Grundlagen der Raketendynamik & Himmelsmechanik

[albertus]

Kleine Denkaufgabe zur Orbitalmechanik

Da es hier gerade etwas ruhiger ist, möchte ich die Wartezeit auf die nächsten Schritte mit einer kleinen Denkaufgabe überbrücken, die die oft kontraintuitive Natur der Bahndynamik verdeutlicht:

Stellen wir uns vor, wir befinden uns im Anflug auf die ISS. Wir bemerken, dass wir uns etwas zu weit unterhalb der Zielbahn befinden (näher zur Erde hin). Die intuitive Reaktion wäre: „Ich gebe kurz Gas (Zündung in Flugrichtung), um Geschwindigkeit aufzubauen und so nach oben zu steigen.“
Die Frage: Warum führt genau dieses Manöver ohne weitere Korrektur dazu, dass wir uns langfristig sogar weiter von der ISS entfernen und unsere Bahnperiode sich so verändert, dass wir hinter die Station zurückfallen?

Die Hill-Gleichungen aus Teil 15.1 liefern zwar die mathematische Antwort, aber wie würde man dieses Phänomen einem Laien anschaulich erklären? Hat jemand von euch eine Idee oder ist schon mal in einer Simulation über dieses „Paradoxon“ gestolpert?
Ich bin gespannt auf eure Erklärungsansätze!

 

[ralfkannenberg]

aber wie würde man dieses Phänomen einem Laien anschaulich erklären? Hat jemand von euch eine Idee oder ist schon mal in einer Simulation über dieses „Paradoxon“ gestolpert?
Ich bin gespannt auf eure Erklärungsansätze!

Hallo Astrofreund,

ich denke, Du hast es schon laienverständlich erklärt:

Das Orbital-Paradoxon:​

Stell dir vor, du fliegst 100 Meter hinter der ISS auf der gleichen Höhe (V-Bar). Du willst aufschließen und gibst Gas (Beschleunigung in Flugrichtung).

• Auf der Erde: Du wirst schneller und holst ein.
• Im Orbit: Durch das Gasgeben erhöhst du deine Energie. Höhere Energie bedeutet eine höhere Umlaufbahn. Du steigst auf. Aber: Auf einer höheren Bahn ist die Umlaufgeschwindigkeit niedriger.
• Das Ergebnis: Du steigst nach oben und fällst gegenüber der ISS immer weiter zurück.

Freundliche Grüsse, Ralf

 

[albertus]

Hallo Ralf, das ist die klassische Lehrbuch-Antwort – fachlich korrekt, aber sie erklärt das ‚Warum‘ noch nicht anschaulich. Einem Laien würde ich es eher so beschreiben:

Man muss sich das Ganze wie ein Tauziehen zwischen der Gravitation der Erde und der Fliehkraft des Raumschiffs vorstellen. Im stabilen Orbit halten sich beide exakt die Waage.

Wenn ich jetzt Gas gebe, erhöhe ich sofort meine Fliehkraft. Da die Schwerkraft der Erde aber gleich stark bleibt, gewinnt die Fliehkraft das Tauziehen: Sie drückt mich nach außen, also auf eine höhere Bahn.

Hier kommt der entscheidende Punkt für die Intuition: Auf dieser höheren Bahn muss ich eine viel größere Strecke zurücklegen, aber die Erde zieht mich dort oben auch etwas schwächer an. Um dort oben stabil zu bleiben, darf ich gar nicht mehr so schnell fliegen wie weiter unten, sonst würde mich die Fliehkraft noch weiter nach draußen tragen. Das Raumschiff ‚tauscht‘ also seine durch das Gasgeben gewonnene Bewegungsenergie gegen Lageenergie (Höhe) ein – und wird dabei zwangsläufig langsamer.

Wer im Orbit schneller werden will, muss paradoxerweise erst einmal bremsen, um tiefer zu fallen, wo die Erde einen schneller im Kreis herumschleudert!

 

[ralfkannenberg]

Wer im Orbit schneller werden will, muss paradoxerweise erst einmal bremsen, um tiefer zu fallen, wo die Erde einen schneller im Kreis herumschleudert!

Hallo Astrofreund,

das ist alles richtig was Du schreibst, aber ich denke, das Problem mit der Intuition liegt letztlich woanders:

auf der Erde ist unsere "Geometrie" eine unendlich grosse Ebene, auf der wir beschleunigen, bremsen usw. Insbesondere fahren und auch beschleunigen wir immer parallel zu dieser Ebene, also einer letztlich unendlich grossen ungekrümmten Erdoberfläche. Das ist (im Idealfall) zweidimensional, also ohne "höher" oder "tiefer". Und auch im realen Fall ist der Unterschied zwischen höher und tiefer vernachlässigbar.

Das ist im Orbit völlig anders: da ist die Fahrtrichtung die Tangente des Punktes, an dem wir uns gerade befinden (streng genommen ist das auf der Erdoberfläche natürlich auch so, nur dass diese Tangente konstant ist), d.h. im Orbit ändert sich die Fahrtrichtung ständig, und diese Änderung geschieht immer nach "unten", d.h. Richtung Erde, denn sonst würde man ja die Erdumlaufbahn verlassen.

Um eine höhere Geschwindigkeit auf derselben Bahn zu erhalten muss man also nicht tangential, sondern immer ein bisschen nach unten beschleunigen, da man sonst wie Du sehr anschaulich dargestellt hast nach aussen - also von der Erde weg - fliegen würde.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[albertus]

Hallo Ralf, dein Gedankengang ist konsequent zu Ende gedacht, beschreibt aber eine physikalische Extremsituation. Was du vorschlägst – eine höhere Geschwindigkeit auf derselben Bahn durch eine Beschleunigungskomponente nach ‚unten‘ zu erzwingen – hat in der Raumfahrt einen Namen: Erzwungener Orbit.

Aber gehen wir das mal als Gedankenexperiment durch: Stell dir vor, wir fliegen auf der ISS-Bahn und wollen dort 100 m/s schneller sein als die Station, aber auf exakt derselben Höhe bleiben. Nach deiner Logik müssten wir dann permanent mit unseren Triebwerken nach unten (Richtung Erdmittelpunkt) drücken, um die massiv gestiegene Zentrifugalkraft zu kompensieren.
Das führt zu zwei massiven Problemen:

1. Treibstoff-Paradoxon: Wir würden Unmengen an Treibstoff allein dafür verbrauchen, um nicht aufzusteigen. Ein orbitales Manöver, das ständig Energie kostet, um den Status Quo zu halten, ist in der Raumfahrt ein No-Go.
2. Die Stabilität: In dem Moment, in dem das Triebwerk ausfällt, schießt das Raumschiff aufgrund der überhöhten Geschwindigkeit wie eine gespannte Feder sofort nach oben weg.

