Invariante Größen, Raumzeit usw.; abgekoppelt aus dem Thema "Grundlagenprobleme der Quantenmechanik"

[antaris]

Die Nebendiskussion über Invariante Größen, Raumzeit usw. soll hier weitergeführt werden.
Abgekoppelt aus folgendem Beitrag: https://www.astronews.com/community/threads/grundlagenprobleme-der-quantenmechanik.11308/post-143964

Naja, das ist nicht falsch aber unsinnig ;-))
Im eigenen System der Gleichzeitigkeit gilt dt = 0 und daher trivialer Weise ds = dr

Richtig aber letztendlich sehe ich mein Gegenüber in einem Gespräch auch immer nur in der Vergangenheit. Die flache Metrik (die SRT) im Labor ist extrem genau bestätigt aber das eben auch "nur" bis zur Nachweisgrenze.

Wir sind uns sicher einig, dass eine Messlatte von 1m immer ein Meter ist. Wenn nun ein Maßband mit einer Länge von 1 Lichtjahr und einer Unterteilung von meinetwegen 1 m gefertigt wird, so ist das immer genau 1 Lichtjahr lang und hat eine Unterteilung von einen Meter. Egal ob das eine Ende festgehalten und das andere Ende mit 0,5c Relativgeschwindigkeit um den festgehaltenen Punkt dreht oder sehe ich das falsch?

flach ist nur eine spezielle Krümmung K=0

Richtig. Es ist der Grenzfall an jedem Punkt der Raumzeit. Aber das ist dennoch eine Teilmenge der allgemein gekrümmten Raumzeit?

Die haben aber nichts mit einer Rasterung der Raumzeit zu tun.
Ich gehe davon aus, dass die Comptonläge das Maß der Dinge sein wird, und die ist für jedes Elementateilchen anders (und gleichwohl invariant).

Das ist interessant, denn in dem Bezug Compton-Wellenlänge wurde mir immer gesagt, dass dies zwar im Prinzip richtig sei aber "eben auch aus den Ursprüngen der QM stammt (die Beschreibung mittels Wellen)".
Dazu muss man dann aber auch die rel. De-Broglie-Wellenlänge betrachten, richtig?

Da sagst Du es ja selber.

Stimmt, ich habe verstanden was du meinst.

Na, das ist einfach. Nimm ein Bild und setze die Pixelgröße hoch. Wenn Du am linken Rand vorher eine (ursprüngliche) Pixelbreite entfernst, und die Pixelgröße genauso veränderst, dann wird das Ergebnis anders sein. Es kommt auf die Positiion an, von der aus die neuen Pixel konstruiert werden.
Ein Teilchen, das die Welt gerastert sieht, geht immer von der eigenen Position aus. Du kannst die Position zwar ungerastert verändern, aber das gerasterte Bild sieht immer wieder ein bisschen anders aus.

Das verstehe ich nicht.

 

[TomS]

Wir sind uns sicher einig, dass eine Messlatte von 1m immer ein Meter ist. Wenn nun ein Maßband mit einer Länge von 1 Lichtjahr und einer Unterteilung von meinetwegen 1 m gefertigt wird, so ist das immer genau 1 Lichtjahr lang und hat eine Unterteilung von einen Meter. Egal ob das eine Ende festgehalten und das andere Ende mit 0,5c Relativgeschwindigkeit um den festgehaltenen Punkt dreht oder sehe ich das falsch?

Falsch, bzw. so nicht sinnvoll.

Ehrenfest paradox - Wikipedia

en.wikipedia.org

Es [spezielle Krümmung = 0] ist der Grenzfall an jedem Punkt der Raumzeit.

Falls das so gemeint ist, dann nein.

Man kann an jedem Punkt einer gekrümmten Raumzeit lokal "frei fallende Bezugsysteme" definieren; für einen Beobachter, dessen Ruhesystem diesem Bezugsystem entspricht, verschwindet lokal d.h. als Grenzfall in einem Punkt jegliche gemessene Kraft aufgrund der Gravitation; nicht-lokal ist das i.A. nicht der Fall, d.h. ein nicht punktförmiger Beobachter mag immer noch Gezeitenkräfte in einem nicht-homogenen Gravitationsfeld spüren. Aber auch in diesem Fall ist die Krümmung der Raumzeit in einem Punkt nicht notwendigerweise Null; sie wird insbs. nicht Null durch die Betrachtung eines speziellen Koordinatensystems! Man kann Invarianten d.h. skalare Größen definieren, die die Krümmung beschreiben, z.B. den Ricci-Skalar R und den Kretschmann-Skalar K; diese sind koordinaten- bzw. beobachterunabhängig und i.A. ungleich Null.

Die haben aber nichts mit einer Rasterung der Raumzeit zu tun.

Das funktioniert so einfach nicht - aus vielen Gründen.

