Grenze des Universums

[Dgoe]

wohl eher farblich abgestimmt. Die Unterschiede sind von der Grössenordnung ~10[sup]-6[/sup]

Hallo Ralf,

ja, mir war schon bewusst, dass die Unterschiede sehr minimal sind und deswegen auch so schwer zu detektieren waren. Aber nun sind sie eben da, sonst hätte man ja auch ein weißes Blatt mit nur einem Oval präsentieren können.

Gruß,
Dgoe

 

[Ich]

Der Punkt ist, dass die Unterschiede so klein sind, dass die Homogenitätsannahme definitiv gerechtfertigt ist. Ob der CMB links ein hunderttausendstel Grad kälter ist als rechts ist für die Berechnungen genauso egal wie die Tatsache, dass es Sterne und Galaxien gibt.

Den Louvre. Dieser ist endlich; um alle Werke zu sichten, legt man rund 18 km Fußweg zurück - man braucht dazu eher eine Woche, als einen Tag.

Wenn man nun eine Stunde lang herumläuft, kommt man in immer neue Räume und sieht immer wieder neue Kunstwerke. Es könnte sich einem zu diesem Zeitpunkt der Eindruck erschließen, der Louvre sei homogen, isotrop und (bequemerweise sparsam gedacht) schier unendlich groß, geht immer so weiter.

Und dann? Wenn du nur eine Stunde Zeit hast, und z.B. Anzahl Bilder pro Quadratmeter rechnen willst, wie wichtig ist es dann, ob das 18 km oder 14894756 km sind? Du weißt es nicht, kannst es nicht wissen und es ist dir Wurscht. Du zählst einfach die bisher gesehenen Bilder und teilst die Zahl durch die bisher gesehene Fläche.

Du nimmst das zu wichtig. Das mathematische Modell ist unendlich groß, weil sich das am einfachsten rechnet. In der Populärwissenschaft hört man sehr oft, dass das Universum unendlich groß sei, und da stellt sich natürlich die Frage, wie man das wissen soll. Aber in der Wissenschaft, auf ihrem heutigen Stand, ist das herzlich egal. Es wird nicht einmal großartig darüber spekuliert, außer wenn's um eventuell beobachtbare Effekte geht.

 

[Dgoe]

Tatsächlich verstehe ich es nun langsam immer besser, dank Euch.

Vielleicht war auch für threepwood etwas dabei.

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

Ich würde aber dennoch gerne einige kleine Fragen aufwerfen.

Den Urknall kann man mathematisch beschreiben?
Die Inflation kann man mathematisch beschreiben?

Und dann geschieht ein Paradigmenwechsel oder sowas, würde ich sagen, denn:

Von nun an ist die unendliche Größe des Universums mathematisch einfacher zu berechnen. War doch just zuletzt die Vergrößerung (Inflation) noch etwas mit endlichen Größenverhältnissen die schnell wachsen, was iwie einen Widerspruch bildet zu anschließend unendlich.

Lösung: Es gibt keine Größe. Diese wird ja auch nie erwähnt, nur die Zeitabstände werden beschrieben. Der Raum selber entsteht erst, wie es so oder ähnlich so schön heisst.

Hieße, der Urknall ist schon unendlich groß. Praktischerweise gibt es ja unterschiedliche Qualitäten von unendlich, also unendlich und unendlich und unendlich...
Was man für die Inflation prima verwenden könnte, die dann halt wächst von unendlich zu noch viel mehr unendlich. Also weil sie ja die Größe verändert, ne?

Wenn sie aber vorher schon maximal war, dann ist das etwas problematisch. Wenn sie anschließend unendlich ist, dann war sie es wohl vorher auch, wenn nicht, dann wächst sie auf unendlich, was ich mir letzteres am wenigsten vorstellen kann.

Apropos vorstellen, ich konnte das gerade nicht besser sortieren, so sehen halt meine Schwierigkeiten aus, mir einen Reim zu machen. Dass ich es besser verstanden zu haben meinte, war ehrlich so gefühlt. Mittlerweile zweifele ich wieder daran.

Gruß,
Dgoe

.

 

[Bernhard]

Den Urknall kann man mathematisch beschreiben?

Nein. Der Urknall selbst liegt jenseits des Gültigkeitsbereiches der ART.

