Dunkle Materie: Implodierende Bälle und alternatives Vakuum

[Sky Darmos]

Ne, k ist nur das rechte multiplikativ Inverse von z.

Ja, aber ich muss doch wissen was ji und ij sind! Es ist doch ji ungleich ij.

 

[Sky Darmos]

z sei eine Superzahl, a, b, c, d reelle Zahlen, i^2 = - 1, j^2 = 0 und x und y komplexe Zahlen.

z = x + j y
z = (a + bi) + j (c + di)

Nun, will ich das Quadrat von z haben:

z^2 = x^2 + 2xjy

(jy^2 fällt natürlich weg da j^2 = 0 ist)

z^2 = (a + bi)^2 + 2(a + bi)jy
z^2 = (a^2 + 2abi - b^2) + (2a + 2bi)jy
z^2 = (a^2 + 2abi - b^2) + (2a + 2bi)j(c + di)
z^2 = (a^2 + 2abi - b^2) + (2a + 2bi)(jc + jdi)
z^2 = (a^2 + 2abi - b^2) + (2ajc + 2ajdi + 2bijc + 2bijdi)

Wie gehts jetzt weiter?? D.h.:

ij = ?
ji = ?

Kann man hier sagen:

Superzahl --> z^2 = Komplexe Zahl --> (a^2 + 2abi - b^2) + (2ajc + 2ajdi + 2bijc + 2bijdi) <-- Grassmannzahl

??

Kann ich wegen i^2 = - 1, das vorzeichen des Terms + 2bijdi wechseln und die i´s weglassen? Oder muss ich erst ij durch einen anderen Ausdruck ersetzen? Also wenn nicht dann hätten wir:

z^2 = (a^2 + 2abi - b^2) + (2ajc + 2ajdi + 2bijc - 2bjd)
z^2 = (a^2 + 2abi - b^2) + j(2ac + 2adi + 2bic - 2bd)

Oder um mal die Real und Imaginäranteile zu trennen:

z^2 = ((a^2 - b^2) + (2abi)) + j((2ac - 2bd) + (2adi + 2bic))

Die Klammern dienen natürlich nur der Übersichtlichkeit.
Man hat also wieder eine Superzahl z´:

z´ = z^2 = x´ + j y´
z´ = (a´ + b´i) + j (c´ + d´i)
a´ = a^2 - b^2
b´ = 2ab
c´ = 2ac - 2bd
d´ = 2ad + 2bc

Ich sehe hier aber nicht wo die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle gespielt hat. Ich muss also was falsch gemacht haben.

 

[Dilaton]

z = (a + i b) + j (c + i d) = x + j y

z*z = x² + j x y = (a² - b² + i 2 a b) + j [a c - c d + i (a d + b c ) ]


Das wars, denn das Ergebnis hat die Form: z*z = X + j Y und ist damit eine eindeutige Superzahl.


i*j ist nicht definiert weil es nicht benötigt wird, um mit Superzahlen zu rechnen.
i*j würde übrigens auch überhaupt keinen Sinn ergeben.
Die Superalgebra ist vollständig durch:

i*i=-1

j*j = 0

bestimmt.

 

[Sky Darmos]

z*z = x² + j x y

Du hast die "2" vor "+ j x y" vergessen.

(a² - b² + i 2 a b) + j [a c - c d + i (a d + b c)]

Also ich hab:
(a^2 + 2abi - b^2) + 2j(ac - bd + i(ad + bc))

Eben ein "b" anstelle eines "c´s". Und ich hab eben die "2er" die du am anfang weggelassen hast. Also eine von uns hat sich verrechnet.

 

[Sky Darmos]

i*j ist nicht definiert weil es nicht benötigt wird, um mit Superzahlen zu rechnen. i*j würde übrigens auch überhaupt keinen Sinn ergeben.

Gut, du hast recht. Das Produkt i*j ist keine Grassmannzahl. Ist es aber nicht so dass j y eine Grassmannzahl ist? So dass bei y = 1 gilt:

j = AB = - BA

Wobei sich kein Quadrat ungleich 0 definieren lässt, weil

j^2 = AB^2 = (- BA)^2
j^2 = AB^2 = BA^2

Eine falsche Aussage ist.

