Is the Universe Infinite or Finite?

astrofreund

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Na da frage ich noch mal nach und die KI meint auf die Frage ist die Minkowski-Metrik eine echte Metrik?

"Ja, die Minkowski-Metrik ist eine echte Metrik. Sie ist eine spezielle Form der Lp-Metrik, die in der Mathematik und insbesondere in der Funktionalanalysis verwendet wird. Die Minkowski-Metrik ist definiert als:

dp(x,y)=(∑i=1n∣xi−yi∣p)1/p

wobei x und y Punkte im n-dimensionalen Raum sind und p≥1 ist.

Um eine echte Metrik zu sein, muss die Minkowski-Metrik die folgenden Eigenschaften erfüllen:
  1. Nicht-Negativität: dp(x,y)≥0 für alle x,y.
  2. Identität der Ununterscheidbarkeit: dp(x,y)=0 genau dann, wenn x=y.
  3. Symmetrie: dp(x,y)=dp(y,x)) für alle x,y.
  4. Dreiecksungleichung: dp(x,z)≤dp(x,y)+dp(y,z) für alle x,y,z.
Die Minkowski-Metrik erfüllt alle diese Eigenschaften, daher ist sie eine echte Metrik. "

Schade, dass wir hier kein Latex haben. Ich versuche mich an anderenTricks.
Gruß, Astrofreund
 

ralfkannenberg

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" (...) Die Minkowski-Metrik erfüllt alle diese Eigenschaften, daher ist sie eine echte Metrik. "
Hallo Astrofreund,

das überrascht mich jetzt doch ziemlich. Kannst Du die AI bitte fragen, ob die Minkowski-Metrik positiv-definit ist ?


Hier ist mir übrigens beide Male ein Fehler unterlaufen:
Korrekt. Wobei die Raum-Zeit-Bilinearform negativ definit nicht positiv definit (nicht: definiert !) ist und somit keine Metrik, sondern "nur" eine Bilinearform ist.
Eine Metrik indes kann sie per definitionem nicht sein, weil sie negativ-definit nicht positiv definit ist
Gestrichen rot ist falsch, blau wäre richtig.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

astrofreund

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Die Ki wollte heute nicht so, wie ich will. Die Formatierung der Ausgabe (Latex) hat nicht funktioniert. Aber nun habe ich eine Fragestellung gefunden, wo die Ki mitgemacht hat:

"
Was ist Minkowskis Metrik und ist diese positiv-definit ?
Minkowskis Metrik ist eine spezielle Metrik, die in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Hermann Minkowski benannt und wird verwendet, um die Abstände in der Raumzeit zu messen. In einem vierdimensionalen Raumzeit-Koordinatensystem (drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension) wird die Minkowski-Metrik durch die folgende Gleichung beschrieben:
ds2=−c2dt2+dx2+dy2+dz2ds2=−c2dt2+dx2+dy2+dz2
Hierbei sind:
  • dsds das Linienelement (die infinitesimale Raumzeit-Distanz),
  • cc die Lichtgeschwindigkeit,
  • dtdt das infinitesimale Zeitintervall,
  • dx,dy,dzdx,dy,dz die infinitesimalen Raumintervalle in den drei Raumdimensionen.
Die Minkowski-Metrik ist nicht positiv-definit. Eine positiv-definite Metrik ist eine Metrik, bei der das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst immer positiv ist, außer wenn der Vektor der Nullvektor ist. In der Minkowski-Metrik kann das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst jedoch negativ oder null sein, abhängig von den Komponenten des Vektors.
Zum Beispiel, für einen Vektor v=(ct,x,y,z)v=(ct,x,y,z) in der Raumzeit, ist das Skalarprodukt gegeben durch:
v⋅v=−c2t2+x2+y2+z2v⋅v=−c2t2+x2+y2+z2
Dies kann negativ sein, wenn der zeitliche Anteil ctct groß genug ist im Vergleich zu den räumlichen Anteilen x,y,zx,y,z. Daher ist die Minkowski-Metrik nicht positiv-definit."