Die Inflation kann man mathematisch beschreiben?

Ja. Das ist eine exponentielle Expansion.

War doch just zuletzt die Vergrößerung (Inflation) noch etwas mit endlichen Größenverhältnissen die schnell wachsen, was iwie einen Widerspruch bildet zu anschließend unendlich.

Versuche hier mal ganz klassisch so zu denken, wie es auch der Alltag vorgibt. Zwei Gegenstände haben einen gewissen Abstand voneinander, z.B. 4,50 m. Nun kann sich der Abstand mit der Zeit ändern (Expansion) oder Verringern (Komprimierung) und gleichzeitig befinden sich beide Gegenstände in einem Raum ohne erkennbare Grenze, weswegen der umgebende Raum als unendlich groß angesehen werden darf.

Lösung: Es gibt keine Größe.

Das ist ganz verkehrt. Die Definition des SI-Meters darf überall angewendet werden. Physiker lieben einfache Definitionen. Wenn man bei einer Definition auch noch die Uhrzeit oder das umgebende Gravitationspotential oder was weiß ich noch alles berücksichtigen müsste, könnte man es auch gleich bleiben lassen.

Hieße, der Urknall ist schon unendlich groß.

Das ist die korrekte logische Schlußfolgerung, die allerdings mit Vorsicht zu genießen ist, weil die ART bei t=0 keine vernünftige Geometrie mehr liefert. Korrekt formuliert bleibt der Urknall innerhalb der ART eine Art Mysterium (nettes Wortspiel).

 

[Dgoe]

Bernhard,

hier mittendrin hast Du etwas für mich so wertvolles gesagt, okay, geschrieben:

...und gleichzeitig befinden sich beide Gegenstände in einem Raum ohne erkennbare Grenze, weswegen der umgebende Raum als unendlich groß angesehen werden darf.

Das ist total einfach zu verstehen. Es gibt keinen Rand, also kann es in jede Richtung drumherum ewig weitergehen im Nichts. Könnte man also jede beliebige Größe zuordnen, aber danach noch plus unendlich.

Nun aber kommt der SI-Meter noch dazu, einige Zeilen weiter. Den haben wir heute, aber da wo ich meinte, es gibt keine Größe, dachte ich noch an die Anfänge...

Meine nächste Anschlussfrage wäre nämlich, wie groß war der Urknall, oder eben wenn nicht mathematisch vorliegend, dann kurz danach die mathematisch vorliegende Inflation? Zu den unterschiedlichen Zeitpunkten natürlich, aber dabei ja in Meter (SI). Von - bis, würde mir schon reichen. Sogar, ob es überhaupt angegeben werden kann, würde mir schon reichen.

Wenn aber nicht, fehlt für mich was, ein missing link quasi.

Rätselnd,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Den Urknall kann man mathematisch beschreiben?

Hallo Dgoe,

wie Bernhard schon geschrieben hat: nein. Das kommt daher, dass die Energiedichte, also vorhandene Energie dividiert durch das Volumen, bei einem Volumen gegen 0 gegen unendlich divergiert. Die Hochenergiephysik ist aber nicht bis ins Unendliche verstanden. In diesen sehr hohen Energiebereichen können also physikalische Gesetze zur Anwendung kommen, die wir nicht kennen, und die die Urknallsingularität vermeiden.

Kommt noch als weitere Komplikation die Quantenphysik hinzu, denn die 2.Heissenberg'sche Unschärferelation, das ist die, die auch für die sponatne Paarerzeugung verantwortlich ist - Stichwort: Quantenfluktuation - ja besagt, dass man nicht gleichzeitig Energie und Zeit beliebig genau angeben kann. Wenn Du also näher als 1 Planckzeit an den Urknall herankommst, macht die Physik auch keinen Sinn mehr.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Praktischerweise gibt es ja unterschiedliche Qualitäten von unendlich, also unendlich und unendlich und unendlich...

Hallo Dgoe,

wieder so ein YouTube-Filmchen ...

Ich vermute, Du meinst so etwas wie das Hilbert-Hotel. Die Inflation ist aber etwas ganz anderes: sie ist endlich !