In der freien Himmelsmechanik (ohne permanenten Triebwerksschub) gibt es diese Entkopplung von Höhe und Geschwindigkeit nicht. Sie sind über das Gravitationsgesetz fest miteinander ‚verheiratet‘. Wer schneller sein will, muss tiefer fliegen. Wer höher fliegt, muss langsamer sein. Das ist die unbeugsame Realität der Kepler-Bahnen.

Ein ‚Bisschen nach unten Beschleunigen‘ würde uns im Übrigen nicht auf derselben Bahn halten, sondern uns in eine elliptische Bahn zwingen, deren Perigäum (erdnächster Punkt) tiefer liegt. Wir würden also anfangen zu pendeln.

Was meinst du, Ralf: Gibt es in deinem Modell eine Lösung für dieses energetische Defizit, oder müssen wir anerkennen, dass der Orbit keine Autobahn ist, auf der man durch bloßes Gegenlenken die Spur hält?

 

[ralfkannenberg]

Nach deiner Logik müssten wir dann permanent mit unseren Triebwerken nach unten (Richtung Erdmittelpunkt) drücken, um die massiv gestiegene Zentrifugalkraft zu kompensieren.

Hallo Astrofreund,

bist Du Dir sicher, dass diese Richtung Erdmittelpunkt weist ? Ich vermute eher, dass wir hier eine Vektoraddition in tangentialer Richtung (von einem Betrag echt grösser 0) als auch in Richtung des Erdmittelpunktes (ebenfalls von einem Betrage echt grösser 0) haben, d.h. in Abhängigkeit der zu erreichenden Geschwindigkeit "schief".

Was meinst du, Ralf: Gibt es in deinem Modell eine Lösung für dieses energetische Defizit, oder müssen wir anerkennen, dass der Orbit keine Autobahn ist, auf der man durch bloßes Gegenlenken die Spur hält?

Weder noch - es war nur ein Gedankenexperiment, um das Problem zu erklären. Ob ein dauerhaft erzwungener Orbit irgendeinen Sinn macht sei natürlich dahingestellt und ist meiner persönlichen Meinung nach auch aufgrund der von Dir genannten Einwände zu vermeiden.

Ich sehe eigentlich nur einen Anwendungsfall, nämlich um eine Kollision zu verhindern; aber dafür genügt es, ohne solche Überlegungen zu beschleunigen und zu bremsen (oder umgekehrt), um der Kollision zu entgehen und danach wieder auf den ursprünglichen Orbit zurückzukehren. Bei einem der ersten Starlink-Starts gab es ja eine solche Situation, wobei dann der Nicht-Starlink-Satellit das Ausweichmanöver vornahm, weil der Starlink-Satellit ausser Kontrolle geraten war.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[albertus]

Hallo Ralf, natürlich hast du recht, dass jede Richtungsänderung im Raum mathematisch eine Vektoraddition ist. Ob man das nun als ‚schief‘ oder als Zerlegung in Tangential- und Radialkomponenten beschreibt, ändert aber nichts an der energetischen Bilanz: Sobald du die Bahngeschwindigkeit erhöhst, ohne die Höhe zu ändern, musst du eine Kraft aufwenden, die der gestiegenen Zentrifugalkraft entgegenwirkt. Ob die Düse dabei exakt zum Erdmittelpunkt zeigt oder leicht geneigt ist, hängt nur davon ab, ob du gleichzeitig noch weiter beschleunigen willst oder nur die Spur halten möchtest.

Dein Beispiel mit dem Starlink-Ausweichmanöver illustriert das eigentlich sehr schön: Das ist kein ‚Dauerzustand‘, sondern eine kurzzeitige Bahnstörung. Man gibt einen Impuls, verändert damit die Ellipse, um der Kollision zu entgehen, und muss danach meistens wieder aktiv korrigieren, um in den Arbeitsorbit zurückzukehren.

Genau das ist der Punkt, den ich mit dem ‚harten Boden der Realität‘ meinte: Im Orbit gibt es kein stabiles ‚schneller fliegen auf gleicher Höhe‘ durch bloßes Gegenlenken. Es bleibt ein energetischer Kampf gegen die Schwerkraft.

Ich denke, wir haben das Gedankenexperiment jetzt gut ausgeleuchtet.

 

[albertus]

Teil 16: Rückkehr zur Erde – Der Kampf gegen die Energie​

Bisher haben wir uns damit beschäftigt, wie wir in den Orbit kommen und dort manövrieren. Doch das schwierigste Manöver ist oft die Rückkehr. Ein Raumschiff in 400 km Höhe besitzt eine gewaltige Menge an potentieller und vor allem kinetischer Energie. Diese Energie muss vernichtet werden, um sicher zu landen – und das fast ausschließlich durch Reibung.

16.1: Die physikalischen Grundlagen des Wiedereintritts​

Wenn wir die Bremszündung (Retro-Burn) einleiten, senken wir unser Perigäum so weit ab, dass die Flugbahn in die oberen Schichten der Atmosphäre eintaucht (ca. 120 km Höhe, das sogenannte Entry Interface).

1. Die energetische Bilanz

Ein Objekt der Masse m im Orbit besitzt eine spezifische Energie (Energie pro Masse), die sich aus der Geschwindigkeit v und der Höhe h zusammensetzt:

Bei einer Eintrittsgeschwindigkeit von ca. 7,8 km/s entspricht das einer Energie von etwa 30 Megajoule pro Kilogramm. Diese Energie wird beim Wiedereintritt fast vollständig in Wärme umgewandelt. Zum Vergleich: Das reicht aus, um das Äquivalent der Kapselmasse in Eisen zu schmelzen und teilweise zu verdampfen.

2. Die Aerodynamik der Abbremsung

In der dünnen Atmosphäre wirkt die Luftwiderstandskraft

der Bewegung entgegen. Die daraus resultierende Verzögerung a ist:

Hierbei ist

die Luftdichte, die wir über die barometrische Höhenformel modellieren:

(mit der Skalenhöhe

m und

kg/m³).

3. Der Ballistische Koeffizient (B)

Für die Simulation ist eine Kenngröße entscheidend, die darüber bestimmt, wie tief eine Kapsel in die Atmosphäre eindringt:

Ein niedriger B-Wert (stumpfe Form wie bei Sojus oder Apollo) sorgt dafür, dass die Bremsung bereits in höheren, dünneren Luftschichten beginnt, was die thermische Belastung verteilt.

4. Der Flugbahnwinkel (

)

Dies ist der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der lokalen Horizontalen. Er entscheidet über Leben und Tod:

• Zu flach: Die Kapsel "springt" an der Atmosphäre ab wie ein Stein auf dem Wasser (Skip Re-entry).
• Zu steil: Die Luftdichte nimmt schneller zu, als die Geschwindigkeit abgebaut werden kann. Die resultierenden G-Kräfte würden die Struktur und die Besatzung zerstören.

