie in beiden Fällen Null. Misst du sie teilweise durch Maßstäbe senkrecht zu den Flächen, dann erhältst du für den Zylindermantel eine nicht-verschwindende extrinsische Krümmung.

Die extrinsische Krümmung, die senkrecht auf der Fläche des Zylindermantels gemessen wird, stammt dann von der Zylinderform?

Bei ADM ist die zusätzliche Dimension zeitartig. Die intrinsische Krümmung ist die Krümmung des betrachteten 3-dim. Raumes, die extrinsische misst die Krümmung, die durch die zusätzliche Dimension resultieren kann.

Damit ist auch sichergestellt, dass die Zeitachse in der Metrik

mit der Signatur (−, +, +, +) definiert ist? Die Zeitachse steht orthogonal (senkrecht) auf den 3 räumlichen Achsen und die Änderung der Zeitachse verursacht die extrinsische Krümmung des 3-dim. Raum?

"Einbetten" sollte man das in dem Fall eher nicht nennen. Beide Krümmungen sind nicht einfach Zahlen.

Die 3-dim. Metrik wird durch die übergeordnete 4-dim. Metrik induziert?

 

[ralfkannenberg]

Oha das ist sehr anspruchsvoll...

Einstein soll einmal gesagt haben, dass jede Formel in einem Paper dessen Leserschaft halbiert.

Das Paper hat 83 Formeln, d.h. die Reduktion der Leserschaft beträgt 2^(-83) = 1/8 * 2^(-80) = 1/8 * 1024^(-8) ~ 1/8 *1000^(-8) = 1/8 *10^(-24).

Die Erdbevölkerung liegt bei etwa 10^10, d.h. selbst wenn jeder Erdbewohner das Paper gelesen hätte würden 1/8 *10^(-14) Personen, also ~10^(-15) Personen übrigbleiben, die diesen Artikel noch lesen.

10^(-15) ... - da kann man sich wenig darunter vorstellen, aber zum Vergleich: das Alter des Universums sind ungefähr 10^17 Sekunden.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[antaris]

Ja 83 Formeln auf 51 Seiten. Das Advanced in "Advanced Theoretical Cosmology" ist wortwörtlich anzusehen.
Zumindest verstehe ich etwas mehr, als wenn ich einen chinesischen Text lese.

 

[TomS]

Die extrinsische Krümmung, die senkrecht auf der Fläche des Zylindermantels gemessen wird …

Ja.

… stammt dann von der Zylinderform?

Jein.

Von der Zylinderform im 3-dim. Raum; nicht von der Zylinderform an sich.

Damit ist auch sichergestellt, dass die Zeitachse in der Metrik

mit der Signatur (−, +, +, +) definiert ist? Die Zeitachse steht orthogonal (senkrecht) auf den 3 räumlichen Achsen …

Ja.

… und die Änderung der Zeitachse verursacht die extrinsische Krümmung des 3-dim. Raum?

Nein.

Die 3-dim. Metrik wird durch die übergeordnete 4-dim. Metrik induziert?

Ja.

 

[antaris]

Von der Zylinderform im 3-dim. Raum; nicht von der Zylinderform an sich.

Dann sind Kugelformen (des/im 3-dim. Raum) das Äquivalent zur Zylinderform als Ursache der extrinsischen Krümmung? Die zum Zentrum der Kugel bzw. zur Drehachse des Zylinders zusammenlaufenden Linien eines Koordinatensystems stellen die extrinsische Krümmung dar?

 

[TomS]

Du kannst aus deiner Anschauung heraus nicht wirklich zwischen intrinsischer und extrinsischer Krümmung unterscheiden, weil du dir den 3-dim. einbettenden Raum nicht wegdenken kannst.

Und nein, die extrinsische Krümmung hat im Kern nichts mit Koordinaten zu tun, sondern mit den Normalenvektoren.

 

[Rainer]

Dann sind Kugelformen (des/im 3-dim. Raum) das Äquivalent zur Zylinderform als Ursache der extrinsischen Krümmung? Die zum Zentrum der Kugel bzw. zur Drehachse des Zylinders zusammenlaufenden Linien eines Koordinatensystems stellen die extrinsische Krümmung dar?

Sphären sind (auch) intrinsisch gekrümmt. Das ist der wesentliche Unterschied gegenüber "nur" extrinsischer Krümmung, die man eben intrinsisch nur feststellen kann, wenn man einen Roundtrip absolviert. Aber die extrinsische Krümmung eines einfach nur gewellten Blattes kann man intrinsisch niemals feststellen. Das Blatt ist intrinsisch flach, selbst wenn man es zusammenknüllt.