Auch die Anzahl Gedanken, die alle Menschen jemals getätigt haben, ist nur endlich, was zur Folge hat, dass es eine Wahrscheinlichkeit echt grösser Null gibt, dass sich alle Menschen doch geirrt haben und 2!3 keineswegs 5 ist. Ja schlimmer noch - diese Wahrscheinlichkeit ist mit O(-27) sogar überraschend gross.

Da sind die Nullmengen unendlicher Mengen von ganz anderer Qualität, denn die Wahrscheinlichkeit, hier ein bestimmtes Element zu erhalten, ist exakt gleich 0.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Ja, ich erninnere mich,

die doofe Singularität, bei Urknall und Schwarzen Löchern gen unendlich...

Aus einem gewissen Abstand betrachtet, ist es schon seltsam komisch, fast schon oder geradezu bezeichnend.

Rätselt man über das Größte, hängt es mit dem Rätseln über das Kleinste zusammen und umgekehrt. Korelation nennt man doch sowas, oder?

Unendlich.

Irgendwer wird doch schon mal passende endliche Beispiele durchgerechnet haben. Also 5-15 Variationen.

Den Raum um den Louvre herum kann man ja von mir aus auch als unendlich deklarieren, ändert nichts daran, dass der Louvre=Universumsanalogie selber endlich ist.

Das hindert ja niemand noch Multiversen einzuführen, oder die Definition anzupassen, also Universum ist ja üblicherweise das maximale.

Gruß,
Dgoe

 

[Bernhard]

Meine nächste Anschlussfrage wäre nämlich, wie groß war der Urknall, oder eben wenn nicht mathematisch vorliegend, dann kurz danach die mathematisch vorliegende Inflation? Zu den unterschiedlichen Zeitpunkten natürlich, aber dabei ja in Meter (SI). Von - bis, würde mir schon reichen. Sogar, ob es überhaupt angegeben werden kann, würde mir schon reichen.

Hallo Dgoe,

diese Fragen lassen sich mit dem sogenannten Skalenfaktor a(t) beantworten. Diese Funktion gibt an, wie lange ein Lichtstrahl von einem Punkt mit einer bestimmten Ortskoordinate zu einem infinitesimal benachbarten Punkt benötigt. Es gilt:

t = a(t) * L.

t ist die Lichtlaufzeit und L die Entfernung. Dabei gilt diese Beziehung nur für kleine Entfernungen (am besten gegen Null strebend), damit man die Expansion des Universums während dieses gedachten Messprozesses vernachlässigen kann. Im Folgenden verwende ich zwei Punkte, die einen Meter voneinander entfernt sind. Das ist zwar kein infinitesimaler Abstand, aber rein rechnerisch macht das hier keinen Unterschied.

1) Beginnen wir mit der Jetzt-Zeit an: Der Skalenfaktor wird normalerweise so berechnet, dass er praktischerweise bei t = t_0 gleich eins ist. Das muss man zwar nicht so machen, ist aber am anschaulichsten. Wir beginnen also mit zwei Punkten im Abstand von einem Meter und berechnen die Lichtlaufzeit. Es gilt t = a(t_0) * 1 = 1 * 1 = 1. Ein Lichtstrahl benötigt also für diese Distanz den Wert 1, wobei ich der Einfachheit halber c=1 verwendet habe, da die Absolutwerte hier nicht weiter interessieren, bzw. durch Multiplikation mit einer geeigneten Konstanten auch nachträglich berechnet werden könnten, was ich mir hier aber spare.

2) Beim Urknall gilt a(0) = 0. Die Lichtlaufzeit zwischen den beiden Punkten war beim Urknall also t = a(0) * 1 = 0 * 1 = 0. Gemäß Definition des Meters waren die beiden Punkte zur Zeit des Urknalls also 0 Meter voneinander entfernt.

3) Für alle Zeiten zwischen t=t_i(*) und t = "jetzt", d.h. t = t_0 kann man sich den Skalenfaktor ganz grob genähert als lineare Funktion vorstellen. Vor ca. 7 Milliarden Jahren galt also a(t) = 0.5. Die beiden Punkte hatten zu dieser Zeit also die Distanz 0.5m usw.

