julian apostata
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Die Inspiration für dieses Thema hab ich aus dem Buch von Harald Lesch (Kosmologie für helle Köpfe) erhalten und am Ende des Buches empfiehlt er folgenden Link:
http://www.wissenschaft-schulen.de/sixcms/media.php/1308/SuW-0205-Kosmologie-s.pdf
Dort ist nun folgende Gleichung auf Seite 22 zu finden (eine spezielle Form der Friedmanngleichung)
[TEX]a=\left[\sqrt{\frac{\Omega _0}{1-\Omega_0}}\cdot\sinh\left(1,5\cdot\sqrt{1-\Omega_0}\cdot H_0\cdot t \right )\right]^{2/3}[/TEX]
Das lässt sich allerdings noch locker vereinfachen. Erst mal ist bei dieser speziellen Lösung der Ausdruck vor dem “sinh” völlig überflüssig, denn er dient nur dazu, die heutige Größe des Universums völlig willkürlich auf 1 zu setzen.
Und dann kann man aufgrund von Formel (7) noch den Buchstaben Omega einsetzen, also:
[TEX](1)\qquad a=\left[\sinh(1,5\cdot\omega\cdot t)\right]^{2/3}[/TEX]
Bei der 1.Zeitableitung schmeiß ich sinh und cosh raus und ersetze sie durch die Stammfunktion.
[TEX](2)\qquad\dot{a}=a\cdot\omega\cdot\sqrt{1+\frac{1}{a^3}}[/TEX]
Die zweite Zeitableitung geht dann recht einfach über die Kettenregel
a’’=(da’/da)*a’
[TEX](3)\qquad\ddot{a}=a\cdot\omega^2\cdot\left(1-\frac{0,5}{a^3}\right)[/TEX]
Die “1” in der runden Klammer steht nun für die “dunkle Energie” und “0,5/a³” für die Gravitationswirkung. Mit anderen Worten: Als die Größe des Universums ca. a=0,7937 betrug, nahm es endgültig den Fuß von der Bremse und beschleunigte seine Expansion.
Wie groß ist es nun heute? Dazu muss man in der runden Klammer einfach nur Subtrahend durch Minuend teilen und man hat das Verhältnis von treibender Kraft zu bremsender Kraft. Nun schreibt aber Harald Lesch (Seite 153), dass der treibende Dichteparameter quasi doppelt zählt, also schon ab (1/3) stärker als die anziehende Kraft wurde.
[TEX](4)\qquad\frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_0}=a^3\qquad(5)\qquad \Omega_\Lambda+\Omega_0=1 [/TEX]
Da nun die treibende Masse heute einen Anteil von etwa 0,72 hat, gilt heute a~1,37
Den “Hubbleparameter” erhält man übrigens ganz einfach (2)/(1) rechnet.
[TEX](6)\qquad H_0=\omega\cdot\sqrt{1+\frac{1}{a^3}}[/TEX]
Die nächste Gleichung lässt sich mit Hilfe von (4),(5),(6) ermitteln
[TEX](7)\qquad\omega=\sqrt{1-\Omega_0}\cdot H_0[/TEX]
Bei H_0 von ca 70km/s/Megaparscec (~7,12*10^-11 pro Jahr) erhalten wir also ein Omega von ca w=6,05*10^-11 pro Jahr.
Wenn wir jetzt noch mal zurückblicken auf Gleichung (3), könnte man auf die Idee kommen, die “dunkle Energie” auch “Pseudorotation” zu nennen.
Da stellen wir uns zwei weit entfernte Galaxien auf einer rotierenden Scheibe vor, wobei die eine sich auf der Drehachse befindet und die andere im Abstand a sich von der Drehachse befindet und sich somit nahezu mit einer Beschleunigung von
a*w²
entfernte. Aus der heutigen “Pseudorotation” könnte man auch eine “Pseudoumlaufzeit” ermitteln, welche dann ca 104 Milliarden Jahre betrüge.
