Grundlagen der Raketendynamik & Himmelsmechanik

[albertus]

Nachdem wir gestern live den Aufstieg des ViaSat-3 verfolgt haben, möchte ich hier einen Raum schaffen, um die mathematischen Hintergründe solcher Missionen tiefer zu beleuchten. Den Anfang macht das fundamentale Werkzeug jedes Raketentechnikers: Die Ziolkowski-Raketengleichung.

Warum konnte die Falcon Heavy den Satelliten auf eine so hochenergetische Bahn (Super-Synchroner Transfer) bringen? Die Antwort liegt im Verhältnis von Masse und Geschwindigkeit.

1. Die Formel​

Die erreichte Geschwindigkeitsänderung (

) einer Raketenstufe berechnet sich wie folgt:

• 
  (Effektive Ausströmgeschwindigkeit): Sie beschreibt die Effizienz des Triebwerks (beim Merlin-Vakuum-Triebwerk der Oberstufe liegt der spezifische Impuls
  
  bei ca. 348 s).
• 
  (Startmasse): Die vollgetankte Stufe inklusive Nutzlast.
• 
  (Endmasse): Die Masse nach dem Brennschluss (Leergewicht + Nutzlast).

2. Anwendung am Beispiel Falcon Heavy​

Gestern sahen wir, dass SpaceX die Stufen nicht gelandet hat („expendable“). Physikalisch bedeutet das für unsere Gleichung:

• Es muss kein Treibstoff für den Rückflug (Boostback & Landing Burn) in der Stufe verbleiben.
• Dadurch wird
  
  (die Restmasse beim Brennschluss) kleiner.
• Da
  
  im Nenner steht, steigt das Massenverhältnis
  
  und damit das verfügbare
  
  logaritmisch an.

Das zusätzliche

wurde genutzt, um den Satelliten nicht nur auf die Standardhöhe zu bringen, sondern ihm eine weitaus größere Ellipse (

km) zu geben. Das spart dem Satelliten später eigenen Treibstoff bei der Zirkularisierung im Zielorbit.

3. Praxisbeispiel: Live-Analyse vom ViaSat-3 Start​

Um den Nutzen der Formel zu verdeutlichen, schauen wir uns meine Messdaten von gestern an. Wir beobachteten bei einer Höhe von 32.550 km eine Geschwindigkeit von 5.543 km/h.

Mein ursprüngliches Modell für eine Standardbahn (a = 25.700 km) sagte für diese Höhe jedoch nur ca. 4.900 km/h voraus. Woher kamen die zusätzlichen ~640 km/h?

Hier schlägt die Raketengleichung zu:

• Da SpaceX die Booster nicht zurückgeholt hat, konnte die Oberstufe länger feuern.
• Dieses zusätzliche
  
  (Delta-v) hat die Bahnenergie so weit erhöht, dass die große Halbachse meiner Berechnung zufolge auf a = 26.450 km anstieg.
• Das Ergebnis: Der Satellit passierte die 32.550 km-Marke mit deutlich mehr kinetischer Energie als bei einem Standard-GTO-Start.

Daran sieht man: Höhere Effizienz (

) oder ein besseres Massenverhältnis (weniger Resttreibstoff durch Verzicht auf Landung) schlagen sich direkt in der Geschwindigkeit nieder, die wir am Tacho im Live-Stream ablesen können.

Ich freue mich auf den Austausch über Bahnberechnungen, Triebwerkseffizienz und die Tücken der Himmelsmechanik!

 

[antaris]

Ich freue mich auf den Austausch über Bahnberechnungen, Triebwerkseffizienz und die Tücken der Himmelsmechanik!

ChatGPT könnte eine schöne Online-Simulation "für alle" bauen, mit Gimmicks wie veränderliche Startparameter oder eine Rakete nicht nur von der Erde, sondern von Mond oder Mars starten lassen. In 2D würde ja reichen.

https://chatgpt.com/s/t_69f37111d368819191f3fec3e44c18b4

 

[albertus]

Hallo Antaris, danke für die Arbeit, die du dir mit der Skizzierung dieser Simulation gemacht hast! Das ist sicher ein spannendes Projekt für Software-Entwickler.

Für mein aktuelles Thema im Forum ist mir das allerdings eine Spur zu viel ‚digitale Spielerei‘. Mir geht es weniger um eine bunte 2D-Animation oder App-Programmierung, sondern um das begreifbare Verständnis der Physik am konkreten Beispiel.

Ich möchte die Formeln wie die Raketengleichung und den

Schritt für Schritt an realen Daten (wie gestern bei der Falcon Heavy) nachvollziehen, statt sie in einer ‚Black Box‘-Simulation verschwinden zu lassen. Ich bleibe daher lieber bei der klassischen Herleitung und den harten Zahlen – das ist für mich und den roten Faden meines Themas greifbarer.

Aber fühl dich frei, deine Simulations-Idee in einem eigenen Projekt weiterzuverfolgen!

 

[albertus]

Raketendynamik Teil 2: Der Spezifische Impuls – der Hebel im Weltraum​

Nachdem wir die Raketengleichung als mathematisches Gerüst etabliert haben, müssen wir über den Spezifischen Impuls

reden. Er ist der eigentliche „Hebel“, der bestimmt, wie viel Geschwindigkeit wir aus jedem Kilogramm Treibstoff herauspressen können.

