Grundlagenprobleme der Quantenmechanik

[TomS]

Hamiltonian

$$ H = - \frac{1}{2m_1}\nabla_1^2 - \frac{1}{2m_2}\nabla_2^2 + V_0 \, \delta(x_1 - x_2) $$

Basis

$$ \phi_{m,n; \, x_i \le L}(x_1, x_2) = u_m(x_1) \, v_n(x_2) $$

$$ \phi_{n; \, x_2 > L}(x_2) = v_n(x_2) $$

Allgemeine Lösung

$$ \psi_{x_i \le L}(x_1, x_2, t) = \sum_{m,n} \psi_{m,n} \, e^{-iE_mt} \, e^{-iE_nt} \, u_m(x_1) \, v_n(x_2) $$

$$ \psi_{x_2 > L}(x_2, t) \; \text{analog} $$

Zu berechnen: Anschluss- / Stetigkeitsbedingungen, insbs. Integration über die delta-Funktion.

Richtig?

Ich habe zwei Summen angesetzt. Nach deiner Beschreibung müsste für das zweite Teilchen eigentlich ein Integral zu kontinuierlichen Eigenwerten vorliegen, das macht es noch etwas komplizierter.

Setzt du eine monochromatische von rechts einlaufende Welle an, dann jedoch Streuzustände zu beliebigem n?

 

[TomS]

Nochmal zur ursprünglichen Fragestellung: Nach Maudlin, Tim (1995) Three measurement problems, Topoi 14(1), 7 kann man das Messproblem wie folgt formulieren

Folgende drei Aussagen sind für sich genommen plausibel:

(1) Die Wellenfunktion liefert die vollständige Beschreibung eines individuellen Systems
​

(2) Die Zeitentwicklung eines Systems ist immer durch die Schrödinger-Gleichung gegeben
​

(3) Jede Messung an einem System hat immer ein eindeutiges Ergebnis
​

Je zwei der Aussagen führen zur Negation der Dritten - sogenanntes „Maudlin Trilemma“.

Daraus folgt eine übersichtliche Klassifikation einiger Interpretationen der Quantenmechanik:

(1) + (2) → ¬ (3) „Viele Welten“ nach Everett et al.
(1) + (3) → ¬ (2) „Kollaps" der Wellenfunktion, insbs. nach von Neumann; auch nicht-lineare Erweiterung nach GRW u.a.
(2) + (3) → ¬ (1) statistische bzw. Ensemble-Interpretationen; deBroglie-Bohm unter zusätzlicher Verwendung der Teilchenkoordinaten​

Betrachten wir ausgehend von einem nicht-lokalisierten Zustand des Photons wieder das Problem der Lokalisierung im Zuge der Ortsmessung in einem Detektor. Erwarten wir von einer Interpretation der Quantenmechanik eine Erklärung des eindeutigen Messergebnisses, so müssen wir (3) voraussetzen, d.h entweder (1) oder (2) ablehnen. Wir gelangen insbs. zu Kollaps- oder Ensemble-Interpretationen.

Darüberhinaus haben wir das Problem, dass diverse Interpretationen für relativistische Quantenfeldtheorien - also die QED, die wir für Photonen nun mal benötigen - nicht gut funktionieren.

 

[Bernhard]

Hamiltonian

$$ H = \frac{1}{2m_1}\nabla_1^2 + \frac{1}{2m_2}\nabla_2^2 + V_0 \, \delta(x_1 - x_2) $$

Basis

$$ \phi_{m,n; \, x_i \le L}(x_1, x_2) = u_m(x_1) \, v_n(x_2) $$

$$ \phi_{n; \, x_2 > L}(x_2) = v_n(x_2) $$

Mit \(\hbar = 1\) gilt Hamiltonian

$$ H = -\frac{1}{2m_1}\frac{\partial^2}{{\partial x_1}^2} - \frac{1}{2m_2}\frac{\partial^2}{{\partial x_2}^2} + V_0 \, \delta(x_1 - x_2) $$

Basis im gesamten Konfigurationsraum:

$$ \phi_{n}(x_1, x_2) = u_n(x_1) \, v_n(x_2) $$

mit

$$u_n(x_1) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x_1}{L}$$

im Bereich 0 <= x_1 <= L

sowie \(v_n(x_2) = 0\) , falls x_2 = 0

also vorerst nur ein Index, über den summiert wird.

