Frage zum Zwillingsparadoxon

Dgoe

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Wie sieht eine solche "Veränderung" denn geometrisch aus ?
Hallo Ralf,

wie eine steigende Gerade.

Hier aber nochmal zum Vergleich:
überprüfe, ob dieser Vektor parallel zur Tangente der Kreislinie liegt
Man kann dann zusätzlich eine Tangente an den Kreis legen, der genau durch den eben beschriebenen Punkt geht. Der Geschwindigkeitsvektor für t=10s muss dann die gleiche Richtung haben, wie diese Tangente.
Hört sich anders an als:
tangential zur Kreislinie
Also der Vektor ist keine Tangente.

Versteht mich denn keiner? :(

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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wie eine steigende Gerade.
Hallo Dgoe,

es ist kein Luxus, noch zu schreiben, dass Du den Spezialfall einer linearen Geschwindigkeitsfunktion betrachtest. Was übrigens bei der Kreisbahn nicht gerade gegeben ist, aber ok - didaktisch ist das sicherlich der günstigere Fall, um den Zusammenhang zwischen Wegstrecke und Geschwindigkeit zu verstehen.

Hier aber nochmal zum Vergleich:
Muss ich mir mal überlegen; ich wollte eigentlich den Vektorraumfall betrachten, in dem alle Vektoren durch den Nullpunkt gehen, d.h. die gleiche Richtung genügend ist.

Tatsächlich wüsste ich zunächst einmal nicht, wo ich den Geschwindigkeitsvektor anders "anhängen" sollte als an den Punkt, wo wir uns gerade befinden.


Kommt hinzu, dass sich der Geschwindigkeitsvektor streng genommen in einem anderen Raum befindet als der Punkt selber:

der Punkt befindet sich in einem Raum, der x-, y- und z-Koordinaten hat, während sich der Geschwindigkeitsvektor ja eigentlich in einem Raum befindet, der v[sub]x[/sub], v[sub]y[/sub] und v[sub]z[/sub]-Koordinaten hat.

Ich "vermute" also, dass die Physiker da eine Konvention haben, dass sie zuerst den IR[sup]3[/sup] mit seinen x-, y- und z-Koordinaten betrachten und dann quasi den Geschwindigkeitsraum \V[sup]3[/sup] mit seinen v[sub]x[/sub], v[sub]y[/sub] und v[sub]z[/sub]-Koordinaten darüberlegen, also einen Ortsvektor (x(t), y(t), z(t) ) betrachten und zu diesem den Geschwindigkeitsvektor (v[sub]x[/sub](t), v[sub]y[/sub](t), v[sub]z[/sub](t) ) dazuaddieren.

Der Geschwindigkeitsraum \V[sup]3[/sup] hätte dann also seinen Ursprung gerade an dem Punkt, an dem wir uns gerade befinden, also in (x(t), y(t), z(t) ). Es kann aber auch sein, dass das Unsinn ist, was ich hier geschrieben habe - wie gesagt, in der Linearen Algebra gehen alle Vektoren durch den Nullpunkt.

Ach ja: natürlich sind der IR[sup]3[/sup] und der \V[sup]3[/sup] isomorph.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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Dgoe

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Aha,

das ist tatsächlich etwas, was sich nach einer Auflösung des Rätsels anhört. Sehr interessant, super!

Und gleich nochmal lesen...

Gruß,
Dgoe
 

ralfkannenberg

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das ist tatsächlich etwas, was sich nach einer Auflösung des Rätsels anhört. Sehr interessant, super!

Und gleich nochmal lesen...
Hallo Dgoe,

wie gesagt - hier musst Du bitte einen Physiker fragen, ich habe mir das nur so zusammengereimt. Es kann also auch völlig falsch sein !


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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ich wollte eigentlich den Vektorraumfall betrachten, in dem alle Vektoren durch den Nullpunkt gehen, d.h. die gleiche Richtung genügend ist.
Ja, ich sollte den Vektor ja auch am Nullpunkt ansetzen. Wenn man um den Nullpunkt aber einen Kreis legt, dann kann so ein Vektor niemals eine Tangente des Kreises werden, einfach weil Tangenten nicht durch den Kreismittelpunkt gehen. Es sei denn der Kreis schrumpft zu einem Punkt...

Gruß.
Dgoe
 

Bernhard

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Also der Vektor ist keine Tangente.
Genau: Die Tangente ist eine Gerade und der Vektor hat eine Richtung.

