Formel zur Berechnung des Lichtweges

[Kibo]

Mal eine mathematische Frage:
Wie berechne ich die Länge des Lichtweges durch die Atmosphäre bei gegeben Winkel zum Horizont?

Ich stelle mir einen Lösungsansatz so vor:
Ich stelle mir die Erde als vereinfacht als Kugel vor, mit einem Radius von 6371 km.
Als weitere Vereinfachung betrachte ich die Atmosphäre als eine Kugelschale um die Erde mit einer Schalendicke d von 100 Kilometern.
Eine Dimension lasse ich weg, es bleiben also 2 konzentrische Kreise K1 mir r[SUB]1[/SUB]=6371 km und K2 mit r[SUB]2[/SUB]=6471km.
Ziehe ich jetzt eine Sehne durch K2, die K1 tangiert, so habe ich eine Gerade s die genau doppelt solang wie der maximale Lichtweg l ist.
Horizontal über dieser Geraden liegt der minimale Lichtweg von 100 km und beschreibt die gerade h.
Den maximalen Lichtweg habe ich schon hier gefunden.
Formel aus Wikipedia zur Kreissehne:

s=2*wurzel(2r[SUB]2[/SUB]h-h[SUP]2[/SUP])
l=1/2s
h=100
r[SUB]2=[/SUB]6471
l=wurzel(2*100*6471-100[SUP]2)
[/SUP]l=1133

Der Lichtweg liegt also zwischen 100 und 1133 km (Beugung vernachlässigt).
Hat wer eine Idee, wie ich jetzt weiter vorgehe um für jeden Winkel den Lichtweg auszurechnen?

 

[ralfkannenberg]

Mal eine mathematische Frage:

Hallo Kibo,

das ist wohl eher eine physikalische Frage.

Als weitere Vereinfachung betrachte ich die Atmosphäre als eine Kugelschale um die Erde mit einer Schalendicke d von 100 Kilometern.

Ich fürchte, hier vereinfachst Du unzulässig, da die Brechung in 100km Höhe weit geringer ist als die am Erdboden. Vielleicht kann Dir aber ein Physiker einen Trick nennen, in welcher Höhe Du den Durchschnittswert der Brechungen ansetzen kannst.

Da die "Mehrheit" der Luftpartikel in Bereichen der Atmosphäre liegt, die weniger als 15 km hoch ist, wäre es vermutlich sinnvoller, statt 100 km Atmosphären-Dicke eine solche von 10km oder 15 km zu verwenden. Vermutlich gibt der Luftdruck in Abhängigkeit der Höhe hier einen Anhaltspunkt.


Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Kibo]

Hallo Ralf,

ja da wirst du wohl recht haben, das ändert aber wohl nichts an der Formel. Ich bin mit der Herleitung fast fertig und stell das dann bei Gelegenheit mal vor.

 

[julian apostata]

Normalerweise würde ich ja etwas schneller auf derartige mathematische Herausforderungen reagieren.

Wenn aber langes Wochenende, verfrühtes Sommerwetter und Erlanger Bergkirchweih zusammenkommen…

http://www.berch.info/

…dann geht es halt nicht so schnell.

Am besten man mache sich erst mal eine einfache Skizze.

Da haben wir also 2 Kreise. Ausgehend vom kleineren Kreis ziehen wir eine Gerade hin zum größeren Kreis und ermitteln den Schnittpunkt.

sqrt(16-x^2)
sqrt(9-x^2)
3+tan(1)*x
http://www.mathe-fa.de/de
http://www.mathe-fa.de/de.plot.png?uid=5396c52ea49a36.31853568



Und hier hast du 3 Gleichungen.

Die erste Gleichung beschreibt den größeren Kreis. Die zweite Gleichung beschreibt die Gerade.

Über das Gleichsetzungsverfahren und die Mitternachtsformel…

http://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Quadratische_Gleichung#Alternative_Mitternachtsformel

…ich hab mal die Schulversion her genommen, man könnte allerdings auch die julianische Variante her nehmen.

Kann man zunächst mal den x-Wert bestimmen, der y-Wert ist dann auch kein Problem mehr und auch die Länge der gerade sollte dann recht einfach bestimmbar sein.

http://texify.com/?$\\y=\sqrt{r_1^2-x^2}\\\\y=r_0+x\cdot\tan(\alpha)\\\\x= \frac{\sqrt{r_1^2\cdot\tan^2(\alpha)+r_1^2-r_0^2}-r_0\cdot\tan(\alpha)}{1+\tan^2 (\alpha )} $

 

[ralfkannenberg]

Normalerweise würde ich ja etwas schneller auf derartige mathematische Herausforderungen reagieren.

Hallo Julian,

ich denke, das ist eher eine physikalische Herausforderung, zumal die zugrundeliegende Mathematik eher elementar sein dürfte. Für einen Mathematiker ist das eher ein typischer "Brain-Teaser", d.h. im Wesentlichen werden einem Mathematiker mangels Erfahrung in der Physik vor allem Rechenfehler unterlaufen und wirklich neue mathematische Erkenntnisse ergeben sich auch nicht daraus.

Anders für einen Physiker: der kann die ihm wohlbekannten mathematischen Methoden sinnvoll anwenden und dann zu einem qualifizierten Ergebnis kommen.


Freundliche Grüsse, Ralf