Grundlagen zur AQFT

[antaris]

Außerdem muss ich mir ja nicht mehrere solcher Baustellen eröffnen.

Es nun doch an der Zeit, genau diese Baustelle zu eröffnen.


Christopher J Fewster, Kasia Rejzner - Algebraic Quantum Field Theory – an introduction - 2019
"The idea of algebraic formulations of quantum theory, which we describe in Section 2, can
be traced back to Heisenberg’s matrix mechanics, in which the algebraic relations between ob-
servables are the primary data. Schrödinger’s wave mechanics, by contrast, starts with spaces of
wavefunctions, on which the observables of the theory act in specific ways.
As far as position and momentum go, and for systems of finitely many degrees of freedom,
the distinction is rather inessential, because the Stone-von Neumann theorem guarantees that any
(sufficiently regular1) irreducible representation of the commutation relations is unitarily equivalent
to the Schrödinger representation. However, the angular momentum operators provide a classic
example in which inequivalent physical representations appear, and it is standard to study angular
momentum as an algebraic representation problem. However, it was a surprise in the development
of QFT that unitarily inequivalent representations have a role to play here, and indeed turn out to
be ubiquitous."


Ich habe die AI zur Historie der AQFT befragt und es gibt laut der Recherche folgende historische Eckpunkte:

1. Matrixmechanik → Observablen zuerst.
   Heisenberg (1925) stellte Übergangsgrößen und ihre nichtkommutativen Rechenregeln in den Mittelpunkt; Born & Jordan erkannten die Matrixstruktur. In Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden sind die bekannten Darstellungen von
   
   durch den Satz von Stone–von Neumann äquivalent – der algebraische vs. darstellungsbasierte Zugang fällt dort weitgehend zusammen. In Feldtheorien (unendlich viele Freiheitsgrade) bricht diese Eindeutigkeit – unitär inäquivalente Darstellungen sind allgegenwärtig; genau das motiviert die darstellungsunabhängige (algebraische) Formulierung.
2. Segal (1947) → algebraische QM.
   Segal systematisierte „Observablen als Elemente einer C*-Algebra, Zustände als positive Funktionale“, mit der GNS-Konstruktion als Brücke in Hilberträume. Das fixiert die Idee „Physik = (Algebra, Zustand)“, unabhängig von einer speziellen Repräsentation. Diese Ebene ist der direkte Vorläufer der AQFT. (JSTOR)
3. Haag–Kastler (1964) → lokale Netze.
   Die AQFT operationalisiert das Heisenberg–Segal-Motiv lokal: jedem Raumzeitgebiet O wird eine (von-Neumann-/C*-)Algebra**
   
   zugeordnet; Axiome sind u. a. Isotonie und (Einstein-)Lokalität (Kommutativität bei raumartiger Trennung). Dynamik/Kovarianz wirken als Automorphismen/Unitäre auf dem Netz, nicht auf einer „globalen Wellenfunktion“. (AIP Publishing)
4. Warum das in QFT unvermeidlich ist.
   In QFT tauchen unitär inäquivalente Repräsentationen real auf (klassischer Lehrbeleg: van-Hove-Modell). Die AQFT trennt daher bewusst:
   (i) algebraische Relationen der Observablen
   (ii) Zustände als Funktionale
   (iii) Darstellungen via GNS. Genau diese Trennung heben Fewster & Rejzner didaktisch hervor.
5. Moderne Erweiterung: lokal-kovariant (BFV 2003).
   Auf gekrümmten, global hyperbolischen Raumzeiten wird die Theorie als Funktor
   
   formuliert (Timeslice-Axiom etc.). Das verallgemeinert Haag–Kastler und hält am algebraischen Primat fest: Physikalischer Inhalt = Zustandserwartungen auf lokalen Algebren + deren funktorielle Beziehungen. (arXiv)

Aus meiner Sicht macht es Sinn, über die klassische Mechanik einzusteigen, dann klassische Feldtheorie und Quantenmechanik, danach QFT.

Im Rahmen eines Physikstudiums mit gaaaanz wenig AI-Prompts.

Mein Vorschlag:
Ich glaube vom Standpunkt der Heisenbergschen Matrizenmechanik lässt sich relativ einfach der fehlende Anschluss an den Thread Lagrange‐Formulierung und Übergang zum Hamilton-Formalismus herstellen, um von der klassischen Mechanik/Feldtheorie, in die QM vorzudringen. Danach über die algebraischen Beziehungen zwischen den Observablen zu den C*-/vNeumann-Algebren, bis hin zur AQFT.

Die Frage ist, in welchen Umfang das durchgearbeitet werden soll. Reicht, wie im Thread Lagrange‐Formulierung und Übergang zum Hamilton-Formalismus festgestellt, das prinzipielle Verständnis der Mathemtik aus oder muss zwingend bis in jedes Detail vorgedrungen werden?
.