 

[albertus]

Teil 16.2: Die Beispielaufgabe – Wenn der Taschenrechner über Leben und Tod entscheidet​

Um das Modell aus Teil 16.1 zu prüfen, rechnen wir ein konkretes Szenario durch. Wir nutzen die Daten einer Kapsel, die der bewährten Sojus entspricht. Wer einen Taschenrechner zur Hand hat, kann die Schritte gerne mitvollziehen.

Die Eingabewerte für unser Modell:​

• Masse (m): 2.800 kg
• Querschnittsfläche (A): 4,9 m²
• Widerstandsbeiwert (
  
  ): 1,3 (typisch für stumpfe Kapseln)
• Eintrittsgeschwindigkeit (
  
  ): 7.800 m/s
• Skalenhöhe der Atmosphäre (H): 7.500 m

Schritt 1: Den Ballistischen Koeffizienten (B) bestimmen​

Bevor wir die Flugbahn betrachten, müssen wir wissen, wie „windschnittig“ die Masse verteilt ist:

Dieser Wert sagt uns, wie viel Masse auf jeden Quadratmeter „Bremsfläche“ drückt.

Schritt 2: Vergleich zweier Eintrittswinkel (

)​

Wir berechnen nun die maximale Verzögerung

für einen sicheren und einen gefährlichen Winkel. Die Formel für den Spitzenwert der Verzögerung lautet:

(Hinweis:

ist die Eulersche Zahl)

Szenario A: Der „Nominal-Abstieg“ (

)​

Wir setzen ein:

Um die G-Kraft zu erhalten, teilen wir durch

:

Ergebnis: Eine harte, aber für trainierte Besatzungen absolut sichere Rückkehr.

Szenario B: Das Negativbeispiel – Der „Steilschuss“ (

)​

Hier zeigt sich die gnadenlose Mathematik des Sinus:

Die G-Belastung:

Ergebnis: Katastrophal. Bei fast 16 g droht nicht nur das menschliche Versagen (Blackout, innere Verletzungen), sondern auch die strukturelle Integrität der Kapsel und des Hitzeschildes wird jenseits der Spezifikationen belastet.

Schritt 3: Die energetische „Verschrottung“​

Zum Schluss werfen wir einen Blick auf die Energie, die vernichtet werden muss. Die kinetische Energie (

) beim Eintritt beträgt:

Diese Energie entspricht der Explosionskraft von etwa 20 Tonnen TNT. Da die Kapsel in nur wenigen Minuten zum Stillstand kommt, entspricht die Bremsleistung der eines mittleren Kraftwerks – all das wird in Wärme umgewandelt.

Ausblick auf das Python-Skript​

Mit dem Taschenrechner haben wir die Spitzenwerte ermittelt. Unser kommendes Programm wird uns jedoch zeigen, wie sich diese Werte über die Zeit verteilen (die „G-Kurve“). Wir werden sehen, dass man durch einen gesteuerten Eintritt (Lift-Vector) die Kurve abflachen kann, um die Besatzung zu schonen.

 

[albertus]

Teil 16.3: Die Simulation des Wiedereintritts in Python​

Nachdem wir die Spitzenwerte mit dem Taschenrechner ermittelt haben, lassen wir nun den Rechner die Arbeit machen. Das folgende Python-Skript simuliert den Flugweg von der Entry Interface (120 km) bis in die dichten Luftschichten. Es zeigt uns nicht nur den Spitzenwert, sondern den gesamten Verlauf der Belastung.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Konstanten
G = 6.67430e-11        # Gravitationskonstante
M_EARTH = 5.972e24     # Masse der Erde
R_EARTH = 6371000      # Erdradius in m
RHO_0 = 1.225          # Luftdichte auf Meereshöhe (kg/m^3)
H_SCALE = 7500         # Skalenhöhe der Atmosphäre in m

def simulate_reentry(v_entry, gamma_deg, m, A, cd):
    h = 120000.0                   # Starthöhe 120 km
    v = v_entry                    # Eintrittsgeschwindigkeit
    gamma = np.radians(gamma_deg)  # Winkel in Radian
    
    dt = 0.1                       # Zeitschritt 0,1s
    data = {'h': [], 'v': [], 'g_load': [], 't': []}
    t = 0
    
    while h > 5000 and v > 100:
        # 1. Aktuelle Luftdichte
        rho = RHO_0 * np.exp(-h / H_SCALE)
        
        # 2. Kräfte berechnen
        drag = 0.5 * rho * v**2 * cd * A
        a_drag = drag / m
        g_h = (G * M_EARTH) / (R_EARTH + h)**2
        
        # 3. Zustandsänderungen (Differentialgleichungen)
        dv = -a_drag + g_h * np.sin(gamma)
        
        # Änderung des Flugbahnwinkels (Geometrie + Physik)
        dgamma = (g_h - v**2 / (R_EARTH + h)) * np.cos(gamma) / v
        
        # Integration
        v += dv * dt
        h -= v * np.sin(gamma) * dt
        gamma += dgamma * dt
        t += dt
        
        data['h'].append(h / 1000)
        data['v'].append(v)
        data['g_load'].append(a_drag / 9.81)
        data['t'].append(t)
        
    return data

# Simulation fuer Nominal und Steilschuss
m, A, cd = 2800, 4.9, 1.3
nom_data = simulate_reentry(7800, 2.5, m, A, cd)
steep_data = simulate_reentry(7800, 6.0, m, A, cd)

# Plotten der Ergebnisse
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(nom_data['h'], nom_data['g_load'], label='Nominal (-2,5 Grad)', color='green')
plt.plot(steep_data['h'], steep_data['g_load'], label='Steilschuss (-6,0 Grad)', color='red')
plt.axhline(y=10, color='orange', linestyle='--', label='Gefahrenzone (>10g)')
plt.title('G-Last Profil beim Wiedereintritt')
plt.xlabel('Hoehe (km)')
plt.ylabel('Verzoegerung (g)')
plt.gca().invert_xaxis()
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Eine kurze Analyse für die Mathematiker​

Besonders interessant im Code ist die Zeile für dgamma. Sie beschreibt, wie sich der Winkel der Flugbahn verändert:

1. Der erste Term (
   
   ): Die Gravitation will die Nase der Kapsel nach unten ziehen.
2. Der zweite Term (
   
   ): Die Zentrifugalkraft will die Kapsel nach außen (oben) drücken.

Solange man mit Orbitalgeschwindigkeit fliegt, heben sich beide auf (

). Sobald wir aber durch den Luftwiderstand langsamer werden, verliert die Zentrifugalkraft das Tauziehen gegen die Schwerkraft. Die Kapsel beginnt, immer steiler nach unten zu "nicken". Das ist der Grund, warum ein Wiedereintritt ab einem gewissen Punkt unumkehrbar wird.