4) (*) Jetzt kommt die Inflation von t = 0 bis t_i. Hier verlief die Skalenfunktion a(t) nicht linear sondern extrem exponentiell, also stark ansteigend. Hatten die beiden Punkte direkt nach der Inflation den Abstand 1 Meter, so war der Abstand der beiden Punkte vor der Inflation 10^{-26} Meter (s. Wikipedia:Inflation).

 

[Ich]

Ich vermute, Du meinst so etwas wie das Hilbert-Hotel. Die Inflation ist aber etwas ganz anderes: sie ist endlich !

Das Video handelt eher von abzählbaren und überabzählbaren Mengen. Der Typ ist auf den ersten Blick (und abzählbar viele weitere Blicke) eine Bestätigung aller Vorurteile gegen Nerds wie uns. Aber was er sagt ist total super, schöne Erläuterung des Konzepts.
Zum Hilbert-Hotel: Dgoe meint ja immer die räumliche Unendlichkeit, nicht die zeitliche. Und die Inflation kann man sich durchaus als räumlich unendlich vorstellen, da gibt es keinen "Paradigmenwechsel". Überhaupt kann man sich die gesamte Expansion als räumlich unendlich vorstellen und kommt auf Hiberts Hotel: der Raum ist von Anfang an unendlich groß, und dann wird er doppelt so groß. Hilbert sagt uns, dass die Transformation auf doppelt so groß ohne Weiteres möglich ist, und dass am Ende alles immer noch abzählbar (im Hotel, in Echt nur vielleicht) unendlich ist.

 

[Ich]

Noch was zum "Paradigmenwechsel". Die Inflation kann auch unendlich groß gedacht werden, sie ist nur ein weiterer Teil des Friedmann-Modells. Und wenn sie nicht unendlich groß wäre, dann wäre das für uns auch egal, weil wir nur endlich weit sehen können.
Es ist aber tatsächlich so, dass die Inflation chronologisch und kausal nach den Friedmann-Modellen kam. Und zwar, um etwas Unschönes wegzuerklären.
Die Friedmannmodelle rechnet man einfach bis zur Singularität zurück, und dann stellt man fest, dass die Singularität raumartig ist. Sprich: Sie (bzw. die Ereignisse direkt vor der Singularität, sie selbst darf ja nicht mitspielen) ist gleichzeitig. Da alle Wirkung höchstens mit Lichtgeschwindigkeit unterwegs sein kann, heißt dass, dass alle diese Ereignisse nicht voneinander beeinflusst sind und nichts voneinander wissen. Das heißt, Licht, das uns gerade von links erreicht, kann vorher nicht schon rechts von uns gewesen sein. Hat also definitiv nichts mit dem Licht von rechts zu tun. Und trotzdem genau dieselbe Temperatur?
Das hört sich arg nach liebem Gott an, der gleichzeitig alle Punkte der Welt erschafft und dafür sorgt, dass alle exakt gleich sind.
Der Physiker hört bei Erwähnung unseres Schöpfers nicht auf zu denken und will ihn auch nicht einspannen zur Erklärung der Welt. Daher kommt die Idee der Inflation: Was wäre, wenn ganz am anfang irgendwie ein klitzekleiner Bereich des Universums sich lang genug kennt, um dieselbe Temperatur anzunehmen. Oder der Bereich sei soo klein, dass er schon rein quantenphysikalisch irgendwie gar nicht anders kann, als keine weiteren Eigenschaften zu haben. Und dann blasen wir den Bereich geeignet ums 10^viel fache auf, mit Inflation. Dann schaut alles aus wie dieser kleine Bereich, alles ist homogen und gut. Bis auf die Quantenfluktuationen dieses Inflatonfelds, das man sich da ausgedacht hat.

Was nun chronologisch passiert ist: Man hat sich Inflation wie beschrieben ausgedacht. Dann hat man im CMB auch noch die vorhergesagten Quantenfluktuationen gefunden. Seitdem glaubt man daran - soweit Physiker gläubig sind.

 

[ralfkannenberg]

Das Video handelt eher von abzählbaren und überabzählbaren Mengen.

