Is the Universe Infinite or Finite?

TomS

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zunächst einmal definieren die Peano-Axiome keine Addition.
Stimmt, weiß ich.

Man hat ein Startelement - in diesem Falle meinetwegen π (es könnte auch π-10 sein) - und dann Nachfolgeelemente, also π', (π')', ((π')')' u.s.w.
Stimmt, weiß ich auch.

Zu einer Halbgruppe kann man diese von den Peano-Axiomen erzeugte Menge aber nicht immer ergänzen; das klappt beispielsweise, wenn das Startelement eine ganze Zahl ist.
Ok.

Ich hatte mir noch nie klargemacht, dass Mengen existieren könne, auf denen zwar die Peano-Axiome gelten, die jedoch kein Modell für die natürlichen Zahlen darstellen. Wieder was gelernt.
 

ralfkannenberg

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Stimmt, weiß ich.


Stimmt, weiß ich auch.
Hallo Tom,

dass Du das weisst weiss ich.

Ich hatte mir noch nie klargemacht, dass Mengen existieren könne, auf denen zwar die Peano-Axiome gelten, die jedoch kein Modell für die natürlichen Zahlen darstellen. Wieder was gelernt.
Ich offen gestanden auch nicht, ich hatte es mir jetzt nur wegen Deines Einwandes überlegt.

Ganz spannend ist übrigens eine andere Fragestellung: kann man die ganzen Zahlen mittels Peano-Axiomen definieren, wobei ich nun meine, mit "einmaliger Anwendung", d.h. nicht die positiven Zahlen per Peano-Axiomen ab 0 mit "+1" definieren, danach die negativen Zahlen ab -1 mit "-1" definieren und danach beiden Mengen vereinigen, sondern wirklich mit einer einmaligen Anwendung ?

Man kann ja die Mengen {1, 2, 3, 4, ...}, {0, 1, 2, 3, 4, ...}, {-10, -9, -8, -7, -6, - 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} allesamt per Peano-Axiomen definieren, d.h. einfach nur kleinere Startelemente benutzen.

Nun könnte man argumentieren: gegeben sei eine beliebige negative Zahl und hier setzt man den Nachfolgeoperator der Peano-Axiome an.

Auf diese Weise kann man also zu jeder vorgegebenen negativen Zahl alle grösseren ganzen Zahlen per Peano-Axiomen definieren. Es gibt also keine negative Zahl, die nicht als Startelement für diese Konstruktion taugen würde. Somit könnte man versucht sein zu glauben, man könne alle negativen und somit auch alle ganzen Zahlen mit einmaliger Anwendung der Peano-Axiome definieren.

Natürlich ist das falsch, aber zu begründen, warum das falsch ist finde ich gar nicht so einfach. Gewiss, bei dieser "Konstruktion" fehlt irgendwie die Induktivität zu allen negativen Zahlen hinunter, d.h. mit jeder dieser Konstruktionen "verpasst" man dennoch unendlich viele negative Zahlen, nämlich genau diejenigen, die kleiner als das gewählte Startelement sind.

Zwar könnte man jetzt argumentieren, dass man einfach die Vereinigung aller Mengen mit negativem Startelement betrachtet - von denen gibt es abzählbar unendlich viele, nur: so kompliziert braucht man das gar nicht zu machen, denn es genügt die Vereinigung von nur 2 Peano-Axiom-definierten Mengen, nämlich wie oben dargelegt {0, 1, 2, 3, ...} und {-1, -2, -3, -4, ...}.

Was man allerdings mit dem Schaukellemma beweisen kann ist, dass eine per Peano-Axiomen definierte Menge und der Addition basierend auf dem Nachfolgeoperator "+1" assoziativ ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

astrofreund

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Hallo Astrofreund,

sorry, aber ich habe noch eine Frage an die AI, quasi "in die andere Richtung":

Du schreibst, dass die natürlichen Zahlen diskret sind und keine Nachkommastellen haben. Im Gegensatz dazu ist π eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann und eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung hat. - Wie beurteilst Du die Situation für eine Zahl, welche im Gegensatz zu pi als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann und die eine sich wiederholende Dezimaldarstellung hat: kann man eine solche Zahl - beispielsweise die Zahlen 1/2 oder 1/3 - als "natürlich" ansehen ? Sie ist ja nicht wie von Dir als Gegenkriterium beschrieben irrational.