Was uns die Kurven zeigen​

• Die G-Nadel: Beim Steilschuss schnellt die Last fast senkrecht auf knapp 16 g hoch. Das Zeitfenster, in dem die Kapsel bremsen kann, wird durch den steilen Winkel massiv verkürzt.
• Das Bremsfenster: Die Hauptarbeit findet zwischen 60 km und 30 km Höhe statt. Hier entscheidet sich, ob der Hitzeschild hält oder die Belastungsgrenzen überschritten werden.

Damit schließen wir das Kapitel der ballistischen Rückkehr ab. Im nächsten Teil können wir uns ansehen, wie man diesen "freien Fall" durch eine aktive Lageregelung (Lift-Vector) entschärfen kann.

 

[albertus]

Teil 17: Der gesteuerte Wiedereintritt – Physik gegen G-Kräfte​

Wir haben gesehen, dass ein rein passiver Fall aus dem Orbit (ballistisch) die Besatzung mit über 6 g belastet. Die Ingenieure nutzen jedoch einen Trick: Aerodynamischen Auftrieb.

17.1 Die Rechnung zum Mitnehmen​

Eine Kapsel wie die Sojus erzeugt durch eine leicht asymmetrische Gewichtsverteilung ein Auftrieb-zu-Widerstand-Verhältnis (L/D-Ratio) von etwa 0,30.

Die Formel für die G-Last-Reduktion:
Wer am Wochenende nachrechnen möchte: Die maximale G-Last bei gesteuertem Eintritt (

) sinkt im Vergleich zum ballistischen Wert (

) näherungsweise nach:

Wobei f ein Faktor für das Geschwindigkeitsquadrat ist (ca. 0,5 bis 0,7 im Bremsbereich).

Beispiel:

Bei

und einem L/D = 0,3 ergibt sich:

Wir "sparen" uns also allein durch die Kapselform etwa 1 g Belastung ein.

---

17.2 Die Simulation in Python (Vollständiger Code)​

Dieses Programm vergleicht nun beide Modi. Wir führen den Koeffizienten cl (Lift) ein und berechnen die resultierende Kraft aus Drag und Lift.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Physikalische Konstanten
G = 6.67430e-11        # Gravitationskonstante
M_EARTH = 5.972e24     # Masse der Erde
R_EARTH = 6371000      # Erdradius in m
RHO_0 = 1.225          # Luftdichte auf Meereshoehe (kg/m^3)
H_SCALE = 7500         # Skalenhoehe der Atmosphaere in m

def simulate_reentry_advanced(v_entry, gamma_deg, m, A, cd, cl):
    h = 120000.0                   # Start bei 120 km
    v = v_entry
    gamma = np.radians(gamma_deg)
    
    dt = 0.1
    data = {'h': [], 'g_load': [], 't': []}
    t = 0
    
    while h > 5000 and v > 100:
        rho = RHO_0 * np.exp(-h / H_SCALE)
        
        # Widerstand (Drag)
        drag = 0.5 * rho * v**2 * cd * A
        a_drag = drag / m
        
        # Auftrieb (Lift)
        lift = 0.5 * rho * v**2 * cl * A
        a_lift = lift / m
        
        g_h = (G * M_EARTH) / (R_EARTH + h)**2
        
        # Differentialgleichungen
        dv = -a_drag + g_h * np.sin(gamma)
        
        # Winkelanderung inkl. Auftriebskomponente
        # Der Term (a_lift/v) sorgt dafuer, dass die Kapsel die Nase oben haelt
        dgamma = (g_h - v**2 / (R_EARTH + h) - a_lift) * np.cos(gamma) / v
        
        # Integration
        v += dv * dt
        h -= v * np.sin(gamma) * dt
        gamma += dgamma * dt
        t += dt
        
        # Resultierende G-Last (Vektorielle Summe aus Drag und Lift)
        a_total = np.sqrt(a_drag**2 + a_lift**2)
        
        data['h'].append(h / 1000)
        data['g_load'].append(a_total / 9.81)
        
    return data

# Parameter Sojus
m, A, cd = 2800, 4.9, 1.3

# Simulation 1: Ballistisch (cl = 0)
ballistic = simulate_reentry_advanced(7800, 2.5, m, A, 1.3, 0.0)

# Simulation 2: Gesteuert (cl = 0.39 -> entspricht L/D von 0.3)
# cl = L/D * cd = 0.3 * 1.3 = 0.39
lifting = simulate_reentry_advanced(7800, 2.5, m, A, 1.3, 0.39)

# Plotten
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(ballistic['h'], ballistic['g_load'], 'r--', label='Ballistischer Abstieg (L/D=0)')
plt.plot(lifting['h'], lifting['g_load'], 'g-', label='Gesteuerter Abstieg (L/D=0.3)')

plt.title('Vergleich der G-Belastung: Ballistisch vs. Gesteuert')
plt.xlabel('Hoehe (km)')
plt.ylabel('Verzoegerung (g)')
plt.gca().invert_xaxis()
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

17.3: Was uns das Programm zeigt (Analyse der Kurven)​

Wenn ihr das Skript ausführt, werdet ihr einen deutlichen Unterschied zwischen den beiden Kurven sehen. Besonders die grüne Kurve (gesteuerter Abstieg mit L/D=0,3) liefert eine spannende Beobachtung:

1. Die G-Last-Kappung: Während die rote Kurve (ballistisch) ungebremst auf fast 10 g hochschießt, wird die Belastung bei der gesteuerten Variante massiv gedrückt. Sie verteilt sich auf zwei kleinere "Hügel", die beide unter 3 g bleiben. Das ist für die Besatzung der Unterschied zwischen einem medizinischen Notfall und einer normalen Arbeitsbelastung.

2. Das Phänomen des "Abfangbogens" (Der Knick bei 60 km):
Vielleicht wundert ihr euch über den kleinen Rücklauf der grünen Kurve bei etwa 60 km Höhe. Das ist kein Rechenfehler, sondern reine Aerodynamik:

• An diesem Punkt wird die Luft dicht genug, dass der Auftrieb der Kapsel "greift".
• Die Kapsel fängt an, auf der Atmosphäre zu "reiten". Sie verliert für einen Moment kaum an Höhe oder wird sogar minimal nach oben gedrückt (ein sanfter Skip), während sie gleichzeitig massiv Geschwindigkeit abbaut.
• Da die x-Achse die Höhe darstellt, sieht man dieses Verweilen in einer Höhenschicht als horizontalen Versatz oder Rücklauf.

Fazit: Die Simulation beweist, dass wir durch die Nutzung von Auftrieb die kinetische Energie nicht in einem gewaltigen Schlag vernichten müssen, sondern sie kontrolliert "absegeln" können. Die Kapsel nutzt die Atmosphäre als Bremse und Tragfläche zugleich.

