Is the Universe Infinite or Finite?

astrofreund

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Eine mögliche Softwarelösung in C++ könnte wie folgt aussehen:

Reelle Zahlen mit beliebiger Genauigkeit in C++ programmieren?

In C++ können Sie mit reellen Zahlen mit beliebiger Genauigkeit arbeiten, indem Sie eine Bibliothek für arbiträre Präzision verwenden. Eine der bekanntesten Bibliotheken für diesen Zweck ist die GNU Multiple Precision Arithmetic Library (GMP). GMP bietet eine Schnittstelle für C++, die als GMPXX bekannt ist.


Hier ist ein Beispiel, wie Sie GMP in einem C++-Programm verwenden können, um mit reellen Zahlen mit beliebiger Genauigkeit zu arbeiten:
  1. Installation von GMP:
    • Auf einem Unix-ähnlichen System (wie Linux) können Sie GMP normalerweise mit einem Paketmanager installieren. Zum Beispiel: sudo apt-get install libgmp-dev
    • Auf Windows können Sie GMP von der offiziellen Website herunterladen und installieren.
2.C++-Programm mit GMP:

#include <iostream>
#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

int main() {
// Definiere zwei reelle Zahlen mit beliebiger Genauigkeit
mpf_class a("12345.6789", 100); // 100 Dezimalstellen Genauigkeit
mpf_class b("98765.4321", 100); // 100 Dezimalstellen Genauigkeit

// Führe arithmetische Operationen durch
mpf_class sum = a + b;
mpf_class difference = a - b;
mpf_class product = a * b;
mpf_class quotient = a / b;

// Ausgabe der Ergebnisse
std::cout << "Summe: " << sum << std::endl;
std::cout << "Differenz: " << difference << std::endl;
std::cout << "Produkt: " << product << std::endl;
std::cout << "Quotient: " << quotient << std::endl;

return 0;
}

Erklärung des Codes:
  1. Header-Dateien:
    • #include <iostream>: Für Ein- und Ausgabeoperationen.
    • #include <gmp.h> und #include <gmpxx.h>: Für die Verwendung der GMP-Bibliothek und ihrer C++-Schnittstelle.
  2. Definieren von reellen Zahlen:
    • mpf_class a("12345.6789", 100): Definiert eine reelle Zahl a mit dem Wert 12345.6789 und einer Genauigkeit von 100 Dezimalstellen.
    • mpf_class b("98765.4321", 100): Definiert eine reelle Zahl b mit dem Wert 98765.4321 und einer Genauigkeit von 100 Dezimalstellen.
  3. Arithmetische Operationen:
    • mpf_class sum = a + b: Berechnet die Summe von a und b.
    • mpf_class difference = a - b: Berechnet die Differenz von a und b.
    • mpf_class product = a * b: Berechnet das Produkt von a und b.
    • mpf_class quotient = a / b: Berechnet den Quotienten von a und b.
  4. Ausgabe der Ergebnisse:
    • Die Ergebnisse der arithmetischen Operationen werden auf der Konsole ausgegeben.
Kompilierung und Ausführung:

Um das Programm zu kompilieren und auszuführen, können Sie die folgenden Befehle in der Kommandozeile verwenden:

g++ -o reelle_zahlen reelle_zahlen.cpp -lgmp -lgmpxx
./reelle_zahlen


Dies wird das Programm kompilieren und ausführen, wodurch die arithmetischen Operationen mit reellen Zahlen mit beliebiger Genauigkeit durchgeführt und die Ergebnisse ausgegeben werden.

Website von GMP: https://gmplib.org/

Gruß, Astrofreund
 
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TomS

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@astrofreund -

Auf einem handelsüblichen PC mit endlicher Taktrate und endlichem Speicher ist das Programmieren oder Darstellen "reeller Zahlen mit beliebiger Genauigkeit" unmöglich.

Bei abzählbar unendlichem Speicher könnte man dann rationale und algebraische Zahlen mit beliebiger Genauigkeit darstellen. Will man noch mehr, darf der Speicher nicht abzählbar sein.
 

TomS

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Hallo Tom,

aus Sicht der Analysis ja, aus Sicht der Algebra nein.

In der Analysis genügt es, eine dicht-liegende Menge im Kontinuum zu haben, welche abzählbar unendlich ist; strukturelle Überlegungen werden da - etwas salopp formuliert - nicht benötigt.