 

[TomS]

… extrinsische Krümmung, die man eben intrinsisch nur feststellen kann, wenn man einen Roundtrip absolviert.

Da passt was nicht.

=> … extrinsische Krümmung, die man intrinsisch nicht feststellen kann.

Extrinsische Krümmung ist mathematisch weder intrinsisch / intern definiert, noch kann sie (messtechnisch) intrinsisch / intern feststellen.

Normalenvektoren – die in die Definition der extrinsischen Krümmung eingehen – sind nicht intrinsisch / intern definierbar, und ein "Roundtrip" findet nicht in der Mannigfaltigkeit statt. Abgesehen davon wird die lokale extrinsische Krümmung je Punkt P in einer infinitesimalen Umgebung U(P) definiert, ein "Roundtrip" ist nicht notwendig.

Aber die extrinsische Krümmung eines einfach nur gewellten Blattes kann man intrinsisch niemals feststellen.

Genau.

Das Blatt ist intrinsisch flach, selbst wenn man es zusammenknüllt.

Das ist nicht der Punkt. Das Blatt könnte intrinsisch gekrümmt sein – und ist es in unserem Kontext i.A. auch – das hat jedoch noch nichts mit der extrinsischen Krümmung zu tun.

Der Vorteil von ADM ist, diese beiden Krümmungen sauber auseinanderzuhalten.


Sie sind übrigens nicht unabhängig. Man kann nicht eine gegebene Mannigfaltigkeit mit intrinsischer Krümmung einbetten und dabei eine beliebige extrinsische Krümmung erreichen (wenn man Glattheit u.ä. respektieren möchte).

 

[antaris]

Auf dem PF habe ich folgendes FAQ zur Definition der extrinsischen Krümmung gefunden.

1. What is the extrinsic-curvature tensor?
The extrinsic-curvature tensor is a mathematical object used in the field of differential geometry to describe the curvature of a hypersurface embedded in a higher-dimensional space. It measures how much a surface curves in the surrounding space.

2. How is the extrinsic-curvature tensor calculated?
The extrinsic-curvature tensor is calculated using the first and second fundamental forms of the hypersurface. These forms are derived from the metric tensor of the higher-dimensional space and the parametric equations of the hypersurface.

3. What is the significance of the extrinsic-curvature tensor?
The extrinsic-curvature tensor is significant because it provides a way to measure the curvature of a hypersurface without having to consider the higher-dimensional space it is embedded in. This makes it a useful tool in various fields such as general relativity, differential geometry, and material science.

4. How is the extrinsic-curvature tensor related to the intrinsic-curvature tensor?
The extrinsic-curvature tensor and the intrinsic-curvature tensor are related through the Gauss-Codazzi equations, which describe the relationship between the curvature of a hypersurface and the curvature of the surrounding space. The extrinsic-curvature tensor is also used to calculate the Ricci tensor, which is a component of the intrinsic-curvature tensor.

5. Can the extrinsic-curvature tensor be negative?
Yes, the extrinsic-curvature tensor can have negative values. This indicates that the hypersurface is negatively curved, meaning it curves in the opposite direction of the surrounding space. However, the magnitude of the extrinsic-curvature tensor is what is most important in determining the curvature of the hypersurface.

Reference: https://www.physicsforums.com/threads/definition-of-the-extrinsic-curvature-tensor.709760/

Nach erstem lesen zum Thema ADM scheint es mir, als würde der Formalismus ganz nach vorne in die Kategorie "Effekte an der Schnittstelle zwischen RT und QT" zugehören. Die LQG hat geschichtlich darin ihren Ursprung (Ashtekar-Variablen)?

 

[TomS]

Nach erstem lesen zum Thema ADM scheint es mir, als würde der Formalismus ganz nach vorne in die Kategorie "Effekte an der Schnittstelle zwischen RT und QT" zugehören.

Nee, ADM ist ein nackter Formalismus und hat nichts mit ggf. messbaren Effekten zu tun.

Die LQG hat geschichtlich darin ihren Ursprung (Ashtekar-Variablen)

Ja.

 

[Rainer]

=> … extrinsische Krümmung, die man intrinsisch nicht feststellen kann.

Doch. Der Roundtrip beweist die extrinsische Krümmung.
zB Spielewelt genannt Torus.

 

[TomS]

Doch. Der Roundtrip beweist die extrinsische Krümmung.
zB Spielewelt genannt Torus.

Nein. Was du hier beschreibst ist nicht die extrinsische Krümmung sondern die erste Homotopiegruppe, eine diskrete, globale und rein topologische Struktur, ohne Aussage über Geometrie und Krümmung.