 

[ralfkannenberg]

Hier zeigt sich die gnadenlose Mathematik des Sinus:

Hallo Astrofreund,

sorry für die Pedanterie, aber der Sinus ist hier nicht "gnadenlos", sondern in guter Näherung linear. Würde man statt des Sinus nur die Argumente verwenden, d.h. den Faktor 6.0°/2.5°, also mit 4 erweitert 24/10 = 2.4, so würde man 15.84 g statt 15.9 g erhalten.

Aber ja - wie Dein konkretes Beispiel zeigt ist auch die nahezu direkte Proportionalität schlimm genug !


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[albertus]

Teil 18: Die Endphase – Der detaillierte Brems- und Fallschirm-Dossier​

Wir haben die Kapsel in 10 km Höhe bei ca. 800 km/h (

) abgesetzt. Ab hier übernimmt die Mechanik der flexiblen Strukturen. Für unsere Mathematiker im Forum schlüsseln wir die Kräfte nun präzise auf.

18.1 Die Physik des Öffnungsstoßes (Shock Load)​

Wenn sich ein Fallschirm entfaltet, geschieht das nicht instantan, aber extrem schnell. Dabei tritt eine maximale Kraft auf, die weit über der reinen statischen Hanglast liegt. Die Formel für die maximale Kraft beim Öffnen (

) lautet:

Dabei ist:

• 
  der Staudruck (dynamischer Druck) im Moment der Öffnung.
• A die voll entfaltete Fläche.
• 
  der Öffnungsstoß-Faktor (ein empirischer Wert, der die Elastizität der Leinen und die Füllzeit beschreibt, typischerweise zwischen 1,1 und 1,8).
  

Rechenaufgabe 1: Der fatale Fehler (Hauptschirm zu früh)

Nehmen wir an, wir würden den riesigen Hauptschirm (

,

direkt bei 10 km Höhe und

öffnen. Die Luftdichte dort oben beträgt

. Wir nehmen einen moderaten Stoßfaktor

.

Berechnung des Staudrucks q:

Berechnung der Maximalkraft

:

18.2 Wie kommt man auf die >600 g?​

Für die Skeptiker und Nachrechner schlüsseln wir die unvorstellbare G-Last auf, die bei diesem verfrühten Öffnen des Hauptschirms entstehen würde.

Aus der obigen Staudruckberechnung wissen wir, dass die maximale Stoßkraft des Schirms

beträgt. Nun wenden wir die klassische Mechanik an:

Berechnung der absoluten Verzögerung (a) nach Newton

:
Setzen wir unsere Kapselmasse von m = 2.400 kg ein:

Umrechnung in Vielfache der Erdbeschleunigung (G-Last

mit

:

Das exakte Ergebnis: Wir landen sogar bei knapp 677 g! Ein Astronaut mit einem Körpergewicht von 80 kg würde im Bruchteil einer Sekunde eine scheinbare Masse von über 54 Tonnen aufweisen. Jede Knochenstruktur und jede Kapselwand wird bei solchen Lasten augenblicklich pulverisiert.

 

[albertus]

18.3 Die Rettung: Der kontrollierte Bremsschirm-Stoß​

Um diese Katastrophe zu verhindern, schalten wir den kleineren Bremsschirm (

,

) vor. Er öffnet sich zuerst bei 10 km Höhe und gleichem Staudruck (

). Da der Bremsschirm kleiner und steifer ist, setzen wir

.

Die Verzögerung in G-Kräften für unsere 2.400 kg schwere Kapsel:

Das Ergebnis: 23,3 g für den Bruchteil einer Sekunde (wenige Millisekunden) ist die absolute Obergrenze des Erträglichen, aber mechanisch für die Kapsel absolut machbar. Der Bremsschirm hält!

18.4 Die Höhenabhängigkeit der Sinkgeschwindigkeit​

Wenn der Bremsschirm die Kapsel auf die Gleichgewichtsgeschwindigkeit (Terminal Velocity) abgebremst hat, sinkt sie stabil nach unten. Doch wie verändert sich diese Geschwindigkeit, während die Luft dichter wird?

Die Formel für die Gleichgewichtsgeschwindigkeit lautet:

Wir vergleichen die Sinkgeschwindigkeit am Hauptschirm (

,

) einmal direkt nach der Entfaltung in 7 km Höhe und einmal kurz vor dem Aufschlag am Boden (0 km).

• Daten für 7 km Höhe:
  
  
  
  
  
  
  
• Daten für 0 km (Boden):
  
  
  
  

Das Ergebnis: Man sieht wunderschön, wie die dichter werdende Atmosphäre die Kapsel ganz von alleine von 28 km/h auf knapp 20 km/h herunterbremst, je tiefer sie sinkt.

18.5 Das Bremsraketen-Manöver (DMP)​

Um den Aufschlag von 5,44 m/s abzufangen, zünden 0,7 Meter über dem Boden die Feststofftriebwerke. Wir nutzen die klassische Kinematik

, umgestellt nach der benötigten Beschleunigung a:

• 
  (Anfangsgeschwindigkeit)
• 
  (Landegeschwindigkeit am Boden)
• s = 0,7 m (Bremsweg)
  
  
  

In G-Kräften ausgedrückt:

Das Ergebnis: Für genau den Bruchteil einer Sekunde beim Aufschlag spüren die Kosmonauten eine zusätzliche Bremskraft von 2 g. Das ist der berühmte "Stoß", den alle Sojus-Rückkehrer beschreiben – aber er rettet die Struktur.

 

[albertus]

18.6 Die dynamische Landung im Python-Modell​

Um die zeitliche Abfolge und die auftretenden Kräfte lückenlos zu visualisieren, gießen wir die Sequenz in ein dynamisches Skript. Das Programm schaltet je nach Höhe die verschiedenen Fallschirmflächen und Koeffizienten frei.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Konstanten
G = 6.67430e-11
M_EARTH = 5.972e24
R_EARTH = 6371000
RHO_0 = 1.225
H_SCALE = 7500

def simulate_landing():
    # Anfangsbedingungen bei 10 km Hoehe
    h = 10000.0        # Hoehe in m
    v = 222.2          # 800 km/h im Unterschall-Sinkflug
    m = 2400.0         # Masse der Kapsel
    
    dt = 0.01          # Feine Zeitschritte fuer die Schocklasten (10 ms)
    t = 0.0
    
    # Kapsel-Spezifikationen
    A_capsule = 4.9
    cd_capsule = 1.3
    
    # Fallschirm-Spezifikationen
    A_drogue = 24.0
    cd_drogue = 1.4
    A_main = 1000.0
    cd_main = 1.3
    
    # Datenlogger
    data = {'h': [], 'v': [], 'g_load': [], 't': []}
    
    # Flag-Steuerung fuer die Sequenz
    drogue_opened = False
    main_opened = False
    retro_fired = False
    
    while h > 0 and v > 0:
        rho = RHO_0 * np.exp(-h / H_SCALE)
        g_h = (G * M_EARTH) / (R_EARTH + h)**2
        
