Frage zur ART

[Inkow]

Hallo,

(hat nur indirekt mit SL zu tun)

Ich habe eine allgemeine Frage zur ART, aber ich vermute es ist schwehr sie so zu beantworten, dass ich die Antwort verstehe.

ALso was mir nicht klar ist, ist Folgendes:

Nach dem Äquialenzprinzip spielt die Gravitation lokal keine Rolle es gilt also Newtonsche Mechanik bzw. SRT.

Nun gilt nach Newton das G mit dem Quadtrat des Abstandes abnimmt.

wieso nimmt die die Raumzeitkrümmung (der Krümmungstensor?) nicht ebenfalls mit dem Quadrat des Abstandes ab ????

(bei gleichen Massen).

Über eine Antwort würde ich mich sehr freun

Gruss
I

 

[Bernhard]

Über eine Antwort würde ich mich sehr freun

Weil Äpfel keine Birnen sind. Krümmungen sind physikalisch gesehen eher Potentiale und physikalische Kräfte bekommt man aus der Ableitung (Differenziation) von Potentialen . Klaro ?
Gruß

 

[Inkow]

hm, ...

Krümmungen sind physikalisch gesehen eher Potentiale

Dann kannst du mir sicher auch sagen welches Potential die Krümmung einer Banane eher hat

Spass bei Seite.

Richtig ist das die Abnahme der Kraft (also die Änderung oder die Ableitung) mit groesserem r kleiner wird.

die Stärke der Krümmung nimmt auch mit dem Abstand zur Zentralmasse ab.

ich frage mich nun wo der Unterschied in der Berechnung liegt, wenn doch als Stärke der Krümmung nach dem Äquivalenzprinzip die Änderung der Beschleunigung zu Grunde liegt, welche ja indirekt ein Maaß für die Kraft ist.

 

[RPE]

Inkow,

Bernhard hat es ja schon gesagt, vielleicht hilft ein einfaches Rechenbsp. wenn du immer noch nach dem "Unterschied in der Berechnung" fragst?

Die Krümmung ist proportional zum Gravitationspotential,

beide sind proportional zu 1/r.

Eine Kraft ist definiert als Ableitung eines Potentials, also

d(1/r)/dr = -1/r^2

 

[Bernhard]

die Abnahme der Kraft

... wäre nach Newton die Ableitung der Beschleunigung. Mir ist nicht ganz klar, was du damit dann anstellen willst: .

 

[Ich]

Nun gilt nach Newton das G mit dem Quadtrat des Abstandes abnimmt.

Was soll "G" sein? Ich versuche erstmal, deine Frage zu formulieren, dann ist die Antwort auch nicht mehr so schwierig.

Wir haben in Newtonscher Gravitation - die für schwache Felder eine gute Annäherung an die ART ist - folgende Begriffe:
1) Gravitationspotential ~GM/r
2) Gravitationsbeschleunigung ~GM/r²
3) Gezeitenbeschleunigung ~GM/r³

1) Ist mehr eine Rechengröße. Der "Wert des Potentials" an einer bestimmten Stelle ist nicht messbar und absolut willkürlich. Interessant wird 1) erst, wenn es sich von Ort zu Ort unterscheidet, sozusagen als Integral von 2).

2) ist die Ableitung von 1) und meistens das, was man unter "Gravitationsfeld" versteht. Ein Beispiel sind die 9,81 m/s² auf der Erdoberfläche. 2) ist auch das, was du meinst. 2) ist nach dem Äquivalenzprinzip lokal wegtransformierbar, also keine fundamentale Größe.