Zunächst mal bricht eine Rasterung der Raumzeit sämtliche Symmetrien (Eichinvarianz unter lokalen Lorentz-Transformationen, Invarianz unter Diffeomorphismen); tut man das, wird die Theorie inkonsistent. Andersrum, eine Körnigkeit erreicht man in speziellen Fällen wie z.B.- der Loop Quantum Gravity; und nicht mal da ist nach ca. 40 Jahren klar, ob die Theorie off-shell anomalienfrei und damit konsistent ist.

Ich gehe davon aus, dass die Comptonläge das Maß der Dinge sein wird, und die ist für jedes Elementateilchen anders (und gleichwohl invariant).

Mit einer Compton-Wellenlänge hat das nichts zu tun; du redest doch von intrinsischen Eigenschaften der Raumzeit ohne zusätzliche Materie bzw. Felder.

Die reduzierte Compton-Wellenlänge 𝜆' = ℏ / 𝑚𝑐 ist übrigens nichts anders als die inverse Masse; siehe dazu ein Einheitensystem mit [ℏ] = [𝑐] = 1

Ist das Koordinatensystem ein mathematisches Hilfsmittel, um überhaupt etwas innerhalb der Raumzeit berechnen zu können oder ist es wirklich in der Natur realisiert?

Koordinatensysteme sind i.A. rein mathematisches Hilfsmittel. Spezielle Koordinatensysteme können mit Ruhesystemen von Beobachtern assoziiert werden, aber das ist für die Konstruktion und Verwendung der Koordinatensysteme in der ART irrelevant.

Zur Invarianz unter Wechsel von Koordinatensystemen siehe

Diffeomorphism - Wikipedia

en.wikipedia.org

General covariance - Wikipedia

en.wikipedia.org

... solange diese Wirkungen nicht wirklich (in der Raumzeit) gequantelt sind.

Das hat mit Quantelung o.ä. wirklich gar nichts zu tun.

Die Raumzeit wird nicht als Feld beschrieben?

Die Raumzeit wird durch eine 4-dim. pseudo-Riemannnsche Mannigfaltigkeit (M, [g]) beschrieben, wobei g d.h. die Metrik einen verallgemeinerten Abstandsbegriff definiert.

Ich schreibe [g] statt g, wobei [g] die Äquivalenzklasse aller Metriken bezeichnet, die untereinander durch Diffeomorphismen verknüpft sind. Einfaches Beispiel: im flachen 3-dim. Raum kann ich kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten und unendlich viele mehr definieren, wobei alle diese Metriken bzgl. Diffeomorphismen äquivalent sind:

gcart ~ gpolar ~ ...

D.h. [g] steht für die alle diesen Metriken gemeinsamen Eigenschaften, und damit gibt es für den flachen 3-dim. Raum genau ein [g], nicht unendlich viele.

Genauso gibt es z.B. für die Schwarzschild-Geometrie genau ein [g], jedoch viele Koordinatensysteme

https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric#Alternative_coordinates

Die Funktionen, die man hinschreibt, sehen irgendwie wie Felder aus, aber das ist extrem irreführend. Es betont nämlich die Abhängigkeit eines Feldes g(x) von den Koordinaten x; und das ist genau das, was nicht der Fall ist; man denkt besser in [g](P), wobei P ein Punkt der Raumzeit ist, der koordinatenfrei festgelegt ist. Am Beispiel der Erde: die Krümmung K(PZugspitze)am Gipfel der Zugspitze oder der Abstand von Zugspitze und Watzmann sind unabhängig davon, welche Koordinaten wir verwenden. Nur diese invarianten Größen sind tatsächlich physikalisch relevant.

Anhand der Metrik kann man lediglich die Eigenlänge in ein anderes Bezugssystem transformieren, zB in der flachen Raumzeit die Lorentzkontraktion.

Transformation in ein anderes Bezugsystem ändert i.A. die Koordinaten, damit die Metrik dargestellt in diesen Koordinaten, aber nicht die Eigenlänge.

Am besten vergisst man die Lorentz-Kontraktion, weil diese immer wieder zu Missverständnissen führt und nichts wirklich besser erklärt. In der flachen Raumzeit - und nur in dieser! - kann man Lorentz-Kontraktion einfach mit Koordinatentransformationen assoziieren.


@Rainer -

Zu

Die SRT und ART kennt keine Quantisierung ... Allerdings sehen die Teilchen die Raumzeit gerastert ...

Ersteres ist zutreffend.

Deswegen verstehe ich nicht, wieso du hier letzteres erzählst; das ist doch nur deine Privatmeinung und führt zur Verwirrung

 

[Rainer]

Wir sind uns sicher einig, dass eine Messlatte von 1m immer ein Meter ist.

Dies ist die EIGENLÄNGE. Jeder andere Beobachter ("sieht") stellt eine andere Länge dieser Latte fest.

sehe ich mein Gegenüber in einem Gespräch auch immer nur in der Vergangenheit.

Was soll denn das optische Sehen damit zu tun haben? Ich sagte bereits, dass man in der SRT das Wort Sehen in der Bedeutung verwendet, was gleichzeitig passiert, also unter Rückrechnung der Lichtlaufzeit. Man spricht deshalb vom Sehen, weil die Gleichzeitigkeit beobachterabhängig ist, also seine Sichtweise gemeint ist.