Hoffe, es hilft weiter.
Gruß, Astrofreund
 

ralfkannenberg

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Die Minkowski-Metrik ist nicht positiv-definit.
Hallo Astrofreund,

vielen Dank.

An dieser Stelle widerspricht sich die AI, denn eine Metrik muss per definitionem positiv-definit sein.

Kannst Du die AI mal fragen, warum sie der Meinung ist, dass die Minkowski-Metrik, obgleich sie ein Kriterium für Metriken nicht erfüllt, eine Metrik ist ?

Ich weiss, das sind zunächst einmal nur Definitionen, aber es würde mich trotzdem wunder nehmen, warum die AI dieser Meinung ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Identität der Ununterscheidbarkeit: dp(x,y)=0 genau dann, wenn x=y.
Hallo Astrofreund,

und hier noch ein kleines Gegenbeispiel für p=2, also die übliche Abstandsmessung via Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Differenzen der Komponenten der Vektoren:

Betrachte die beiden Punkte

x = (1,0,0,0)
y = (0,1,0,0)

Diese sind verschieden.

Was ist ihr Abstand bezüglich des Standard-Skalarproduktes:

Quadratwurzel( +(1-0)² + (0-1)² + (0-0)² + (0-0)² ) = Quadratwurzel(+1+1+0+0) = √2

Anschaulich nichts besonderes, da die 3. und 4.Koordinate = 0 ist haben wir die beiden Punkte (1,0) und (0,1) in der Ebene; diese spannen ein Einheits-Quadrat auf und der Abstand der beiden Punkte ist die Länge der Diagonalen, das kann man auch mit dem Satz von Pythagoras einfach ausrechnen.


Was ist nun ihr Abstand bezüglich der Minkowski-Metrik:

Quadratwurzel( -(1-0)² + (0-1)² + (0-0)² + (0-0)² ) = Quadratwurzel(-1+1+0+0) = 0

Das heisst obgleich der Abstand der beiden Punkte den Wert 0 hat sind sie verschieden.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. Es gefällt mir übrigens, dass die AI den Abstandsbegriff für beliebige Lp-Normen definiert hat.


EDIT 13:35, die vorherige Formulierung war falsch. Genau genommen müsste man noch die Absolutbeträge der Differenzen verwenden, um sicherzustellen, dass diese positiv sind; wegen der Quadratbildung ist dies aber bei der L2 nicht erforderlich
 
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astrofreund

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Kannst Du die AI mal fragen, warum sie der Meinung ist, dass die Minkowski-Metrik, obgleich sie ein Kriterium für Metriken nicht erfüllt, eine Metrik ist ?

Frage an AI:

Eine Metrik muss per definitionem positiv-definit sein. Warum bist Du der Meinung, dass die Minkowski-Metrik, obgleich sie ein Kriterium für Metriken nicht erfüllt, eine Metrik ist ?

Antwort der AI:

"Die Minkowski-Metrik ist eine spezielle Metrik, die in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Sie unterscheidet sich von den gewöhnlichen Metriken, die in der euklidischen Geometrie verwendet werden, und hat einige besondere Eigenschaften, die sie einzigartig machen.

Eine gewöhnliche Metrik d in einem metrischen Raum muss die folgenden Eigenschaften erfüllen:
  1. Positiv-Definitheit: d(x,y) ≥ 0 für alle x,y und d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y.
  2. Symmetrie: d(x,y) = d(y,x) für alle x,y.
  3. Dreiecksungleichung: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) für alle x,y,z.
Die Minkowski-Metrik, die in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird, hat die Form:

ds2=−c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2

oder in einer kompakteren Form:

ds2=ημνdxμdxν

wobei ημν die Minkowski-Metrik-Tensor ist."