Was bedeutet der

in der Praxis?​

Man kann sich den

wie den Wirkungsgrad eines Motors vorstellen. In der Raketentechnik wird er meist in Sekunden angegeben. Um ihn in die physikalisch notwendige Ausströmgeschwindigkeit

für unsere Raketengleichung umzurechnen, multiplizieren wir ihn einfach mit der Erdbeschleunigung (

m/s²).

Das Ergebnis ist die effektive Geschwindigkeit der Gase in m/s. Je höher dieser Wert, desto effizienter arbeitet die Rakete.

Der "Wumms" hinter den Zahlen​

Schauen wir uns den Vergleich der Technologien an, um zu verstehen, warum die Falcon Heavy gestern so hohe Werte liefern konnte:​

Treibstoff-Kombination	Typisches Triebwerk	Isp (Vakuum)	ve (Effektive Geschwindigkeit)
Kerosin / Sauerstoff	Merlin 1D (SpaceX)	348 s	~ 3.414 m/s
Kerosin / Sauerstoff	RD-171MV (Sojus 5)	337 s	~ 3.306 m/s
Wasserstoff / Sauerstoff	RL-10 (Centaur Stufe)	465 s	~ 4.562 m/s

Die Erkenntnis:

SpaceX kitzelt aus dem Kerosin beim Merlin-Vakuum-Triebwerk fast das Maximum heraus. Hätte man eine Oberstufe mit Wasserstoff (wie die Centaur) genutzt, wäre der Sprung noch gewaltiger – Wasserstoff bietet pro Kilogramm einfach mehr Energie, ist aber technisch viel schwieriger zu handhaben.

Die 5.543 km/h, die ich gestern bei 32.550 km Höhe gemessen habe, sind das direkte Resultat aus dieser Triebwerkseffizienz und dem Verzicht auf die Landung der Booster.

Obwohl die Falcon Heavy gestern „nur“ Kerosin verbrannte, ist das Merlin-Vakuum-Triebwerk extrem optimiert. Ohne diese hohe Effizienz von 348 s wäre die Geschwindigkeitskurve in meinen Messdaten deutlich flacher verlaufen.

 

[albertus]

Ergänzung: Die Physik im eigenen Skript (Python)​

Leider erlaubt die Forensoftware nach meinem aktuellen Kenntnisstand keine direkten Grafiken, aber es gibt einen besseren Weg: Selbst rechnen.

Wer mit Python arbeitet (oder es gerade lernt), kann das folgende kurze Programm nutzen. Es wandelt die Ziolkowski-Gleichung direkt in Kurven um. So könnt ihr visualisieren, wie sich die verschiedenen Triebwerkstypen (Merlin vs. russische RD-Serie vs. Wasserstoff-Antriebe) im Verhältnis zur Treibstoffmasse schlagen.

Das Skript ist bewusst einfach gehalten, damit es auch für Anfänger nachvollziehbar bleibt. Es zeigt eindrucksvoll den logarithmischen Charakter der Raketengleichung: Man sieht sofort, warum man für das letzte Quäntchen Geschwindigkeit unverhältnismäßig viel Treibstoff benötigt – und warum ein optimierter Isp (wie beim Merlin-Vakuum) so entscheidend ist.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Konstanten
g0 = 9.81  # Erdbeschleunigung in m/s^2

# Spezifische Impulse (Vakuum) in Sekunden
isp_values = {
    'Merlin 1D (Kerosin)': 348,
    'RD-171MV (Kerosin)': 337,
    'RL-10 (Wasserstoff)': 465
}

# Massenverhältnis (m0 / mf) von 1 (leer) bis 10 (viel Treibstoff)
m_ratio = np.linspace(1, 10, 100)

plt.figure(figsize=(10, 6))

for label, isp in isp_values.items():
    ve = isp * g0
    # Ziolkowski-Gleichung: Delta-v = ve * ln(m0/mf)
    delta_v = ve * np.log(m_ratio)
    
    # Umrechnung in km/h für die bessere Anschaulichkeit im Forum
    delta_v_kmh = delta_v * 3.6
    plt.plot(m_ratio, delta_v_kmh, label=f'{label} (Isp={isp}s)')

# Grafik-Setup
plt.title('Einfluss des Spezifischen Impulses auf die Endgeschwindigkeit')
plt.xlabel('Massenverhältnis (Startmasse / Endmasse)')
plt.ylabel('Delta-v (Geschwindigkeitsgewinn in km/h)')
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.legend()

# Markierung für Gert's "sportliche" Werte (beispielhaftes Massenverhältnis)
plt.annotate('Hier spielt die Musik!', xy=(5, 18000), xytext=(6, 10000),
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05))

plt.show()

Viel Spaß und Erfolg beim Selbstrechnen und Programmieren.

 

[albertus]

Raketendynamik Teil 3: Der „Gravity Turn“ – Warum wir nicht senkrecht starten​

Nachdem wir nun wissen, wie viel „Wumms“

uns unser Triebwerk liefert, stellt sich die Frage: In welche Richtung lenken wir diese Energie eigentlich?

Wer den Start gestern verfolgt hat, sah, dass die Rakete schon kurz nach dem Abheben begann, sich zu neigen. Warum fliegt man nicht einfach kerzengerade nach oben, um den kürzesten Weg aus der Atmosphäre zu nehmen?

1. Das Ziel: Die Orbitalgeschwindigkeit​

Um im Weltraum zu bleiben, muss man nicht nur „hoch“ sein, sondern vor allem extrem schnell parallel zur Erdoberfläche fliegen (ca. 28.000 km/h für einen niedrigen Erdorbit). Würden wir nur senkrecht steigen, würden wir nach dem Brennschluss wie ein Stein wieder zurückfallen.

