Frage zum Zwillingsparadoxon

ralfkannenberg

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Auch 0, das gleiche in grün. Wohl bei allen senkrechten Päärchen.
Hallo Dgoe,

hast Du Lust, das zu beweisen ?


Wenn Du Dich intensiver damit beschäftigen möchtest: im IR[sup]3[/sup] sind zum Vektor x (= (1,0,0) ) ja nicht nur y und -y senkrecht, also (0,1,0) und (0,-1,0), sondern auch ihre Vielfachen. Und eben auch z und -z und deren Vielfachen und es sind auch alle Vektoren senkrecht zu x, die eine beliebige Summe von Vielfachen von y und Vielfachen von z sind.

Man kann also die Ebene (0,y,z) auch darstellen als alle Vektoren, die zum Vektor x senkrecht sind und spricht dann von der Normalenvektor-Darstellung einer Ebene. Allerdings muss man den Normalenvektor noch normieren, also so, dass er die Länge 1 aufweist. Von denen gibt es zwar immer noch zwei, also "+" und "-", aber die kann man dann nutzen, um die Orientierung der Ebene festzulegen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Bernhard

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hast Du Lust, das zu beweisen ?
Hallo Dgoe,

falls ja, gebe ich eine kleine Hilfestellung dazu. Beginne mit einem beliebigen, zweidimensionalen Vektor (a,b) und überlege geometrisch (also per Zeichnung), wie die beiden dazu senkrechten Vektoren aussehen müssen, also ausgedrückt durch die zwei reellen Zahlen a und b. Dann berechnet man für beide Lösungen das Skalarprodukt.

Falls Du da unsicher bist und weiterer Erklärungsbedarf besteht, wäre es gut dafür ein neues Thema aufzumachen (Smalltalk?, Thema: z.B. Skalarprodukte).
MfG
 

Bernhard

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Hallo Dgoe,

Nun sind wir gar nicht mehr auf Toms Gleichung eingegangen...
also, die zwei von mir gestellten Übungsaufgaben betrachte ich nun als weitgehend gelöst an. Es fehlt eigentlich nur noch der Zahlenwert zu Ü2, aber dass Du den berechnen kannst, glaube ich Dir auch ohne konkreten Nachweis.
MfG
 

ralfkannenberg

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also, die zwei von mir gestellten Übungsaufgaben betrachte ich nun als weitgehend gelöst an. Es fehlt eigentlich nur noch der Zahlenwert zu Ü2, aber dass Du den berechnen kannst, glaube ich Dir auch ohne konkreten Nachweis.
Ich nicht, ich möchte es konkret sehen. Es geht dabei nicht um mich, sondern um Dgoe: für ihn ist es eine gute Übung, das nach einer Zeit der Unterbrechung nochmals in den richtigen Zusammenhang zu setzen, und zum anderen hat eine konkrete Lösung noch niemandem geschadet, sondern gibt vor allem für denjenigen, der die Lösung ausgerechnet hat, eine wertvolle Sicherheit und Erfahrung.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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ist ja schon ein bisschen her ... um welche Gleichungen ging es denn?

Hallo Tom,

Diese hier
die zentrale Erkenntnis ist eigtl. folgende: die Eigenzeit eines Beobachters entspricht exakt der Länge seiner Weltlinie durch die vierdimensionale Raumzeit. Bei der konkreten Berechnung unter Benutzung eines Koordinatensystems wird diese Länge in infinitesimale Stückchen ds aufgeteilt; diese haben (im jeweiligen KS) einen zeitartige und einen raumartigen Anteil, d.h. der vierdimensionale Pythagoras lautet

ds[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP] - dx[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP](1 - dx[SUP]2 [/SUP]/ dt[SUP]2[/SUP]) = dt[SUP]2 [/SUP](1 - v[SUP]2[/SUP])

Dabei erhält man die Geschwindigkeit v aus Sicht des Beobachters, für den gerade dieses KS eingeführt wurde. Dies ist aber nur ein Artefakt der Berechnung. Die Eigenzeit als Länge der Weltlinie existiert natürlich als geometrisches Objekt unabhängig von einem KS.