Freundliche Grüsse, Ralf
Also gut, eine haben wir noch ... ;)

KI-Antwort:
"
Die Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können und eine sich wiederholende Dezimaldarstellung haben, werden als rationale Zahlen bezeichnet. Beispiele dafür sind 1221 (0,5) und 1331 (0,333...). Diese Zahlen sind nicht irrational, da sie als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.
Natürliche Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Sie umfassen die positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3, ...) und manchmal auch die Null (0), je nach Definition. Natürliche Zahlen haben keine Nachkommastellen und sind daher immer ganzzahlig.
Rationale Zahlen, die nicht natürlich sind, können entweder ganze Zahlen (wie -2, 0, 3) oder Brüche (wie 1221, 3443) sein. Diese Brüche können eine endliche oder eine unendliche, sich wiederholende Dezimaldarstellung haben.
Zusammengefasst:
  • Natürliche Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen und sind immer ganzzahlig.
  • Rationale Zahlen umfassen alle Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, einschließlich der natürlichen Zahlen.
  • Irrationale Zahlen, wie π, können nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden und haben eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung.
Daher können Zahlen wie 1221 oder 1331 nicht als natürliche Zahlen angesehen werden, da sie keine ganzen Zahlen sind. Sie sind jedoch rationale Zahlen.

Gruß, Astrofreund
 

ralfkannenberg

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Also gut, eine haben wir noch ... ;)
Hallo Astrofreund,

danke schön. Die AI hat sich leider nicht auf meine Idee eingelassen, aber ok.


1221 (0,5) und 1331 (0,333...)

3443
Diese Darstellung ist mir nicht bekannt. Ist 3443 zufällig 0.75, also 3/4 ?

  • Irrationale Zahlen, wie π, können nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden und haben eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung.
Warum bezeichnet die AI π als "irrationale" Zahl (was durchaus richtig ist) und nicht als transzendente Zahl (was viel wichtiger ist) ? Die "typische" irrationale Zahl ist √2. Diese ist algebraisch vom Grade 2.

Eine "Krise" der Mathematik bestand ja auch darin, dass die Menge der transzendenten Zahlen überabzählbar unendlich gross ist und es alles andere als einfach ist, ein einziges Element dieser riesig grossen Menge konkret anzugeben. Zum Glück wurde gut 2 Jahrzehnte zuvor von Liouville eine transzendente Zahl gefunden und ein Jahr zuvor gelang Hermite der Beweis, dass die Euler'sche Zahl e transzendent ist. Man kannte zum Zeitpunkt der "Krise" also wenigstens vom Typ her zwei verschiedene transzendente Zahlen.

Der Nachweis der Transzendenz von π gelang Ferdinand von Lindemann dann 8 Jahre später, womit auch die klassische Fragestellung der Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal (und Einheitsmassstab) gelöst war, dahingehend, dass das nicht möglich ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

astrofreund

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Hallo Ralf,

die KI hat wohl was dagegen, das ihre Antworten kopiert werden. Bei Formeln, Gleichungen und dergleichen gibt sie nur die unformatierte Versiondafür doppelt weiter. Ich kopiere immer alles in eine Thunderbird-Mail an mich und drucke diese aus. Bisher habe ich leider nichts anderes für einfaches Kopieren gefunden. Dort muss ich auch immer alle Doppelungen löschen.

Also die letzte Antwort ist zu korrigieren und hier nochmal als komplette, korrigierte Antwort (soweit es möglich ist):
"
Die Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können und eine sich wiederholende Dezimaldarstellung haben, werden als rationale Zahlen bezeichnet. Beispiele dafür sind 1/2 (0,5) und 1/3 (0,333...). Diese Zahlen sind nicht irrational, da sie als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.

Natürliche Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Sie umfassen die positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3, ...) und manchmal auch die Null (0), je nach Definition. Natürliche Zahlen haben keine Nachkommastellen und sind daher immer ganzzahlig.