Die extrinsische Krümmung wird lokal mittels der Normalen berechnet. Die genaue Definition findest du in den ADM-Papern.

 

[Bernhard]

Was du hier beschreibst ist nicht die extrinsische Krümmung sondern die erste Homotopiegruppe

Vielleicht zitiert R. hier ja auch nur den Kommutator in der kovarianten Ableitungen. Der führt bekanntlich sehr schnell auf den riemannschen Krümmungstensor und wird in der Literatur gerne mit einer wegabhängigen Parallelverschiebung ("Roundtrip") veranschaulicht. Und weil diese Veranschaulichung auch nicht wirklich hilfreich ist, haben die Mathematiker die Holonomiegruppe eingeführt.

 

[TomS]

Vielleicht zitiert R. hier ja auch nur den Kommutator in der kovarianten Ableitungen. Der führt bekanntlich sehr schnell auf den riemannschen Krümmungstensor und wird in der Literatur gerne mit einer wegabhängigen Parallelverschiebung ("Roundtrip") veranschaulicht.

Wenn das gemeint ist – eine infinitesimale geschlossene Kurve bei Definition der Krümmung – dann hat es aber nichts mit dem globalen Roundtrip um den Torus zu tun.

 

[Rainer]

haben die Mathematiker die Holonomiegruppe eingeführt.

Ich weiß schon, warum ich nicht Mathe studiert habe.

Ich sagte oder wollte jedenfalls sagen, dass ein Roundtrip in einem flachen Raum eine extrinsische Krümmung bedeutet.

Hatte ich in meinem Post irgend etwas anderes gesagt?

die man eben intrinsisch nur feststellen kann, wenn man einen Roundtrip absolviert.

Ist das so schwer zu verstehen? Und wenn ihr das mit anderen Fachwörtern belegen wollt, ist mir das recht bzw auch egal. Klar geht das im Computerspiel (also mathematisch) ganz ohne Krümmung und ohne Einbettungsraum. Mir genügt dabei der Krümmungsradius R=U/2π=2r

Kommutator in der kovarianten Ableitungen

Die lediglich extrinsische Krümmung im Einbettungsraum ist der Riemanngeometrie der Raumzeit allerdings nicht zugänglich.

 

[TomS]

Ich sagte oder wollte jedenfalls sagen, dass ein Roundtrip in einem flachen Raum eine extrinsische Krümmung bedeutet.

Das ist aber leider mathematisch sinnlos.

Ist das so schwer zu verstehen?

Ja, leider. Also für dich

Klar geht das … mathematisch ganz ohne Krümmung und ohne Einbettungsraum.

Es ging aber um die extrinsische Krümmung, und deren Definition funktioniert nicht ohne Einbettungsraum. Du betrachtest plötzlich eine völlig andere und für ADM und ART irrelevante Fragestellung.

Die lediglich extrinsische Krümmung im Einbettungsraum ist der Riemanngeometrie der Raumzeit allerdings nicht zugänglich.

Ich weiß nicht, was das bedeuten soll.

Ein Versuch, das präzise zusammenzufassen:

Gegeben sei eine 2-dim. Mannigfaltigkeit M2, eingebettet in den 3-dim. Raum.

1. Für die intrinsische Krümmung R2(P) in einem Punkt P betrachten wir eine infinitesimale, geschlossene Schleife um den Punkt sowie einen Vektor in der 2-dim. Mannigfaltigkeit, den wir so einmal um die Schleife herum transportieren, dass er im Zuge des Transportes mit derselben immer den selben Winkel einschließt. Am Punkt P liegt eine nicht-verschwindende intrinsische Krümmung R2(P) der Mannigfaltigkeit M2 genau dann vor, wenn der Vektor nach dem Transport um die Schleife mit dem ursprünglichen Vektor einen nicht-verschwindenden Winkel einschließt.
2. Für die extrinsische Krümmung K2(P) in diesem Punkt P betrachten wir eine infinitesimale Strecke an dem Punkt sowie einen Vektor senkrecht zu der 2-dim. Mannigfaltigkeit, den wir so entlang der Strecke transportieren, dass er im Zuge des Transportes mit derselben immer den selben Winkel einschließt. Am Punkt P liegt eine nicht-verschwindende extrinsische Krümmung K2(P) der Mannigfaltigkeit M2 genau dann vor, wenn der Vektor nach dem Transport entlang der Strecke einen nicht verschwinden, den Winkel mit dem ursprünglichen Vektor einschließt.
3. Für die erste Homotopiegruppe π1(M2) betrachten wir beliebige, insbesondere auch nicht-infinitesimale geschlossene Schleifen, die in der Mannigfaltigkeit liegen. Wir versuchen, jede Schleife innerhalb der Mannigfaltigkeit zu einem Punkt zusammenzuziehen; gelingt dies, so ist π1(M2) trivial, andernfalls nicht.