Gruß, Astrofreund
 
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astrofreund

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Das heisst obgleich der Abstand der beiden Punkte den Wert 0 hat sind sie verschieden.
Die KI zur Frage was Lp-Normen sind:

"Lp-Normen sind eine Familie von Normen, die in der Mathematik, insbesondere in der Funktionalanalysis und der Theorie der Banachräume, verwendet werden. Sie sind eine Verallgemeinerung der euklidischen Norm und spielen eine wichtige Rolle in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer Anwendungen, wie z.B. in der Optimierung, der Signalverarbeitung und des Maschinellen Lernens.

Für einen Vektor x=(x1,x2,…,xn) in einem n-dimensionalen Raum ist die Lp-Norm definiert als:

x∥p=(∑i=1n ∣xi∣p)1/p

wobei p eine reelle Zahl ist, die größer oder gleich 1 ist.

Einige spezielle Fälle der Lp-Normen sind:
  1. L1-Norm (Manhattan-Norm): ∥x∥1=∑i=1n ∣xi∣ Diese Norm wird auch als Manhattan-Norm oder Taxi-Norm bezeichnet, weil sie die Summe der absoluten Werte der Komponenten des Vektors ist.
  2. L2-Norm (Euklidische Norm): ∥x∥2=(∑i=1n ∣xi∣ 2)1/2 Dies ist die gewöhnliche euklidische Norm, die die Länge eines Vektors im euklidischen Raum misst.
  3. L∞-Norm (Maximumsnorm): ∥x∥∞=max⁡ 1≤i≤n ∣xi∣ Diese Norm misst den maximalen absoluten Wert der Komponenten des Vektors.
Die Lp-Normen erfüllen die folgenden Eigenschaften, die für jede Norm gefordert werden:
  1. Positiv-Definitheit: ∥x∥p ≥ 0 und ∥x∥p = 0 genau dann, wenn x = 0.
  2. Skalierbarkeit: ∥αx∥p = ∣α∣ ∥x∥p∥αx für jede reelle Zahl α.
  3. Dreiecksungleichung: ∥x+y∥p ≤ ∥x∥p+∥y∥p für alle Vektoren x und y.
Diese Normen sind nützlich, weil sie verschiedene Aspekte der Vektorgröße betonen. Zum Beispiel betont die L1-Norm die Summe der absoluten Werte, während die L∞-Norm den maximalen absoluten Wert betont. Die Wahl der Norm hängt oft von der spezifischen Anwendung und den gewünschten Eigenschaften ab."

Gruß, Astrofreund
 

ralfkannenberg

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Frage an AI:

Eine Metrik muss per definitionem positiv-definit sein. Warum bist Du der Meinung, dass die Minkowski-Metrik, obgleich sie ein Kriterium für Metriken nicht erfüllt, eine Metrik ist ?

Antwort der AI:

"Die Minkowski-Metrik ist eine spezielle Metrik, die in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Sie unterscheidet sich von den gewöhnlichen Metriken, die in der euklidischen Geometrie verwendet werden, und hat einige besondere Eigenschaften, die sie einzigartig machen.

(...)
Hallo Astrofreund,

das heisst also in Kurz, dass eine Metrik, die gar meine Metrik ist, dennoch als Metrik bezeichnet werden darf, wenn sie andere besondere Eigenschaften hat.

Ich persönlich denke, dass das nicht der richtige Weg ist, denn beim Metrikbegriff handelt es sich zunächst einmal "nur" um eine Definition, die von der Minkowski-Mertik nicht erfüllt wird. Mit dieser Vorgehensweise wird also dem Missverständnis Tür und Tor geöffnet.

Kommt im Fall der speziellen Relativitätstheorie hinzu, dass die dortige Anwendung der Minkowski-Metrik für die Abstandsmessung völlig ausreichend ist, d.h. es würde genügen, die Minkowski-Metrik als das zu bezeichnen, was sie ist, nämlich als eine Abstandsfunktion.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

astrofreund

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Frage an KI:
Im Fall der speziellen Relativitätstheorie ist die dortige Anwendung der Minkowski-Metrik für die Abstandsmessung völlig ausreichend. Würde es nicht genügen, die Minkowski-Metrik als das zu bezeichnen, was sie ist, nämlich als eine Abstandsfunktion?