Aber das ist dennoch eine Teilmenge der allgemein gekrümmten Raumzeit?

Ja selbstverständlich, es ist nur ein spezieller Fall. Wir sprechen hier ja nur über die SRT, also die flache Raumzeit, denn solange diese nicht ganz verstanden ist, können wir nicht noch die Krümmung zusätzlich behandeln. Eins nach dem Anderen.

Dazu muss man dann aber auch die rel. De-Broglie-Wellenlänge betrachten, richtig?

Die De-Broglie Wellenlänger kann kleiner oder größer sein. Es kommt auf das Problem an, ob sie sinnvoll ist bzw benötigt wird. Im eigenen IS wäre sie Null. EDIT: unendlich

Das verstehe ich nicht.

Wenn Du ein Bild herunterrasterst, muss ja die Farbe für jedes Pixel neu bestimmt werden. Man nimmt in erster Ordnung den Mittelwert der gesamten Fläche, die vom neuen Pixel abgedeckt wird. Genauso funktioniert das bei den Fecettenaugen der Insekten.

Wenn Du aber die Position der Pixel um weniger als ein ganzes Pixel verschiebst, dann ergeben sich andere Flächen mit anderen Mittelwerten.

Wenn ein Insekt mit Facettenaugen den Kopf bewegt, dann ändert sich das Farbmuster allein wegen der neuen Anordnung dieser Pixel. DARAUS kann man auf eine feinere Auflösung rückschließen, als es die einzelnen Pixel selber zulassen würden, und zwar hundertfach, wie ich erst vor Kurzem erfahren habe, denn diese Technik wird in der Astronomie praktiziert.

 

[Rainer]

Falsch, bzw. so nicht sinnvoll.

Das Ehrenfest Paradoxon betrifft ausschließlich die Rotation und hat einen völlig anderen Inhalt, vergleichbar bzw lösbar mit Bells Paradoxon.

Zunächst mal bricht eine Rasterung der Raumzeit sämtliche Symmetrien

Ich sage ja, dass die Raumzeit kontinuierlich sein muss, nur die Sicht eines Beobachters ist (allenfalls) gerastert.

Mit einer Compton-Wellenlänge hat das nichts zu tun; du redest doch von intrinsischen Eigenschaften der Raumzeit ohne zusätzliche Materie bzw. Felder.

Nein, ich rede von der Sicht eines Beobachters.

nichts anders als die inverse Masse

Ja eben, das ist das Maß aller Dinge für jeden Beobachter.

Das hat mit Quantelung o.ä. wirklich gar nichts zu tun.

WENN die Raumzeit gequantelt (gerastert) WÄRE, dann wäre dies automatisch auch die WW, weil sie ja nur in der Raumzeit erfolgen kann.

Die Funktionen, die man hinschreibt, sehen irgendwie wie Felder aus

Felder sind zuerst einmal beliebige Beschreibungen jedes Zeit-Punktes der Raumzeit. Genau dies tut/ist der Metrische Tensor g.

aber das ist extrem irreführend

Naja, man darf halt nicht Felder mit speziellen Feldern verwechseln. Jedenfalls wird die Raumzeitkrümmung durch die Metrik exakt beschrieben, wie man es von einem Feld erwarten kann.

Transformation in ein anderes Bezugsystem ändert i.A. die Koordinaten

Keine Transformation ändert das Ereignis (dessen Zeit-Punkt), sondern nur seine Koordinaten eines Systems in seine Koordinaten des anderen Systems.
Koordinaten-(systeme) sind immer frei wählbar, damit ändern sich die Koordinaten natürlich, aber nicht das Objekt bzw der Vektor, sondern nur seine Darstellung.

aber nicht die Eigenlänge

Die Eigenlänge ist immer die Eigenlänge, aber jeder andere Beobachter sieht eine andere Länge dieses Objektes bzw dieser Eigenlänge.

Am besten vergisst man die Lorentz-Kontraktion

Erstens ist diese meist bekannt und zweitens ist sie ein einfacher Fall der allgemeinen Trafo. Natürlich sind beides ausgezeichnete Gründe, diese als ersten Schritt einer Einführung zu verwenden.

wieso du hier letzteres erzählst

Dies war doch die Gretchenfrage.

das ist doch nur deine Privatmeinung

Das ist bei diesem Thema hoffentlich klar, denn die Frage der Quantelung der Raumzeit ist ja in aller Munde.
DASS die Sicht jedes Beobachter gerastert ist, ergibt sich nach meiner Meinung allerdings bereits aus der Plancklänge, und wie ich meine, ist diese subjektive Rasterung sogar die Comptonlänge λC oder gerne auch der Comptonradius rC=λC/2π. Diese Rasterung ergibt sich aus der Unbestimmtheitsrelation Δx·Δp > ℏ/2.

 

[TomS]

Die De-Broglie Wellenlänger kann kleiner oder größer sein. Es kommt auf das Problem an, ob sie sinnvoll ist bzw benötigt wird. Im eigenen IS wäre sie Null.