Rationale Zahlen, die nicht natürlich sind, können entweder ganze Zahlen (wie -2, 0, 3) oder Brüche (wie 1/2, 3/4) sein. Diese Brüche können eine endliche oder eine unendliche, sich wiederholende Dezimaldarstellung haben.
Zusammengefasst:
  • Natürliche Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen und sind immer ganzzahlig.
  • Rationale Zahlen umfassen alle Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, einschließlich der natürlichen Zahlen.
  • Irrationale Zahlen, wie π, können nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden und haben eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung.
Daher können Zahlen wie 1/2 oder 1/3 nicht als natürliche Zahlen angesehen werden, da sie keine ganzen Zahlen sind. Sie sind jedoch rationale Zahlen."

So sollte das besser zu verstehen sein.
Gruß, Astrofreund
 

astrofreund

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Warum bezeichnet die AI π als "irrationale" Zahl (was durchaus richtig ist) und nicht als transzendente Zahl (was viel wichtiger ist) ? Die "typische" irrationale Zahl ist √2. Diese ist algebraisch vom Grade 2.
Du hast recht, dass die Zahl π nicht nur irrational, sondern auch transzendent ist. Lass uns die Begriffe klären:
  1. Irrationale Zahlen: Diese sind Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können. Beispiele sind Wurzel(2) und π. Irrationale Zahlen haben eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung.
  2. Transzendente Zahlen: Diese sind eine spezielle Unterklasse der irrationalen Zahlen. Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die nicht die Lösung einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Beispiele sind π und die Eulersche Zahl e.
  3. Algebraische Zahlen: Diese sind Zahlen, die Lösungen einer polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sind. Beispiele sind Wurzel(2) (Lösung von x^2−2=0x) und 1/2 (Lösung von 2x−1=0).

Die Zahl Wurzel(2) ist ein klassisches Beispiel für eine irrationale, aber algebraische Zahl. Sie ist die Lösung der Gleichung x^2−2=0, was bedeutet, dass sie algebraisch vom Grade 2 ist.

Die Zahl π hingegen ist nicht nur irrational, sondern auch transzendent. Das bedeutet, dass sie nicht die Lösung einer polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Dies macht π zu einer besonders interessanten und wichtigen Zahl in der Mathematik.

Zusammengefasst:
  • Irrationale Zahlen: Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können. Beispiele: Wurzel(2), π.
  • Transzendente Zahlen: Irrationale Zahlen, die nicht die Lösung einer polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sind. Beisp.e: π, e.
  • Algebraische Zahlen: Zahlen, die Lösungen einer polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sind. Beispiele: Wurtel(2), 1/2.

Du hast recht, dass die Transzendenz von π eine wichtige Eigenschaft ist, die sie von anderen irrationalen Zahlen wie Wurzel(2) unterscheidet. "

Gruß, Astrofreund
 

TomS

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Transzendente Zahlen: Diese sind eine spezielle Unterklasse der irrationalen Zahlen.
Andersherum.

Transzendente Zahl sind überabzählbar und damit der Normalfall.

Algebraische Zahlen: Diese sind Zahlen, die Lösungen einer polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sind.
Damit sind sie abzählbar und somit die Ausnahme. Anders gesagt, nicht-transzendente Zahlen sind innerhalb der reellen Zahlen eine Menge vom Maß Null.
 
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Bernhard

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  1. Irrationale Zahlen: Diese sind Zahlen, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können. Beispiele sind Wurzel(2) und π. Irrationale Zahlen haben eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung.
  2. Transzendente Zahlen: Diese sind eine spezielle Unterklasse der irrationalen Zahlen. Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die nicht die Lösung einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. Beispiele sind π und die Eulersche Zahl e.
  3. Algebraische Zahlen: Diese sind Zahlen, die Lösungen einer polynomialen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sind. Beispiele sind Wurzel(2) (Lösung von x^2−2=0x) und 1/2 (Lösung von 2x−1=0).
2. Reelle transzendente Zahlen: Sie bilden eine spezielle Unterklasse der irrationalen Zahlen.
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl
EDIT: Keine Ahnung, ob man anstelle von Unterklasse besser Untermenge schreiben sollte.
 
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ralfkannenberg

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Andersherum.