 

[ralfkannenberg]

Ok:

a + j b hat ein Inverses solange a nicht null ist

Siehe: k = (1/a) - j (b/a²).

Wenn wir alle Elemente mit a = 0 (das sind gerade alle Grassmannzahlen G) aus der Menge S der Superzahlen entfernen - > S´= S / G, haben wir es dann bei (S´,*)mit einer Gruppe zu tun?
Die Antwort ist ja. Da jedes Produkt von nicht - Grassmannzahlen wiederum keine Grassmanzahl ist und für alle Elemente aus S´ ein m. Inverses exisiert.
Die Zahl z = j ist Grassmanzahl und gehört damit nicht zur Gruppe.

Nun verstehe ich: S ist keine Gruppe, aber der Quotient S' ist eine Gruppe. Die Nicht-Gruppenanteile werden also "weg-moduliert".
Ich hatte ja nur versucht, ein multiplikativ Inverses für j zu finden.

Dennoch ist die Eindeutigkeit der Inversen noch zu zeigen, mache ich aber später.

i*j würde übrigens auch überhaupt keinen Sinn ergeben.

Das verstehe ich nicht; ich meine, Du verwendest dieses Produkt ja stillschweigend formal, wenn Du eine Superzahl als a + j b darstellst und a, b komplex sind, das es ein Produkt j * Im(b) gibt. Es ist vielleicht nicht erforderlich, dem j*i einen Namen zu geben, ebensowenig wie man 2*i einen eigenen Namen geben würde.

Allerdings würde der Term j*i in S' sowieso zu 0 werden, da es keinen "rein-komplexen" Anteil hat (d.h. a=0), oder habe ich das falsch verstanden ?

Freundliche Grüsse, Ralf

P.S. Ihr beide könnt ja normal miteinander diskutieren

 

[Sky Darmos]

Es ist vielleicht nicht erforderlich, dem j*i einen Namen zu geben, ebensowenig wie man 2*i einen eigenen Namen geben würde.

Ja, ich denke so ist es. Es war vielleicht unbewusst etwas irritierend für mich, dass wir die "Grassmann-Einheit" j genannt haben, weil auch eine der imaginären Einheiten in den Quaternionen so heißt. Aber an sich sollte klar sein, dass es da nichts auszumultiplizieren gibt, genauso wie es bei 2i nichts auszumultiplizieren gibt. Ist ja eigentlich ganz analog.

 

[ralfkannenberg]

Allerdings würde der Term j*i in S' sowieso zu 0 werden, da es keinen "rein-komplexen" Anteil hat (d.h. a=0), oder habe ich das falsch verstanden ?

Ja, das habe ich falsch verstanden, denn mit dem gleichen Argument könnte man im Ausdruck 5 + 6*j unzulässigerweise den Summanden 6*j weglassen ....... - es ist eben keine Projektion, sondern eine Quotientengruppe !

 

[Sky Darmos]

Also gut, z^2 = (a^2 + 2abi - b^2) + 2j(ac - bd + i(ad + bc)), und ich komm auch damit klar dass j^2 = 0 sein soll. Aber was ich dann nicht verstehe ist, wo dann blos die Antikommutativität steckt. Wenn j eine Grassmannzahl sein soll dann müsste doch

j = AB = - BA

sein, aber wie soll dass denn gehen wenn j blos eine Einheit wie i ist?? Wie komme ich dann auf die Faktoren A und B? Und was sind A und B überhaupt für Zahlen? Hab ich bei A = B auch AB^2 = 0? Eben weil das auch ein Quadrat ist. Wohl kaum. j wird ja erst durch die Beziehung von A und B zu einer Grassmannzahl. Ich weiss das spielt überhaupt keine Rolle, wenn ich etwa z^2 berechnen will, aber dennoch sehe ich nicht wo hier konkret die antikommutativität steckt.
Eigentlich sollte bei j = AB = - BA das Kontinuum an Werten zulässig sein für die IABI = 1 ist. A und B sollten dann aber bei konkreten Berechnungen gar keine Rolle spielen.