Nee, unendlich.

 

[Rainer]

Nee, unendlich.

äh ja klar

 

[TomS]

Das Ehrenfest Paradoxon betrifft ausschließlich die Rotation und hat einen völlig anderen Inhalt

es hat genau den Inhalt der Frage von @antaris

Egal ob das eine Ende festgehalten und das andere Ende mit 0,5c Relativgeschwindigkeit um den festgehaltenen Punkt dreht

Nein, ich rede von der Sicht eines Beobachters.

Dann zitiere doch mal eine Formel, in der die "Sicht eines Beobachters" definiert ist und in der Compton-Wellenlänge, invariante Masse etc. eine Rolle spielen, damit wir wissen, wovon du redest.

WENN die Raumzeit gequantelt (gerastert) WÄRE, dann wäre dies automatisch auch die WW, weil sie ja nur in der Raumzeit erfolgen kann.

Das ist hier alles zu spekulativ, das wäre besser in einem eigenen Faden über Quantengravitation aufgehoben.

Felder sind zuerst einmal beliebige Beschreibungen jedes Zeit-Punktes der Raumzeit. Genau dies tut/ist der Metrische Tensor g.

Er tut mehr als andere Felder, wie ich oben erklärt habe. Andere Felder "leben auf der Raumzeit", der metrische Tensor ist integraler Bestandteil der Definition der Raumzeit (M, [g]).

Keine Transformation ändert das Ereignis (dessen Zeit-Punkt), sondern nur seine Koordinaten eines Systems in seine Koordinaten des anderen Systems.
Koordinaten-(systeme) sind immer frei wählbar, damit ändern sich die Koordinaten natürlich, aber nicht das Objekt bzw der Vektor, sondern nur seine Darstellung.

Bingo.

Die Eigenlänge ist immer die Eigenlänge, aber jeder andere Beobachter sieht eine andere Länge dieses Objektes bzw dieser Eigenlänge.

Wie definierst du "sieht".

Macht man das nämlich richtig, kommt dabei nicht die Länge unter Lorentz-Kontraktion heraus.

Erstens ist diese meist bekannt ...

Die meisten kennen die Formel und erzählen dann irritierende Halbwahrheiten ode erfinden Paradoxa.

Dies war doch die Gretchenfrage.

Wessen? Wo? Habe ich da was überlesen?

Das ist bei diesem Thema hoffentlich klar, denn die Frage der Quantelung der Raumzeit ist ja in aller Munde.
DASS die Sicht jedes Beobachter gerastert ist, ergibt sich nach meiner Meinung allerdings bereits aus der Plancklänge, und wie ich meine, ist diese subjektive Rasterung sogar die Comptonlänge ΛC oder gerne auch der Comptonradius rC=λC/2π. Diese Rasterung ergibt sich aus der Unbestimmtheitsrelation Δx·Δp > ℏ/2.

Du darfst ja gerne eine Privatmeinung haben. Es sollte nur klar sein, dass wir hier zwei Diskussionen vermischen: Fragen und präzise Antworten zur Raumzeit im Rahmen der SRT oder ART, und Ideen zur QG oder was auch immer ...

 

[Rainer]

es hat genau den Inhalt der Frage

achso, das Fass würde ich jetzt noch nicht aufmachen wollen

Dann zitiere doch mal eine Formel, in der die "Sicht eines Beobachters" definiert ist und in der Compton-Wellenlänge, invariante Masse etc. eine Rolle spielen, damit wir wissen, wovon du redest.

Die Compton Wellenlänge für eine subjektive Rasterung ist natürlich nur eine Vermutung von mir. Eine starre Rasterung in Form der Plancklänge für alle Elementarteilchen gleich halte ich für unwahrscheinlich. Für die em.WW wäre diese natürlich nicht maßgeblich, da müsste man aus der Ladung zu einer anderen Rasterung kommen etc.

Das ist hier alles zu spekulativ, das wäre besser in einem eigenen Faden über Quantengravitation aufgehoben.

Da kommen wir ja eigentlich her.... grundlagenprobleme-der-quantenmechanik.11308/post-143964

Er tut mehr als andere Felder, wie ich oben erklärt habe. Andere Felder "leben auf der Raumzeit", der metrische Tensor ist integraler Bestandteil der Definition der Raumzeit

Er "lebt auf" der Minkowski Raumzeit (at infinity), aber letztlich sind die unteschiedlichen Lösungen nicht immer direkt darauf bezogen.

Macht man das nämlich richtig, kommt dabei nicht die Länge unter Lorentz-Kontraktion heraus.

Wenn man es richtig macht, dann kommt die Sichtweise (Ebene der subjektiven Gleichzeitigkeit) heraus und nicht die Optik, das habe ich nun mehrfach lang und breit erklärt.

Wessen? Wo? Habe ich da was überlesen?

Naja das war der Ausgangspunkt im Parallelthread, siehe erster Post hier.