Antwort der KI:

"In der speziellen Relativitätstheorie wird die Minkowski-Metrik tatsächlich verwendet, um den Abstand in der Raumzeit zu messen. Allerdings ist es wichtig zu verstehen, warum die Minkowski-Metrik nicht einfach als "Abstandsfunktion" bezeichnet wird, sondern als "Metrik" oder "Pseudo-Metrik".

Warum die Minkowski-Metrik mehr als nur eine Abstandsfunktion ist:
  1. Raumzeit-Struktur: Die Minkowski-Metrik beschreibt die Geometrie der Raumzeit, die in der speziellen Relativitätstheorie von zentraler Bedeutung ist. Sie kombiniert die drei räumlichen Dimensionen und die Zeitdimension in einer einzigen mathematischen Struktur. Dies geht über die einfache Messung von Abständen hinaus und beschreibt, wie Raum und Zeit miteinander verbunden sind.
  2. Invarianz unter Lorentz-Transformationen: Die Minkowski-Metrik ist invariant unter Lorentz-Transformationen, die die Koordinatentransformationen zwischen verschiedenen Inertialsystemen beschreiben. Diese Invarianz ist entscheidend für die Konsistenz der physikalischen Gesetze in verschiedenen Bezugssystemen und ist ein grundlegendes Prinzip der speziellen Relativitätstheorie.
  3. Lichtkegel-Struktur: Die Minkowski-Metrik definiert die Struktur des Lichtkegels, der die kausale Struktur der Raumzeit beschreibt. Der Lichtkegel teilt die Raumzeit in zeitartige, lichtartige und raumartige Regionen, was für die Beschreibung von Ereignissen und deren kausalen Zusammenhängen wesentlich ist.
  4. Pseudo-Euklidische Geometrie: Die Minkowski-Metrik ist eine Pseudo-Euklidische Metrik, was bedeutet, dass sie nicht positiv-definit ist. Dies führt zu einer Geometrie, die sich von der euklidischen Geometrie unterscheidet und spezielle Eigenschaften hat, die für die Beschreibung der Raumzeit notwendig sind.

Zusammenfassung:​

Während die Minkowski-Metrik tatsächlich eine Abstandsfunktion ist, die den Abstand in der Raumzeit misst, geht ihre Bedeutung weit darüber hinaus. Sie beschreibt die fundamentale Struktur der Raumzeit, die Invarianz unter Lorentz-Transformationen und die kausale Struktur der Raumzeit. Daher ist es angemessen, sie als "Metrik" oder "Pseudo-Metrik" zu bezeichnen, um ihre umfassende Rolle in der speziellen Relativitätstheorie zu würdigen. "

Hilft diese VL weiter?

Doch ist verfügbar. Auf Startdreieck (rechts unten) drücken und bei YouTube anschauen.
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Gruß, Astrofreund
 
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ralfkannenberg

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Die KI zur Frage was Lp-Normen sind:
Hallo Astrofreund,

das hat zwar mit meinem Zitat nichts zu tun, ist aber eine gute Ergänzung - auch um ein bisschen "Werbung" für diese Lp-Metriken zu machen.

Auch hier finde ich die Antwort der AI sehr gut, aus mathematischer Sicht hätte ich aber noch 2 Ergänzungen angebracht. Man kann nämlich zu den Lp-Metriken zugehörige Lp-Räume definieren (genau genommen gehören diese beiden Begriffe ohnehin zusammen) und dann deren Dualräume betrachten und da gilt erstaunliches:

Der Raum L2 hat da nämlich eine besondere Rolle unter den Lp-Räumen: er ist selbst-dual und lässt sich als einziger mit einem Skalarprodukt versehen und wird somit zu einem Hilbertraum. Das ist auch der Grund, warum der euklidischen Metrik so eine fundamentale Rolle zukommt.

Zudem sind die Räume L1 und Loo zueinander dual, allerdings sei noch der Vollständigkeit halber erwähnt, dass die L1 und Loo im Gegensatz zu den anderen Lp-Räumen nicht reflexiv sind.