 

[Sky Darmos]

Die Superzahlen spielen ja nun eine große Rolle für die Quantengravitation.
Die Begriffe "Supersymmetrie", "Supergravitation", "Superpartner" und "Superstrings", leiten sich alle aus dem Begriff "Superzahl" ab. Superzahlen braucht man zur konstruktion supersymmetrischer physikalischer Theorien.
Dabei muss ein Raum der durch Superzahlen beschrieben wird zugrundegelegt werden.
Es gibt in der Quantenphysik Bosonen und Fermionen. Die Bosonen sind Teilchen die Rotieren wie auch ganz normale Objekte in einem reellen Raum rotieren würden. Bezeichnet man zwei aufeinanderfolgende Rotationen als R_1 und R_2 so gilt:

R_1 R_2 ungleich R_2 R_1

R_1 R_2 - R_2 R_1 ungleich 0

R_1 R_2 - R_2 R_1 wird dabei als der "Kommunikator" bezeichnet. Die Gleichung drückt aus dass das Ergebnis einer Rotation von der Reihenfolge abhängt in der man sie ausführt. Das kann man leicht an einem Buch demonstrieren an dem man zwei Aufeinanderflogende Rotationen um 90 ° in unterschiedlichen Dimensionen ausführt. Nun, kann man damit Bücher und Bosonen beschreiben, aber nicht Fermionen! Fermionen sind Teilchen mit einem Halbzähligen Spin. Sie werden durch eine Drehung um 360° nicht (!) in sich selbst übergeführt, sondern erst nach einer Drehung um 720°!! Sie sehen also erst nach zwei Drehungen wieder gleich aus. Ihr Kommunikator ist R_1 R_2 + R_2 R_1.
Würde unserer Welt ein supersymmetrischer Raum zugrundeliegen so könnte man ganzzählige und Halbzählige Spins beide Auf Rotationen in diesem Raum zurückführen. Damit könnte man aus jedem Fermion ein Boson machen und umgekehrt!
Es müsste wohl nur in eine andere Richtung rotieren - so stell ich mir das jedenfalls vor.

So wie ich das verstanden habe, wären in einem durch Superzahlen beschriebenen Raum fermionische Und Bosonische Rotationen möglich. Bei ersteren wäre eine 720° Drehung nötig um ein im Supervolumen befindliches Objekt in sich selbst zurückzuführen. Es kommt hier wohl auf die Drehrichtung an. Reelle Raume hingegen sind Rotationssymmetrisch.

Wie wird ein solcher Raum nun Konstruiert? Welche Geometrie hat er?
Eine Super-1-Sphäre also ein Kreis dessen Länge eine Superzahl ist, würde einer reellen 4-Sphäre mit einer Zusatzstruktur entsprechen. Jetzt frage ich mich

1. Welche Symmetriegruppe hat die Super-1-Sphäre?
2. Woraus leitet sich ab dass auf dieser Sphäre sowohl fermionische als auch bosonische Rotationen möglich sind?

Schöne Grüße,
Sky.

 

[ralfkannenberg]

Aber was ich dann nicht verstehe ist, wo dann blos die Antikommutativität steckt. Wenn j eine Grassmannzahl sein soll dann müsste doch

j = AB = - BA

sein, aber wie soll dass denn gehen wenn j blos eine Einheit wie i ist?

1. j ist keine Einheit, sondern j ist nilpotent. Eine Einheit ist per definitionem ein Element, das ein multiplikativ Inverses hat. Im Ring Z der ganzen Zahlen sind das {1,-1}, im Körper Q der rationalen Zahlen sind alle Zahlen ungleich 0 Einheiten. Die Einheiten bilden übrigens eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation. Es sieht ganz danach aus, dass S' = S / G eine Art "Einheitengruppe" ist.