Fragen und präzise Antworten zur Raumzeit im Rahmen der SRT oder ART, und Ideen zur QG

Ja, das sollte allen klar sein, dass SRT/ART nur die Frage der QG offen lässt. Auch wenn hier die SRT im Vordergrund stehen soll, wirft die Idee der QG ja spezielle Fragen auf. Vielleicht war es ein Fehler, das hier zu beantworten, oder ob ich da einen Roten Faden hatte.

 

[antaris]

Oha, viele Antworten und gerade nicht so viel zeit. Ich will jetzt kurz nochmal auf folgendes eingehen:

Wir sind uns sicher einig, dass eine Messlatte von 1m immer ein Meter ist. Wenn nun ein Maßband mit einer Länge von 1 Lichtjahr und einer Unterteilung von meinetwegen 1 m gefertigt wird, so ist das immer genau 1 Lichtjahr lang und hat eine Unterteilung von einen Meter. Egal ob das eine Ende festgehalten und das andere Ende mit 0,5c Relativgeschwindigkeit um den festgehaltenen Punkt dreht oder sehe ich das falsch?

Falsch, bzw. so nicht sinnvoll.

Ehrenfest paradox - Wikipedia

en.wikipedia.org

Worauf ich hinwollte, ist dass ein Maßband mit definierter Eigenlänge für alle Beobachter (nach entsprechender Transformation) identisch sein muss. Ich sehe auch keinen wirklichen Unterschied beim Abstandsbegriff zwischen 2 Ereignisse und den 2 Endpunkten eines Maßbandes...beides sind Abstände in der Raumzeit oder ist das falsch?

Da ein Maßband nicht straff gehalten werden kann, wenn sich die Träger an den beiden Enden unterschiedlich schnell bewegen, dachte ich alternativ könnte das mit einer Drehung um einen fixen Punkt auch gehen aber das sind wohl zwei verschiedene Paar Schuhe.

Dann vielleicht anders, auch wenn das nun wieder mehr die ART betrifft: Ein Ende des Maßband liegt an einem EH eines SL an (Punkt P) und das andere Ende wird radial in einer bestimmten Entfernung straff gehalten (Punkt Q). Aufgrund der Krümmung der Raumzeit ergibt sich eine Längenkontraktion der Eigenlänge (und der Raumzeit?) zwischen Punkt P und Q, richtig?

Vielleicht lässt sich der Knoten in meinem Kopf ja doch noch entwirren.




Für die restlichen Antworten nehme ich mir heute Abend Zeit.

 

[Rainer]

Worauf ich hinwollte, ist dass ein Maßband mit definierter Eigenlänge für alle Beobachter (nach entsprechender Transformation) identisch sein muss.

natürlich, Du meinst die Eigenlänge.

beides sind Abstände in der Raumzeit

Fast richtig. Der Raumabstand ist jedoch nicht absolut definiert, sondern für jeden Beobachter gemäß seiner subjektiven Gleichzeitigkeit individuell. DESHALB wurde ja der Raumzeitabstand eingeführt, der für alle gleich ist. DARAUS ergibt sich genau die Eigenlänge genauso wie jede andere Länge aus der Sicht der anderen Beobachter.

wenn sich die Träger an den beiden Enden unterschiedlich schnell bewegen

Das geht überhaupt nicht. Ein Maßband wird entweder von einem oder dem anderen und immer an beiden Enden GLEICHZEITIG gehalten.
Genau diese Gleichzeitigkeit wäre unmöglich mit zwei Maßbandhaltern, weil sie sich über diese gar nicht einigen können.

Drehung um einen fixen Punkt

Das wird komplizierter als Du denkst. Das Ergebnis ist zwar an Ende einfacher, aber aus ganz anderen Gründen.

Aufgrund der Krümmung der Raumzeit ergibt sich eine Längenkontraktion der Eigenlänge

Die Raumkrümmung der ART bewirkt zwar eine Raumdehnung, die auch einer Längenkontraktion entspricht, doch die Eigenlänge ist immer unverändert, aber das führt hier sicher zu weit, wir waren ja erstmal bei der SRT.

Längenkontraktion der Eigenlänge

Das "darf" man so nicht sagen, es würde bedeuten, dass sich die Eigenlänge verändert, was ja auch oft genug falsch verstanden oder alternativ gedacht wird.

 

[antaris]

Falsch, bzw. so nicht sinnvoll.

Ehrenfest paradox - Wikipedia

en.wikipedia.org

Das ist abgehakt.

Man kann an jedem Punkt einer gekrümmten Raumzeit lokal "frei fallende Bezugsysteme" definieren; für einen Beobachter, dessen Ruhesystem diesem Bezugsystem entspricht, verschwindet lokal d.h. als Grenzfall in einem Punkt jegliche gemessene Kraft aufgrund der Gravitation; nicht-lokal ist das i.A. nicht der Fall, d.h. ein nicht punktförmiger Beobachter mag immer noch Gezeitenkräfte in einem nicht-homogenen Gravitationsfeld spüren.