2. Der Gravity Turn (Gravitationswendung)​

Anstatt wertvollen Treibstoff zu verschwenden, um die Rakete aktiv mit den Triebwerken zu drehen, nutzen wir die Schwerkraft:

• Der Kick: Kurz nach dem Start wird die Rakete minimal geneigt („Pitch-over maneuver“).
• Die Kurve: Ab jetzt sorgt die Schwerkraft dafür, dass sich der Flugweg der Rakete ganz von alleine immer weiter Richtung Horizont krümmt.
• Der Vorteil: Die Triebwerke können immer genau „nach vorne“ feuern (Prograde), was den Luftwiderstand und die mechanische Belastung minimiert.

3. Gravitationsverluste: Der Kampf gegen die Zeit​

Jede Sekunde, die eine Rakete senkrecht nach oben steht, „frisst“ die Erdschwerkraft 9,81 m/s an Geschwindigkeit weg, ohne dass wir uns vorwärts bewegen. Das nennen wir Gravitationsverluste. Je schneller wir also in die Waagerechte kommen, desto effizienter nutzen wir unser

.

Ein kleiner Fakt am Rande: In Florida (Cape Canaveral) starten wir fast immer Richtung Osten. Warum? Weil die Erde sich unter uns mit ca. 1.470 km/h nach Osten dreht. Diesen Schwung nehmen wir als „Geschenk“ mit – ein kostenloser Bonus für unsere Raketengleichung!

 

[albertus]

Das Prinzip des Orbits: Der „ewige Fall“​

Ein Satellit bleibt auf seiner Bahn, weil die Zentrifugalkraft (Fliehkraft), die ihn nach außen drückt, exakt so groß ist wie die Gravitationskraft, die ihn nach unten zieht.

1. Die mathematische Bedingung​

Für einen kreisförmigen Orbit gilt:

Eingesetzt bedeutet das:

Wenn wir nach der Geschwindigkeit v auflösen, erhalten wir die notwendige Orbitalgeschwindigkeit:

• G: Gravitationskonstante
• M: Masse der Erde
• r: Abstand vom Erdmittelpunkt (Erdradius + Höhe)

---

Python-Script: Die Geschwindigkeits-Kurve über der Höhe​

Dieses Script zeigt sehr schön, wie die benötigte Geschwindigkeit abnimmt, je weiter man sich von der Erde entfernt. Das erklärt auch, warum der ViaSat-3 in der Beobachtung bei über 30.000 km Höhe viel „langsamer“ unterwegs war als ein Satellit in 400 km Höhe (ISS).

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Konstanten
G = 6.67430e-11  # Gravitationskonstante
M = 5.972e24     # Erdmasse in kg
R_erde = 6371000 # Erdradius in m

# Höhen von 200 km (LEO) bis 36.000 km (GEO)
hoehen = np.linspace(200000, 36000000, 500)
radien = R_erde + hoehen

# Berechnung der Orbitalgeschwindigkeit v = sqrt(G*M / r)
v_orbital = np.sqrt((G * M) / radien)

# Umrechnung in km/h für das Forum
v_kmh = v_orbital * 3.6

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(hoehen / 1000, v_kmh, label='Notwendige Orbitalgeschwindigkeit', color='blue')

# Markierungen für interessante Punkte
plt.scatter([400], [np.sqrt((G*M)/(R_erde+400000))*3.6], color='red', label='ISS (~28.000 km/h)')
plt.scatter([35786], [3075 * 3.6], color='green', label='Geostationär (~11.000 km/h)')

plt.title('Himmelsmechanik: Benötigte Geschwindigkeit vs. Höhe')
plt.xlabel('Höhe über der Erdoberfläche (km)')
plt.ylabel('Geschwindigkeit (km/h)')
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
plt.legend()

plt.show()

Ein Orbit ist im Grunde ein permanenter freier Fall, bei dem man die Erde ständig ‚verfehlt‘.
Mit der einfachen Formel

lässt sich für jede Höhe die exakte Geschwindigkeit berechnen, bei der Zentrifugalkraft und Schwerkraft im Gleichgewicht stehen. Mein kleines Python-Skript verdeutlicht diesen Zusammenhang: Während die ISS in 400 km Höhe mit ca. 28.000 km/h ‚rasen‘ muss, genügen in der geostationären Höhe von knapp 36.000 km bereits etwa 11.000 km/h, um stabil oben zu bleiben.
Das erklärt auch meine Messwerte von gestern: Je höher die Falcon Heavy den Satelliten hob, desto geringer wurde die benötigte Geschwindigkeit für einen stabilen Orbit – aber desto mehr Energie

musste vorher aufgewendet werden, um diese potentielle Energie (Höhe) überhaupt zu erreichen.

 

[albertus]

Raketendynamik Teil 4: Die „Steuer“ der Physik – Gravitationsverluste​

Wir haben nun die ideale Geschwindigkeit für einen Orbit berechnet. Wer jedoch die Datenblätter von Raketen vergleicht, wird feststellen: Eine Rakete braucht oft ein

von über 33.000 km/h (ca. 9,2 km/s), um einen Orbit zu erreichen, der eigentlich „nur“ 28.000 km/h (7,8 km/s) an Bahngeschwindigkeit erfordert.

Wo verschwinden die restlichen 5.000 km/h? Die Antwort lautet: Gravitationsverluste.