Das "L" bezieht sich übrigens auf den grossen Mathematiker Henri Léon Lebesgue, mit dessen Lebesgue-Integral die Studenten im Hauptstudium gequält werden. In den mathematischen Disziplinen der Masstheorie, der Funktionalanalysis und auch der Wahrscheinlichkeitstheorie spielen diese Begriffe indes eine herausragende Rolle, und wer diese Inhalte gut beherrscht sollte auch eine Dissertation machen.


Ich will (und kann) das nun natürlich nicht vertiefen, aber wenigstens eine Motivation nennen: betrachten wir die Funktion f(x), die auf dem reellen Intervall [0,1] definiert ist und die die folgenden Funktionswerte hat:

f(x) = 1 wenn x rational
f(x) = 0 wenn x irrational

Da die Menge der rationalen Zahlen dicht in der Menge der reellen Zahlen liegt ist diese Funktion natürlich hochgradig unstetig, und ein Riemann-Integral lässt sich auch nicht definieren, da die Obersummen wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen in den reellen Zahlen stets 1 ist und die Untersummen stets 0. Dennoch macht es durchaus Sinn, dieser Funktion ein Integral zuzuordnen. Warum: Auch schon beim Riemann-Integral kann man zeigen, dass wenn die Funktion an nur endlich vielen Punkten von der vorgegebenen Funktion abweicht das Riemann-Integral gleich bleibt. Bei der o.g. Funktion liegen nun zwar nicht endlich-viele Abweichungen vor, aber da die rationalen Zahlen nur abzählbar unendlich gross sind liegen auch nur abzählbar unendlich viele Abweichungen vor - ein "Nichts" (mathematischer Begriff: eine Nullmenge) im Vergleich zu den überabzählbaren vielen Punkten, an denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Mit Hilfe der Theorie der Lebesgue-Integrale lässt sich also tatsächlich so ein Integral definieren und es hat den Wert 0.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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ralfkannenberg

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" (...)

Um eine echte Metrik zu sein, muss die Minkowski-Metrik die folgenden Eigenschaften erfüllen:
  1. Nicht-Negativität: dp(x,y)≥0 für alle x,y.
  2. Identität der Ununterscheidbarkeit: dp(x,y)=0 genau dann, wenn x=y.
  3. Symmetrie: dp(x,y)=dp(y,x)) für alle x,y.
  4. Dreiecksungleichung: dp(x,z)≤dp(x,y)+dp(y,z) für alle x,y,z.
Die Minkowski-Metrik erfüllt alle diese Eigenschaften, daher ist sie eine echte Metrik. "
Hallo Astrofreund,

was sagt die AI dazu, dass ich mit den beiden Punkten (1,0,0,0) und (0,1,0,0) ein Gegenbeispiel zu (2) Identität der Ununterschiedbarkeit genannt habe, da deren Abstand bezüglich der Minkowski-Metrik, obgleich die beiden Punkte verschieden sind, den Wert 0 hat ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Hallo Astrofreund.

könntest Du der AI bitte noch eine Frage stellen:

"Die Zahl pi ist eine spezielle Zahl, die in der Geometrie im Zusammenhang mit der Konstruktion und Berechnung der Eigenschaften von Kreisen verwendet wird. Sie unterscheidet sich von den gewöhnlichen natürlichen Zahlen, die von den Peano-Axiomen definiert werden, und hat einige besondere Eigenschaften, die sie einzigartig machen. Während die Zahl pi tatsächlich das Verhältnis des Umfanges eines Kreises zu seinem Durchmesser ist, geht ihre Bedeutung weit darüber hinaus. Sie beschreibt die fundamentale Struktur von Kreisen und höherdimensionalen runden Objekten auf natürliche Art und spielt auch in der Gauss'schen Zahlenebene eine herausragende Rolle. Ist es daher angemessen, die Zahl pi als natürliche Zahl zu bezeichnen, um ihre umfassende Rolle in der Geometrie zu würdigen ?"