Freundliche Grüsse, Ralf
Dir fehlt die genaue Charakterisierung? Ja, das ist ein weiterer Schritt. Aber so haben wir wenigstens Mal eine Übersicht.

N: klar
Z: auch klar
Q: Brüche mit ganzzahligem Zähler und Nenner ganzzahligem Nenner ohne Null
A: reelle (also nicht komplexe) Nullstellen von Polynomen endlichen Grades mit Koeffizienten aus N
R: Vervollständigung von Q mittels Cauchy-Folgen über Q (siehe Link)

Irrationale Zahlen: R \ Q
Transzendente Zahlen: R \ A

 
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astrofreund

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Auf einem handelsüblichen PC mit endlicher Taktrate und endlichem Speicher ist das Programmieren oder Darstellen "reeller Zahlen mit beliebiger Genauigkeit" unmöglich.
Richtig und ich vermute, man meint mit "beliebig genau" das es mehr als 15 Stellen sein dürfen.

Gruß, Astrofreund
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
Auf einem handelsüblichen PC mit endlicher Taktrate und endlichem Speicher ist das Programmieren oder Darstellen "reeller Zahlen mit beliebiger Genauigkeit" unmöglich.
Hallo Tom,

dieses "beliebig" darf dann eben nicht zu gross sein. Wobei mir nun keine Anwendung bekannt ist, bei der ich 100 Nachkommastellen wissen müsste.

Bei abzählbar unendlichem Speicher könnte man dann rationale und algebraische Zahlen mit beliebiger Genauigkeit darstellen. Will man noch mehr, darf der Speicher nicht abzählbar sein.
Warum möchtest Du rationale und algebraische Zahlen mit beliebiger Genauigkeit darstellen ? - Diese Zahlen kann man über ihre Minimalpolynome exakt darstellen und via "Polynomrechnung" mit denen auch exakt rechnen.

Das ist zwar alles irgendwie praxisfremd und auch viel zu langsam, aber grundsätzlich geht es.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Richtig und ich vermute, man meint mit "beliebig genau" das es mehr als 15 Stellen sein dürfen.
Hallo Astrofreund,

"beliebig genau" heisst in diesem Kontext meines Wissens, dass man - unter der stillschweigenden Annahme eines genügend leistungsstarken Rechners - eine beliebige Genauigkeit vorgeben kann, innerhalb derer die Algorithmen dann diese Genauigkeit erzielen können.

Diese beliebige Genauigkeit ist aber endlich, d.h. man erreicht nur endlich viele verschiedene Zahlen, d.h. man erreicht nicht einmal abzählbar-unendlich viele Zahlen (oder "Elemente"), geschweige denn überabzählbar-unendlich viele davon.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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R: Vervollständigung von Q mittels Cauchy-Folgen über Q (siehe Link)
Hallo Tom,

eigentlich macht man so etwas mit Dedekind'schen Schnitten und zeigt dann, dass dies äquivalent zur Vervollständigung mittels konvergenter Cauchy-Folgen über IQ ist.

Bemerkung: Cauchy-Folgen sind per definitionem konvergent, deswegen lässt man üblicherweise die Ergänzung "konvergent" weg.

Beispiel:
die Cauchy-Folge (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ...) konvergiert monoton wachsend von unten gegen π
die Cauchy-Folge (4, 3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160, ...) konvergiert monoton fallend von oben gegen π

Irrationale Zahlen: R \ Q
Transzendente Zahlen: R \ A
So wäre es einfach, es gibt aber auch nicht-reelle irrationale Zahlen und nicht-reelle transzendente Zahlen. - Meines Wissens weiss man bis heute nicht, ob e + iπ algebraisch ist oder transzendent. Auch von e + π weiss man das nicht.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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… eigentlich macht man so etwas mit Dedekind'schen Schnitten und zeigt dann, dass dies äquivalent zur Vervollständigung mittels konvergenter Cauchy-Folgen über IQ ist.
Die Konstruktionen per Dedekindschen Schnitten, Intervallschachtelung und Vervollständigung sind m.W.n. äquivalent.

Cauchy-Folgen sind per definitionem konvergent, deswegen lässt man üblicherweise die Ergänzung "konvergent" weg.
Nein, sind sie zunächst i.A. nicht.