Ich denke, zumindest diese eine Formel muss man verstehen
, sonst führt das alles zu nichts. Dann versteht man auch, woher die Geschwindigkeit stammt, und warum keine Beschleunigung auftaucht.
(unterstrichen von mir)
Dazu bin ich ja Bernhards Übungen durchgegangen.
Hatte hier auch etwas dazu geschrieben,
Also t ist die Zeit und x der Ort, letzterer eigentlich noch unterteilt in x[SUB]1[/SUB],x[SUB]2[/SUB],x[SUB]3[/SUB].
Indem man dt[SUP]2[/SUP] ausklammert, bekommt man praktischerweise die Geschwindigkeit Ort/Zeit, besser Wegstrecke/Zeitspanne.
was wegen einer Schlußbemerkung den Fokus auf Grundsätzliches verlagert hatte (hier ausgeblendet).


Und eigentlich auch diese hier:
http://www.physikerboard.de/topic,37752,-faq---zeitdilatation-und-zwillingsparadoxon.html
Dazu einige Detailfragen, hier:
Den Punkt hast Du ja erklärt, wobei ich Ableitungen auch nur rudimentär kenne. Was das Mu bedeutet, weiß ich nicht, zumal warum mal im Index und dann im Exponenten. Und a,b sind mir auch unklar, wurden nicht erwähnt, C ist ja die Kurve.
@Tom: ach, und die Bedeutung von Chi habe ich noch vergessen zu fragen, Tau ist ja die Eigenzeit, steht dort schon...

Ja, ist schon etwas her, aber wir kamen im Anschluss von Höckchen auf Stöckchen, dachte heute nur daran eventuell den Bogen etwas zu schließen für einen runderen Lerneffekt für mich und vielleicht auch Mitlesern.

Mir ist gerade auch aufgefallen, dass #95,#96 noch unbeantwortet geblieben ist, neben noch einigen weiteren später.

Gruß,
Dgoe

P.S.:
habe #227, 228 noch nicht gelesen...
 
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Dgoe

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Hallo Bernhard,

Du meinst dem unterstrichenen Part?
Ü2: Eine Uhr befinde sich an Bord eines hypothetischen Raumschiffes. Dieses Raumschiff fliege mit der (sagenhaften) Geschwindigkeit von 0,5c auf einer Kreisbahn in der xy-Ebene eines Inertialsystems und zwar ebenfalls von t=0s bis t=10s. Das Raumschiff starte seine Reise im Punkt x=100.000 km, y=0, z=0, t=0.

a) Wieviele volle Kreise dreht das Raumschiff in der xy-Ebene des betrachteten Inertialsystems?
b) Welche Uhrzeit zeigt die Uhr nach der Reise an, wenn sie der Kapitän des Raumschiffes abliest?

Verwende als Begründung für Deine Antwort eine ausführliche und konkrete Rechnung anhand Toms FAQ. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 300.000 km/s. Runde die Ergebnisse von a) und b) jeweils auf 2 Stellen hinter dem Komma
.

Ralf hat recht, hoffe Du behälst auch recht.
Heute allerdings nicht mehr, Zeit rennt ... ;)

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

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Gut, ich sammele erst einmal.
Hier waren zu Ü2(a und b) [nochmal übertragen von der Seite zuvor]
Ü2: Eine Uhr befinde sich an Bord eines hypothetischen Raumschiffes. Dieses Raumschiff fliege mit der (sagenhaften) Geschwindigkeit von 0,5c auf einer Kreisbahn in der xy-Ebene eines Inertialsystems und zwar ebenfalls von t=0s bis t=10s. Das Raumschiff starte seine Reise im Punkt x=100.000 km, y=0, z=0, t=0.

a) Wieviele volle Kreise dreht das Raumschiff in der xy-Ebene des betrachteten Inertialsystems?
b) Welche Uhrzeit zeigt die Uhr nach der Reise an, wenn sie der Kapitän des Raumschiffes abliest?

Verwende als Begründung für Deine Antwort eine ausführliche und konkrete Rechnung anhand Toms FAQ. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt 300.000 km/s. Runde die Ergebnisse von a) und b) jeweils auf 2 Stellen hinter dem Komma.

noch 4 weitere Fragen a) bis d) hinzugekommen
die Bewegung findet, wie Du bereist geschrieben hast, auf einem Kreis in der xy-Ebene statt. Der Mittelpunkt des Kreises stimmt mit dem Ursprung des Koordinatensystems überein.