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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Das ist letztlich keine Diskussion über Mathematik sondern über die Funktionsweise der AI. Da sie anhand mathematisch schlampiger Texte trainiert wurde, in denen die Minkowski- bzw. eine Riemann-Pseudometrik einfach als Metrik bezeichnet wurde, überträgt sich das auf ihre Antworten.
 

astrofreund

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... und man sollte zu bedenken geben, das die von mir genutzte KI nicht für mathematische und physikalische Fragen erstellt wurde, sondern zur Unterstützung von Softwareentwicklern. Sie beherrscht bis heute 80 Programmiersprachen. Das habe ich mit 5 verschiedenen Sprachen getestet und ich bin mit diesen Ergebnissen zufrieden. Eine signifikante Verkürzung von Entwicklungszeit bei auffallender Verringerung von Programmierfehlern wird für mich deutlich. Dennoch, es bleibt ein Werkzeug und man sollte die Aussagen/Ergebnisse nie ungeprüft benutzen. Es gibt auch keinen Grund, dass ich meine Fachbücher ab sofort entsorge.

Ich sehe eine KI (mit dem Thema beschäftige ich mich seit mitte der 90-ziger) nicht als ein Wunder höherer Dimension an. Es ist keine allwissende Einrichtung. Dennoch ist es erstaunlich, wie sehr viele Daten unterschiedlichster Art gefunden und miteinander verbunden werden (Thema BigData). Die verstärkte Nutzung in den letzten Jahren beruht vor allen auf der technologischen Entwicklung in der Elektronik und Softwareentwicklung. Leistungsfähige, bezahlbare und massenhaft produzierbare geeignete Elektronik für die schnelle Verarbeitung sehr großer Datenmengen hat das ermöglicht.

Es kann sich heute kaum noch ein nennenswertes Unternehmen leisten, die KI außen vor zu lassen. Es werden von immer mehr Unternehmen eigene, spezialisierte KI-Lösungen angeboten. Elektronik- und Softwareentwickler werden die Themen zur Erstellung und dem Betreiben von KI-Lösungen beherrschen müssen. Viele Nutzer - nicht nur in Elektronik und Softwareeentwicklung, sondern in den unterschiedlichsten Produktionsbereichen müssen es lernen, damit umzugehen. So wie man bei den meisten, modernen und komplexen Werkzeugen den Umgang damit lernen muss.

Es macht also wenig Sinn, diese KI weiterhin mit mathematischen und physikalischen Themen zu testen. Es gibt bestimt KI-Lösungen für mathematische Themen. Ich empfehle die Suche danach und sich einen Account bei einer gewünschten KI-Lösung einzurichten, um den Umgang damit zu erlernen. Auch wenn es dabei viel Ernüchterung gibt, in Summe überwiegen deutlich die Vorteile.

Gruß, Astrofreund
 
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astrofreund

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... somit letztmalig die Antwort der KI auf die im Beitrag #32 von Ralf gestellte Frage:

"
Die Zahl π (Pi) ist tatsächlich eine sehr spezielle und bedeutende Zahl in der Mathematik, insbesondere in der Geometrie. Sie beschreibt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und taucht in vielen anderen mathematischen Kontexten auf, einschließlich der Analysis, der Zahlentheorie und der Physik.

Allerdings ist es nicht angemessen, π als eine natürliche Zahl zu bezeichnen. Natürliche Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3, ...), die durch die Peano-Axiome definiert werden. Diese Zahlen sind diskret und haben keine Nachkommastellen. Im Gegensatz dazu ist π eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann und eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung hat.

Die Einzigartigkeit und Bedeutung von π in der Mathematik und Geometrie wird durch ihre Eigenschaften und Anwendungen gewürdigt, nicht durch ihre Klassifizierung als natürliche Zahl. Es ist wichtig, die Begriffe und Klassifikationen in der Mathematik präzise zu verwenden, um Missverständnisse zu vermeiden. Daher bleibt π eine irrationale Zahl, die eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik spielt, aber nicht als natürliche Zahl bezeichnet werden sollte. "

Gruß, Astrofreund
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
"
(...)