2. sei AB = -BA => AA = -AA => AA = 0
3. @Dilaton: gilt "<=" auch ?

Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dilaton]

"j ist keine Einheit, sondern j ist nilpotent."

Jetzt kommen wir der Sache schon näher.
Nilpotent sind Operatoren. j ist also ein nilpotenter Operator.
Soviel ich weiss nennt man j einen "Generator", bin mir aber nicht sicher.
Da es für j eine Matrixdarstellung gibt erscheint mir diese Annahme vernümpftig.


"j = AB = - BA "

Was soll diese Relation bedeuten?

Zur Supersymmetrie:

Spinoren (Fermionen) und Tensoren (Bosonen) sind irreduzible Darstellungen der 3 Parametrischen Lie - Algebra [L(i),L(j)] = i e(i)(j)(k) L(k).
Die Operatoren L wirken je nach Darstellung entweder in Spinor - Vektorräumen oder in Tensor - Vektorräumen.
Eine fünfparametrische Lie - Superalgebra:

[L(i),L(j)] = ...

[L(i),Q(j)] = ...

{Q(j),Q(i)} = ...

enthält Operatoren, die in Produkträumen Tensor*Spinor = Superraum wirken.
Die Generatoren (Operatoren) Q können Spinor- und Tensorkomponenten "vermischen".

Wie kommt man zu Superzahlen:

Spinoren = Grassmannwertig

Tensoren = komplexwertig


Superfelder = komplex und Grassmannwertig -> Superzahlen

Motivation:

Suche nach weiteren Symmetrien in Lagrangedichten.

 

[Sky Darmos]

"j = AB = - BA "
Was soll diese Relation bedeuten?

Nun, ja, ich assoziere Grassmannzahlen mit Antikommutativität. Jetzt frag ich mich halt wo die auftaucht, wenn nicht bei Berechnungen mit Grassmannzahlen. Klär mich mal bitte auf!
Also es ist doch so dass das Ergebnis der Multiplikation von Grassmannzahlen von der Reihenfolge abhängt in der man sie durchführt. Aber wenn ich verschiedene Grassmannzahlen als j, 2j, 3j, 4j, 5j, 6j, 7j, u.s.w. schreibe, dann ergibt die Multiplikation ja stehts Null, wenn j*j = 0 ist. Ich finde hier keine Antikommutativität.

 

[ralfkannenberg]

"j = AB = - BA "

Was soll diese Relation bedeuten?

Da versteckt sich ein Kommutator

Lie - Algebra

Ja, das haben damals die masochistischen Cracks gewählt

assoziere Grassmannzahlen mit Antikommutativität

Wie ich oben gezeigt habe, folgt aus der Anti-Kommutativität, dass die Quadrate = 0 sind. Die umgekehrte Richtung ist immer noch offen ...

Freundliche Grüsse, Ralf

 

[Dilaton]

Leute ich glaub mit den Superzahlen, da hab ich hier irgendwas total verwechselt. Da muss ich morgen mal in die Uni - Bibliothek.
Das Problem ist nähmlich das Grassmannzahlen A und B
die Relation:

AB + BA = 0 erfüllen

jedoch

AB - BA ungleich 0.

Das bedeutet nun aber, dass es für die Superzahlen mehrere Generatoren j(k) gibt, so das eine Superzahl dargestellt wird durch:

z = c + c(k) j(k) + (1/2) c(k)(l) j(k) j(l) + ...

Naja ich schau mal nach.

Die Zahlen:

z = (a + i b) + j (c + i d ) (j*j = 0 und i*i = -1)

Sind dass nicht Hyperkomplexe Zahlen?

 

[Sky Darmos]

Die Zahlen:

z = (a + i b) + j (c + i d ) (j*j = 0 und i*i = -1)

Sind dass nicht Hyperkomplexe Zahlen?