Es gibt da doch die bekannte Parametrisierung einer Gerade gemäß

$$\vec{x}(t) = \vec{a} + t \vec{b}$$

a steht dabei für Aufpunkt, also einen Punkt der Gerade und b gibt die Richtung der Gerade vor. In der Schule nannte sich das analytische Geometrie. Das Beispiel zeigt zudem, dass ein Vektor nicht unbedingt am Ursprung angepappt ist, aber das ist natürlich Definitionssache.
MfG
 

Dgoe

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Ok,

eilt ja nicht, ich bin auch noch mit Deinen anderen Fragen beschäftigt. Melde mich wieder ...

Gruß,
Dgoe

Edit:
Überschnitten
 

ralfkannenberg

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Es gibt da doch die bekannte Parametrisierung einer Gerade gemäß

$$\vec{x}(t) = \vec{a} + t \vec{b}$$

a steht dabei für Aufpunkt, also einen Punkt der Gerade und b gibt die Richtung der Gerade vor. In der Schule nannte sich das analytische Geometrie.
Ach wie schön, vor allem für den Laien, wenn der dann in der Wikipedia findet, dass eine Gerade sich durch f(x) = a*x + b darstellen lässt, mit a der Steigung und b dem Ordinatenachsenabschnitt.

Die beiden a's und b's haben also nichts miteinander zu tun !!!!!!!

Zudem kann man in der Vektordarstellung auch senkrechte Geraden darstellen, was in der analytischen Darstellung ohne Koordinatensystemwechsel nicht möglich ist, da eine senkrechte Gerade mehrere Bildpunkte hat und somit keine Funktion mehr ist.

Alles unklar ? Dann willkommen in der Welt der Mathematik !


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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Der infinitesimalen Fall?
Na ja, es sind ja eher die Physiker, die solche Schweinereien machen und ganze Kreise auf 0 schrumpfen lassen.

In der Mathematik begrnügt man sich in der Regel damit, Weglängen klein werden zu lassen, so dass unser Kreis dann zu einem sagen wir "Millioneneck" wird und eben jede Verbindung zweier Ecken eben linear ist.

Und zwei benachbarte Geradenstückchen sind ja fast gleich steil bei einem gleichseitigen Millionen-Eck, so dass man also mit nur sehr geringem Fehler sagen kann, dass die Tangente an diesem Punkt gleich steil ist wie die Verbindungslinie zweier solcher Punkte.

Und wenn man das mit Formeln macht, dann ist es eben die Infinitesimalrechnung.


Freundliche Grüsse, Ralf


P.S. das tönt nun ein bisschen lustig, wie ich es geschrieben habe, aber genau so macht man das !
 

ralfkannenberg

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Apropos senkrecht:
ok, was ist der senkrechte Vektor von (1,1) ?

ok ok, von ( (1/2)*sqrt(2), (1/2)*sqrt(2) ), damit er auf dem Einheitskreis liegt. Kannst ja mal beide senkrechten geometrisch (!!) bestimmen und dann deren Standard-Skalarprodukt überprüfen ;)

Und wenn Du schon dran bist: (1,1) hat eine Steigung von 45° und der Sinus(45°) ist gerade (1/2)*sgrt(2) von der zweiten Komponente, und der Cosinus(45°) ist gerade (1/2)*sqrt(2) von der ersten Komponente. Das ist natürlich kein Zufall, würde nun aber zu weit führen, das herzuleiten, auch wenn es nicht besonders schwer ist.


Freundliche Grüsse, Ralf
 

ralfkannenberg

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super erklärt, melde mich wieder, gerade zu tun...
Ich habe überhaupt nichts erklärt ...

ok: vergiss mal den Einheitskreis; was ist der senkrechte Vektor von (1,1) ? Das kannst Du Dir ja problemlos aufmalen.


Und was ist das Standard-Skalarprodukt von (1,1) und seinem Senkrechten ?


Freundliche Grüsse, Ralf
 

Dgoe

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ralfkannenberg

Registriertes Mitglied
Hallo Dgoe,

Du siehst hier übrigens noch sehr schön den Unterschied zwischen Mathematik und Ingenieurwesen: ich habe Dir das "sehr gut" nicht dafür gegeben, dass Du den senkrechten Vektor korrekt berechnet hast, sondern dafür, dass Du gesehen hast, dass es da noch einen zweiten solchen senkrechten Vektor gibt.

Für den Ingenieur ist es wichtig, dass er die richtigen Komponenten seines senkrechten Vektors kennt, aber für den Mathematiker ist es wichtig, dass er die vollständige Lösungsmenge kennt. - Deswegen ergänzen sich die Disziplinen.


Freundliche Grüsse, Ralf
 
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