Die Einzigartigkeit und Bedeutung von π in der Mathematik und Geometrie wird durch ihre Eigenschaften und Anwendungen gewürdigt, nicht durch ihre Klassifizierung als natürliche Zahl. Es ist wichtig, die Begriffe und Klassifikationen in der Mathematik präzise zu verwenden, um Missverständnisse zu vermeiden. Daher bleibt π eine irrationale Zahl, die eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik spielt, aber nicht als natürliche Zahl bezeichnet werden sollte. "
Hallo Astrofreund,

besten Dank.

Zwei weitere Fragen haben sich damit - zumindest für den Moment - erübrigt, aber ich habe dennoch eine Frage, zu der mich die Meinung der AI interessiert:

Warum nennst Du pi eine irrationale Zahl und nicht eine transzendente Zahl ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
Allerdings ist es nicht angemessen, π als eine natürliche Zahl zu bezeichnen. Natürliche Zahlen sind die positiven ganzen Zahlen (1, 2, 3, ...), die durch die Peano-Axiome definiert werden. Diese Zahlen sind diskret und haben keine Nachkommastellen. Im Gegensatz dazu ist π eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann und eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung hat.
Hallo Astrofreund,

sorry, aber ich habe noch eine Frage an die AI, quasi "in die andere Richtung":

Du schreibst, dass die natürlichen Zahlen diskret sind und keine Nachkommastellen haben. Im Gegensatz dazu ist π eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann und eine unendliche, nicht wiederholende Dezimaldarstellung hat. - Wie beurteilst Du die Situation für eine Zahl, welche im Gegensatz zu pi als Bruch zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann und die eine sich wiederholende Dezimaldarstellung hat: kann man eine solche Zahl - beispielsweise die Zahlen 1/2 oder 1/3 - als "natürlich" ansehen ? Sie ist ja nicht wie von Dir als Gegenkriterium beschrieben irrational.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Das ist letztlich keine Diskussion über Mathematik sondern über die Funktionsweise der AI.
Hallo Tom,

selbstverständlich. Dennoch finde ich es sehr interessant, wie die AI argumentiert.

Da sie anhand mathematisch schlampiger Texte trainiert wurde (...), überträgt sich das auf ihre Antworten.
Das ist zunächst einmal ja nicht schlimm; ich finde es aber bemerkenswert, wenn die AI einerseits Widersprüche durchaus erkennt, aber dann dennoch "weltliche" Gründe findet, quasi eine Ausnahmeregelung einzuführen.

Mit meiner Fragestellung über π habe ich die AI (ohne es zu ahnen) auf eine ganz interessante Fährte gelockt, denn die natürlichen Zahlen erkennt sie richtig als solche. Aber im Fall von π argumentiert sie ungenau: natürlich genügt das Kriterium der Irrationalität von π, dass sie keine natürliche Zahl sein kann. Aber warum nicht gleich auf die Tranzendenz von π hinweisen ? Damit kann sie ja erst recht keine natürliche Zahl sein.

Aber an sich wird bereits mit dem Argument der Irrationalität wie mit Kanonen auf Spatzen geschossen, denn damit eine Zahl - beschränken wir uns für den Moment auf positive Zahlen - nicht natürlich ist genügt es, dass sie nicht ganz ist, d.h. es ist nicht erforderlich, die strengere Bedingung, dass sie irrational ist, zu fordern.

Und noch eine kleine Ergänzung: die Menge M={π, π+1, π+2, π+3, ..., π+n, π+(n+1), ...} würde meiner Meinung nach die Peano-Axiome erfüllen. Eine Halbgruppe indes ist sie nicht, weil das Element π+π nicht in M liegt.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

TomS

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Dennoch finde ich es sehr interessant, wie die AI argumentiert.
Klar.