Hyperkomplexe Zahlen sind lediglich ein Oberbegriff für alle durch das Verdopplungsverfahren entstehenden Erweiterungen der Komplexen Zahlen. Wobei aber auch die Komplexen Zahlen selbst dazugezählt werden. Dabei wird einfach die Anzahl der Basiselemente verdoppelt und wieder entsprechende nichtkommunative Querbeziehungen definiert.
Man gelangt dabei schrittweise von den komplexen Zahlen zu den Quaternionen, zu den Oktonionen und schließlich zu den Sedenionen. Ich wüsste nicht warum hier schluss sein sollte, aber anscheinend wurden keine weiteren Verdopplungen betrachtet.

@Ralf: Ich hab doch nach Quaternionen gefragt die komplexe Koeffizienten haben, statt reelle, und du meintest es gibt sie nicht. Naja, Arthur Cayley soll eben diese Zahlen irgendwann im 19. Jahrhundert untersucht haben.
Derselbe benutzte Quaternionen um Rotationen im Raum zu beschreiben. Anscheind spart man dadurch Rechenoperationen - ähnlich wie bei der Anwendung von komplexen Zahlen bei vielen Anderen Problemen. Schau dir mal den Wikipedia-Artikel an.

Inzwischen denke ich dass wir hier auf jeden Fall einen Überblick über diese Hyperkomplexen Zahlen und ihre Spezialfälle herausarbeiten sollten. Die Grassmannzahlen sollen ja auch irgendwie aus den Quaternionen hervorgehen. Ich denke man müsste hier schon alles Überblicken um hier weiterzukommen. Allein die Quaternionen oder die Superzahlen zu betrachten führt noch zu keinem richtigen Verständnis.

 

[Sky Darmos]

Das Problem ist nähmlich das Grassmannzahlen A und B
die Relation:

AB + BA = 0 erfüllen

jedoch

AB - BA ungleich 0.

Wenn A und B Rotationen beschreiben, dann bezeichnet man die Linke Seite deiner Ungleichung als Antikommunikator. Die dadurch beschriebene Rotation ist eine Gewöhnliche wie sie von alltagsgegenständen und Bosonen erfahren wird. Fermionen hingegen haben den Kommunikator AB + BA. Sie werden durch eine 180° Drehung NICHT in sich selbst übergeführt.
Irgendwie haben Rotationen direkt etwas mit Grassmannzahlen zu tun und Grassmannzahlen etwas mit Quaternionen ...

Ich hab irgendwann mal gelesen, dass supersymmetrische Operationen durch die Erweiterung der vierdimensionalen Raumzeit durch 4 weitere Dimensionen ermöglicht werden. Das hört sich ja fast nach Quanternionen an, die sind ja auch vierdimensional.

Quaternionen spielen auch in der Matrizenmechanik eine große Rolle, die ja Heisenberg begründet hat. Dirac Vereinfachte sie anschließend wohl in dem er die Quanternionen nutzte die Hilbert ein Jahrhundert zuvor eingeführt hatte.
Naja, alles noch etwas zusammenhanglos was wir hier haben! Da gibts noch ne Menge zu tun!

Schöne Grüße,
Sky.

 

[Sky Darmos]

Wie ich oben gezeigt habe, folgt aus der Anti-Kommutativität, dass die Quadrate = 0 sind. Die umgekehrte Richtung ist immer noch offen ...

Ein paar Beiträge davor hab ich diesen kleinen Beweis aufgestellt (sei mal dahingestellt ob er zulässig ist):

"Wobei sich kein Quadrat ungleich 0 definieren lässt, weil

j^2 = AB^2 = (- BA)^2
j^2 = AB^2 = BA^2

Eine falsche Aussage ist."