Ferner:

$$\psi(x_1,x_2) = \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x_1) \, v_n(x_2)$$

Die "höheren Kanäle" können später vernachlässigt werden, so dass man von der unendlichen Summe zB nur den ersten und zweiten Term berücksichtigt.

Fortsetzung folgt ....

 

[TomS]

Ups, meinen Vorzeichenfehler hab' ich schnell, noch korrigiert

Mit \(\hbar = 1\) gilt Hamiltonian

Basis im gesamten Konfigurationsraum:

$$ \phi_{n}(x_1, x_2) = u_n(x_1) \, v_n(x_2) $$

Im gesamten Konfigurationsraum kann nicht sein, wenn das eine Teilchen in einem unendlichen Kasten sitzt und seine Wellenfunktion außerhalb identisch Null sein muss.

mit

$$u_n(x_1) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x_1}{L}$$

im Bereich 0 <= x_1 <= L

sowie \(v_n(x_2) = 0\) , falls x_2 = 0

Wieso "= 0" an genau einer Stelle?

Ferner:

$$\psi(x_1,x_2) = \sum_{n=1}^{\infty}u_n(x_1) \, v_n(x_2)$$

Keine Zeitabhängigkeit? Wieso identisches n für beide Teilchen?

 

[Bernhard]

Im gesamten Konfigurationsraum kann nicht sein, wenn das eine Teilchen in einem unendlichen Kasten sitzt und seine Wellenfunktion außerhalb identisch Null sein muss.

Mit Konfigurationsraum meine ich den Bereich 0<= x_1 <= L und 0 <= x_2.

Wieso "= 0" an genau einer Stelle?

Die Wellenfunktion für das freie Teilchen ist für x_2 <= Null überall gleich Null.

Keine Zeitabhängigkeit?

Man hat dann eine feste Gesamtenergie E für beide Teilchen, als Eigenwert der stationären Schrödingergleichung.

Wieso identisches n für beide Teilchen?

Der Einfachheit halber. Aufgrund der Vollständigkeit des Funktionensystems des gebundenden Teilchens 1 ist das mathematisch zulässig und bringt eine anschauliche Vorstellung von "Energiekanälen". In jedem Kanal hat man dann für x_2 >= L eine Summe aus einer einlaufenden und einer auslaufenden Welle.

 

[TomS]

Leider verstehe ich jetzt überhaupt nichts mehr.

Teilchen 1 bei 0 < x < L, da in einem Kasten eingesperrt; freie Eigenfunktionen sind die Sinus-Funktionen
Teilchen 2 bei 0 < x < unendlich, da nicht eingesperrt; freie Eigenfunktionen sind die ebene Wellen mit Knoten bei 0; nimmt man statt unendlich einen sehr großen Kasten, dann wieder wie bei Teilchen 1 diskrete Eigenfunktionen
Aufgrund der delta-Funktion erhält man evtl. sowas wie einen gebunden Zustand (zumindest ist das bei eine statischen delta-Potential der Fall)

Das wäre mein allgemeiner Ansatz, also zunächst eben Summe über beide Indizes m,n. Aber vermutlich hast du deinen Ansatz gerechtfertigt, dann macht das Sinn.

 

[Bernhard]

Leider verstehe ich jetzt überhaupt nichts mehr.

Kommt daher, weil ich anfangs nur aus der Erinnerung wiedergegeben hatte. Sorry.

Teilchen 1 bei 0 < x < L, da in einem Kasten eingesperrt; freie Eigenfunktionen sind die Sinus-Funktionen
Teilchen 2 bei 0 < x < unendlich, da nicht eingesperrt; freie Eigenfunktionen sind die ebene Wellen mit Knoten bei 0; nimmt man statt unendlich einen sehr großen Kasten, dann wieder wie bei Teilchen 1 diskrete Eigenfunktionen

Genau

Aufgrund der delta-Funktion erhält man evtl. sowas wie einen gebunden Zustand (zumindest ist das bei eine statischen delta-Potential der Fall)

Man mulipliziert die gesamte stationäre Schrödingergleichung von links mit einem allgemeinen Bra-Vektor mit Index m der gebundenen Zustände von Teilchen 1, und kann damit dann über die Delta-Funktion integrieren. So kommt man dann zu einem System von gewöhnlichen DGLs. Kann ich später noch aufschreiben ...