Nur ist der Begriff "Argumentieren" evtl. irreführend. LLMs "raten" anhand stochastischer Merkmale, wie der Text weitergehen müsste. Verständnis und Argumentation existiert auf der Ebene des NNs nicht – genauso wenig wie in einem biologischen Gehirn.

Und wie die Fähigkeit zur logischen Argumentation auf der Basis von NNs entsteht, ist ebenfalls in beiden Fällen nicht verstanden. Bei der AI würden wir das ohnehin in Abrede stellen – siehe oben – aber was unterscheidet uns von dieser?

Das ist zunächst einmal ja nicht schlimm; ich finde es aber bemerkenswert, wenn die AI einerseits Widersprüche durchaus erkennt, aber dann dennoch "weltliche" Gründe findet, quasi eine Ausnahmeregelung einzuführen.
Wie gesagt, bei LLMs ist das reine Stochastik.

Und noch eine kleine Ergänzung: die Menge M={π, π+1, π+2, π+3, ..., π+n, π+(n+1), ...} würde meiner Meinung nach die Peano-Axiome erfüllen.
Aber die Regel zur Addition lautet dann

(π+m) + (π+n) = π+(m+n)

nicht 2π+(m+n), was bedeutet, π+n ist nur ein anderes Symbol für n.
 
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ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
Aber die Regel zur Addition lautet dann

(π+m) + (π+n) = π+(m+n)

nicht 2π+(m+n), was bedeutet, π+n ist nur ein anderes Symbol für n.
Hallo Tom,

zunächst einmal definieren die Peano-Axiome keine Addition. Man hat ein Startelement - in diesem Falle meinetwegen π (es könnte auch π-10 sein) - und dann Nachfolgeelemente, also π', (π')', ((π')')' u.s.w.

Zu einer Halbgruppe kann man diese von den Peano-Axiomen erzeugte Menge aber nicht immer ergänzen; das klappt beispielsweise, wenn das Startelement eine ganze Zahl ist.

Vermutlich kann man da auch etwas "basteln", wenn der "Nachfolgeschritt" ein geeignetes Vielfaches des Startelementes ist, wobei sich hier noch eine "philosophische" Frage stellt, ob die Menge {0}, d.h. mit 0':= 0, (0')':= 0 auch als "peano-axiom-erzeugte Menge" bezeichnet werden kann. Wobei man diese Menge sogar (trivialerweise) auf die triviale Gruppe (also nicht nur Halbgruppe) erweitern könnte, welche nur aus dem Neutralelement, in diesem Falle der 0, besteht. Einen mathematischen Gewinn sehe ich indes nicht in der Betrachtung der trivalen "Peano-Menge" {0}, einen Widerspruch allerdings auch nicht, da die Peano-Axiome nicht fordern, dass der Nachfolger vom Vorgänger verschieden sein muss.

Betrachten wir mal die Menge {s+nks mit vorgegebenem s,k in IC und für alle n in IN} zu einer Halbgruppe erweitern kann.

Halbgruppen brauchen kein Neutralelement zu besitzten und die Assoziativität ist gewährleistet, weil IC bezüglich der Addition assoziativ ist, also insbesondere auch jede Teilmenge von IC, aber die Summe zweier solcher Elemente muss eben auch wieder ein solches Element sein:

s+nks + s+mks = 2s + (n+m)ks = s + [s + (n+m)ks] = s + (1 + (n+m)k))s = s + (k/k + (n+m)k)s = s + (1/k + n+m)ks

Das würde formal klappen, wenn ich mich nicht verrechnet habe und 1/k eine ganze Zahl ist.

Nehmen wir mal k=1/2 und addieren wir die beiden ersten Elemente: s + (s+1/2s) = (s+5/2s). Die Summe der beiden ersten Elemente wäre dann in der Menge drin, wäre aber nicht das 3.Element, sondern das 6.Element. Ob so etwas irgendwie "wünschenswert" ist ist noch einmal eine andere Frage, aber ich sehe momentan nicht, warum das keine Halbgruppe sein sollte.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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