Transzendente Zahl sind überabzählbar und damit der Normalfall.
Hallo Tom,

ich bin auch erst darüber gestolpert, aber der Astrofreund hat hier Recht: die irrationalen Zahlen sind nämlich auch überabzählbar unendlich, denn das ist die Menge IR\IQ - die reellen irrationalen Zahlen, oder IC\IQ. Wobei ich persönlich lieber die Menge IC\IQ(i) als irrationale Zahlen bezeichnen würde, wobei IQ(i) die Menge der rationalen Zahlen adjungiert i ist, d.h. alle Zahlen der Form {p+q*i mit p,q in IQ).

Ich vermute aber, dass man mit "irrationalen Zahlen" die reellen irrationalen Zahlen meint, so wie man mit rationalen Zahlen ja auch die reellen rationalen Zahlen meint und nicht IQ(i).

Ich habe mir leider angewöhnt, das Wort "irrational" synonym zu "algebraisch" zu verwenden, aber in Wirklichkeit ist die Menge der (komplexen) irrationalen Zahlen die Vereinigungsmenge der irrationalen algebraischen Zahlen, welche abzählbar unendlich sind, sowie der irrationalen transzendenten Zahlen, welche überabzählbar unendlich sind. - Da i als Nullstelle des Polynoms x²+1=0 ebenso wie die √2 als Nullstelle des Polynoms x²-2=0 algebraisch vom Grade 2 ist kommen hier nicht-reelle komplexe Zahlen dazu.

Dann gibt es noch die Menge der (reellen) rationalen Zahlen, welche ebenfalls abzählbar unendlich ist und eine Menge haben wir noch vergessen, das ist die Menge der nicht-reellen rational-komplexen Zahlen, also IQ(i)\IQ, d.h. {p+q*i mit p,q in IQ und q <> 0}. Diese Menge ist als 2-Tupel abzählbar-unendlicher Elemente natürlich ebenfalls abzählbar unendlich.

Noch eine Schlussbemerkung: man kann Polynome mit (reell-)rationalen Koeffizienten als (n+1)-Tupel (reell-)rationaler Zahlen auffassen. Wie wir wissen sind 2-Tupel rationaler Zahlen abzählbar unendlich, und per vollständiger Induktion sind dann (n+1)-Tupel rationaler Zahlen abzählbar unendlich, d.h. es gibt nur abzählbar-unendlich viele Polynome mit (reell-)rationalen Koeffizienten.

Nun kommt der Hauptsatz der Algebra ins Spiel, welcher besagt, dass Polynome mit (reell-)rationalen Koeffizienten vom Grade n höchstens n Nullstellen haben (wenn man die Vielfachheiten mitzählt sind es genau n Nullstellen), d.h. die Menge der Nullstellen der Polynome mit (reell-)rationalen Koeffizienten ist ebenfalls abzählbar unendlich. Das sind aber gerade per definitionem die algebraischen Zahlen, d.h. die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar unendlich.


Wir haben nun viele Mengen gesehen und hier herrscht auch etwas Verwirrung betreffen "reell" und "komplex".

Algebraisch hängen diese Mengen wie folgt zusammen:
1. Peano-Axiome mit Startelement 1 und Schrittweite 1 führt zur Halbgruppe der natürlichen Zahlen.
2. die natürlichen Zahlen kann man eindeutig (d.h. bis auf Isomorphie) zur Gruppe der ganzen Zahlen ergänzen.
3. die ganzen Zahlen bilden einen Ring, der zusätzlich ein 1-Element enthält, kommutativ ist und nullteilerfrei ist ("Integritätsbereich").
4. jeder Integritätsbereich besitzt einen eindeutigen (bis auf Isomorphie) Quotientenkörper; das ist die Menge der rationalen Zahlen. Das IQ kommt vom Wort "Quotientenkörper".
5. Nun kann man mithilfe der Polynome mit rationalen Koeffizienten Oberkörper bilden, beispielsweise IQ(√2) = {p+q*√2 mit p,q in IQ}. Das multiplikativ Inverse erhält man, indem man 1/(p+q*√2) mit p-q*√2 erweitert, dann wird der Nenner rational zu p²-2q², d.h. die Wurzel gelangt in den Zähler. Somit ist IQ(√2) ein Körper.
6. Analog zeigt man, dass IQ(√2,√3) ebenfalls einen Körper bilden (ähnlich wie bei den Einheiten der Quaternionen mit √6 als "vierte" Dimension)
7. Man kann zeigen, dass "die Adjungierung" aller "Wurzeln" - korrekte Definition: die Menge der Nullstellen der Polynome mit (reell-)rationalen Koeffizienten einen Körper bilden; das ist der Körper der algebraischen Zahlen.