Eine Cauchy-Folge über Q konvergiert ggf. nicht in Q. Ohne Vervollständigung zur R liegt dann keine Konvergenz vor.

die Cauchy-Folge (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ...) konvergiert monoton wachsend von unten gegen π
die Cauchy-Folge (4, 3.2, 3.15, 3.142, 3.1416, 3.14160, ...) konvergiert monoton fallend von oben gegen π
Nicht in Q.

So wäre es einfach, es gibt aber auch nicht-reelle irrationale Zahlen und nicht-reelle transzendente Zahlen. - Meines Wissens weiss man bis heute nicht, ob e + iπ algebraisch ist oder transzendent. Auch von e + π weiss man das nicht.
Komplexe Zahlen hatte ich bewusst ausgeklammert.
 

ralfkannenberg

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Die Konstruktionen per Dedekindschen Schnitten, Intervallschachtelung und Vervollständigung sind m.W.n. äquivalent.
Hallo Tom,

das ist korrekt.

Nein, sind sie zunächst i.A. nicht.

Eine Cauchy-Folge über Q konvergiert ggf. nicht in Q. Ohne Vervollständigung zur R liegt dann keine Konvergenz vor.
Ja natürlich. - Da wir von der Vervollständigung gesprochen hatten habe ich stillschweigend eine Konvergenz in IR gemeint. Ich hatte nur darauf hinweisen wollen, dass Cauchy-Folgen per definitionem konvergent und nicht divergend oder alternierend oder mehrere Häufungspunkte aufweisend oder so etwas sind.

Aber Du hast recht, man sollte das unbedingt erwähnen.

Ebenso hier. Es ist ja gerade die Idee der Vervollständigung, dass der Grenzwert dieser Cauchy-Folgen im vollständigen Raum existiert.
Würden die alle schon in IQ konvergieren wäre IQ ja schon vollständig.

Komplexe Zahlen hatte ich bewusst ausgeklammert.
Ja, das macht es einfacher und ändert auch nichts Wesentliches an den bisherigen Argumentationen. Man merkt das eigentlich erst, wenn man feststellt, dass (auch) die imaginäre Einheit i algebraisch vom Grade 2 ist.

Wer gerne mal eine transzendente imaginäre Zahl sehen möchte, bitte sehr: πi vom Exponenten der berühmten Eulerschen Identität e^πi = -1.


Freundliche Grüsse, Ralf

P.S. ich hoffe niemand hat gesehen, dass ich die wohl schönste mathematische Formel, die Eulersche Identität, zunächst versehentlich als Gaussche Identität bezeichnet hatte ....
 
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TomS

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Ich suche noch ein Bild zu C heraus.

 
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ralfkannenberg

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Ich suche noch ein Bild zu C heraus.
Hallo Tom,

hier könnte man auch noch zu den Hamilton'schen Quaternionen IH hochgehen, evtl. auch zu den Cayley'schen Oktaven. - Diese bilden aber keinen Körper mehr, insbesondere gilt bei ihnen also auch nicht mehr der Hauptsatz der Algebra.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

wir haben nun über viele Mengen von Zahlen gesprochen und da besteht doch die Gefahr, dass der Überblick und auch die Motivation verloren gehen.

An sich haben wir zwei Ausgangsmengen: naiverweise die natürlichen Zahlen, die wir "an unseren 10 Fingern" (anfangen), abzuzählen und die man mathematisch beispielsweise über die Peano-Axiome formalisiert hat (man kann sie in der Mengenlehre auch aus der leeren Menge, dann der Menge, welche die leere Menge enthält, dann der Menge, welche die leere Menge und die Menge, welche die leere Menge enthält, enthält rekursiv definieren), und auf der anderen Seite die Punkte einer Geraden aus der Geometrie, welche das Kontinuum darstellen und welche man für all' die geometrischen Konstruktionen benötigt.

Auch wenn das heutzutage kaum mehr angesprochen wird so war es das "Tangentenproblem", welches die Infinitesimalrechnung bzw. Differentialrechnung und damit die Analysis in die Wege geleitet hat.


Bei den algebraischen Strukturen war es eine andere Fragestellung, nämlich die Frage nach den 4 Grundrechenarten und dem Lösen von Gleichungen dieser 4 Grundrechenarten.

