Entropie

[Heinzendres]

Ich habe Verständnisprobleme wie ich feststellen muss.

Darum klein angefangen.
In einem Raum sind Photonen mit sehr hoher Frequenz (Gamma Strahlen).
nun wandelt man sie in Photonen mit geringer Frequenz (Infrarot Strahlung) um.
Die gesamt Energie ist gleichbleibend, hat sich die Entropie geändert?

Wenn nun durch Frequenz Verdoppelung die Anzahl der Photonen geringer wird aber die gesamt Energie gleich bleibt, hat sich die Entropie geändert?

 

[TomS]

Die Entropie ist ein Maß für die Zahl aller möglichen Mikrozustände, die einen Makrozustand realisieren.

Stell dir vor, du musst eine natürliche Zahl N als Summe anderer Zahlen aus einer gegebenen Menge M realisieren.

N = 5

M = {5}
N = 5

M = {1,2,3,4,5}
N = 5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = … = 1+1+1+1+1

Klar soweit?

 

[Rainer]

Ein Photon hat die Energie E = f·h und eine (rechnerische) Temperatur von T = E/kB. Die Entropie ist, mal abgesehen vom Druck, S = E/T = 1 kB.

Jedes Photon besitzt also die Entropie (inkl Druck)
Sph = 1,333 kB

Wenn Du also die hohe Energie von wenigen Photonen auf viele Photonen aufteilst, vervielfachst Du die Entropie.
N·Sph < N'·Sph

Ganz stimmt das so natürlich nicht, denn die Photonen bilden im thermodynamsichen Gleichgewicht eine Planckverteilung, und die maßgebliche Temperatur bestimmt sich nach dem Maximum der Planckkurve.

 

[TomS]

Wenn Du also die hohe Energie von wenigen Photonen auf viele Photonen aufteilst, vervielfachst Du die Entropie.

Richtig.

Da die Erde im zeitlichen und räumlichen Mittel konstante Temperatur hat, sind die von der Sonne empfangene sowie die von der Erde abgestrahlte Leistung im Mittel identisch. Die Temperatur der Strahlung der Sonne liegt jedoch deutlich höher als die Strahlung der Erde, d.h. die selbe Leistung verteilt sich auf wenige Photonen von der Sonne (insbs. im sichtbaren Bereich des Spektrums) bzw. auf viele Photonen von der Erde (insbs. im IR-Bereich). Die Erde „produziert Entropie".

Ganz stimmt das so natürlich nicht, denn die Photonen bilden im thermodynamsichen Gleichgewicht eine Planckverteilung, und die maßgebliche Temperatur bestimmt sich nach dem Maximum der Planckkurve.

Deswegen habe ich oben ein anderes Beispiel genannt.

Die Entropie wird üblicherweise im Rahmen der Gleichgewichtsthermodynamik eingeführt und ist dann eine Funktion der Temperatur. Die im anderen Thread diskutierte von-Neumann-Entropie ist jedoch völlig unabhängig von einer Temperatur definiert.

Befindet sich ein quantenmechanisches System in einem verallgemeinerten Zustand – beschrieben durch einen sogenannten Dichteoperator rho – so ist die Entropie S definiert als

Betrachtet man speziell eine Orthonormalzerlegung von rho in Mikrozustände j, so ist

wobei eta die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, mit der ein Mikrozustand j vorliegt. Die Orthonormalzerlegung bedeute dabei, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das System sowohl im Mikrozustand j als auch im Mikrozustand k ungleich j vorliegt, Null ist.

Im Grenzfall, dass ein eta gleich Eins ist, alle anderen Null, d.h. dass das System sicher in diesem einen Mikrozustand vorliegen, ist S = 0.

 

[Heinzendres]

Wenn Du also die hohe Energie von wenigen Photonen auf viele Photonen aufteilst, vervielfachst Du die Entropie.
N·Sph < N'·Sph

Dann kann man die Entropie reduzieren durch Frequenz Verdoppelung?