        # Standardmaessig wirkt nur der Widerstand der Kapsel
        A_eff = A_capsule
        cd_eff = cd_capsule
        shock_factor = 1.0
        
        # --- SEQUENZ-STEUERUNG ---
        
        # 1. Bremsschirm oeffnet bei 9.5 km Hoehe
        if h <= 9500.0 and h > 7500.0:
            A_eff = A_drogue
            cd_eff = cd_drogue
            if not drogue_opened:
                shock_factor = 1.6  # Oeffnungsstoss-Faktor
                drogue_opened = True
                
        # 2. Hauptschirm oeffnet bei 7.5 km Hoehe
        elif h <= 7500.0 and h > 0.7:
            A_eff = A_main
            cd_eff = cd_main
            if not main_opened:
                shock_factor = 1.2  # Oeffnungsstoss-Faktor
                main_opened = True
                
        # 3. Bremsraketen zunden 0.7 m ueber dem Boden
        elif h <= 0.7:
            if not retro_fired:
                retro_fired = True
        
        # --- KRAFTEBERECHNUNG ---
        drag = 0.5 * rho * v**2 * cd_eff * A_eff * shock_factor
        a_drag = drag / m
        
        a_retro = 0.0
        if retro_fired and h > 0:
            a_retro = 19.53
            
        dv = -a_drag - a_retro + g_h
        
        v += dv * dt
        h -= v * dt
        t += dt
        
        data['h'].append(h)
        data['v'].append(v * 3.6) # in km/h fuer die Anschaulichkeit
        data['g_load'].append((a_drag + a_retro) / 9.81)
        data['t'].append(t)
        
    return data

landing_data = simulate_landing()

# Plotten
plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(landing_data['t'], landing_data['g_load'], color='blue', linewidth=1.5)
plt.title('G-Last Profil waehrend der Landephase')
plt.xlabel('Zeit (s)')
plt.ylabel('Belastung (g)')
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(landing_data['h'], landing_data['v'], color='orange', linewidth=1.5)
plt.title('Geschwindigkeit vs. Hoehe')
plt.xlabel('Hoehe (m)')
plt.ylabel('Geschwindigkeit (km/h)')
plt.gca().invert_xaxis()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

18.7 Was uns diese Dynamik zeigt​

Wer dieses Skript ausführt, sieht die physikalische Realität der Landung wie auf einem Flugschreiber:

1. Die Schock-Spitzen (Linker Plot): Man sieht zwei scharfe "Nadeln" in der G-Last. Die erste Nadel schießt beim Öffnen des Bremsschirms auf knapp 23 g hoch, fällt aber binnen Millisekunden sofort ab, weil die Kapsel rasant langsamer wird. Die zweite Nadel beim Hauptschirm ist flacher, da die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt schon stark gedrückt war.
2. Die Stufenleiter der Geschwindigkeit (Rechter Plot): Hier sieht man perfekt, wie die Kapsel bei 10 km Höhe mit 800 km/h ankommt, bei 9,5 km abrupt auf ca. 280 km/h abgefangen wird, ab 7,5 km auf die gemütlichen 20 km/h (ca. 5,4 m/s) herabsinkt und ganz am Ende – knapp über dem Boden (0,7 m) – durch den Raketenstoß abrupt auf Schrittgeschwindigkeit abgebremst wird.

 

[albertus]

Teil 19: Die Dynamik der rotierenden Erde – Corioliskraft und der atmosphärische Schleppfehler​

Bisher haben wir unsere Sojus-Kapsel in den Modellen so behandelt, als würde sie auf einen starren, unbeweglichen Planeten stürzen. Für eine grobe Abschätzung der Thermodynamik reicht das aus. Wer jedoch am Ende in der kasachischen Steppe nicht hunderte Kilometer neben den Bergungsteams im Sand landen will, muss die Erddrehung und die daraus resultierende Corioliskraft exakt in den Solver einbinden.

19.1 Das physikalische Prinzip​

Die Erde dreht sich von Westen nach Osten. Wenn sich unsere Kapsel aus dem Orbit nach unten bewegt, verändert sie ihren Abstand zur Drehachse der Erde (sie kommt ihr näher). Aufgrund der Drehimpulserhaltung behält die Kapsel jedoch einen Großteil ihrer ursprünglichen Ost-West-Geschwindigkeit aus den höheren Luftschichten bei.

Für einen Beobachter am Boden sieht es so aus, als würde eine Scheinkraft die Kapsel auf ihrer Flugbahn seitlich ablenken. Die Vektorformel für diese Coriolisbeschle

Dabei ist:

• 
  der Vektor der Erddrehung (ausgerichtet entlang der Rotationsachse nach Norden).
• 
  der Geschwindigkeitsvektor der Kapsel im rotierenden Bezugssystem.
• x Kreuzprodukt (Vektorprodukt), was bedeutet, dass die Kraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Erdachse steht.

Für den reinen vertikalen Fallflug nach unten (

) vereinfacht sich die horizontale Coriolisbeschleunigung in Ost-West-Richtung (

) zu:

Es ist

der geografische Breitengrad. Für unser Zielgebiet in Kasachstan (z. B. nahe Baikonur) nehmen wir einen Breitengrad von

Nord. Die Winkelgeschwindigkeit der Erde (

) beträgt bezogen auf einen siderischen Tag:

19.2 Das „Wind“-Paradoxon und der Schleppfehler​

Jetzt kommt der entscheidende Punkt für die Rechenfreunde: Die Atmosphäre steht ja nicht still im Raum, sondern dreht sich mit der Erdoberfläche mit. Wenn die Kapsel nach unten fällt, tritt sie in Luftschichten ein, die sich mit der lokalen Tangentialgeschwindigkeit des Planeten nach Osten bewegen.

Die Kapsel hat durch den Sturz aus dem Orbit jedoch eine andere horizontale Eigengeschwindigkeit (

). Die mitrotierende Atmosphäre wirkt für die Kapsel also wie ein permanenter, gewaltiger Ostwind, der sie mitschleift!

Die exakte Kraftbilanz in der Horizontalen lautet somit:

Daran sieht man wunderschön: Die Corioliskraft schiebt nach Osten, aber der aerodynamische Widerstand versucht permanent, die Kapsel an die lokale Geschwindigkeit der rotierenden Atmosphäre anzupassen.

19.3 Warum die Fallschirmphase die Drift dominiert​

Lässt man die Kapsel rein theoretisch im absoluten Vakuum aus 100 km Höhe fallen, beträgt die Ost-Ablenkung am Boden durch die kurze Flugzeit gerade einmal knapp 48 Meter.