1. bei der Halbgruppe geht es um die Addition - dies wird von den natürlichen Zahlen geleistet
2. bei der Gruppe geht es um die Addition und die Subtraktion - dies wird von den ganzen Zahlen geleistet
3. beim Ring geht es um die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation - dies wird ebenfalls von den ganzen Zahlen geleistet
4. beim Körper geht es um die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division - dies wird von den rationalen Zahlen geleistet

Mit den rationalen Zahlen (bzw. Brüchen) hat man nun eine sehr umfassende Menge mit einer hohen Struktur - im Gegensatz zur Zahlengerade, wo wir eigentlich keine nennenswerte Struktur haben, und schon in der Antike hat man festgestellt, dass es obgleich die rationalen Zahlen "dicht" liegen dennoch Punkte auf der Zahlengeraden gibt, die keine rationalen Zahlen sind. Rationale Zahlen nicht, weil sie "vernünftig" sind, sondern weil sie die "Ratio", also das Verhältnis bzw. der Quotient zweier ganzer Zahlen sind. Daher ja auch die Bezeichnung des "Quotientenkörpers".

Der prominenteste dieser Punkte ist zweifelsohne die Länge der Diagonale im Einheitsquadrat, das ist die √2, und der Beweis ihrer Rationalität gelang bereits in der Antike. Es wird kein Zweifel bestehen, dass man auch schon in der Antike vermutet hat, dass auch die Kreiszahl π irrational (an Transzendenz war damals ohnehin noch lange nicht zu denken) ist, aber der Beweis gelang erst im Jahre 1767 durch Johann Heinrich Lambert. Allerdings genügt der Beweis der Irrationalität der Kreiszahl π nicht, um die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal (und Einheitspassstab) zu beweisen oder zu widerlegen, da man algebraische Zahlen mit Zirkel und Lineal (und Einheitsmassstab) konstruieren kann, wie ich mit der √2 weiter oben dargelegt habe (Strecke mit Länge 1 -> Senkrechte -> Einheitsquadrat -> Diagonale).

Und nun studiert man eben verschiedene Techniken, wie man mehr Eigenschaften herausholen kann: mit algebraischen Methoden letztlich die "Wurzelzahlen" bzw. algebraischen Zahlen, und mit Methoden der Analysis letztlich Methoden, wie man das Kontinuum mit den reellen Zahlen identifizieren kann (Dedekind'sche Schnitte) und dann natürlich auch die Vervollständigung der rationalen Zahlen via Cauchy-Folgen mit rationalen Folgengliedern mit existierendem Grenzwert in den reellen Zahlen, also im Kontinuum.

Seit Cantor kamen dann auch noch Mächtigkeitsüberlegungen dazu und die "Zähmung" der überabzählbaren Mengen durch abzählbare Mengen ist ein wesentlicher Inhalt des Lehrplanes des Mathematikstudiums ab dem 5.Semester.


Ich habe nun noch das Gebiet der Zahlentheorie nicht erwähnt, da geht es oftmals um "diskrete" Strukturen wie den ganzen Zahlen, den ganzzahligen komplexen Zahlen oder auch den ganz-algebraischen Zahlen, und da betrachtet man dann Fragestellungen wie die Teilbarkeit, Primelemente, diophantische Gleichungen u.s.w. Die zugrundeliegenden algebraischen Strukturen sind also typischerweise Ringe. In einem Körper hat man keine Primzahlen, weil man mit Ausnahme durch 0 durch jedes Körperelement dividieren kann.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Gedanken über das Beispiel einer algebraischen Zahl gemacht, welche nicht ganz-algebraisch ist
(...)
Ausgehend von der √2 und ihrem Minimalpolynom p(x)=x²-2 kann man ja auch das Polynom q(x)=2x²-1 betrachten. Da braucht man nicht lange herumzurechen, die Nullstellen findet man einfach zu 2x²-1=0 <=> x²-1/2=0, also x²=1/2, betrachten wir der Einfachheit halber nur die positive Lösung 1/√2; durch Erweitern mit √2 bringen wir die Wurzel in den Zähler: 1/√2 = (1/2)*√2; vermutlich kennt jeder diese Zahl, ist sie doch sin(45°) bzw. cos(45°).
Hallo zusammen,

wer mich kennt weiss, dass ich es gerne habe, wenn ich noch ein 2.Beispiel angeben kann.