Ich gebe dann die Parametrisierung der Bahn an, damit es nicht zu unübersichtlich wird:

x = x_0 * cos(v * t / x_0)
y = x_0 * sin(v * t / x_0)
z = 0

x_0 ist der Radius der Kreisbahn, also 100.000 km. v ist der Absolutbetrag der Geschwindigkeit, also 0,5c.

a) Du kannst jetzt überprüfen, ob der Startpunkt bei t=0 die Aufgabenstellung erfüllt.
b) Berechne erneut die drei Ableitungen dx/dt, dy/dt und dz/dt, allerdings ohne Zahlenwerte. Bitte x_0 und v also nicht ersetzen.
c) Zeichne den so berechneten Geschwindigkeitsvektor in eine geeignete Skizze und überprüfe, ob dieser Vektor parallel zur Tangente der Kreislinie liegt
d) Berechne den Absolutbetrag der berechneten Geschwindigkeit gemäß v = sqrt( (dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² )
Sammele nun die Antworten...

EDIT
Bitte im Moment keine Beiträge zwischenposten für die Übersicht!
 
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Dgoe

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Antwort zu
Ü2a):
Es schafft also 2.39 Runden.
(für einen Umlauf braucht es 10/2.39 s = 4.18 s)

Antwort zu
Ü2b):
- Noch offen -
Ansatz:
für Ü2b)

würde ich den Spezialfall
$$\Delta \tau = \tau_1(1-\sqrt{1-v_2^2})$$
von Tom verwenden, weil er für eine Kreisbahn mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag geeignet ist.

$$\Delta \tau = \tau_1(1-\sqrt{1-(150000 km/s)^2})$$
Dazu hat Bernhard geantwortet und im Anschluss ja genau die 4 Zusatzfragen gestellt.

Antwort zu
Ü2 Zusatzfrage a)
t=0

x = x_0 * cos(v * t / x_0)
= x_0 * cos(v * 0 / x_0)
= x_0 * cos(0 / x_0)
= x_0 * cos(0)
= x_0 * 1
= x_0
Also 100000 km, passt.

y = x_0 * sin(v * t / x_0)
= x_0 * sin(v * 0 / x_0)
= x_0 * sin(0 / x_0)
= x_0 * sin(0)
= x_0 * 0
= 0
passt.

z = 0
passt.

Antwort zu
Ü2 Zusatzfrage b)
dx/dt = -v*sin(v*t/x_0)
dy/dt = v*cos(v*t/x_0)
dz/dt = 0

Antwort zu
Ü2 Zusatzfrage c)
erst noch rechnen:
(1) dx/dt = -v*sin(v*t/x_0)
= (-150000*km/s)*sin((150000*km/s)*10*s/(100000*km))
(2) dy/dt = v*cos(v*t/x_0)
= (150000*km/s)*cos((150000*km/s)*10*s/(100000*km))
(3) dz/dt = 0
= 0 :cool:

(1) = ((-150 000) * (km / s)) * sin(((150 000 * (km / s)) * 10 * s) / (100 000 * km) radians) =
-97 543 176 m / s

(2) = (150 000 * (km / s)) * cos(((150 000 * (km / s)) * 10 * s) / (100 000 * km) radians) =
-113 953 187 m / s

(3) = 0

(...)
Nun zur Skizze:

Ein xy-Koordinaten-Kreuz (...).
Dort vom Nullpunkt eine gerade Linie einzeichnen zu dem Punkt (-97 543 176, -113 953 187) und z vergessen wir mal ganz.
(...)
Ausserdem zeichne man einen Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius 100000.

Antwort zu
Ü2 Zusatzfrage d)
v = sqrt( (-97 543 176 m/s)² + (-113 953 187 m/s)² + (0)² ) = 150 000 000 m/s

Hoffe das war akkurat ohne Verwechselungen. Gut, damit ist diese Übersicht vollständig. Weiter im Text zu machen, komme ich wieder mal erst später dazu.

Einige offene Fragen von Ralf habe ich währenddessend auch schon zusammengesammelt, dazu aber auch erst später, sonst wird es wieder unübersichtlich.

Posten ist wieder freigegeben! :)

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

Gesperrt
Obwohl, doch, hier die Fragen, gehören ja zum Kontext:
Warum darf, ja sogar muss Dgoe hier das Standard-Skalarprodukt verwenden ? Wir rechnen doch sonst mit der Minkowski-Raumzeit-Bilinearform !