Also ist die Bewegung eines Punktes auf einer Geodäte die Ursache für die lokale flache Raumzeit bei dem Punkt?

Aber auch in diesem Fall ist die Krümmung der Raumzeit in einem Punkt nicht notwendigerweise Null; sie wird insbs. nicht Null durch die Betrachtung eines speziellen Koordinatensystems! Man kann Invarianten d.h. skalare Größen definieren, die die Krümmung beschreiben, z.B. den Ricci-Skalar R und den Kretschmann-Skalar K; diese sind koordinaten- bzw. beobachterunabhängig und i.A. ungleich Null.

Das dann aber nur innerhalb der ART und nicht iner reinen Betrachtung des Grenzfalls der SRT?

Koordinatensysteme sind i.A. rein mathematisches Hilfsmittel. Spezielle Koordinatensysteme können mit Ruhesystemen von Beobachtern assoziiert werden, aber das ist für die Konstruktion und Verwendung der Koordinatensysteme in der ART irrelevant.

Also stimmt die Aussage, dass das Koordinatensystem nur existiert, damit überhaupt gerechnet werden kann? Ich habe Koordinatensysteme auf eine natürliche Rasterung bezogen, wie sie .B. durch die natürlichen Einheiten reallisiert sein könnte. Die Planck-Länge bzw. der Planck-Radius bezieht sich auch auf einen Abstand im Raum?

Die Raumzeit wird durch eine 4-dim. pseudo-Riemannnsche Mannigfaltigkeit (M, [g]) beschrieben, wobei g d.h. die Metrik einen verallgemeinerten Abstandsbegriff definiert.

Ich schreibe [g] statt g, wobei [g] die Äquivalenzklasse aller Metriken bezeichnet, die untereinander durch Diffeomorphismen verknüpft sind. Einfaches Beispiel: im flachen 3-dim. Raum kann ich kartesische Koordinaten, Polarkoordinaten und unendlich viele mehr definieren, wobei alle diese Metriken bzgl. Diffeomorphismen äquivalent sind:

gcart ~ gpolar ~ ...

D.h. [g] steht für die alle diesen Metriken gemeinsamen Eigenschaften, und damit gibt es für den flachen 3-dim. Raum genau ein [g], nicht unendlich viele.

Genauso gibt es z.B. für die Schwarzschild-Geometrie genau ein [g], jedoch viele Koordinatensysteme

https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric#Alternative_coordinates

Also Diffeomorphismus bedeutet, dass eine Abbildung in die andere überführbar ist (und umgekehrt)? Die verschiedenen Koordinatensysteme ergeben veschiedene Metriken aber alle beschreiben ein und dasselbe [g]? Ich dachte das Linienelement bzw. der Raumzeitabstand ist die Merik...

Die Funktionen, die man hinschreibt, sehen irgendwie wie Felder aus, aber das ist extrem irreführend. Es betont nämlich die Abhängigkeit eines Feldes g(x) von den Koordinaten x; und das ist genau das, was nicht der Fall ist; man denkt besser in [g](P), wobei P ein Punkt der Raumzeit ist, der koordinatenfrei festgelegt ist. Am Beispiel der Erde: die Krümmung K(PZugspitze)am Gipfel der Zugspitze oder der Abstand von Zugspitze und Watzmann sind unabhängig davon, welche Koordinaten wir verwenden. Nur diese invarianten Größen sind tatsächlich physikalisch relevant.

Warum heißt es dann Feldgleichungen?

 

[antaris]

natürlich, Du meinst die Eigenlänge.

Fast richtig. Der Raumabstand ist jedoch nicht absolut definiert, sondern für jeden Beobachter gemäß seiner subjektiven Gleichzeitigkeit individuell. DESHALB wurde ja der Raumzeitabstand eingeführt, der für alle gleich ist. DARAUS ergibt sich genau die Eigenlänge genauso wie jede andere Länge aus der Sicht der anderen Beobachter.

Dann sollte doch aber die Eigenlänge und der Raumzeitabstand ein und das gleiche sein. Beide können von jedem Beobachter über Transformation berechnet werden. Alle Beobachter kommen auf die gleiche Lösung.

Das geht überhaupt nicht. Ein Maßband wird entweder von einem oder dem anderen und immer an beiden Enden GLEICHZEITIG gehalten.
Genau diese Gleichzeitigkeit wäre unmöglich mit zwei Maßbandhaltern, weil sie sich über diese gar nicht einigen können.

Das wird komplizierter als Du denkst. Das Ergebnis ist zwar an Ende einfacher, aber aus ganz anderen Gründen.

Vergiss bitte die Rotation um einen Punkt. Zuletzt hatte ich das geschrieben:

Dann vielleicht anders, auch wenn das nun wieder mehr die ART betrifft: Ein Ende des Maßband liegt an einem EH eines SL an (Punkt P) und das andere Ende wird radial in einer bestimmten Entfernung straff gehalten (Punkt Q). Aufgrund der Krümmung der Raumzeit ergibt sich eine Längenkontraktion der Eigenlänge (und der Raumzeit?) zwischen Punkt P und Q, richtig?