Das wäre mein allgemeiner Ansatz, also zunächst eben Summe über beide Indizes m,n. Aber vermutlich hast du deinen Ansatz gerechtfertigt, dann macht das Sinn.

Ich denke, der Ansatz kam bereits vom Prof und ist gut geeignet, um dann die genannten Resonanzeffekte später numerisch zu zeigen.

 

[TomS]

ok, danke, dann bin ich grundsätzlich richtig unterwegs

 

[Bernhard]

Kann ich später noch aufschreiben ...

Als nächstes definiert man die Energien und Wellenzahlen/Impulse von Teilchen 2 für jedes n gemäß:
$$E_n := E_{ges} - \frac{n^2\pi^2}{2m_1 L^2}$$
und
$$k_n = p_n := \sqrt{2m_2E_n}$$
Dann folgt das System gewöhnlicher Differentialgleichungen:
$$-\frac{1}{2m_2}v_n^{''}+\sum_{n'=1}^N V_{nn'}v_{n'} = E_n v_n$$
Mit
$$V_{nn'} = \frac{2V_0}{L}\sin\frac{n\pi x_2}{L}\sin\frac{n'\pi x_2}{L}$$
falls 0 <= x_2 <= L.
Da diese Potentiale außerhalb des Wechselwirkungsbereiches verschwinden, vereinfacht sich obiges DGL-System dort auf
$$\frac{1}{2m_2}v_n^{''} + E_n v_n = 0$$
mit der allgemeinen Lösung
$$v_n(x_2) = R_n^{-}\exp (-ik_nx_2) - R_n^{+}\exp (ik_nx_2)$$
in Form einer nach links einlaufenden Welle mit der Amplitude \(R_n^{-}\) und einer nach rechts auslaufenden Welle mit der Amplitude \(R_n^{+}\)

Zuletzt leitet man dann aus der Bedingung nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit der v_n an der Nahtstelle bei x_2 = L noch die nötigen Randbedingungen ab, um ein Gleichungssystem für alle unbekannten Konstanten abzuleiten.

 

[Bernhard]

Nebenbei nochmal zum Kollaps: Akzeptiert man in der Natur einen prinzipiellen Zufall, bekommt man damit dann wohl doch auch so etwas wie einen Kollaps ("was für ein Satz"), weil ja irgendwann zwischen physikalisch möglichen Alternativen ausgewählt werden muss.

Bezogen auf die gesamte Welt, wäre das dann aber wohl eher ein kontinuierlicher Vorgang, weil die Zeit ja auch kontinuierlich verstreicht. EDIT: Das Verwirrende an so einem Kollaps ist die Abhängigkeit von der verwendeten Modellierung. Je gröber das Modell, desto ungenauer auch die Beschreibung einer Messung durch eine Kollaps.

 

[TomS]

Nebenbei nochmal zum Kollaps: Akzeptiert man in der Natur einen prinzipiellen Zufall, bekommt man damit dann wohl doch auch so etwas wie einen Kollaps, weil ja irgendwann zwischen physikalisch möglichen Alternativen ausgewählt werden muss.

Ich würde es etwas anders formulieren:

1) Wir beobachten nach heutigem Wissenstand einen zumindest subjektiv wahrgenommen Zufall. Dazu müssen wir noch nicht einmal auf die theoretische Beschreibung verweisen, d.h. wir beobachten experimentell den Zufall auch ohne Kenntnis des Konstruktes der Wellenfunktion. Daher führt der Zufall rein logisch nicht zum Kollaps, letzterer folgt erst durch die Einführung eines theoretischen Konstruktes (und weiterer Überlegungen - siehe Maudlin).
2) Der "Kollaps" oder welcher Mechanismus auch immer muss für sich betrachtet nicht zwingend stochastisch sein. Der "Kollaps" folgt zunächst mal rein aus der mathematisch vorliegenden Superposition aller Möglichkeiten jedoch der experimentellen Beobachtung genau einer einzigen.

Ich würde das zunächst trennen (genau das hatte Maudlin im Sinn).