 

[TomS]

Ich glaube vom Standpunkt der Heisenbergschen Matrizenmechanik lässt sich relativ einfach der fehlende Anschluss an den Thread Lagrange‐Formulierung und Übergang zum Hamilton-Formalismus herstellen …

Das glaube ich nicht, die Matrizenmechanik, ist als Ausgangspunkt dafür m.E. wenig geeignet. Das merkst, wenn du es selbst versuchst, nicht, wenn du dir von einer AI die Querverbindung aufzeigen lässt – die können nämlich in der Praxis 10, 100 oder auch 1000 Seiten erfordern.

 

[antaris]

Das glaube ich nicht, die Matrizenmechanik, ist als Ausgangspunkt dafür m.E. wenig geeignet. Das merkst, wenn du es selbst versuchst, nicht, wenn du dir von einer AI die Querverbindung aufzeigen lässt – die können nämlich in der Praxis 10, 100 oder auch 1000 Seiten erfordern.

Es ist die Aussage aus der zitierten Arbeit:

Christopher J Fewster, Kasia Rejzner - Algebraic Quantum Field Theory – an introduction - 2019
"The idea of algebraic formulations of quantum theory, which we describe in Section 2, can
be traced back to Heisenberg’s matrix mechanics, in which the algebraic relations between ob-
servables are the primary data.

Der Ursprung liegt lt. den Autoren in der Matrizenmechanik bzw. dessen "algebraic relations between observables are the primary data".
Sollte diese Arbeit schon dort falsch sein, dann bitte eine bessere Quelle nennen.

 

[TomS]

Es ist die Aussage aus der zitierten Arbeit …

Das ist eine andere Aussage als deine, dass sich relativ einfach der Anschluss an die Lagrange‐Formulierung herstellen liese.

 

[antaris]

Das ist eine andere Aussage als deine, dass sich relativ einfach der Anschluss an die Lagrange‐Formulierung herstellen liese.

Ich habe geschrieben:

Ich glaube vom Standpunkt der Heisenbergschen Matrizenmechanik lässt sich relativ einfach der fehlende Anschluss an den Thread Lagrange‐Formulierung und Übergang zum Hamilton-Formalismus herstellen

Wir waren im Thread beim klassischen Hamiltonian stehengeblieben. So weit bis zur QM und den kommutierenden Observablen ist es von dort doch nicht mehr. Den weg über die Heisenbergsche Matrizen hatte ich nur aufgrund der Historie vorgeschlagen, da ich denke den Sinn hinter "algebraic relations between observables are the primary data" zu verstehen, wäre essentiell. Den Weg dahin kann ich nicht genau sehen und dabei brauche ich Unterstützung.

 

[TomS]

Wir waren im Thread beim klassischen Hamiltonian stehengeblieben. So weit bis zur QM und den kommutierenden Observablen ist es von dort doch nicht mehr. Den weg über die Heisenbergsche Matrizen hatte ich nur aufgrund der Historie vorgeschlagen, da ich denke den Sinn hinter "algebraic relations between observables are the primary data" zu verstehen, wäre essentiell. Den Weg dahin kann ich nicht genau sehen und dabei brauche ich Unterstützung.

Der Weg über die Matrizen ist extrem sperrig, weil man vor lauter Indizes nix mehr sieht.

Im Kern fordert man, dass gewisse Größen nicht mehr vertauschen. Das sieht man in der Wellenmechanik viel einfacher (und dass beide Zugänge explizit äquivalent sind, bedurfte eines Beweises von Schrödinger).

Es bringt wenig, wenn du darüber spekulierst, ob man besser von A über B nach X gelangt, oder von C direkt nach Y, solange du A, B und C nicht verstehst. Und für ein Verständnis musst du halt alle Darstellungen und Methoden A, B, C sowie die Verknüpfungen mal explizit durchgearbeitet haben. Das lernt man nicht mittels ChatGPT, genauswenig wie Kochen oder Neurochirurgie.

 

[antaris]

Es bringt wenig, wenn du darüber spekulierst, ob man besser von A über B nach X gelangt, oder von C direkt nach Y, solange du A, B und C nicht verstehst.

Ja verstanden, der historische Werdegang ist nicht verwendbar und es ging mir hier nicht um eine Abkürzung.

ich denke den Sinn hinter "algebraic relations between observables are the primary data" zu verstehen, wäre essentiell. Den Weg dahin kann ich nicht genau sehen und dabei brauche ich Unterstützung.

Also wo genau soll ich anfangen?

Aus meiner Sicht macht es Sinn, über die klassische Mechanik einzusteigen...

Dann wäre der Startpunkt doch der bisherige Stand im bereits genannten Thread

Lagrange‐Formulierung und Übergang zum Hamilton-Formalismus

?