Hallo Ich,

auch gut, dann vermutlich der Cantor'sche Diagonalbeweis. Ich kann mir den Film momentan leider nicht anschauen und bin entsprechend aus der Diskussion um den Film ausgeschlossen.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hallo Bernhard,

vielen herzlichen Dank schon mal vorab, enbenso wie an Ich und Ralf für alle Antworten hier. (Edit: Muss die seit #30 (Bernhard) aber erst noch lesen)

Ich wollte Deine Antwort nun ganz der Reihe nach durchgehen. Immerhin mathematische Details, die verdaulich erscheinen. Und da kommt ganz am Anfang allerdings schon dieses Wort infinitesimal.

Hm, ich muss noch mehr dazu lesen und lernen. 1 oder irgendwas geteilt durch unendlich ist, ... ist eigentlich egal.

Egal zu unverstellbar, unbeschreibbar. Wie unendlich selber. Von mir aus könnte man auch eine 50 Meter lange Formel irgendwie mit Unendlich verknüpfen, es wäre identisch.

Ich seile mich also mal ab, an dieser Stelle und versuche aufzubessern. Melde mich dazu also erst später wieder.

Gruß,
Dgoe

 

[ralfkannenberg]

Ich kann mir den Film momentan leider nicht anschauen und bin entsprechend aus der Diskussion um den Film ausgeschlossen.

Hallo Ich,

die ersten 3 Minuten konnte ich mir nun anhören, ist aber bis dahin nur Hilbert-Hotel. Nun hat aber meine Frau reklamiert und ich musste ihn wieder ausschalten. Im Büro ist Geräusch auch nicht toleriert, evtl. kann ich ihn mir Montag abend im Büro anhören.

Wobei ich schon ahne, wie es weitergeht: nach dem Nachweis der Abzählbarkeit der rationalen Zahlen wird das vielleicht noch auf beliebige Zwei-Tupel abzählbarer Komponenten verallgemeinert, möglicherweise mit vollständiger Induktion noch auf den Nachweis der Abzählbarkeit beliebiger n-Tupel abzählbarer Komponenten. Damit hätte man dann die Abzählbarkeit der Polynome rationaler Koeffizienten vom Grade n und unter Zuhilfenahme des Hauptsatzes der Algebra auch die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen.

Meistens aber lässt man die 2-Tupel, n-Tupel, Polynome und algebraischen Zahlen weg und switcht nach den ratioanlen Zahlen sofort zu den reellen Zahlen und dann kommt dann auch schon der Cantor'sche Diagonalbeweis. Aus diesem folgt dann sofort die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen und somit auch die Überabzählbarkeit ihrer Differenzmenge zu den algebraischen Zahlen, der transzendenten Zahlen.

Zum Glück konnte Liouville mit seinem 1844 entdeckten Approximationssatz im Jahre 1851 die erste transzendente Zahl nachweisen und auch Hermite's Nachweis der Transzendenz der Euler'schen Zahl e erfolgte 1 Jahr vor dem Cantor'schen Diagonalbeweis, so dass man sich nicht in der "unschönen" Situation befand, mit den transzendenten Zahlen eine überabzählbare Menge vorliegen zu haben, ohne auch nur ein einizige Element dieser riesig riesigen Mengen angeben zu können.

Im Übrigen kann man eine Bijektion der reellen Zahlen auf ihre "Liouville'sche Darstellung" machen, d.h. die n.-te Ziffer der Dezimaldarstellung wird nun an der n!-ten Stelle geschrieben und die Zwischenräume mit 0 aufgefüllt, so dass die Liouville'schen gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen im Kontinuum im Intervall [0, 1] sind. Dieses Intervall lässt sich nun problemlos geometrisch auf die Menge aller reellen Zahlen bijektiv abbilden, so dass also [0, 1] gleichmächtig zu IR ist; das wurde im Film vielleicht auch angesprochen.


Kurz und gut: es ist für mich einfach einfacher, einen Text zu lesen: der macht keinen Lärm und stört niemanden, wenn ich ihn lese.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[ralfkannenberg]

Und da kommt ganz am Anfang allerdings schon dieses Wort infinitesimal.

Hallo Dgoe,

das ist ein Konzept, mit welchem man ohne das zu wollen die Durchfallraten im Vordiplom in den USA in die Höhe getrieben hat. Besser bleibt man beim guten alten Konzept, dass da irgendetwas "für alle epsilon grösser 0 gilt".