Z.B. bietet auch die Viele-Welten-Interpretation nach Überzeugung ihrer Anhänger beides, einen subjektiv wahrgenommenen Kollaps sowie subjektiv wahrgenommene Wahrscheinlichkeiten. Beides hat jedoch wenig miteinander zu tun (auch die klassische Mechanik liefert im Zuge des klassischen Chaos Wahrscheinlichkeiten).

Daher - beides zunächst trennen.

 

[Bernhard]

Daher - beides zunächst trennen.

Ok. Klingt erstmal vernünftig

Bei obiger Liste fehlt eventuell noch der https://en.wikipedia.org/wiki/Superdeterminism. Den verstehe ich so, dass der Zufall ebenfalls nur scheinbar existiert. Spekulation: Das Verhalten aller Materie im Kosmos wird eigentlich über einen (unbekannten) Satz an Anfangsparametern (zB beim Urknall) einmal und vorher festgelegt.

Der Vollständigkeit halber noch ein Link von quanten.de/forum: http://quanten.de/forum/showpost.php5?p=101210&postcount=55
What if the Effect Comes Before the Cause? (S. Hossenfelder, 23.10.2022)

 

[Bernhard]

Z.B. bietet auch die Viele-Welten-Interpretation nach Überzeugung ihrer Anhänger beides - einen subjektiv wahrgenommenen Kollaps sowie subjektiv wahrgenommene Wahrscheinlichkeiten.

Klar, die VWI bietet eine naheliegende und einfache Lösung an, um die (fragwürdigen) Zufälligkeiten der Kopenhagener Interpretation/Standard-Quantenmechanik zu erklären (alles was physikalisch möglich ist, wird einfach realisiert) - aber zu welchem Preis.

 

[TomS]

Bei obiger Liste fehlt eventuell noch der https://en.wikipedia.org/wiki/Superdeterminism. Den verstehe ich so, dass der Zufall ebenfalls nur scheinbar existiert. Spekulation: Das Verhalten aller Materie im Kosmos wird eigentlich über einen (unbekannten) Satz an Anfangsparametern (zB beim Urknall) einmal und vorher festgelegt.

Bin mir da nicht sicher, habe mich mit dem Superdeterminismus-Loophole zu wenig befasst.

Tatsache ist aber, dass die Viele-Welten-Interpretation in gewisser Weise genau das ist (was man evtl. nicht unmittelbar erkennt, weil der bizarre Begriff Superdeterminismus im Wege steht; es ist halt schlicht und einfach Determinismus, ich sehe da keinen Unterschied und keinen Grund für das "Super")

Die Viele-Welten-Interpretation kombiniert den Determinismus der Schrödingergleichung noch mit der Dekohärenz. Alles ist durch eine universelle Wellenfunktion determiniert, zusätzlich erfolgt jedoch eine Verzweigung, wodurch ein subjektiv wahrgenommener Kollaps und eine subjektiv wahrgenommene Wahrscheinlichkeit resultieren. Ich will hier nicht für die "Vielen Welten" argumentieren sondern lediglich darauf hinweisen, dass wenn der Superdeterminismus in Maudlins Betrachtung fehlt, es sich wohl nicht nur um einen vierten Punkt in der Liste handeln kann; so einfach ist das offensichtlich nicht.

MMn steckt der Superdeterminismus jedoch in einer erweiterten Formulierung von (1) und (2)
(1) Die Wellenfunktion liefert die vollständige Beschreibung eines individuellen Systems - einschließlich des gesamten Universums
(2) Die Zeitentwicklung eines Systems - einschließlich der des gesamten Universums - ist immer durch die Schrödinger-Gleichung gegeben
Mit der logischen Verneinung von (3) folgt dann die Viele-Welten-Interpretation.

 

[Bernhard]

MMn steckt der Superdeterminismus jedoch in einer erweiterten Formulierung von (1) und (2)
(1) Die Wellenfunktion liefert die vollständige Beschreibung eines individuellen Systems - einschließlich des gesamten Universums
(2) Die Zeitentwicklung eines Systems - einschließlich der des gesamten Universums - ist immer durch die Schrödinger-Gleichung gegeben

Siehe hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Superdeterminism#Examples. Da werden explizit versteckte Variablen genannt. Das ist schon auch ein legitimer Ansatz.