Die Raumkrümmung der ART bewirkt zwar eine Raumdehnung, die auch einer Längenkontraktion entspricht, doch die Eigenlänge ist immer unverändert, aber das führt hier sicher zu weit, wir waren ja erstmal bei der SRT.

Das "darf" man so nicht sagen, es würde bedeuten, dass sich die Eigenlänge verändert, was ja auch oft genug falsch verstanden oder alternativ gedacht wird.

Natürlich bleibt die Eigenlänge unverändert aber die von einem Beobachter im anderen Inertialsystem gemessene erscheint verkürzt.
Das wäre auch an jedem Punkt des o.g. Maßband so, würde es abgeschritten werden können.

 

[Rainer]

Dann sollte doch aber die Eigenlänge und der Raumzeitabstand ein und das gleiche sein.

Das hatte ich auch so gesagt: "DARAUS ergibt sich genau die Eigenlänge"

Natürlich ist der Raumzeitabstand auch auf zeitartige Distanzen anwendbar, die KEINE Eigenlänge, sodern nur eine EIGENZEIT ausweisen können, aber den Fall hatten wir ja nicht.

Also ist die Bewegung eines Punktes auf einer Geodäte die Ursache für die lokale flache Raumzeit bei dem Punkt?

Der freie Fall ist natürlich Voraussetzung für eine annähernd flache Raumzeit, aber der Grund ist, dass man eine Region dann als annähernd flach behandeln kann, wenn diese deutlich kleiner ist als die Krümmung. Krümmung ist die Veränderung der Neigung. Eine konstante Neiung ist nicht gekrümmt. Nur die Veränderung der Gravitation im Raum ist eine Krümmung.
Das ist natürlich letztlich eine Frage der Genauigkeit. Aber wenn man davon ausgeht, dass sich die Erdbeschleunigung g über 100 m Höhenunterschied praktisch nicht verändert, dann kannst Du auch ein 10 m messendes Labor im freien Fall als flache Raumzeit betrachten.
Andererseits kann man inzwischen sogar die Unterschiede über wenige cm Höhenunterschied messen.

Im Falle der gekrümmten Geodäte zB im Orbit kommt zwar noch die Bahnkrümmung hinzu, denn die Lichtgeodäte verläuft natürlich anders.

 

[antaris]

Das hatte ich auch so gesagt: "DARAUS ergibt sich genau die Eigenlänge"

Natürlich ist der Raumzeitabstand auch auf zeitartige Distanzen anwendbar, die KEINE Eigenlänge, sodern nur eine EIGENZEIT ausweisen können, aber den Fall hatten wir ja nicht.

Wenn wir uns an dem Punkt einig sind, umso besser.

Der freie Fall ist natürlich Voraussetzung für eine annähernd flache Raumzeit, aber der Grund ist, dass man eine Region dann als annähernd flach behandeln kann, wenn diese deutlich kleiner ist als die Krümmung. Krümmung ist die Veränderung der Neigung. Eine konstante Neiung ist nicht gekrümmt. Nur die Veränderung der Gravitation im Raum ist eine Krümmung.

Es geht um den Tangentialpunkt auf der Geodäte?

Das ist natürlich letztlich eine Frage der Genauigkeit. Aber wenn man davon ausgeht, dass sich die Erdbeschleunigung g über 100 m Höhenunterschied praktisch nicht verändert, dann kannst Du auch ein 10 m messendes Labor im freien Fall als flache Raumzeit betrachten.
Andererseits kann man inzwischen sogar die Unterschiede über wenige cm Höhenunterschied messen.

Scinexx: "Forscher haben erstmals die Zeitdehnung durch Schwerkraft bei nur einem Millimeter Höhenunterschied gemessen."

Nature
Scinexx

Im Falle der gekrümmten Geodäte zB im Orbit kommt zwar noch die Bahnkrümmung hinzu, denn die Lichtgeodäte verläuft natürlich anders.

Die Krümmung der Geodäte im Orbit wird dann aber durch die ART beschrieben, da kein Punkt auf der Geodäte, sondern ein Bogenstück betrachtet wird?

 

[Rainer]

Es geht um den Tangentialpunkt auf der Geodäte?

Ein Punkt ist ein Punkt, da kann man immer eine Tangente reinlegen.

Die Krümmung der Geodäte

Das ist ein wunder Punkt.
Man geht von einem Minkowski Hintergrund aus.
Zu jeder Masseverteilung kann man einen Schwerpunkt finden. Dieser kann allerdings je nach betrachteter Region variieren. Man müsste also das Potential und den Gradienten genau berechnen.

Bleiben wir bei einer Punktmasse (Erde) dann ist es klar.

da kein Punkt auf der Geodäte, sondern ein Bogenstück betrachtet wird

Nein, die Krümmung am fraglichen Punkt ist maßgeblich., sie ergibt sich aus dem Radius des Orbits.
k = 1/r

 

[antaris]

Ein Punkt ist ein Punkt, da kann man immer eine Tangente reinlegen.