Ebenso wie ich es nicht mag, lim n->oo zu schreiben und statt dessen lieber lim n in IN schreibe, weil IN nämlich über die Peano-Axiome eindeutig definiert ist, so mag ich es auch nicht, von "infinitesimalen" x zu schreiben; das geht nämlich genausogut für alle epsilon grösser 0, insbesondere nämlich auch für die besonders kleinen von ihnen. Und wenn man sich da axiomatisch absichern möchte, so sind hierfür die Dedekind'schen Schnitte sehr geeignet. Den Herrn Dedekind hast Du übrigens schon einmal kennengelernt, der hat einen sehr eleganten analytischen Beweis über die Irrationalität gewisser Quadratwurzeln geliefert.

Kurz und gut: unendlich ist nicht definiert; wenn Du ein abzählbares Unendlich benötigst, dann nimm bitte die Peano-Axiome, und wenn Du ein überabzählbares Unendlich benötigst, dann nimm bitte den für alle gilt-Operator des Kontinuums. Wobei Du überabzählbare Unendlichkeiten wo immer möglich vermeiden solltest; ab dem 5.Semester eines Mathematikstudiums lernt man, unter welchen Voraussetzungen man diese "kontrollieren" kann. Zumindest an der ETH Zürich hat die Mehrheit der Studenten (einschliesslich meiner Wenigkeit) die zugehörige Prüfung im Schlussdiplom nicht bestanden, und wer da gut war war in der Regel für eine Promotion gesetzt.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dgoe]

Hm, nja, hmm, *denk*

Bestimmt völliger Humbug ist, was ich mich gerade dennoch frage. Ich würde es aber gerne wissen wollen, wie unrelevant auch immer und ob darauf eingegangen wird oder nicht.

Der Sprung von abzählbar zu überabzählbar, ist der quantitativ vergleichbar mit dem Sprung der Inflation von vorher zu nachher?

Gruß,
Dgoe

 

[Dgoe]

............

 

[Bernhard]

Der Sprung von abzählbar zu überabzählbar, ist der quantitativ vergleichbar mit dem Sprung der Inflation von vorher zu nachher?

Solange der Raum als Kontinuum gedacht und verstanden wird, werden die Koordinaten durch überabzählbare Mengen beschrieben. Die Inflation wirkt dann insgesamt auf überabzählbare Mengen. Wenn man den Raum als Spinnetzwerk denkt, so wirkt die Inflation auf Elemente eines Hilbertraumes und der kann prinzipiell abzählbar oder überabzählbar unendlich dimensional sein. Hier traue ich mir eine zuverlässige Antwort nicht zu.

 

[Bernhard]

Und da kommt ganz am Anfang allerdings schon dieses Wort infinitesimal.

Hallo Dgoe,

ich sehe schon, dass Du damit noch Probleme hast, was aber gar nicht verwunderlich ist, weil das Friedmann-Modell insgesamt schon relativ viele Vorkenntnisse erfordert, die bei Dir mit Sicherheit noch nicht richtig "sitzen". Du kannst alternativ zur Erklärung von Längen- und Abstandsverhältnissen auch immer wieder auf das Gummiband-Ameisen-Modell, bzw. den aufblasbaren Luftballon zurückgreifen.

Bei der Veranschaulichung mit dem Luftballon kann man sich den Luftballon vor der Inflation als subatomare Blase mit einem Radius von 10^-26 m vorstellen. Der Radius wird dann während der Inflation
auf den Radius einen Meter aufgeblasen. Man sich leicht vorstellen, dass sich auf der Oberfläche dieser gedachten Blase die Abstände ziemlich dramatisch verändern. Um dann noch in unsere Welt zu gelanngen, muss man sich die Haut der Blase als dreidimensionalen gekrümmten Raum vorstellen, was ohne das Studium der Differentialgeometrie aber normalerweise eher schwer bis unmöglich fällt. Deswegen reduziert man auch gerne die Dimension der Beobachter von drei auf zwei und kommt so zu der gedachten, "platten" Ameise.

Etwas ärgerlich an dem Luftballon-Modell ist die Endlichkeit der Oberfläche des Ballons. Diese Oberfläche muss man sich eigentlich unendlich groß vorstellen, da man in einem euklidischen Raum bei einer Reise in eine feste Richtung nie wieder an seinen Ursprungsort zurückkehrt.