3) ist die Ableitung von 2). 3) ist das erste in dieser Reihe, was "lokal" messbar ist. 3) entspricht dem Krümmungstensor bzw. der Raumzeitkrümmung in der ART.
3) ist entsprechend auch das einzig Kovariante aus dieser Reihe und damit für die ART brauchbar. 1) und 2) gibt's da gar nicht als physikalische Entitäten, da ist das Potential eine nur in Ausnahmefällen verwendbare Rechengröße und die Gravitationsbeschleunigung nur ein Missverständnis.

die Abnahme der Kraft

wäre nach Newton die Ableitung der Beschleunigung. Mir ist nicht ganz klar, was du damit dann anstellen willst

Das ist eben die Krümmung, und damit der wichtige Wert in der ART. Dem "Krümmungen sind physikalisch gesehen eher Potentiale" kann ich also gar nicht zustimmen.

 

[RPE]

Na Bernhard, da hast du mich ja schön mit reingeritten diesmal

 

[Bernhard]

Na Bernhard, da hast du mich ja schön mit reingeritten diesmal

Sorry. Ich hatte oben "Krümmung" kurzerhand mit "Metrik" gleichgesetzt. Das man damit keinen Nobelpreis gewinnen kann, war/ist mir durchaus bewußt .
Gruß

 

[Inkow]

Hi Leute, Danke für Eure Antworten, bzw. bei der Hilfe meine Frage zu formulieren (tut mir leid das ich mich so schlecht ausdrücke ) :


wenn die Ableitung der Gravitationsbeschleunigung dem Krümmungstensor entspricht,

wieso kommt dann was anderes raus wenn mann nach ART rechnet als wenn man nach Newton rechnet ?

Wir haben in Newtonscher Gravitation - die für schwache Felder eine gute Annäherung an die ART ist

Wieso eigentlich nur für schwache Felder ?
Was ist bei einem Starken Feld anders ?

 

[Bernhard]

wieso kommt dann was anderes raus wenn mann nach ART rechnet als wenn man nach Newton rechnet ?

Die ART wurde nach der SRT entwickelt und baut auf den grundlegenden Ergebnissen der SRT auf. Die SRT steht dabei in krassem Widerspruch zu Newton. Der grundlegende Unterschied: Nach Newton darf sich Materie beliebig schnell bewegen und es gibt eine universelle Zeit und einen absoluten Raum. Alles Dinge, die mit der SRT (und damit auch ART) ihre Bedeutung und Gültigkeit verloren haben, bzw. verlieren.

Deutlichstes Beispiel für diese Unterschiede ist vielleicht der Gangunterschied von Uhren in Abhängigkeit des Graviationspotentials: http://de.wikipedia.org/wiki/Pound-Rebka-Experiment
Gruß

 

[Ich]

wenn die Ableitung der Gravitationsbeschleunigung dem Krümmungstensor entspricht, wieso kommt dann was anderes raus wenn mann nach ART rechnet als wenn man nach Newton rechnet ?

Ähm... weil's zwei verschiedene Theorien sind? Der Krümmungstensor in der ART und der Gezeitentensor in Newton'scher Gravitation erfüllen ungefähr dieselben Aufgaben in beiden Theorien, sie sind aber natürlich nicht gleich. Sieht man schon daran, dass ersterer vierdimensional ist.
Die Einstein'schen Feldgleichungen sind viel komplizierter als die Newton'schen. Da kommt generell natürlich was anderes raus, und in manchen Fällen sind die Theorien nicht einmal vergleichbar.

Wir haben in Newtonscher Gravitation - die für schwache Felder eine gute Annäherung an die ART ist

Wieso eigentlich nur für schwache Felder ?
Was ist bei einem Starken Feld anders ?