Na gut, das ist zwar irgendwo vielleicht ein Schmarrn, aber ich denk, so bekommt vielleicht auch der Laie eine ungefähre Vorstellung von der Mickrigkeit der dunklen Energie.
http://www.wissenschaft-schulen.de/sixcms/media.php/1308/SuW-0205-Kosmologie-s.pdf
Dort ist nun folgende Gleichung auf Seite 22 zu finden (eine spezielle Form der Friedmanngleichung)
[TEX]a=\left[\sqrt{\frac{\Omega _0}{1-\Omega_0}}\cdot\sinh\left(1,5\cdot\sqrt{1-\Omega_0}\cdot H_0\cdot t \right )\right]^{2/3}[/TEX]
Das lässt sich allerdings noch locker vereinfachen. Erst mal ist bei dieser speziellen Lösung der Ausdruck vor dem “sinh” völlig überflüssig, denn er dient nur dazu, die heutige Größe des Universums völlig willkürlich auf 1 zu setzen.
Und dann kann man aufgrund von Formel (7) noch den Buchstaben Omega einsetzen, also:
[TEX](1)\qquad a=\left[\sinh(1,5\cdot\omega\cdot t)\right]^{2/3}[/TEX]
Bei der 1.Zeitableitung schmeiß ich sinh und cosh raus und ersetze sie durch die Stammfunktion.
[TEX](2)\qquad\dot{a}=a\cdot\omega\cdot\sqrt{1+\frac{1}{a^3}}[/TEX]
Die zweite Zeitableitung geht dann recht einfach über die Kettenregel
a’’=(da’/da)*a’
[TEX](3)\qquad\ddot{a}=a\cdot\omega^2\cdot\left(1-\frac{0,5}{a^3}\right)[/TEX]
Die “1” in der runden Klammer steht nun für die “dunkle Energie” und “0,5/a³” für die Gravitationswirkung. Mit anderen Worten: Als die Größe des Universums ca. a=0,7937 betrug, nahm es endgültig den Fuß von der Bremse und beschleunigte seine Expansion.
Wie groß ist es nun heute? Dazu muss man in der runden Klammer einfach nur Subtrahend durch Minuend teilen und man hat das Verhältnis von treibender Kraft zu bremsender Kraft. Nun schreibt aber Harald Lesch (Seite 153), dass der treibende Dichteparameter quasi doppelt zählt, also schon ab (1/3) stärker als die anziehende Kraft wurde.
[TEX](4)\qquad\frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_0}=a^3\qquad(5)\qquad \Omega_\Lambda+\Omega_0=1 [/TEX]
Da nun die treibende Masse heute einen Anteil von etwa 0,72 hat, gilt heute a~1,37
Den “Hubbleparameter” erhält man übrigens ganz einfach (2)/(1) rechnet.
[TEX](6)\qquad H_0=\omega\cdot\sqrt{1+\frac{1}{a^3}}[/TEX]
Die nächste Gleichung lässt sich mit Hilfe von (4),(5),(6) ermitteln
[TEX](7)\qquad\omega=\sqrt{1-\Omega_0}\cdot H_0[/TEX]
Bei H_0 von ca 70km/s/Megaparscec (~7,12*10^-11 pro Jahr) erhalten wir also ein Omega von ca w=6,05*10^-11 pro Jahr.
Wenn wir jetzt noch mal zurückblicken auf Gleichung (3), könnte man auf die Idee kommen, die “dunkle Energie” auch “Pseudorotation” zu nennen.
Da stellen wir uns zwei weit entfernte Galaxien auf einer rotierenden Scheibe vor, wobei die eine sich auf der Drehachse befindet und die andere im Abstand a sich von der Drehachse befindet und sich somit nahezu mit einer Beschleunigung von
a*w²
entfernte. Aus der heutigen “Pseudorotation” könnte man auch eine “Pseudoumlaufzeit” ermitteln, welche dann ca 104 Milliarden Jahre betrüge.
Na gut, das ist zwar irgendwo vielleicht ein Schmarrn, aber ich denk, so bekommt vielleicht auch der Laie eine ungefähre Vorstellung von der Mickrigkeit der dunklen Energie.