Wesentliche Anmerkungen:

• 1,2 haben zunächst * NICHTS mit 3 zu tun; oder doch soviel wie US Prime Beef und Wagyu mit Grippeviren.
• 1 und 2 beinhalten bzw. liefern geometrische Objekte, z.B. Längen, Winkel, Krümmungsradien …; 3 beinhaltet all das nicht, die betrachteten topologischen Objekte sind rein algebraisch; für eine 2-dim. Ebene ist dies einfach {0}, für einen unendlich ausgedehnten Zylinder (bzw. das Computerspiel) die Menge {… -2, -1, 0, +1, +2 …} der ganzen Zahlen, nämlich der Windungszahlen w(S), wie oft und in welche Richtung sich eine Schleife S um den Zylinder M2 windet (auch die Definition von S erfolgt ohne Geometrie)
• Krümmung sind Eigenschaften mit Werten in jedem Punkt P, Homotopiegruppen dagegen Eigenschaften nur der Mannigfaltigkeit als ganzem, ohne speziellen Bezug zu oder Werten in einzelnen Punkten.
• 1 und 3 können ausschließlich innerhalb von M2 betrachtet werden, der einbettende Raum ist irrelevant, er tritt in der Definition nicht auf.
• 2 bedarf begrifflich des einbettenden Raumes, da Vektoren betrachtet werden, die senkrecht auf M2 stehen; daher handelt es sich bei 2 nicht um eine intrinsische Eigenschaft von M2
• Im Falle der ART wäre die dritte Dimension zeitartig; aus R2 und K2 kann die Riemannsche Krümmung der 3-dim. Raumzeit rekonstruiert werden

* es existiert ein Zusammenhang zwischen 1 und 3; dazu evtl. später mehr

 

[Bernhard]

Nein, dieses:

https://www.astro.uzh.ch/~jyoo/class/2022/ch.3.pdf

Das pdf ist Teil von AST802: https://www.astro.uzh.ch/~jyoo/class.htm

 

[Bernhard]

Ich möchte auch eine kurze Motivation für die Unterscheidung zwischen extrinsisch und intrinsisch geben, da diese Unterscheidung relativ spezifisch für den ADM-Formalismus ist. Bei ADM wird die vierdimensionale Welt der ART aufgeteilt in eine zeitartige Dimension und drei raumartige Dimensionen. Eben diese Unterscheidung legt es nahe für den dreidimensionalen (Teil)Raum zwischen der "innenwohnenden", intrinsischen Krümmung und der "von außen betrachteten", extrinsischen Krümmung zu unterscheiden. "Von außen" bedeutet dabei "innerhalb des vierdimensionalen Raumes". Ferner kann im Rahmen von ADM zwischen beiden Größen hin- und hergerechnet (d.h. umgerechnet) werden.

Bei den Rechnungen zu Krümmungen in der ART gibt es diese Unterscheidung nicht und es werden üblicherweise nur intrinsische Krümmungen innerhalb der Raumzeit berechnet. Kommt man von der gausschen Flächentheorie, ist das am Anfang eher ungewohnt, weil sich in jener (also historisch betrachtet) die Rechnungen auch auf die extrinsische Krümmung beziehen und dann später von Riemann bemerkt wurde, dass der umgebende Raum nicht unbedingt benötigt wird. In der gausschen Flächentheorie werden beliebig gekrümmte Flächen, eingebettet in einen dreidimensionalen euklidischen Raum betrachtet.

 

[Rainer]

Das pdf ist Teil von AST802

https://www.astro.uzh.ch/~jyoo/class/2022/class.pdf

 

[Rainer]

Für die extrinsische Krümmung K2(P) in diesem Punkt P betrachten wir eine infinitesimale Strecke an dem Punkt sowie einen Vektor senkrecht zu der 2-dim. Mannigfaltigkeit, den wir so entlang der Strecke transportieren, dass er im Zuge des Transportes mit derselben immer den selben Winkel einschließt. Am Punkt P liegt eine nicht-verschwindende extrinsische Krümmung K2(P) der Mannigfaltigkeit M2 genau dann vor, wenn der Vektor nach dem Transport entlang der Strecke einen nicht verschwinden, den Winkel mit dem ursprünglichen Vektor einschließt.

Und genau dies ist intrinsisch eben nur feststellbar, wenn es einen Roundtrip gibt. Intrinsisch ist der senkrechte Vektor nämlich nicht definiert.