Sagt dir der Begriff "Störungsrechnung" was? Du fängst an mit flacher Raumzeit, ganz ohne Gravitation. Dann betrachtest du nur kleine Abweichungen von dieser Metrik, wobei "klein" einfach bedeutet, dass man alle auftretenden Funktionen in Reihen entwickelt und nur die ersten paar Terme ernst nimmt, den Rest ignoriert. Dadurch werden die Gleichungen viel einfacher.
Und wenn man so vorgeht, dann bekommt man eben in erster Näherung die alte Newton'sche Gravitation wieder. In zweiter Näherungen gibt's Korrekturterme, die man berechnen kann, ohne die echten Feldgleichungen zu lösen. So hat Einstein z.B. seine Vorhersagen zu Perihelionverschiebung und Lichtablenkung gemacht, bevor Schwarzschild die erste nichttriviale Lösung der Feldgleichungen gefunden hatte.
So ist das mit dem "schwach" und "stark" zu verstehen: kleine oder große Abweichungen von der flachen Hintergrundmetrik. Du kannst dir auch im stärksten Feld ein frei fallendes System aussuchen und die Physik darin nach Newton berechnen, wenn du nur kleine Raum- und Zeitbereiche betrachtest. Oder du kannst für die Punktmasse fast die gesamte Raumzeit nach Newton ausreichend ganau berechnen, wenn du nur die inneren Bereiche aussparst, wo die Metrik zu stark vom angenommenen flachen Hintergrund abweicht.

 

[RPE]

Inkow,

vielleicht hilft folgendes noch(wenns nicht wieder falsch ist ):

Die Feldgleichungen beschreiben die Gravitation nicht-linear. D.h., die bisher erwähnten Proportionalitäten gelten dort strenggenommen gar nicht. Die sind nur bei Newton richtig. Oder eben in erster Näherung, ohne die Korrekturterme.

Oftmals findet sich in der Physik allerdings auch ein entsprechendes klassisch vorstellbares Analogon für derartige Korrekturterme. In der Molekülphysik z.B. dass allgemein Energiepotentiale von Molekülen nicht symmetrisch durch einen einfachen harmonischen Oszillator beschreibbar sind, sondern ganz ähnliche Korrekturterme einer starken Anharmonizität Rechnung tragen müssen. Für z.B. 2-atomige Moleküle kann man sich dann einen solchen Korrekturterm leicht damit veranschaulichen, dass sich Atome auf der einen Seite nicht beliebig einander annhähern können, was zu einer immer weiter zunehmenden Abstoßung führt, hingegen bei zu weiter Entfernung voneinander, die gesamte Bindung immer schwächer wird und schlussendlich sogar aufbricht. Da Quantenmechanik, vielleicht etwas arg weit hergeholt an dieser Stelle, aber irgendwo zumindest ähnlich abstrakt wie die 4-D Raumzeit.

Ob es dort auch ein entsprechendes Analogon für die Korrekturterme gibt, weiss ich allerdings nicht.
Ein begreifbarer Unterschied zw. Newton und ART, der mir noch einfällt ist, dass das Gravitationsfeld nach ART selbst auch wieder Energie enthält und damit wiederum auch zur Gravitation beiträgt. Das ist bei Newton nicht der Fall. Ob man diesen Umstand allerdings direkt mit dem ersten Korrekturterm in Verbindung bringen kann, weiss ich nicht. Da wissen die anderen beiden Spezialisten sicher mehr.

 

[Inkow]

Hi,

Vielen Dank für Eure Antworten !!!!!!!!!!!!!

Die ART wurde nach der SRT entwickelt und baut auf den grundlegenden Ergebnissen der SRT auf. Die SRT steht dabei in krassem Widerspruch zu Newton.

Das verstehe ich !!

was ich leider nicht verstehe ist bei den Feldgleichungen worin die Gleichung überhaupt besteht.

Ich verstehe die SRT und das Äquivalenzprinzip und das daraus eine Raumzeitkrümmung folgt.

aber garnicht verstehe ich wie man berechnet wie stark die Krümmung ist.


Ich dachte: man geht von den gemessenen unterschiedlichen Beschleunigungen aus, bzw. von den nach Newton berechneten und leitet daraus dann die Krümmung ab.