Nun gehen wir in die Analysis:
4. hat den Körper der rationalen Zahlen gebildet
8. nun "vervollständigen" wir diesen Körper, indem wir die Grenzwerte aller (konvergenten) Cauchy-Folgen mit rationalen Folgengliedern dazunehmen; das führt zur Menge und zum Körper der reellen Zahlen
9. nun adjungieren wir zum Körper der reellen Zahlen die imaginäre Einheit i mit der Rechenvorschrift i*i=-1, dann erhalten wir den Körper der komplexen Zahlen.
10. nun adjungieren wir zum Körper der komplexen Zahlen eine weitere imaginäre Einheit j mit der Rechenvorschrift j*j=-1 und i*j einer vierten Dimension k (siehe oben mit √2*√3=√6), dann erhalten wir den Schiefkörper der Hamilton'schen Quaternionen. Schiefkörper heisst, dass das Kommuntativgesetz der Multiplikation im Allgemeinen nicht mehr gültig ist; so gilt beispielsweise i*j=k, aber j*i=-k. Vorsicht: Bei IQ(√2,√3) haben wir dieses Vorzeichenproblem nicht, da IQ(√2,√3) eine Teilmenge von IR ist und IR ein Körper ist; dieses Vorzeichenproblem tritt erst dann auf, wenn imaginäre Einheiten ins Spiel kommen.
11. man kann nun weitere imaginäre Einheiten adjungieren und erhält Mengen mit immer weniger Eigenschaften, so bildet die Menge der Oktaven oder Oktonionen noch eine Divisionsalgebra.

Cantor konnte 1874 zeigen, dass die Menge der reellen Zahlen nicht bijektiv zur Menge der rationalen Zahlen sein kann, was bedeutet, dass sie von einer höheren Mächtigkeit ist ("überabzählbar unendlich").

Die Differenzmenge IR\(IA n IR) (reelle algebraische Zahlen; das "n" soll Schnittmenge bedeuten) nennt man (reelle) transzendente Zahlen bzw. die Differenzmenge IC\IA nennt man transzendente Zahlen. Wäre die Menge der tranzendenten Zahlen nur abzählbar unendlich gross, so wäre die Vereinigung der transzendenten Zahlen und der algebraischen Zahlen als Vereinigungsmenge zweier abzählbar unendlicher Mengen ebenfalls nur abzählbar unendlich, im Widerspruch zum Cantorschen Diagonalbeweis, dass die Menge der reellen Zahlen (und somit auch der komplexen Zahlen) überabzählbar unendlich gross ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Hallo zusammen,

mein Beitrag von heute nacht bezog sich auf das "Andersherum".

Transzendente Zahl sind überabzählbar und damit der Normalfall.
Das ist zutreffend und es kann nicht oft genug wiederholt werden, dass dem so ist: transzendente Zahlen sind der Normalfall und das war es ja auch, was diese von mir genannte "Krise" ausgelöst hat, da es sehr schwierig sit, solche Elemente, die den Normalfall darstellen, ganz konkret anzugeben.

1851 gelang Liouville der Nachweis einer solchen Zahl und 1873 gelang Hermite der Nachweis, dass die Euler'sche Zahl e ebenfalls eine solche Zahl ist. Beides wurde also noch vor der "Krise" bewiesen. - Der Nachweis der Transzendenz von π gelang Ferdinand von Lindemann dann 8 Jahre nach der "Krise".

Dass e und π transzendent sind wurde von den Mathematikern übrigens schon lange Zeit vermutet, "lediglich" der Beweis war ausstehend. Dass es so viele von denen gibt konnten sie aber vor dem Cantor'schen Diagonalbeweis nicht wissen.