1. Der Kampf gegen die 9,81 m/s²​

Solange eine Rakete senkrecht nach oben steigt, kämpft sie gegen die Erdbeschleunigung. Jede Sekunde, in der die Rakete einfach nur „steht“ oder langsam steigt, verliert sie 9,81 m/s an potenzieller Geschwindigkeit an die Schwerkraft.
Man kann sich das wie das Laufen auf einer Rolltreppe vorstellen, die nach unten fährt: Wenn man zu langsam ist, verbraucht man Energie, ohne jemals oben anzukommen.

2. Warum der „Gravity Turn“ die Lösung ist​

Um diese Verluste zu minimieren, muss die Rakete so schnell wie möglich „umlegen“.

• In der Waagerechten zieht die Schwerkraft zwar immer noch nach unten, aber sie verringert nicht mehr direkt unsere Vorwärtsgeschwindigkeit (den Schubvektor).
• Je früher eine Rakete wie die Falcon Heavy gestern in die horizontale Beschleunigung geht, desto weniger „Sprit“ zahlt sie als „Steuer“ an die Gravitation.

3. Ein praktisches Rechenbeispiel​

Würde eine Rakete mit einer konstanten Beschleunigung von 2g (ca. 19,6 m/s^2) kerzengerade nach oben fliegen, würde die Hälfte ihres Schubs allein dafür draufgehen, nicht wieder herunterzufallen. Die effektive Beschleunigung wäre nur 1g. Erst durch das Neigen der Rakete wird aus dem „Kampf gegen das Herunterfallen“ ein „Aufbau von Bahngeschwindigkeit“.

Fazit für meine gestrigen Daten: Die beeindruckenden Geschwindigkeiten, die wir beim ViaSat-3 Start gesehen haben, sind nur möglich, weil die Flugleitung in Florida den optimalen Kompromiss zwischen „Raus aus der dicken Luft“ (Luftwiderstand) und „Ab in die Waagerechte“ (Minimierung der Gravitationsverluste) gefunden hat.

von über 33.000 km/h (ca. 9,2 km/s), um einen Orbit zu erreichen, der eigentlich „nur“ 28.000 km/h (7,8 km/s) an Bahngeschwindigkeit erfordert.

Für die Programmierer und Zahlen-Jongleure unter euch: Hier ist ein kleines Skript, das die ‚unsichtbare Steuer‘ der Gravitation berechnet. Das Programm zeigt, wie viel Geschwindigkeits-Potenzial wir pro Sekunde verlieren, solange wir noch senkrecht fliegen. Bei einer Brenndauer von 150 Sekunden für die erste Stufe summiert sich das bei einem rein senkrechten Start auf über 5.000 km/h an Verlusten!
Erst wenn die Rakete flach liegt (0 Grad zur Oberfläche), hört dieser spezifische Verlust auf. Das Skript verdeutlicht: Jede Sekunde, die man früher in den ‚Gravity Turn‘ geht, spart bares Kerosin und bringt mehr Endgeschwindigkeit für den Orbit.

Python-Skript: Simulation der Gravitationsverluste​

Dieses Skript berechnet, wie viel Geschwindigkeits-Potenzial

allein durch das „Dagegenhalten“ gegen die Schwerkraft verloren geht, abhängig vom Neigungswinkel der Rakete.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Konstanten
g0 = 9.81  # Erdbeschleunigung in m/s^2
t_burn = 150  # Brenndauer der ersten Stufe in Sekunden

# Neigungswinkel von 90 Grad (senkrecht) bis 0 Grad (waagerecht)
winkel = np.linspace(90, 0, 100)
winkel_rad = np.radians(winkel)

# Gravitationsverlust pro Sekunde ist g0 * sin(Winkel)
# Wir integrieren das über die Zeit (vereinfacht als Durchschnitt)
verlust_pro_sekunde = g0 * np.sin(winkel_rad)
gesamt_verlust_ms = verlust_pro_sekunde * t_burn
gesamt_verlust_kmh = gesamt_verlust_ms * 3.6

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(winkel, gesamt_verlust_kmh, color='orange', linewidth=2)

plt.title('Gravitationsverluste in Abhängigkeit vom Neigungswinkel')
plt.xlabel('Neigungswinkel (90° = Senkrecht, 0° = Waagerecht)')
plt.ylabel('Geschwindigkeitsverlust (km/h)')
plt.gca().invert_xaxis()  # Von 90 nach 0 lesen
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)

# Markante Punkte
plt.annotate('Maximaler Verlust (Senkrecht)', xy=(90, g0*t_burn*3.6), xytext=(70, 5000),
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05))
plt.annotate('Kein Verlust durch Schwerkraft', xy=(0, 0), xytext=(20, 1000),
             arrowprops=dict(facecolor='black', shrink=0.05))

plt.show()

Dann wieder viel Spaß beim Programmieren und besserem Verstehen mit der ausgegeben Grafik.

 

[JensU]

Das Dilemma einer Rakete sind demnach die leeren Treibstofftanks am Zielplaneten.
Wieviel Treibstoff läßt sich mit einem Raumschiff in einer Transfer-Umlaufbahn um zwei Planeten einsparen?
Wenn man das Raumschiff nur einmal beschleunigt wird.
Und man ein kleines Schuttelraumschiff zum und vom Transferraumschiff verwendet.

Gruß
Jens

 

[albertus]

Hallo Jens, das Konzept, das du beschreibst (ein sogenannter Cycler), ist theoretisch interessant, löst aber leider nicht das Problem der Raketengleichung.