Gut das war vielleicht etwas zu knapp. Wenn man aber hier die Wurzel zieht, dann kommt man zur Gleichung:

j = AB = BA

Und das wiederspricht der zu Beginn gegebenen Definition nach der

j = AB = - BA

ist. Dieser Wiederspruch löst sich nur dann auf wenn man definiert

j^2 = 0 = AB^2 = (-BA)^2

Dein Beweis bezieht sich nicht auf das Quadrat von j sondern auf seine Faktoren in seiner Darstellung als Produkt. Du setzt A = B und hast:

AB = -BA; A=B => AA = -AA => AA = 0

Dieser Beweis bezieht sich aber nicht direkt auf j^2. Genauso wie aber jede reelle Zahl als ein Produkt zweier anderer reeller Zahlen darstellbar ist ist das auch hier für die Grassmannzahlen der Fall. A und B sollten also auch Grassmannzahlen sein und somit sollte der Beweis allgemein sein.
Leider ist das alles etwas unsicher und auch wegen ein paar Irrtümern ziemlich durcheinander geraten.
In wirklichkeit wissen wir nicht genau was Superzahlen und Grassmannzahlen sind. Lediglich der Begriff der Quaternionen als ein Bespiel für Hyperkomplexe Zahlen ist mir ziemlich klar. Superzahlen mussen direkt etwas damit zu tun haben. Schließlich steckt in den Quaternionen die Nichtkommutativität, die mich interessiert! Nur mit i^2 = - 1 und j^2 = 0 lässt sich keine antikommutative Algebra konstruieren. Man braucht schon so etwas wie bei den Quaternionen. Hier mal ein Link dazu:

http://de.wikipedia.org/wiki/Quaternionen
http://de.wikipedia.org/wiki/Clifford-Algebra
http://de.wikipedia.org/wiki/Graßmann-Algebra

Wie man da lesen kann ergibt sich die Grassmannalgebra aus der Clifford-Algebra und Umgekehrt. Außerdem erhällt man die Quaternionen aus der Clifford-Algebra. Die antikommutativität entsteht ja durch die entsprechend definierte Beziehung zwischen 3 imaginären Einheiten (i, j, k) und der Eins. Setzt man eine der Komponenten entsprechend Null verschwindet die antikommutativität! Damit ist auch klar warum die Komplexen Zahlen in den Quaternionen enthalten sind.
Man setzt einfach die letzten zwei Komponenten x_2 und x_3 des Quaternions h, gleich Null:

h = x_0 + x_1i + x_2j + x_3k ; x_2 = x_3 = 0;
x_0 = a; x_1 = b; h = z =>
z = a + bi

Ansonsten, wenn alle Komponenten ungleich Null sind gelten die Hamilton-Regeln:

ij = k, ji = -k; ki = j, ik = -j; jk = i, kj = -i

i^2 = j^2 = k^2 = -1

x_0 wird der Realanteil des Quaternions genannt. Ein Quaternion mit x_0 = 0 wird "reines Quaternion" genannt.
Mit scheint, als würde h dann eine Grassmannzahl werden. Zumindest sind alle Faktoren nichtkommutativ!

h = x_0+ x_1i + x_2j + x_3k ;
x_0 = 0 =>
g = x_1i + x_2j + x_3k

Warum sollte man nicht komplexe Koeffizienten nutzen. Erhällt man so Superzahlen? Wenn eine Superzahl eine Summe aus einer Grassmannzahl und einer Komplexen Zahl ist, wie mir gesagt wurde, dann würde man sie einfach durch die Verallgemeinerung der Quaternionen erhalten.
Naja ich geh jetzt mal schlafen ... man schreibt sich morgen. Freut mich dass hier ne Diskussion darüber in Gang gekommen ist. Bin gespannt was dabei herauskommt!

Schöne Grüße,
Sky.

 

[Dilaton]

Also Grassmannzahlen ist klar, wie schon gesagt haben wir mit den Dinger in Pfadintegralquantisierung von Fermionenfelder täglich zu tun.
Für die gilt einfach nur:

AB + BA = 0

Aber was sind Superzahlen? Dazu werde ich meinen Arsch nach dem Mittagessen mal in die Bibliothek bewegen.
Ich weiss auch schon welches Buch ich zur Hand nehme:

"Supersymmetrie" von Gerhard Soff , Verlag Teubner

Sky, was ich nicht verstehe ist was ich hier mit Quaterionen anfangen soll?
Weisst du was Quaternionen sind?
Das sind alle unitären komplexen 2x2 Matrizen, oder?