Tipp:
Das ist eine Fangfrage ! Welchem Raum entstammen die Geschwindigkeitsvektoren ? Vielleicht einfacher: benenne mir bitte eine Basis des Raumes der Geschwindigkeits-Vektoren.

Tipp:
Eine sehr einfache Basis hat Bernhard bereits indirekt aufgeschrieben, aber schreibe sie vielleicht mal in Vektorschreibweise auf.

Also nochmals: was ist f'(x) für f(x) = sin(ax) ?

Und auf unsere Aufgabe angewendet dann natürlich: was ist f'(t) für f(t) = sin(at) ?

Also: google mal nach der "Ableitung vom Cosinus", also was ist f'(x), wenn gilt: f(x) = cos(x)

Und wenn Du das hast, dann google als nächstes Mal nach der "inneren Ableitung" und versuche zu ergooglen, was die Ableitung von f(g(x)) ist, also [f(g(x))]'.
...
 

Dgoe

Gesperrt
Ich bin jetzt ehrlich gesagt total durch den Wind...

Ich weiß im Moment überhaupt nicht wie ich vorgehen soll.

Welches ist die ruhenden Uhr und die der Borduhrzeit? Wo ist überhaupt eine Uhr?
Was fange ich mit den a)-bis-d)-Zusätzen an?
Toms FAQ-Formel, zu der ich zig offene Fragen habe (s. eine Seite zurück), ist ja nicht die Gleiche wie die Andere, welche war denn gemeint?
Ralfs Fragen verwirren mich gerade auch noch...
u.v.m.

Da brauche ich aber nochmal ein ganz ruhiges Momentchen für - erst mal 'ne Valium werfen *scherz*

Gruß,
Dgoe
 

Dgoe

Gesperrt
Gute Idee. :)

Das Zusammentragen war recht mühsam und zeitaufwendig, aber morgen ist ja auch noch ein Tag...

Gruß,
Dgoe
 

TomS

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Was genau ist dir an folgender Formel unklar?

ds[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP] - dx[SUP]2[/SUP] = dt[SUP]2[/SUP](1 - dx[SUP]2 [/SUP]/ dt[SUP]2[/SUP]) = dt[SUP]2 [/SUP](1 - v[SUP]2[/SUP])

Zur Bedeutung: wir betrachten infinitesimales Wegstückchen in der vierdimensionalen Raumzeit; der Einfachheit halber reduzieren wir das Problem auf eine räumlich eindimensionale Bewegung, d.h. nur die x-Koordinate tritt auf; die "Länge" ds dieses Wegstückchens berechnen wir mittels des Satzes des Pythagoras in der Minkowski-Geometrie, daher haben wir ein Minus-Zeichen; das Wegstückchen hat einen räumlichen Anteil dx sowie einen zeitlichen Anteil dt; ich klammere dt aus und setze v = dx/dt (das ist die übliche Definition der Geschwindigkeit)

Soweit alles klar?
 

Dgoe

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Du musst also die gleiche Formel, wie bei Ü1 zur Berechnung von τ verwenden.
Hier liegt der Hund wohl begraben. Lesen hilft! :)

@ Ralf: Die Frage Ü2b)+dem folgenden Absatz steht doch oben auf dieser Seite schon, dafür habe ich ja eigens gesorgt. Könnte sie höchstens umformulieren.

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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@ Ralf: Die Frage Ü2b)+dem folgenden Absatz steht doch oben auf dieser Seite schon, dafür habe ich ja eigens gesorgt. Könnte sie höchstens umformulieren.
Hallo Dgoe,

ja, aber Du hast eine "Information Overflow" erzeugt. Da ist es dann hilfreich, nochmals nur die Aspekte zu nennen, die man braucht und nich talles, was irgendwie damit zusammenhängt.

Üblicherweise:
Voraussetzungen ...
Fragestellung/Behauptung...
zu zeigen......
Beweis........


Die Voraussetzungen brauchen wir nicht seperat aufzulisten, die sind im gesamten Thread gleich. Und den Beweis kann man erst dann formulieren, wenn man weiss, was man zu zeigen hat.

Folglich müsstest Du nun nur angeben:

Fragestellung/Behauptung...
zu zeigen......



Freundliche Grüsse, Ralf
 
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