 

[TomS]

Theoretisch ja.

Praktisch nein, denn du müsstest z.B. immer zwei Photonen so zusammenführen, dass sie mit einem Atom wechselwirken und daraus ein neues Photon doppelter Frequenz entsteht *)

Wenn du den Zustand der Eingangs-Photonen exakt kennst bzw. kontrollieren kannst, dann ist das möglich; in diesem Fall ist und bleibt die Entropie aber ohnehin null. im Falle eines statistischen Gemisches, in dem du die Zustände der Eingangs-Photonen nicht kennst, ist dies nicht möglich.

*) Umkehrung der parametric downconversion

 

[TomS]

*) Umkehrung der parametric downconversion

Spontaneous parametric down-conversion - Wikipedia

en.wikipedia.org

Photon upconversion - Wikipedia

en.wikipedia.org

 

[Rainer]

Deswegen habe ich oben ein anderes Beispiel genannt.

Naja, ich kann das genauer machen.
S = 4E/3T durchschnittliche Entropie je Photon im thermodynamischen Gleichgewicht
E = w/n
n = 16pi·ζA(T/c₂)³
w = 2π²(kB·T)⁴/30(ℏc)³
E = (2π²(kB·T)⁴/30(ℏc)³)/(16pi·ζA(T/c₂)³)
S = 4((2π²(kB·T)⁴/(30(ℏc)³))/(16pi·ζA(kB·T/c₂)³))/(3T) = kB·π/(180ζA) = 0.014519522723148543 kB exakt und temperaturunabhängig
falls sich kein Rechenfehler eingeschlichen hat ... irgendwas scheint nicht zu stimmen
c₂ = c·ℏ/kB

Praktisch nein, denn du müsstest z.B. immer zwei Photonen so zusammenführen, dass sie mit einem Atom wechselwirken und daraus ein neues Photon doppelter Frequenz entsteht *)

Im thermodynamischen Gleichgewicht passiert dies andauernd, aber eben unkontrolliert und deshalb eben im Gleichgewicht.

 

[TomS]

Naja, ich kann das genauer machen.
S = 4E/3T durchschnittliche Entropie je Photon im thermodynamischen Gleichgewicht
E = w/n
n = 16pi·ζA(T/c₂)³
w = 2π²(kB·T)⁴/30(ℏc)³
E = (2π²(kB·T)⁴/30(ℏc)³)/(16pi·ζA(T/c₂)³)
S = 4((2π²(kB·T)⁴/(30(ℏc)³))/(16pi·ζA(kB·T/c₂)³))/(3T) = kB·π/(180ζA) = 0.014519522723148543 kB exakt und temperaturunabhängig
c₂ = c·ℏ/kB

Man müsste dies anhand der Zustandssume des groß-kanonischen Ensembles eines freien Photon-Gases untersuchen.

Im thermodynamischen Gleichgewicht passiert dies andauernd, aber eben unkontrolliert und deshalb eben im Gleichgewicht.

Nein, das passiert normalerweise nicht an einem Atom, weil es sich um einen Prozess höherer Ordnung handelt, der unterdrückt ist.

 

[Rainer]

Nein, das passiert normalerweise nicht an einem Atom, weil es sich um einen Prozess höherer Ordnung handelt, der unterdrückt ist.

Ja klar, ich hatte da sowieso was anderes im Auge.

 

[Rainer]

S = 4((2π²(kB·T)⁴/(30(ℏc)³))/(16pi·ζA(kB·T/c₂)³))/(3T) = kB·π/(180ζA) = 0.014519522723148543 kB exakt und temperaturunabhängig
falls sich kein Rechenfehler eingeschlichen hat ... irgendwas scheint nicht zu stimmen
c₂ = c·ℏ/kB

S = 4((2π²(kB·T)⁴/(30(ℏc)³))/(16pi·ζA(kB·T/c₂)³))/(3T) = 2kB·π⁴/(45ζA) = 3,60157071 kB exakt und temperaturunabhängig
c₂ = c·h/kB