Das Problem ist die Relativgeschwindigkeit: Das Transferraumschiff hält am Zielplaneten nicht an, sondern rast mit mehreren Kilometern pro Sekunde daran vorbei. Das „kleine Shuttle“ müsste also exakt dieselbe enorme Geschwindigkeit aufbauen, um an das Mutterschiff anzudocken – und am Zielplaneten wieder genauso stark abbremsen, um dort zu landen.

Man spart also keine Energie für die Beschleunigung oder das Bremsen; man verlagert nur die Masse. Die Ziolkowski-Gleichung bleibt für das Shuttle genauso unerbittlich wie für ein großes Schiff: Für jede Änderung der Geschwindigkeit

brauche ich das entsprechende Massenverhältnis an Treibstoff. Es gibt in der Himmelsmechanik leider keinen ‚Sprit-Rabatt‘ durch bloßes Umsteigen.

 

[albertus]

Raketendynamik Teil 5: Der Hohmann-Transfer – Die Autobahn im All​

Nachdem wir die „Gravitationssteuer“ bezahlt haben und im Erdorbit sind, stellt sich die Frage: Wie kommen wir nun zu einem höheren Ziel, etwa zum Mond oder in den geostationären Orbit (GEO), wo der ViaSat-3 hinwollte?
Der sparsamste Weg ist die Hohmann-Transfer-Ellipse.

1. Das Prinzip: Zwei Impulse statt Dauerfeuer​

Man beschleunigt nicht die ganze Zeit. Stattdessen nutzt man zwei kurze Zündungen an den strategisch wichtigsten Punkten:

• Der erste Kick (Perigäum): Wir zünden das Triebwerk in Flugrichtung. Dadurch wird aus unserem Kreisorbit eine Ellipse. Der Punkt der Zündung bleibt der erdnächste Punkt (Perigäum), während sich die gegenüberliegende Seite der Bahn weit ins All hinaushebt (Apogäum).
• Die Reise: Die Rakete schaltet das Triebwerk aus und „segelt“ die Ellipse entlang nach oben. Dabei wird kinetische Energie (Geschwindigkeit) in potenzielle Energie (Höhe) umgewandelt – die Rakete wird also stetig langsamer.
• Der zweite Kick (Apogäum): Wenn wir am höchsten Punkt angekommen sind, sind wir zu langsam für einen stabilen Kreisorbit in dieser Höhe. Wir zünden das Triebwerk erneut, um die Geschwindigkeit so weit zu erhöhen, dass aus der Ellipse wieder ein Kreis wird.

2. Die Mathematik der Bahnenergie​

Hier kommt die spezifische Bahnenergie

ins Spiel. Sie setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie

und der potenziellen Energie

:

Das Faszinierende: In jedem Punkt der Ellipse ist die Summe

konstant! Wenn die Rakete nach oben steigt (r wird größer), muss die Geschwindigkeit (v) sinken.

Fazit für die Beobachtung gestern:

Die Falcon Heavy hat den Satelliten auf so einen „GTO“ (Geostationary Transfer Orbit) gesetzt. Die hohen Geschwindigkeiten, die ich gemessen habe, waren der „Schwung“ am Anfang dieser Ellipse.

Python-Script: Die Hohmann-Ellipse visualisieren​

Damit man sieht, wie diese Bahn aussieht und wie sich die Geschwindigkeiten verändern:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Erdradius und Standard-Gravitationsparameter
R_erde = 6371
mu = 398600  # km^3/s^2

# Bahndaten (in km über der Oberfläche)
hoehe_start = 300
hoehe_ziel = 35786  # GEO

r1 = R_erde + hoehe_start
r2 = R_erde + hoehe_ziel

# Halbachse der Transferellipse
a_trans = (r1 + r2) / 2

# Geschwindigkeiten berechnen (v = sqrt(mu * (2/r - 1/a)))
v1_kreis = np.sqrt(mu / r1)
v1_trans = np.sqrt(mu * (2/r1 - 1/a_trans))
dv1 = (v1_trans - v1_kreis) * 3600 # km/h

v2_trans = np.sqrt(mu * (2/r2 - 1/a_trans))
v2_kreis = np.sqrt(mu / r2)
dv2 = (v2_kreis - v2_trans) * 3600 # km/h

print(f"Erster Kick (unten): +{dv1:.0f} km/h")
print(f"Zweiter Kick (oben): +{dv2:.0f} km/h")

# Zeichnen der Bahnen
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
plt.figure(figsize=(8,8))

# Startorbit
plt.plot(r1*np.cos(theta), r1*np.sin(theta), '--', label='Startorbit (LEO)')
# Zielorbit
plt.plot(r2*np.cos(theta), r2*np.sin(theta), '--', label='Zielorbit (GEO)')
# Transferellipse (vereinfacht)
e = (r2 - r1) / (r2 + r1)
r_trans = a_trans * (1 - e**2) / (1 + e * np.cos(theta))
plt.plot(r_trans*np.cos(theta), r_trans*np.sin(theta), 'r', label='Hohmann-Transfer')

plt.scatter([0], [0], color='blue', s=100, label='Erde')
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.title('Hohmann-Transfer von LEO nach GEO')
plt.show()

Das erklärt das "Warum" hinter den elliptischen Bahnen.

