Grenze des Universums
- Ersteller threepwood
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ralfkannenberg
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Hallo Dgoe,
so langsam frage ich mich, was ich falsch mache, dass immer noch solche Fragen kommen.
Der Sprung vom abzählbar unendlichen zum überabzähbar unendlichen ist grösser als alles andere, was Du kennst. Er ist riesig. Er ist so gross, dass Du Dir das gar nicht vorstellen kannst. Und auch das ist falsch, weil er noch grösser ist.
Nimm die natürlichen Zahlen, also 1,2,3 usw. Die sind abzählbar. Dass dann auch 0,1,2,3 usw. abzählbar ist, obgleich erstere eine echte Teilmenge ist, mag man sich ja noch vorstellen können, weil "oo+1" ja immer noch "oo" ist - also wenn das definiert wäre, dann wäre es so. Dass dann auch noch usw -3,-2,-1,0,1,2,3 usw auch noch abzählbar sind, ok: "2*oo+1" ist ja auch noch "oo", und wenn unendlich definiert wäre, so würde diese Gleichung ja auch gelten.
Ob Du nun in eine Richtung nach unendlich läufst oder noch wie bei den ganzen Zahen in eine zweite, das mag ja noch angehen. Im Filmchen hat er das ja gezeigt: 0,1,-1,2,-2,3,-3 usw.
Doch nun die Brüche - die gehen nicht nur nach unendlich oder minus unendlich, nein: zwischen jedem von ihnen gibt es auch noch unendlich viele. Und trotzdem sind die nur abzählbar unendlich.
Und die Brüche sind ja nur Nullstellen von rational-koeffizientigen Polynomen vom Grade 1 ... - jetzt nehmen wir auch noch die Nullstellen der rational-koeffizientigen Polynome vom Grade 2, und dann diejenigen vom Grade 3 und so weiter, da kommen nun auch noch unendlich viel Grade (!!!) dazu. Hilft aber nichts - bleibt alles abzählbar. Die imaginäre Einheit i ist da übrigens schon seit den rational-koeffizientigen Polynomen vom Grade 2 dabei.
Du findest keinen algebraischen Prozess, der das Ding ins überabzählbare hochtreibt - es bleibt alles abzählbar.
Und nun kommt der "für alle gilt"-Operator ins Spiel, oder meinetwegen auch die Menge aller Teilmengen. Oder die Grenzwerte aller Cauchy-Folgen. Oder die Dedekind'schen Schnitte. Oder wie auch immer, jedenfalls wächst nun die Menge so enorm an, dass man sich das überhaupt nicht mehr vorstellen kann.
Inflation: was ist schon die Inflation ? Das ist eine kleine endliche Zahl und es gibt noch unendlich viele endliche Zahlen, die grösser als der Wachstumsfaktor der Inflation ist. Das ist also nicht einmal der Übergang von endlichen Zahlen zum abzählbar unendlichen, obgleich der auch schon unendlich gross ist !
Kurz zusammengefasst: "überabzählbar unendlich" ist so gross, dass man sich das gar nicht mehr vorstellen kann. Und selbst dieses Bild genügt nicht: "überabzählbar unendlich" ist nämlich noch grösser ! - Was ich Dir hier über "überabzählbar unendlich" schreibe sind alles noch masslose Untertreibungen ! Überabzählbar unendlich ist so gross, dass sogar die Mengenlehre in einen Widerspruch fällt (Russel'sches Paradoxon / Barbier von Sevilla-Problem).
Vielleicht verstehst Du nun auch, dass der Cantor'sche Diagonalbeweis zusammen mit dem Hauptsatz der Algebra sehr elementar eine Menge konstruiert, die riesig riesig riesig riesig gross ist, doch mit den verwendeten Methoden ist es nicht möglich, auch nur ein einziges Element dieser riesigen Menge, der transzendenten Zahlen, zu bestimmen.
Zum Glück war es Liouville 24 Jahre zuvor gelungen, eine solche Zahl zu finden; zwar ist die ziemlich "abstrakt" und auch für nichts zu gebrauchen, aber egal - sie ist wohldefiniert und das genügt. Und wenigstens ein Jahr zuvor gelang es Hermite, nachzuweisen, dass auch die Euer'sche Zahl e transzendent ist, so dass man wenigstens 2 "Typen" Elemente dieser riesig riesig riesig riesigen Menge kannte.
Freundliche Grüsse, Ralf
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