Da SRT und Newton unterschiedlich sind, ist natürlich schon bei der Anwendung des Äquivalenzprinzips ein Unterschied in der Berechnung, welcher sich in dem gekrümmten Bereich natürlich fortsetzt.

Wenn das alles ist, dann kann man aber sagen das die ART keine eigenen Effekte hat, alles geht auf die Effekte der SRT + Äquivalenzprinzip zurück und wird dann in der gekrümmten Raumzeit berechnet.

Dann betrachtest du nur kleine Abweichungen von dieser Metrik,

Ja, aber wodurch ist die Grösse der Abweichung gegeben?

durch den Krümmungstensor.

und wodurch ist der Krümmungstensor gegeben ?

durch die unterschiedliche Beschleunigung.

aber wie kann die Unterschied in den Beschleunigungen berechnet werden ?

also woher weiss man wie stark die Abweichung von der flachen Metrik entlang des Radius ist ?

 

[Ich]

Oftmals findet sich in der Physik allerdings auch ein entsprechendes klassisch vorstellbares Analogon für derartige Korrekturterme.

Am schönsten ist da vielleicht das Fadenpendel. Die Rückstellkraft ist ~sin(x), und die Gleichungen haben keine exakte Lösung. Also entwickelt man sin(x) in eine Reihe: sin(x) = x - 1/6*x^3 +1/120*x^5-...
Wenn man nur den ersten Term behält, bekommt man die einfache Gleichung, die man in der Schule lernt. Wenn man's genauer wissen will, kann man weitere Terme berücksichtigen.

Ein begreifbarer Unterschied zw. Newton und ART, der mir noch einfällt ist, dass das Gravitationsfeld nach ART selbst auch wieder Energie enthält und damit wiederum auch zur Gravitation beiträgt. Das ist bei Newton nicht der Fall. Ob man diesen Umstand allerdings direkt mit dem ersten Korrekturterm in Verbindung bringen kann, weiss ich nicht.

Die ersten Korrekturen folgen schon auch der linearisierten Theorie, die noch keine derartige Selbstwechselwirkung beinhaltet. Sie kommen vom Übergang vom skalaren Potential (nur die Zeit-Zeit-Komponente) zum Tensorfeld, d.h. durch die Berücksichtigung auch der anderen Komponenten. In dem Zusammenhang kann man vielleicht Kap. 21 ff der Originalpublikation lesen, wo eben die Lichtablenkung beschrieben wird.
Im PPN-Formalismus sind dann auch nichtlineare Terme, also die Selbstwechselwirkung, berücksichtigt.

 

[Bernhard]

also woher weiss man wie stark die Abweichung von der flachen Metrik entlang des Radius ist ?

Hi Inkow,

das ist keine einfache Frage, aber wenn Du wissen willst, wie man z.B. die Schwarzschildmetrik herleitet, so kann man das noch einigermaßen leicht erklären. Der rechte Term der Feldgleichungen beschreibt die Materieverteilung, die aber im Außenraum des Schwarzen Loches erst mal gleich Null ist. Also darf in diesem Fall die rechte Seite der Gleichungen gleich Null gesetzt werden. Via Tensorrechnung läßt sich dann auch die linke Seite der Gleichungen vereinfachen, so dass nur noch die Gleichung R_mu_nu = 0 übrigbleibt.

Die Vakuumgleichungen der ART sind also identisch mit einem verschwindenen Ricci-Tensor. Alle Geometrien, die den leeren Raum beschreiben gehorchen also dieser Gleichung und das sind eine ganze Menge.

Ichs Vorschlag der Störungsrechnung geht über die linearisierten Gleichungen. Dieses Thema würde ich besser in einem guten Buch nachlesen, z.B. T. Fließbach, "Allgemeine Relativitätstheorie" oder books.google ....
Gruß

 

[Inkow]

Hi Bernhard , ...