 

[albertus]

Raketendynamik Teil 6: Ziel im Visier – Zirkularisierung und Station Keeping​

Wir sind mit unserer Hohmann-Ellipse am höchsten Punkt (dem Apogäum) angekommen. Aber Vorsicht: Wer hier nicht aufpasst, fällt direkt wieder zurück zum Startpunkt!

1. Der "Zirkularisierungs-Burn"​

Wie wir im Python-Skript gesehen haben, ist man am höchsten Punkt der Ellipse viel zu langsam für einen stabilen Kreisorbit.

• Das Problem: Die Schwerkraft würde uns sofort wieder nach unten ziehen.
• Die Lösung: Wir müssen ein zweites Mal Gas geben
  
  . Erst durch diesen Stoß wird aus der langgezogenen Eierbahn ein perfekter Kreis.

2. Warum bleibt man nicht einfach oben?​

Einmal im Orbit, sollte man meinen, man könne die Triebwerke für immer ausschalten. Doch der Weltraum ist (leider) nicht ganz leer und die Erde nicht perfekt rund:

• Atmosphärischer Widerstand: Selbst in 400 km Höhe (ISS) gibt es noch winzige Luftmoleküle, die die Rakete abbremsen. Ohne regelmäßiges "Anschubsen" (Reboost) würde die ISS verglühen.
• Das "J2-Problem": Die Erde ist am Äquator dicker. Diese ungleiche Massenverteilung zerrt an der Bahn und lässt sie "eiern".
• Sonne und Mond: Auch deren Schwerkraft versucht ständig, unseren Satelliten aus der Bahn zu werfen.

3. Station Keeping: Der ständige Kampf​

Das ist der Grund, warum Satelliten wie der ViaSat-3 chemische oder elektrische Triebwerke (Ionentriebwerke) an Bord haben. Sie müssen ständig kleine Korrekturen vornehmen.

Python-Ergänzung: Die Bahnstörung simulieren​

Für die Experten im Forum können wir zeigen, wie schnell ein Orbit ohne Korrektur "absinkt" (vereinfacht für den niedrigen Erdorbit LEO):

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Parameter für einen sinkenden Orbit (vereinfachtes Modell)
tage = np.linspace(0, 100, 100)
hoehe_initial = 400 # km (ISS Höhe)
verlust_pro_tag = 0.2 # km/Tag (variiert je nach Sonnenaktivität)

hoehe_aktuell = hoehe_initial - (verlust_pro_tag * tage)

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(tage, hoehe_aktuell, color='red', label='Orbital Decay (ohne Korrektur)')
plt.axhline(y=200, color='black', linestyle='--', label='Kritische Wiedereintrittszone')

plt.title('Der schleichende Tod eines Orbits')
plt.xlabel('Zeit in Tagen')
plt.ylabel('Höhe über Erde (km)')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.show()

Die goldene Regel: Wenn der Sprit für diese Korrekturen leer ist, ist die Mission vorbei – egal wie gut die Elektronik noch funktioniert. Der Satellit wird dann meist in einen "Friedhofsorbit" geschoben, um Platz für Nachfolger zu machen.

​

 

[albertus]

Raketendynamik Teil 7: Der leise Hauch – Ionenantriebe​

Nachdem die Falcon Heavy ihre Arbeit getan hat, übernimmt oft eine Technik das Kommando, die eher nach Science-Fiction klingt als nach klassischem Feuerstrahl: der elektrische Raketenantrieb (Ionenantrieb).

1. Effizienz schlägt Gewalt​

Erinnert ihr euch an den Spezifischen Impuls

?

• Ein Merlin-Triebwerk (chemisch) hat einen
  
  von etwa 311 Sekunden.
• Ein moderner Ionenantrieb erreicht locker 2.000 bis 4.000 Sekunden.

Das bedeutet: Der Ionenantrieb nutzt seinen Treibstoff (meist das Edelgas Xenon) etwa zehnmal effizienter. Er stößt winzige Teilchen mit einer unfassbaren Geschwindigkeit aus, anstatt riesige Mengen Gas zu verbrennen.

2. Das Problem mit der Geduld​

Warum nutzen wir das dann nicht für den Start von der Erde? Ganz einfach: Der Schub ist winzig.
Ein Ionenantrieb drückt etwa so stark wie ein Blatt Papier, das auf deiner Hand liegt. Auf der Erde würde sich die Rakete keinen Millimeter bewegen. Aber im reibungsfreien Weltraum summiert sich dieser winzige Druck über Wochen und Monate zu einer gewaltigen Endgeschwindigkeit auf.

3. Warum ViaSat-3 das nutzt​

Satelliten wie der ViaSat-3 werden oft in einem "sub-geosynchronen" Transferorbit ausgesetzt. Sie nutzen dann ihre Ionen-Triebwerke, um sich über 2-3 Monate ganz langsam in den perfekten 35.786 km hohen Kreisturm zu schrauben.

• Vorteil: Man spart tonnenweise schweren chemischen Sprit.
• Nachteil: Der Betreiber muss Monate warten, bis er mit dem Satelliten Geld verdienen kann.
  