Du hattest die Größe oben (Körnigkeit) und hier genauso, sowie auch die Genauigkeit betont. Kleiner und genauer als der Tangetialpunkt geht es nicht.

Der freie Fall ist natürlich Voraussetzung für eine annähernd flache Raumzeit, aber der Grund ist, dass man eine Region dann als annähernd flach behandeln kann, wenn diese deutlich kleiner ist als die Krümmung. Krümmung ist die Veränderung der Neigung. Eine konstante Neiung ist nicht gekrümmt. Nur die Veränderung der Gravitation im Raum ist eine Krümmung.
Das ist natürlich letztlich eine Frage der Genauigkeit.

Das ist ein wunder Punkt.
Man geht von einem Minkowski Hintergrund aus.

Warum ist das ein wunder Punkt?
Also ist der Minkowski-Raum in der 4D Raumzeit "im Hintergrund" an jedem Punkt eingebettet?

Zu jeder Masseverteilung kann man einen Schwerpunkt finden. Dieser kann allerdings je nach betrachteter Region variieren. Man müsste also das Potential und den Gradienten genau berechnen.

Bleiben wir bei einer Punktmasse (Erde) dann ist es klar.

Das bei einem Mehrkörpersystem der Schwerpunkt im Massepunkt des Systems liegt ist mir bewusst. Warum variiert der Schwerpunkt je nach betrachteter Region?

 

[Rainer]

Warum ist das ein wunder Punkt?

Weil die Berechnung jede Masse im Universum (Hubble Sphäre) einbeziehen müsste. Gut, in unserem Fall stellen Galaxie, Sonnensystem, Erde, markante Genauigkeiten dar, an denen man abbrechen kann.

Warum variiert der Schwerpunkt je nach betrachteter Region?

Das hängt von der Masseverteilung ab. Wenn man nur die Erde berücksichtigt, ist es anders, als wenn man noch die Sonne mit einbezieht oder das ganze Sonnensystem. Die Unterschiede können winzig sein, aber wenn ich nur den Bereich meines Zimmers berücksichtige, wird Kokolores herauskommen.
Die Mondbahn wird jedenfalls von der Sonne merklich beeinflusst.

 

[Rainer]

der Tangetialpunkt

Was soll das sein? Ach Du meinst den Stoßpunkt? Der ist im Kreisorbit identisch mit dem Radius. Er hat aber im elliptischen Orbit nichts mit der aktuellen Bahnkrümmung zu tun.
R = ²(a²-x²(1+fo²))³/(b·a) Krümmungsradius
rB = b/²(2a/r-1) Stoßpunkt

 

[antaris]

Weil die Berechnung jede Masse im Universum (Hubble Sphäre) einbeziehen müsste. Gut, in unserem Fall stellen Galaxie, Sonnensystem, Erde, markante Genauigkeiten dar, an denen man abbrechen kann.

Also wird "die Galaxie, Sonnensystem, Erde" in dem Fall auch (ähnlich wie in der QM) als abgeschlossenes System betrachtet, obwohl es offensichtlich ein offenes System ist?

Das hängt von der Masseverteilung ab. Wenn man nur die Erde berücksichtigt, ist es anders, als wenn man noch die Sonne mit einbezieht oder das ganze Sonnensystem. Die Unterschiede können winzig sein, aber wenn ich nur den Bereich meines Zimmers berücksichtige, wird Kokolores herauskommen.
Die Mondbahn wird jedenfalls von der Sonne merklich beeinflusst.

Ok, das ist klar.

Was soll das sein? Ach Du meinst den Stoßpunkt? Der ist im Kreisorbit identisch mit dem Ort. Er hat aber im elliptischen Orbit nichts mit der aktuellen Bahnkrümmung zu tun.
Rell = ²(a²-x²(1+fo²))³/(b·a) Krümmungsradius
rB = ²((xB-e)²+yB²) Stoßpunkt

Als Tangentialpunkt meine ich den (Masse-)Punkt, der sich auf der Geodäte eines ausgedehnten (an sich nicht punktförmigen) Körper bewegt. Benachbarte Punkte auf der Geodäte haben infintesimale Abstände. Den Massepunkt muss angenähert werden, solange makroskopische Körper nicht punktförmig sind.

Wo läuft die (eine?) Geodäte durch einen ausgedehnten Körper, wie z.B. einen Ball, der sich im freien Fall befindet? Oder ist es dann ein Bündel an Geodäten?

 

[Rainer]

als abgeschlossenes System betrachtet

So würde ich das nicht nennen, sondern eine Grenze für eine bestimmte Genauigkeit.

Wo läuft die (eine?) Geodäte durch einen ausgedehnten Körper

Man betrachtet grundsätzlich immer den Schwerpunkt, zumal sich ja der Körper als Einheit bewegt, anders als ein Gas oder eine Staubwolke. Allerdings wirken Gezeitenkräfte auf die exzentrischen Punkte und verformen den Körper womöglich. Genau genommen bestimmt sich auch die Kreisbahn nicht nach dem genauen Schwerpunkt.