Dieses Thema würde ich besser in einem guten Buch nachlesen,

Da hast Du recht, irgendwann werde ich nicht mehr darum herrum kommen mir die differenzialgeometrischen Zusammenhänge ganau an zu sehen

bis jetzt hoffe ich noch das es möglich ist den Sachverhalt auch ohne den Formalismus zumindest qualitativ zu verstehen, auch wenn man dann natürlich quantitatif keine konkreten Werte ausrechnen kann.

ich werde nochmal versuchen mein Unverständnis zu formulieren
- in der Hoffnung das sich mir einer erbarmt

Was wir messen können sind unsere 9,81 m/s² Erdbeschleunigung.
darüber hinaus wissen wir bescheid über die SRT und wir wissen das das Äquvivalenzprinzip gilt.

wieso kommen wir nun anhand welcher Überlegung darauf wie stark die Beschleunigung nach oben hin abnimmt ?

ich meine ganz prinzipiell, wo setzt da der Hammer an ?

oder ganz krass formuliert:

Die inhomogenität des Gravidationsfeldes entspricht der Krümmung der Raumzeit.

aus der ART geht doch ueberhaubt nicht hervor das das Gravitationsfeld inhomogen ist.

das ist doch eigentlich eine Voraussetzung.

und die Voraussetzung kann man doch nicht berechnen



auf jeden Fall
thx'n'regs
I.

 

[Bernhard]

wieso kommen wir nun anhand welcher Überlegung darauf wie stark die Beschleunigung nach oben hin abnimmt ?

Hi Inkow,

da verweise ich einfach mal auf die newtonsche Theorie, und die ist ja als Grenzfall in der ART enthalten. Das sollte man bei solchen Überlegungen nicht vergessen.

Die inhomogenität des Gravidationsfeldes entspricht der Krümmung der Raumzeit.

Die erste Ableitung der Metrik (setze ich mal gleich Gravitationsfeld) ergibt die Beschleunigungen von Testteilchen (s. Gleichung oben von RPE). Die zweiten Ableitungen ergeben dann die Krümmungen.

und die Voraussetzung kann man doch nicht berechnen

in gewisser Weise doch, weil die Theorie z.T. so "gestrickt" wurde. So kann man das newtonsche Gravitationsgesetz z.B. mit einigem "Zureden" auch aus der zugehörigen Poisson-Gleichung ableiten: Man berechnet dazu das Gravitationspotential einer Punktmasse und leitet dieses nach r ab (s. Gleichung oben von RPE).
Gruß

 

[Inkow]

Hi Bernhard,

Ich verstehe (eventuell):

Lokal gilt das Äquivalenzprinzip.
Die Änderung der Beschleunigung wird dann infinitesimal mit Newton berechnet, dann kommt SRT als Korrektur drauf.

Das heisst (würde heissen):

die Schwarzschildkoordinaten sind via Newton parameterisierte Rindler Koordinaten.

stimmt das ?

PS sorry für die laienhafte und schludrige Ausdrucksweise, ich hoffe es ist trotzdem verständlich was ich meine.

 

[Bernhard]

die Schwarzschildkoordinaten sind via Newton parameterisierte Rindler Koordinaten.

Hi Inkow,

man müsste mal probieren, ob so etwas geht. Es ist aber IMO eine eher wilde Idee.

In der originalen Herleitung von K. Schwarzschild wurden IMO (kann man bei Wikipedia nachlesen) keine Rindler-Koordinaten verwendet, weil man die Feldgleichungen in diesem Fall direkt integrieren kann. Man muss dazu nur die richtigen Randbedingungen einsetzen, d.h. dass die Metrik für r nach Unendlich in die Minkowski-Metrik in Kugelkoordinaten übergeht. Zusammen mit der sphärischen Symmetrie gibt das dann eine eindeutige Lösung.

PS sorry für die laienhafte und schludrige Ausdrucksweise, ich hoffe es ist trotzdem verständlich was ich meine.

ist von mir aus schon OK.