Python-Vergleich: Schildkröte vs. Hase​

Um den Unterschied zu verdeutlichen, hier ein Skript, das zeigt, wie die Geschwindigkeit beim Ionenantrieb (langsam, aber stetig) gegen den chemischen Antrieb (kurz und heftig) ansteigt.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

zeit_stunden = np.linspace(0, 500, 500)

# Chemischer Antrieb: Ein kurzer Kick (Delta-v), danach konstant
v_chemisch = np.full_like(zeit_stunden, 3000)
v_chemisch[0:10] = np.linspace(0, 3000, 10) # Schnelle Beschleunigung

# Ionenantrieb: Sehr schwache Beschleunigung, aber über lange Zeit
beschleunigung_ion = 15.0 # km/h pro Stunde (beispielhaft sehr gering)
v_ion = beschleunigung_ion * zeit_stunden

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(zeit_stunden, v_chemisch, label='Chemisch (Hase): Sofort schnell, dann Ende', color='red')
plt.plot(zeit_stunden, v_ion, label='Ionenantrieb (Schildkröte): Langsam, aber überholt irgendwann', color='blue')

plt.title('Beschleunigungsvergleich im Weltraum')
plt.xlabel('Zeit (Stunden)')
plt.ylabel('Geschwindigkeit (km/h)')
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Es geht in der Raumfahrt nicht immer nur um laute Explosionen. Es ist ein schönes Beispiel dafür, wie man mit Köpfchen (und Elektrizität) die Grenzen der Ziolkowski-Gleichung zu seinen Gunsten verschiebt.

 

[Jakito]

Man spart also keine Energie für die Beschleunigung oder das Bremsen; man verlagert nur die Masse. Die Ziolkowski-Gleichung bleibt für das Shuttle genauso unerbittlich wie für ein großes Schiff: Für jede Änderung der Geschwindigkeit

brauche ich das entsprechende Massenverhältnis an Treibstoff. Es gibt in der Himmelsmechanik leider keinen ‚Sprit-Rabatt‘ durch bloßes Umsteigen.

Da wäre ich mir nicht so sicher. Du wirst irgendwelche Zusatzannahmen gemacht haben, oder Zusatzannahmen von anderswo übernommen haben. Es mag gute Gründe für diese Zusatzannahmen geben, aber diese guten Gründe sollte man schon explizit ausbuchstabieren.

 

[Jakito]

aber diese guten Gründe sollte man schon explizit ausbuchstabieren

Ich vermute, dass der Drehimpuls der zwei Raumschiffe das "gefährliche" Problem sind, wieso man auf direkte Interaktion der beiden Schiffe besser verzichten sollte. Die Planeten und andere Himmelskörper in unserem Sonnensystem rotieren eigentlich alle mehr oder weniger stark um die eigene Achse. Das macht im Sinne der Entropie auch voll Sinn, denn die Drehimpulse sind ja Freiheitsgrade, auf die auch Energie verteilt werden kann. Aber bei unseren Raumschiffen vermeiden wir aber aus guten Gründen, dass zu viel Energie in diese Freiheitsgrade gelangt.

Wenn wir nun mittels direkter Interaktion Impuls zwischen zwei Raumschiffen zu transferieren versuchen, könnte man es vermutlich schon noch erreichen, dass dies ohne größere Schäden an den Raumschiffen passiert. Viel schwieriger ist es aber vermutlich, dabei ebenfalls zu vermeiden, dass zu viel Energie in die Drehimpulse der beiden Raumschiffe gelangt.

 

[albertus]

Hallo Jakito,

meine ‚Zusatzannahme‘ ist schlicht der Impulserhaltungssatz.

Um von einem Körper A (Erde) zu einem Körper B (Mars-Cycler) überzusetzen, muss das Shuttle die Differenzgeschwindigkeit

zwischen beiden physisch überbrücken.
Wenn das Shuttle am Planeten startet, hat es dessen Bahngeschwindigkeit. Das Transferrad (der Cycler) zieht aber mit einer viel höheren Geschwindigkeit an ihm vorbei.

1. Das Kopplungs-Dilemma: Damit das Shuttle sanft ankoppeln kann, ohne zu zerschellen, muss es seine Geschwindigkeit exakt an die des Mutterschiffs anpassen. Dieses Beschleunigen kostet Treibstoff – und zwar exakt so viel, wie die Raketengleichung für diese Masse vorgibt.
2. Der Impuls-Transfer: Würde man versuchen, den Impuls ohne Treibstoff direkt vom Mutterschiff auf das Shuttle zu übertragen (z. B. durch ein Fangseil), würde das Mutterschiff bei jedem Andockvorgang abgebremst. Man müsste also das Mutterschiff ständig wieder ‚hochbeschleunigen‘. Man hat den Spritverbrauch also nicht eingespart, sondern nur vom Shuttle auf das Mutterschiff verlagert.

Zum Drehimpuls: Das ist beim Andocken in der Tat ein technisches Problem (Lageregelung), aber kein energetisches Schlupfloch. Man vermeidet Rotation beim Koppeln nicht wegen der Entropie, sondern damit die Luken aufeinanderpassen. Die Energie, die man braucht, um in den Transfer-Orbit zu kommen, bleibt davon völlig unberührt – sie steckt in der linearen Bahngeschwindigkeit, nicht in der Eigenrotation.

 

[Jakito]

Der Impuls-Transfer: Würde man versuchen, den Impuls ohne Treibstoff direkt vom Mutterschiff auf das Shuttle zu übertragen (z. B. durch ein Fangseil), würde das Mutterschiff bei jedem Andockvorgang abgebremst. Man müsste also das Mutterschiff ständig wieder ‚hochbeschleunigen‘. Man hat den Spritverbrauch also nicht eingespart, sondern nur vom Shuttle auf das Mutterschiff verlagert.