In der Realität koppeln wir das System nun aber mit den flexiblen Strukturen aus Teil 18. Sobald ab 7,5 km Höhe der riesige Hauptschirm aufspannt, sackt die vertikale Geschwindigkeit in den Keller. Die Kapsel hängt nun quälend lange (viele Minuten) in der Luft. In dieser Phase schlägt der atmosphärische Schleppfehler voll zu und drückt die Kapsel massiv zur Seite. Die Drift summiert sich im dichten Luftraum auf mehrere Kilometer auf!

 

[albertus]

19.4 Das kombinierte Python-Modell (Kapselfall + Schirme + Erddrehung)​

Das folgende Skript simuliert den gesamten Sturz von der Karman-Linie bis zum Boden und schaltet je nach Höhe automatisch die Querschnittsflächen der Fallschirme frei, während parallel die Coriolis- und Schleppkräfte berechnet werden.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Konstanten
G = 6.67430e-11
M_EARTH = 5.972e24
R_EARTH = 6371000
RHO_0 = 1.225
H_SCALE = 7500

# Erddrehung und Position
OMEGA_EARTH = 7.292115e-5
LATITUDE = np.radians(46.0) # 46 Grad Nord (Kasachstan)

def simulate_coriolis_entry_advanced():
    # Startbedingungen bei 100 km Hoehe (Karman-Linie)
    h = 100000.0      
    v_z = 0.0        
    x_drift = 0.0    
    v_x = 0.0        
   
    m = 2400.0         # Kapselmasse
    dt = 0.05          # Feinere Zeitschritte fuer die Fallschirm-Bremsung
    t = 0.0
   
    # Datenlogger
    data = {'t': [], 'h': [], 'x': [], 'v_z': [], 'v_x': []}
   
    while h > 0 and v_z >= 0:
        rho = RHO_0 * np.exp(-h / H_SCALE)
        g_h = (G * M_EARTH) / (R_EARTH + h)**2
       
        # --- DYNAMISCHE STRUKTURUMSCHALTUNG (Aus Teil 18) ---
        if h > 9500:
            A_eff, cd_eff = 4.9, 1.3    # Reine Kapsel
        elif 7500 < h <= 9500:
            A_eff, cd_eff = 24.0, 1.4   # Bremsschirm aktiv
        else:
            A_eff, cd_eff = 1000.0, 1.3  # Hauptschirm aktiv
           
        # 1. Vertikale Dynamik
        drag_z = 0.5 * rho * v_z**2 * cd_eff * A_eff
        a_z = g_h - (drag_z / m)
        v_z += a_z * dt
        h -= v_z * dt
       
        # 2. Coriolis-Dynamik (Ablenkungsbeschleunigung)
        a_cx = 2.0 * OMEGA_EARTH * v_z * np.cos(LATITUDE)
       
        # 3. Atmosphaerischer Schleppfehler (Widerstand in der Horizontalen)
        drag_x = 0.5 * rho * v_x**2 * cd_eff * A_eff * np.sign(v_x)
        a_drag_x = drag_x / m
       
        v_x += (a_cx - a_drag_x) * dt
        x_drift += v_x * dt
       
        t += dt
       
        data['t'].append(t)
        data['h'].append(h / 1000.0)
        data['x'].append(x_drift)
        data['v_z'].append(v_z * 3.6) # in km/h fuer bessere Anschaulichkeit
        data['v_x'].append(v_x)
       
    return data

sim_data = simulate_coriolis_entry_advanced()

# Grafische Auswertung
plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(sim_data['x'], sim_data['h'], color='blue', linewidth=2)
plt.title('Flugbahn mit Fallschirmphase & Coriolis-Drift')
plt.xlabel('Abweichung nach Osten (m)')
plt.ylabel('Hoehe (km)')
plt.grid(True)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(sim_data['t'], sim_data['v_z'], color='crimson', linewidth=2)
plt.title('Geschwindigkeitsprofil (v_z)')
plt.xlabel('Zeit seit Eintritt (s)')
plt.ylabel('Sinkgeschwindigkeit (km/h)')
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

​

19.5 Was uns das Modell zeigt​

Wer die Simulation startet, sieht im linken Plot einen markanten, physikalisch logischen Knick in der Flugbahn:

• Oben im Orbit (100 km bis 7,5 km): Die Kapsel stürzt rasant ab (rechter Plot). Die Corioliskraft baut kontinuierlich eine kleine seitliche Geschwindigkeit auf, die Flugbahn neigt sich leicht.
• Unten am Hauptschirm (ab 7,5 km): Die Sinkgeschwindigkeit bricht schlagartig auf unter 30 km/h ein. Im linken Plot sieht man nun, wie die Flugbahn im allerletzten Abschnitt einen extremen Haken nach Osten schlägt! Weil die Kapsel jetzt so langsam fällt, hat die rotierende Erde darunter viel mehr Zeit, sich wegzudrehen, während der atmosphärische Schleppfehler die Kapsel seitlich versetzt.

Dieses Zusammenspiel zeigt unmissverständlich, warum eine präzise Landevorhersage ohne die Kopplung von Aerodynamik und Planetenrotation unmöglich ist!

Morgen folgt das große Finale dieser Reihe. In Teil 20 führen wir alle Fäden der vergangenen Wochen im Maschinenraum zusammen und entlassen die Sojus-Kapsel aus einem echten, geneigten Orbit in den dreidimensionalen Raum.

Was euch morgen erwartet:

1. Die echte 3D-Kopplung: Wir werfen die Kapsel nicht mehr nur im fiktiven Steilflug ab, sondern kombinieren die Eintrittsgeschwindigkeit in der Orbitalebene mit der Atmosphärenbremsung und der lateralen Coriolis-Drift.
2. Die Ellipse der Unsicherheit (Monte-Carlo-Simulation): In der Realität ist kein Eintritt wie der andere – die Luftdichte fluktuiert, und Fallschirme öffnen sich nicht auf den Millimeter genau. Ich werde euch ein Python-Skript liefern, das über statistische Streuung eine echte Landeellipse in der kasachischen Steppe berechnet.
3. Das ingenieurstechnische Fazit: Ein finaler Rückblick auf die gesamte Kette – von der Thermodynamik über die Quaternionen-Lageregelung bis zur Punktlandung.

Morgen schließt sich der Kreis. Ich habe diese Beitragsserie im Gedenken an Sigmund Jähn und als Mitglied des Vereins Deutsche Raumfahrtausstellung Morgenröthe-Rautenkranz e.V. erstellt. Über eine weitere Verbreitung der Inhalte würde ich mich sehr freuen – und vor allem hoffe ich, dass alle beim Nachvollziehen und Mitrechnen genauso viel Spaß haben wie ich beim Ausarbeiten.