Damit sind sie abzählbar und somit die Ausnahme. Anders gesagt, nicht-transzendente Zahlen sind innerhalb der reellen Zahlen eine Menge vom Maß Null.
Und das ist der Grund, warum algebraische Zahlen die Ausnahme sind, obgleich fast jede Zahl, die wir kennen, zu dieser Ausnahmemenge gehört, übrigens auch die imaginäre Einheit i. Ich habe heute nacht anschaulich skizziert, warum die algebraischen Zahlen nur abzählbar unendlich sind - die Menge der Polynome vom Grade n mit rationalzahligen Koeffizienten ist als (n+1)-Tupel rationaler Zahlen abzählbar unendlich und gemäss dem Hauptsatz der Algebra hat jedes Polynom höchstens n Nullstellen, was an der Abzählbarkeit nichts ändert, d.h. auch die Nullstellen sind abzählbar unendlich und das sind ja die algebraischen Zahlen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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7. Man kann zeigen, dass "die Adjungierung" aller "Wurzeln" - korrekte Definition: die Menge der Nullstellen der Polynome mit (reell-)rationalen Koeffizienten einen Körper bilden; das ist der Körper der algebraischen Zahlen.
Hallo zusammen,

in der Algebra gibt es noch eine weitere Menge, welche Gegenstand von Untersuchungen ist, und das ist die Menge der ganz-algebraischen Zahlen, welche einen Ring bildet.

Ganz-algebraische Zahlen sind nicht ganze-Zahlen wie der Name suggerieren könnte, sondern solche, die Nullstellen der normierten Polynome mit ganz-zahligen Koeffizienten.

Hierbei habe ich ein kleines Wort hineingeschmuggelt, nämlich das der "normierten" Polynome: man kann nämlich die Polynome mit (reell-)rationalen Koeffizienten mit dem Hauptnenner dieser (reell-)rationalen Koeffizienten multiplizieren, das ändert nichts an den Nullstellen. Das heisst man kann die algebraischen Zahlen o.E.d.A. auch als Nullstellen von Polynomen mit (reell-)ganz-zahligen Koeffizienten definieren.

Und wenn nun die Zusatzbedingung hineinkommt, dass der Koeffizient des höchsten Gliedes, also der höchsten von 0 verschiedenen x-Potenz, gleich 1 ist, dann spricht man von einem normierten Polynom und deren Nullstellen nennt man ganz-algebraischen Zahlen.

So sind beispielsweise √2, √3 oder auch i solche ganz-algebraische Zahlen (vom Grade 2).


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Ich frage mich manchmal, ob man die irrationalen Zahlen überhaupt Zahlen nennen sollte. Denn man kann diese Zahlen in endlicher Zeit nicht einfach an die Tafel schreiben. Es handelt sich bei einer irrationalen Zahl doch vielmehr um eine bestimmte Klasse von Berechnungsverfahren.
 

ralfkannenberg

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Ich frage mich manchmal, ob man die irrationalen Zahlen überhaupt Zahlen nennen sollte.
Hallo Bernhard,

1. man nehme einen Einheitsmassstab und trage eine Strecke der Länge 1 irgendwo auf der Ebene auf
2. nun verlängere man diese Strecke mit Hilfe des Lineals und des Einheitsmassstabes auf die doppelte Länge ("Zahlenachse").
3. nun nehme man einen Zirkel und weite ihn irgendwo zwischen der ersten Strecke und der zweiten Strecke
4. nun machen wir mit diesem Zirkel 2 Kreise, einen vom Anfangspunkt der doppelt so langen Strecke und einen von ihrem Endpunkt
5. nun nehmen wir das Lineal und zeichnen eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise
6. somit haben wir einen rechten Winkel auf die Strecke am Ende der Strecke der Länge 1 von (1) konstruiert
7. mit dem Einheitsmassstab messen wir von diesem Endpunkt eine Strecke ebenfalls der Länge 1 ab
8. wir verbinden den Anfangspunkt der ersten Strecken mit dem Endpunkt der senkrechten Strecke - dies ist die Diagonale des Einheitsquadrates
9. nach dem Satz des Pythagoras hat diese die Länge √2
10. wir stechen den Zirkel im Anfangspunkt der ersten Strecke ein und ziehen einen Kreis vom Endpunkt der zweiten Strecke
11. dort, wo dieser Kreis die Strecke von (2), also die Zahlenachse, schneidet liegt der Punkt √2

Das kann man in endlicher Zeit konstruieren (und auch besser aufschreiben als ich das nun ad hoc gemacht habe; die Idee ist, eine Strecke der Länge 1, ihre senkrechte dazu der Länge 1, damit ein Quadrat der Seitenlänge 1, dann die Diagonale auf die Verlängerung der Strecke 1 ("Zahlenachse") zu ziehen.