Gehen wir deswegen von der √3 und ihrem Minimalpolynom p(x)=x²-3 aus. Dann kann man ja auch das Polynom q(x)=3x²-1 betrachten. Dessen Nullstellen sind 3x²-1=0 <=> x²-1/3=0, also x²=1/3, betrachten wir der Einfachheit halber auch hier nur die positive Lösung 1/√3; durch Erweitern mit √3 bringen wir die Wurzel in den Zähler: 1/√3 = (1/3)*√3; vermutlich kennt jeder diese Zahl, ist sie doch sin(60°) bzw. cos(30°).

Und somit sehen wir auch gleich, warum die ganz-algebraischen Zahlen keinen Körper bilden, denn √2 ist eine ganz-algebraische Zahl, ihr multiplikativ Inverses 1/√2 indes ist keine ganz-algebraische Zahl.
Dasselbe gilt auch für √3: sie ist eine ganz-algebraische Zahl, ihr multiplikativ Inverses 1/√3 indes ist keine ganz-algebraische Zahl.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Petz

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Wie aber wäre das beim unendlichen ewigen Universum mit flacher Metrik?

Das wäre das Milne Modell. Mit mitbewegten Uhren und Linealen gemessen wäre das Universum dann unendlich:



während es mit stationären Uhren und Linealen gemessen einen Radius von cT hätte:



Außerhalb und vorher wäre wiederum nur Vakuum, bzw. ist alles was in Minkowski Koordinaten außerhalb des Universums ist in FLRW Koordinaten vor dem Urknall. Die Hyperfläche konstanter kosmischer Zeit t ist rot eingezeichnet, und die stationäre T violett. Der blau eingezeichnete Hubbleradius entflieht mit mitbewegten Uhren und Linealen gemessen mit einer Rapidität von c, und mit stationären mit der Geschwindigkeit cTanh[1]=0.76c. Der Partikelhorizont wiederum entflieht mitbewegt gemessen mit unendlicher Rapidität, und stationär gemessen mit der Geschwindigkeit c.

Die Metrik im Big-Bang-Modell und die Metrik eines unendlichen ewigen Universums mit flacher Metrik unterscheiden sich deutlich, sie schliessen sich gegenseitig aus, denn wenn der Raum keine "Raumsubstanz" hat dann kann da auch nichts gekrümmt werden.

Die Metrik passt sehr gut zusammen, wie du weiter oben siehst kann man die flache Raumzeit auch in FLRW Koordinaten darstellen. Die flache Raumzeit hat in FLRW Koordinaten allerdings eine hyperbolische Raumkrümmung da die Hyperflächen konstanter kosmischer Zeit in Minkowski Koordinaten Hyperbeln sind, aber nichtsdestotrotz, die Transformation ist legit.
 
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ralfkannenberg

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Die Zahl Wurzel(2) ist ein klassisches Beispiel für eine irrationale, aber algebraische Zahl. Sie ist die Lösung der Gleichung x^2−2=0, was bedeutet, dass sie algebraisch vom Grade 2 ist.
Hallo zusammen,

ich möchte hier noch etwas ausholen und nicht gleich den Sprung von den algebraischen Zahlen vom Grade 2 zu den allgemeinen algebraischen Zahlen tätigen, sondern nur den Sprung von den algebraischen Zahlen vom Grade 2 zu den algebraischen Zahlen vom Grade 3.

Wir betrachten hierfür die Kubikwurzel von 2, also ³√2.

Diese Zahl gibt es, denn die Seitenlänge eines Würfels vom Volumen 2 beträgt ja ³√2.

Dass diese Zahl irrational ist zeigt man genau gleich wie man auch zeigt, dass die √2 irrational ist.

Man nimmt also an, ³√2 sei rational, dann lässt sie sich - da sie positiv ist - als Quotient zweier sogar natürlicher Zahlen p und q schreiben, und man darf p und q so wählen, dass sie teilerfremd sind, insbesondere nicht beide einen Faktor 2 enthalten. - Würde man die √3 oder ³√3 betrachten, so würde man zeigen, dass p und q nicht beide den Faktor 3 enthalten, u.s.w. - dies nur am Rande bemerkt.

Sei also ³√2 = p/q mit p, q in IN und p und q teilerfremd, insbesondere beide nicht einen Faktor 2 enthaltend.