 

[TomS]

Danke für den Hinweis, sehr interessanter Ansatz von Sabine und Sandro.

Wir müssen dann jedoch fragen, was genau an den Voraussetzungen von Maudlin nicht passt. Im vorliegenden Fall folgt das System nicht der Schrödingergleichung (2) sondern der Lindbladgleichung (4) im Paper, d.h. Voraussetzung (2) von Maudlin - Die Zeitentwicklung eines Systems ist immer durch die Schrödinger-Gleichung gegeben - ist nicht erfüllt. Außerdem reden wir über verborgene Variablen weswegen auch (1) zur Diskussion steht.

Wir benötigen also keinen vierten Punkt zum Superdeterminismus, sondern wir reden schlicht über eine von der Quantenmechanik explizit abweichenden deterministischen Theorie.

 

[Bernhard]

Wir benötigen also keinen vierten Punkt zum Superdeterminismus, sondern wir reden schlicht über eine von der Quantenmechanik explizit abweichenden deterministischen Theorie.

Ok.

Frage zu Maudlin: Warum entspricht ¬ (3) der VWI ? Blos weil auf mikroskopischer Ebene manche Messwerte nicht kausal erklärbar sind, kann das doch immer noch in einer Welt stattfinden?

Ich denke, dass Maudlin zudem nicht alle logischen Zusammenhänge berücksichtigt. Man kann zB das übliche Kausalgesetz in Frage stellen: Jede Wirkung hat eine Ursache. Im Rahmen der QM halte ich es für denkbar, dass es mikroskopische Wirkungen gibt, für die es keine eindeutige Zuordnung zu einer bestimmten Ursache gibt.

 

[TomS]

Frage zu Maudlin: Warum entspricht ¬ (3) der VWI ? Blos weil auf mikroskopischer Ebene manche Messwerte nicht kausal erklärbar sind, kann das doch immer noch in einer Welt stattfinden?

Hänge dich doch nicht an dem Begriff "Welt" auf. Es ist eine "umfassende Welt", aufgefächert in unendlich viele Zweige, die einem Zweig-lokalen Beobachter als "jeweils eigene Welt" erscheinen.

Aus ¬ (3) folgt nicht eindeutig die VWI, es ist jede Interpretation zulässig, die keinen eindeutigen Messwert fordert. Es ist lediglich außer der VWI keine weitere derartige Interpretation bekannt.

Ich denke, dass Maudlin zudem nicht alle logischen Zusammenhänge berücksichtigt. Man kann zB das übliche Kausalgesetz in Frage stellen: Jede Wirkung hat eine Ursache. Im Rahmen der QM halte ich es für denkbar, dass es mikroskopische Wirkungen gibt, für die es keine eindeutige Zuordnung zu einer bestimmten Ursache gibt.

Das würde der Voraussetzung widersprechen, dass das System vollständig durch die Wellenfunktion beschrieben wird, und / oder der Voraussetzung, dass die Zeitentwicklung der Wellenfunktion immer durch die Schrödingergleichung gegeben ist. Die Schrödingergleichung sagt klar, was Wirkung und was Ursache ist: in einer relativistischen Formulierung ist die Ursache eines Ereignisses ganz simpel die Wellenfunktion im Vergangenheitslichtkegel des Ereignisses; das Ereignis folgt dann aus der Zeitentwicklung der Wellenfunktion.

Maudlins Ansatz deckt den Bereich vollständig ab.

 

[Bernhard]

Maudlins Ansatz deckt den Bereich vollständig ab.

Ok. Ich muss mir zu den weiterführenden Fragen dieses Themas erstmal eine fundiertere Meinung bilden.

Danke für die Anregung und die Links.

 

[Bernhard]

Maudlin ist als Professor für Philosophie natürlich erstmal eine gute Adresse. Die Suche im www nach Maudlin Trilemma bringt interessante Treffer, wie diese Vortragspräsentation hier: QM_Dornach_2_2015.pdf

Seite 15, Pauli an Fierz 6. 1. 1952 ist amüsant zu lesen. W. Pauli fand es damals wohl weniger lustig. Letzte Seite des pdf enthält ebenfalls ein interessantes/lustiges Zitat.