Denn man kann diese Zahlen in endlicher Zeit nicht einfach an die Tafel schreiben. Es handelt sich bei einer irrationalen Zahl doch vielmehr um eine bestimmte Klasse von Berechnungsverfahren.
Die Zahl 1/3 kann man im Zehnersystem auch nicht in endlicher Zeit an die Tafel schreiben.

Im Dreiersystem hat die Zahl 1/3 den Wert 0.1

Und im "π-System" hat die Zahl π den Wert 1.0

Im Übrigen gibt es Algorithmen, mit denen man mit algebraischen Zahlen exakt rechnen kann. Was allerdings nicht in endlicher Zeit möglich ist die exakte Darstellung solcher Zahlen im Dezimalsystem. Man kann sie aber exakt darstellen als Nullstellen ihres Minimalpolynomes. Zwar gibt es dann auch noch konjugierte Nullstellen dazu, aber nur endlich viele, d.h. man kann diese Zahlen der Grösse nach anordnen (auf dem Computer eignet sich dafür ein Newton-Verfahren) und dann feststellen, dass unsere Zahl die z.B. 12.Nullstelle ihres Minimalpolynomes ist. Aber ich würde die exakte Darstellbarkeit im Dezimalsystem nicht als Kriterium für die Existenz einer Zahl ansehen.

Es ist übrigens kein Zufall, dass ich die anderen Nullstellen desselben Minimalpolynoms als "konjugiert" bezeichnet habe: bei den komplex-konjugierten Zahlen liegt nämlich dieselbe Situation vor, einfach nur der Spezialfall vom Grade 2 und mit reellwertigen Koeffizienten des Minimalpolynomes.

Beim Beweis der Transzendenz der Zahl π wird übrigens aufbauend vom Beweis der Transzendenz der Zahl e die Eigenschaft solcher konjugierten Lösungen verwendet.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Ich meine Teilmenge. Üblicherweise wird ja beispielsweise auch die Menge der natürlichen Zahlen und nicht die Klasse der natürlichen Zahlen verwendet.
Hallo Bernhard,

hier ist die Konvention wie folgt: "Teil-" ist eine Teilmenge, bei der die Struktur nicht erhalten bleibt, "Unter-" ist eine Teilmenge, bei der die Struktur erhalten bleibt, beispielsweise bei einer Untergruppe.

Wobei sofort auffällt ist, dass meine Formulierung etwas heikel ist, denn eine Menge kennt zunächst einmal nur die Struktur der Teilmengen-Bildung, und diese ist bei einer Teilmenge ebenfalls vorhanden, d.h. an sich sollte man Teilmengen als "Untermengen" bezeichnen. Es ist aber weniger verwirrend, sie als Teilmenge zu bezeichnen.

Nehmen wir die 90°-Drehungen eines Quadrates in der euklidischen Ebene, die das Quadrat wieder auf sich selber abbilden. Von denen gibt es vier Stück, nämlich Drehungen um 0°, 90°, 180° und 270°. Diese bilden eine Gruppe. Die Teilmenge der Drehungen um 0° und um 90° bildet keine Gruppe, die Teilmenge der Drehungen um 0° und um 180° indes bildet eine Gruppe und ist deswegen nicht nur eine Teilmenge dieser Drehgruppe um 90°, sondern sogar eine Untergruppe der Drehgruppe um 90°, nämlich die Drehgruppe um 180°.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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Die Zahl 1/3 kann man im Zehnersystem auch nicht in endlicher Zeit an die Tafel schreiben.

Im Dreiersystem hat die Zahl 1/3 den Wert 0.1

Und im "π-System" hat die Zahl π den Wert 1.0
Man sieht auch daran, dass "1/3" oder "π" als Platzhalter/Abkürzung/Symbol für einen bestimmten Vorgang steht. Es wird damit dann aber auch klar, dass eine Klassifizierung der zugehörigen Vorgänge schnell willkürlich und damit subjektiv wird.
 

ralfkannenberg

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So sind beispielsweise √2, √3 oder auch i solche ganz-algebraische Zahlen (vom Grade 2).
Hallo zusammen,

auf dem Weg zur Arbeit (heute war ich nur 50% im Homeoffice) habe ich mir Gedanken über das Beispiel einer algebraischen Zahl gemacht, welche nicht ganz-algebraisch ist und dabei (man kann sich das im Kopf überlegen) ein "Starwars-Erlebnis" gehabt, so nach dem Motto - ich habe immer schon geahnt, dass Leia meine Schwester ist.