Nehmen wir diese Gleichung in die 3.Potenz:

2 = p³/q³ => p³ = 2q³, d.h. p³ ist eine gerade Zahl, also durch 2 teilbar.

Daraus folgt, dass auch p eine gerade Zahl, d.h. durch 2 teilbar ist.

Warum das: wäre p eine ungerade Zahl, dann kann man sie als p=2n+1 darstellen. Was gilt aber dann für p³ ?

p³ = (2n+1)³ = (2n+1)² (2n+1) = (4n²+4n+1) (2n+1) = 8n³ + 8n² + 2n + 4n²+4n+1 = 8n³ + 12n² + 6n +1 = 2(4n³ + 6n² + 3n) + 1, d.h.
p³ = 2N + 1 mit N = 4n³ + 6n² + 3n, d.h. p³ wäre dann ebenfalls ungerade, also nicht durch 2 teilbar.

Somit ist also auch p durch 2 teilbar, also kann man p=2n schreiben:

p³ = 2q³ => (2n)³ = 2q³, also 2q³ = (2n)³ = 8n³ => q³=4n³=2*(2n³), d.h. auch q³ ist durch 2 teilbar, somit mit demselben Argument wie bei p wäre dann auch q durch 2 teilbar, somit sowohl p als auch q durch 2 teilbar, im Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd, also insbesondere nicht beide durch 2 teilbar sind.

Somit ist also gezeigt, dass ³√2 irrational ist, d.h. sie ist keine algebraische Zahl vom Grade 1.

Aber könnte es sein, dass ³√2 eine Quadratzahl ist, d.h. algebraisch vom Grade 2 ?

Der Beweis ist viel einfacher als ich zunächst dachte:

wäre ³√2 eine Quadratzahl, so würde das heissen, dass (³√2)² rational wäre.

Also würde man zwei ganze (da ³√2 positiv ist sogar zwei natürliche) Zahlen p und p finden, so dass

(³√2)² = p/q, und erneut kann man p und q so wählen, dass p und q teilerfremd sind, insbesondere beide nicht durch die Zahl 2 teilbar.

(³√2)(³√2) = p/q

Wir nehmen diese Gleichung in die 3.Potenz:

4 = p³/q³, also p³ = 4q³, d.h. p³ ist gerade (sogar durch 4 teilbar, aber das benötigen wir hier nicht).

Und nun wiederholt sich der obige Beweis wortwörtlich, d.h. aus p³ gerade folgt p gerade, daraus folgt dass auch q³ gerade ist und somit q gerade und somit sowohl p und q beide den Faktor 2 enthalten, im Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd sind und insbesondere nicht beide den Faktor 2 enthalten.

Somit ist ³√2 auch nicht algebraisch vom Grade 2, d.h. keine Quadratzahl.

Als Nullstelle des Polynoms p(x)=x³-2 ist sie aber natürlich algebraisch vom Grade 3.


Man "sieht", dass man das für andere Zahlen auch so macht und für höhere Potenzen ebenso, d.h. wenn man zeigen will, dass die sagen wir 4.Wurzel von 3 weder rational noch algebraisch vom Grade 2 noch algebraisch vom Grade 3 ist, so würde man das also für die 4.Wurzel aus 3, dann die vierte Wurzel aus 3 im Quadrat und dann die vierte Wurzel aus 3 in der 3.Potenz zeigen und sehen, dass der Beweis jedesmal analog verläuft, was Anlass für eine wohl ziemlich verschachtelte vollständige Induktion ergeben dürfte.

Hierbei muss man beispielsweise noch beachten, dass das bei Quadratzahlen nicht funktioniert - so kann man bei der √4 aus p² = 4q nicht schliessen, dass p dann auch durch 4 teilbar ist, denn für p bei Division durch 4 einen Rest 2 lassend erhalten wir p=(4n+2)² = 16n²+16n+4 = 4(4n²+4n+1), ist also auch durch 4 teilbar und unser Beweis lässt sich nicht durchführen; man kann aus p² = 4q nur schliessen, dass p durch 2 teilbar ist und das genügt nicht für den Beweis.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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(³√2)² = p/q, und erneut kann man p und q so wählen, dass p und q teilerfremd sind, insbesondere beide nicht durch die Zahl 2 teilbar.