Q = 1 + aQx + bQy + cQz

1... Einheitsmatrix
Qx,Qy,Qz ... Paulimatrizen
a,b,c reelle Parameter.

"Wenn A und B Rotationen beschreiben"

Wieso Rotation, A und B können genauso gut Translationen beschreiben(siehe Poincare Algebra).

"Fermionen hingegen haben den Kommunikator AB + BA. Sie werden durch eine 180° Drehung NICHT in sich selbst übergeführt. "

Das hat aber nichts mit Grassmannzahlen zu tun, sondern mit der Spinordarstellung der Lie Algebra.
Im übrigen sind Rotationen und Translationen Operatoren. Wenn wir von Grassmann - c - oder Superzahlen sprechen meinen wir die Elemente des Vektroraums in dem die Operatoren der Dreh und Translationsalgebren wirken.


"Wie man da lesen kann ergibt sich die Grassmannalgebra aus der Clifford-Algebra und Umgekehrt"

Muss man da zwischen den Zeilen lesen? Ne,ne was da in dem Wikipedia Text steht ist zuviel des Guten, das ist nur mathematische Spielerei.

 

[Sky Darmos]

Aber was sind Superzahlen?

Ich vermute dass das die Veralgemeinerungen von Quaternionen zu komplexen Koeffizienten sind. Ich könnte mir vorstellen dass die Menge der Superzahlen die Menge der Quaternionen, der Grassmannzahlen und sogar noch mehr Zahlenmengen enthält. Je nachdem welche Koeffizienten Null gesetzt werden. Du siehst, hier it es ja sehr bedeutsam wenn ein Koeffizient Null wird. Dann wird sich die ganze Algebra ändern!! Die Antikommutativität verschwindet!

Sky, was ich nicht verstehe ist was ich hier mit Quaterionen anfangen soll? Weisst du was Quaternionen sind?

Ja, Grundschul-Mathe Ne, Spass beiseite. Also ja, ich kann mit ihnen rechnen und wie das geht ist auch leicht nachzuvollziehen, denke ich. Man hat einfach Zahlen mit 4 Reellen Komponenten, a, b, c, d. Die Multipliziert man dann mit den Basiselementen 1, i, j, k. i, j und k sind imaginäre Einheiten für die zusatzregeln gelten, die sie antikommunativ machen. Dies wären die Hilbert-Regeln:

ij = k, ji = -k
ki = j, ik = -j
jk = i, kj = -i

Hier kann ich ganz leicht nachvollziehen wie die antikommutivität konstruiert wird. Wie man das aber mit nur 2 Zahlen A und B anstellen will ist mir ein Rätsel.
Aber ich denke es ist leicht zu sehen welche andere Mengen enthalten sind.
a = 0 führt zu den reinen Quaternionen, c = d = 0 führt zu den Komplexen Zahlen. Lässt man nun komplexe Koeffizienten zu, dann kommt man eventuell zu den Superzahlen.

"Im übrigen sind Rotationen und Translationen Operatoren. Wenn wir von Grassmann - c - oder Superzahlen sprechen meinen wir die Elemente des Vektroraums in dem die Operatoren der Dreh und Translationsalgebren wirken."

Ja, genau, und damit wir die Richtige Geometrie bekommen, mussen sich die Elemente des Vektorraums wie Rotationen verhalten, also wie Grassmannzahlen. Dann nämlich sind in dem Entsprechenden Raum fermionische Rotationen möglich.

"Wie man da lesen kann ergibt sich die Grassmannalgebra aus der Clifford-Algebra und Umgekehrt"

Muss man da zwischen den Zeilen lesen? Ne,ne was da in dem Wikipedia Text steht ist zuviel des Guten, das ist nur mathematische Spielerei.

Also ich weiss nicht. Für mich sind die Komponenten der Quaternionen mit den Faktoren b, c und d, wie Grassmannzahlen. Ich meine dass ist doch genau antikommutivität! Soll es etwa verschiedene Möglichkeiten geben, diese zu konstruieren?