Bis morgen zum finalen Wiedereintritt!

 

[Bernhard]

und vor allem hoffe ich, dass alle beim Nachvollziehen und Mitrechnen genauso viel Spaß haben wie ich beim Ausarbeiten.

Ich finde das Auswerten von öffentlichen Telemetriedaten interessant und hätte dazu eine Verständnisfrage. Wenn in den Livestreams eine Geschwindigkeit angegeben wird, darf man doch davon ausgehen, dass das die Geschwindigkeit der Rakete oder Kapsel relativ zur Bodenstation ist? Denkbar wären hier auch andere Koordinatensysteme in Relation zur Erde.

 

[albertus]

Re: Verständnisfrage zur Telemetrie / Bezugssysteme​

Hallo Bernhard, das ist eine ausgezeichnete und fundamentale Frage! Die kurze Antwort lautet: Es kommt ganz darauf an, in welcher Flugphase man sich befindet. Die Livestreams (egal ob NASA, Roskosmos oder SpaceX) wechseln je nach Missionsabschnitt das Bezugssystem der angezeigten Geschwindigkeit, ohne das groß anzukündigen.

In der Praxis nutzt die Telemetrie im Wesentlichen drei verschiedene Koordinatensysteme:

1. Die Startphase: Das rotierende System (Earth-Centered, Earth-Fixed - ECEF)

Wenn die Rakete auf der Rampe steht, bewegt sie sich durch die Erddrehung (je nach Breitengrad des Weltraumbahnhofs) bereits mit mehreren hundert Kilometern pro Stunde nach Osten. Auf der Rampe zeigt die Telemetrie aber logischerweise 0 km/h an. In dieser Phase ist das Koordinatensystem fest mit der rotierenden Erdoberfläche verknüpft. Die angezeigte Geschwindigkeit ist die Relativgeschwindigkeit zum Boden (nicht zwingend zur einzelnen Bodenstation, sondern zum rotierenden Geoid).

2. Der Orbit: Das Inertialsystem (Earth-Centered Inertial - ECI)

Sobald die Rakete den dichten Luftraum verlässt und in den Orbit einschwenkt, schaltet die Telemetrie im Hintergrund meist auf ein Inertialsystem um. Dieses System rotiert nicht mit der Erde mit, sondern seine Achsen zeigen fest auf bestimmte Fixsterne.

• Das Paradoxon im Stream: Wenn eine Rakete am Äquator nach Osten startet, „schenkt“ die Erde ihr ca. 1670 km/h Startgeschwindigkeit. Schaltet die Telemetrie im Orbit auf das Inertialsystem um, sieht man plötzlich die echte Orbitalgeschwindigkeit von rund 28.000 km/h (ca. 7,8 km/s). Würde man hier die reine Relativgeschwindigkeit zum Boden anzeigen, stünde dort ein deutlich niedrigerer Wert, weil der Boden unter der Kapsel ja „hinterherjagt“.

3. Das Rendezvous und Docking: Das relative System

Nähert sich die Kapsel der ISS, schaltet die Anzeige ein drittes Mal um. Ab einer gewissen Distanz interessiert niemanden mehr, wie schnell die Kapsel bezüglich der Erde ist. Die Telemetrie zeigt dann die reine Relativgeschwindigkeit zum Ziel (Target) an – die sinkt beim finalen Andocken auf wenige Zentimeter pro Sekunde.

Und genau hier schließt sich der Kreis zu unserem morgigen Teil 20:

Wenn wir den Wiedereintritt berechnen, müssen wir genau diesen Wechsel der Systeme mathematisch vollziehen. Die Kapsel kommt mit ihrer unbestechlichen Inertialgeschwindigkeit (ECI) aus dem All und knallt in die rotierende Atmosphäre (ECEF).

Morgen im Finale werden wir genau sehen, wie diese Systeme im Solver aufeinanderprallen und warum die Kapsel wegen dieser Relativgeschwindigkeiten am Ende die berühmte Landeellipse bildet.

Danke für den Einwurf – exakt das ist der sprichwörtliche „Maschinenraum“ der Navigation!

 

[albertus]

Teil 20: Das Finale – Das 3D-Landefenster, Monte-Carlo-Simulation und die reale Landeellipse​

Mit diesem zwanzigsten Kapitel schließen wir unsere mathematisch-physikalische Simulationsreihe zur Sojus-Kapsel ab. Nachdem wir in den letzten Teilen die Thermodynamik, die Quaternionen-Lageregelung, die Entfaltung der Fallschirme und die Corioliskraft isoliert berechnet haben, führen wir heute alle Fäden in einem vollständigen 3D-Modell zusammen.

Wir entlassen die Kapsel aus einem realen, geneigten Orbit und berechnen die statistische Unsicherheit am Boden – die sogenannte Landeellipse.

20.1 Die mathematische Herausforderung im 3D-Raum​

In der Realität stürzt die Kapsel nicht senkrecht ab. Sie verlässt den Orbit mit einer enormen Vorwärtsgeschwindigkeit in der Orbitalebene (X/Y-Ebene) und tritt in einem flachen Winkel in die Atmosphäre ein. Während des gesamten Abstiegs wirken drei Bewegungskomponenten synchron im Raum:

1. Die orbitale Vorwärtskomponente (
   
   ): Die Kapsel behält durch ihre Trägheit die Flugrichtung bei, wird aber durch die exponentiell dichter werdende Luft in der Flugbahn gebremst.
2. Die vertikale Sinkkomponente (
   
   ): Die Gravitation zieht die Kapsel unaufhaltsam nach unten.
3. Die laterale Coriolis-Komponente (
   
   ): Die Erddrehung erzeugt eine permanente Beschleunigung quer zur Flugrichtung (nach Osten).

20.2 Das Prinzip der Monte-Carlo-Simulation​

Warum landen Raumschiffe nie auf dem exakten mathematischen Punkt? Weil die Natur nicht deterministisch glatt ist. Für die reale Flugleitung berechnet man daher eine Landeellipse mittels einer Monte-Carlo-Simulation.

Dabei jagen wir die Kapsel nicht nur einmal, sondern beispielsweise 50-mal durch den Solver. Bei jedem Durchgang lassen wir die Naturkonstanten über einen Zufallsgenerator leicht fluktuieren:

• Die Atmosphärendichte schwankt durch solare Aktivität und Wetter um
  
  .
• Der Widerstandsbeiwert (
  
  ) der Kapsel und der Schirme variiert durch unruhige Eigenbewegungen um
  
  .
• Der Ausschüttzeitpunkt des Hauptschirms verschiebt sich höhenmäßig um einige Meter.

Am Boden erhalten wir dadurch eine Punktwolke. Die äußere Einhüllende dieser Punkte bildet die reale Landeellipse, innerhalb derer das Bergungsteam in der kasachischen Steppe wartet.

​