(³√2)(³√2) = p/q

Wir nehmen diese Gleichung in die 3.Potenz:

4 = p³/q³, also p³ = 4q³, d.h. p³ ist gerade (sogar durch 4 teilbar, aber das benötigen wir hier nicht).
Hallo zusammen,

da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen, denn mit dem völlig analogen Argument könnte man zeigen, dass (³√2)³ ebenfalls irrational ist:

(³√2)(³√2)(³√2) = p/q

Wir nehmen diese Gleichung in die 3.Potenz:

8 = p³/q³, also p³ = 8q³, d.h. p³ ist gerade (sogar durch 8 teilbar, aber das benötigen wir hier nicht).

u.s.w.

Nur: (³√2)(³√2)(³√2) = 2, d.h. man würde auf diese Weise zeigen, dass die Zahl 2 irrational ist, was offensichtlicher Unsinn ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Also würde man zwei ganze (da ³√2 positiv ist sogar zwei natürliche) Zahlen p und p finden, so dass
Bemerkung: zweites p von mir rot eingefärbt

Hallo zusammen,

völlig unabhängig davon, wo mir der Fehler unterlaufen ist, ist mir hier ein Schreibfehler unterlaufen, das rot eingefärbte p muss natürlich q heissen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Und nun wiederholt sich der obige Beweis wortwörtlich, d.h. aus p³ gerade folgt p gerade, daraus folgt dass auch q³ gerade ist und somit q gerade und somit sowohl p und q beide den Faktor 2 enthalten, im Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd sind und insbesondere nicht beide den Faktor 2 enthalten.
Hallo zusammen,

das ist zwar richtig, sollte aber dennoch ausgeführt werden:

p gerade, d.h. durch 2 teilbar => p=2n

Wir setzen das oben ein:

p³ = 4q³ bzw. 4q³ = p³ = (2n)³ = 8n³, also q³ = 2n³, d.h. q³ ist gerade, woraus mit demselben Argument wie bei p³ folgt, dass auch q³ gerade ist und somit sowohl p als auch q einen Faktor 2 besitzen.

Somit ist ³√2 auch nicht algebraisch vom Grade 2, d.h. keine Quadratzahl.
Diese Schlussfolgerung erscheint mir also nach wie vor korrekt zu sein.

Was ist nun beim Versuch, zu zeigen, dass (³√2) nicht algebraisch vom Grade 3 ist, anders ?

Anders ist natürlich der Umstand, dass (³√2)³ = 2 ist, also rational.

Aber an welcher Stelle klappt der Beweis nicht ?

(³√2)(³√2)(³√2) = p/q

Wir nehmen diese Gleichung in die 3.Potenz:

8 = p³/q³, also p³ = 8q³, d.h. p³ ist gerade (sogar durch 8 teilbar, aber das benötigen wir hier nicht).

u.s.w.
Führen wir nun das "u.s.w." aus:

p³ ist gerade => p ist gerade, daran ändert sich nichts, das ist dasselbe Argument wie oben.

Doch nun setzen wir das in die ursprüngliche Gleichung ein:

p³ = 8q³ bzw. 8q³ = p³ = (2n)³ = 8n³, d.h. 8q³ = 8n³ und daraus kann man eben nicht folgern dass q³ gerade ist und somit kann man nicht herleiten, dass sowohl p als auch q beide einen Faktor 2 haben.


Fassen wir das nochmals zusammen:
Beim Beweis, dass (³√2) irrational ist, erhalten wir die Gleichung p³ = 2q³, und da p gerade ist => p=2n, also q³ = 4n³ = 2(2n³), d.h. q³ gerade.
Beim Beweis, dass (³√2)² irrational ist, erhalten wir die Gleichung p³ = 4q³, und da p gerade ist => p=2n, also q³ = 2n³, d.h. q³ gerade.

Beim Beweis-Versuch, dass (³√2)³ irrational ist, erhalten wir die Gleichung p³ = 8q³, und da p gerade ist => p=2n, also q³ = 1ohne Faktor 2.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Petz

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Inwiefern hat das alles mit der Frage ob das Universum endlich oder unendlich ist zu tun? Hier in diesem Faden wird wahrscheinlich keiner nach solchen Informationen suchen, das würde wohl besser in einen Faden wo die Überschrift dazupasst gehören.
 
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