Vorsicht, es gilt sowohl Energie-Erhaltung, als auch Impuls-Erhaltung. Da die Raketengleichung primär auf der Impuls-Erhaltung basiert, kann durch Impuls-Transfer vom Mutterschiff sehr wohl Sprit eingespart werden, weil für diesen Fall die Raketengleichung nicht gilt. Während aber bei der Raketengleichung die Energie-Erhaltung "irrelevant" ist, ist sie beim Impuls-Transfer vom Mutterschiff ein Teil des Problems. Und zwar insbesondere im Szenario "inelastischer Stoß", wo am Ende Mutterschiff und Shuttle den gleichen Geschwindigkeitsvektor haben. Da fehlt dann nämlich eine ordentliche Menge Energie, und chemisch wird man diese Energiemenge innerhalb der recht kurzen "Einfangzeit" kaum absorbieren können. Deshalb landet diese Energie in mechanischen Freiheitsgraden, sei es in Drehimpuls in irgendeiner Form, oder im Impuls von abgesprengten Teilen von Mutterschiff oder Shuttle (bei einem unkontrollierten Zusammenstoß). Und irgendwelche Schwungräder im Mutterschiff mitzuführen, um diese mechanische Energie aufzunehmen, erscheint mir persönlich auch nicht wirklich attraktiv.

 

[albertus]

Hallo Jakito, dein Einwand mit der Energie-Erhaltung ist ein Volltreffer. Während wir uns bei der Raketengleichung oft auf den Impuls konzentrieren, wird beim mechanischen Einfangen die kinetische Energie zum 'Elefanten im Raum'.

Wie du richtig sagst: Wenn ein Shuttle mit einer Differenzgeschwindigkeit an ein Mutterschiff andockt, muss die überschüssige Energie dissipiert werden. Bei einem harten Stoß führt das zu Verformung oder Zerstörung. Nutzt man ein elastisches System (wie ein Seil oder Federn), wandelt man die Energie erst in potenzielle Energie und dann oft in Schwingungen oder eben Drehimpuls um.

Hier kommen die Schwungräder ins Spiel, die du ansprichst: Du sagst, sie erscheinen dir nicht attraktiv. In der Praxis nutzen wir sie (als Reaktionsräder) zwar primär zur Lageregelung, aber dein Punkt zeigt das Problem der 'Sättigung'. Wenn wir kinetische Energie oder unerwünschten Drehimpuls in Schwungräder übertragen, erreichen diese irgendwann ihre maximale Drehzahl.

Man müsste diese Energie also 'entsorgen'. Bei einem Satelliten nutzen wir dafür Magnetorquer, die sich am Erdmagnetfeld abstoßen, oder eben doch wieder kleine Triebwerke (Desaturierung). Dein Argument bestätigt eigentlich, warum das 'Fangseil-Konzept' ohne Treibstoffeinsatz am Ende an der Thermodynamik oder der mechanischen Belastung scheitert. Die Energie verschwindet nicht einfach – sie wird zu Hitze oder mechanischem Stress.

 

[Jakito]

oder im Impuls von abgesprengten Teilen von Mutterschiff oder Shuttle (bei einem unkontrollierten Zusammenstoß)

Man müsste diese Energie also 'entsorgen'.

Man könnte vielleicht auch "kontrolliert" Teile mit viel Impuls und viel Drehimpuls wegfliegen lassen, um diese Energie zu 'entsorgen'. Dann muss man halt hoffen, diesen Teilen nie mehr zu begegnen. Machen wir beim Atommüll ja auch so.
(Wobei man dann diese Teile dann doch sehr ähnlich benutzt hat, wie man sonst Treibstoff einsetzt.)

 

[albertus]

Hallo Jakito, ich musste schmunzeln – deine Idee mit dem 'kontrollierten Wegwerfen' von Teilen zur Energieentsorgung ist physikalisch absolut konsequent!

Im Grunde hast du damit das Rückstoßprinzip auf den Punkt gebracht. Ob ich nun heiße Gase durch eine Düse jage oder – wie von dir vorgeschlagen – massive Bauteile mit viel Drehimpuls im hohen Bogen wegschleudere: Am Ende ist es ein Transfer von Impuls und Energie, um den Zustand des Hauptschiffs zu korrigieren.

Zwei Haken hat die Sache allerdings in der Praxis:

1. Die 'Atommüll'-Problematik im Orbit: Wie du sagst, hofft man, den Teilen nie wieder zu begegnen. Bei einem Satelliten oder einer Raumstation wäre das fatal. Wir produzieren ohnehin schon zu viel Weltraumschrott. Wenn wir jetzt noch anfangen, zur Lageregelung gezielt 'Energieträger' abzusprengen, hätten wir bald einen Schrotthof statt eines Orbits.
2. Präzision vs. Masse: Ein Triebwerk kann ich fein dosieren. Ein massives Teil abzustoßen, ist ein einmaliges Ereignis. Das ist so, als würde man versuchen, ein Auto einzuparken, indem man den Beifahrersitz aus dem Fenster wirft – der Impuls stimmt vielleicht, aber die Eleganz leidet.

Deshalb nutzen wir lieber die Reaktionsräder. Da 'entsorgen' wir die Energie nicht durch Wegwerfen von Masse, sondern wir parken den Drehimpuls vorübergehend in der Rotation der Räder. Wenn diese voll sind (Sättigung), nutzen wir Magnetorquer, um den Drehimpuls über das Magnetfeld der Erde loszuwerden.

Das ist sauberer, nachhaltiger und man muss keine Angst haben, dass einem die eigene 'Energieentsorgung' beim nächsten Umlauf wieder begegnet!"