Ausgehend von der √2 und ihrem Minimalpolynom p(x)=x²-2 kann man ja auch das Polynom q(x)=2x²-1 betrachten. Da braucht man nicht lange herumzurechen, die Nullstellen findet man einfach zu 2x²-1=0 <=> x²-1/2=0, also x²=1/2, betrachten wir der Einfachheit halber nur die positive Lösung 1/√2; durch Erweitern mit √2 bringen wir die Wurzel in den Zähler: 1/√2 = (1/2)*√2; vermutlich kennt jeder diese Zahl, ist sie doch sin(45°) bzw. cos(45°).

Tja, und irgendwie braucht man kein gewiefter Algebraiker zu sein um sofort zu erahnen, dass (1/2)*√2 keine ganz-algebraische Zahl ist. Oder auch mit der √2 im Nenner ist intuitiv schon klar, dass - ebenso wie 1/2, 1/3, 1/4 u.s.w. im Gegensatz zu 2, 3, 4 keine ganzen Zahlen sind - auch 1/√2 keine ganz-algebraische Zahl sein dürfte.

Und somit sehen wir auch gleich, warum die ganz-algebraischen Zahlen keinen Körper bilden, denn √2 ist eine ganz-algebraische Zahl, ihr multiplikativ Inverses 1/√2 indes ist keine ganz-algebraische Zahl.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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Man sieht auch daran, dass "1/3" oder "π" als Platzhalter/Abkürzung/Symbol für einen bestimmten Vorgang steht. Es wird damit dann aber auch klar, dass eine Klassifizierung der zugehörigen Vorgänge schnell willkürlich und damit subjektiv wird.
Hallo Bernhard,

ich bin mir hier nicht sicher, was Du meinst; ich denke, solche "Probleme" bekommt man dann, wenn man mit Dezimalzahlen arbeitet. In der IT ist das natürlich insofern relevant, also dass der Datentyp REAL nicht exakt ist, beispielsweise im Gegensatz zum Datentyp INTEGER. Auch Brüche sind dann exakt darstellbar, denn man kann sie als Quotient zweier Zahlen vom Datentyp INTEGER auffassen und um den Rechenspeicher zu schonen den ggt mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus herauskürzen. Die Rechenregeln sind dann nicht die einfache Addition/Subtraktion/Multiplikation/Division der REAl-Zahlen, sondern man muss dann eben die Bruchrechenregeln implementieren.

Bei Quadratwurzeln geht das letztlich ebenso; man kann ja die Koeffizienten des Minimalpolynom als INTEGER darstellen und dann auf Ebene der Minimalpolynome herumoperieren - wie das geht habe ich längst vergessen. Hier muss man im Gegensatz zu den rationalen Zahlen noch beachten, dass die Lösung des Minimalpolynoms nicht mehr eindeutig ist, sondern aus einer Lösung und aller ihrer Konjugierten besteht.

Und bei algebraischen Zahlen von höherem Grad geht das natürlich auch, es wird einfach immer komplizierter; kommt noch erschwerend dazu, dass man Polynome 5.Grades und höher im Allgemeinen nicht mehr analytisch lösen kann.

Aber: die Zahl 1/3 ist eben nicht die Dezimalzahl 0.3333333....., sondern das multiplikativ Inverse der natürlichen Zahl 3, und die Zahl π ist eben nicht die Dezimalzahl 3.14159265.... sondern der Quotient aus der Länge des Umfanges eines beliebigen Kreises und seinem Durchmesser.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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Ich denke, das hier trifft es.


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ralfkannenberg

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Ich denke, das hier trift es ganz gut:
Hallo Tom,

aus Sicht der Analysis ja, aus Sicht der Algebra nein.

In der Analysis genügt es, eine dicht-liegende Menge im Kontinuum zu haben, welche abzählbar unendlich ist; strukturelle Überlegungen werden da - etwas salopp formuliert - nicht benötigt.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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